Slide - Medidas de Variabilidade - Estatística e Probabilidade 2022-2

Medidas de Variabilidade Patrícia de Sousa Ilambwetsi Estatística e Probabilidade Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica 1 Definir se a amostra é homogênea ou heterogênea O resumo das informações nas medidas de tendência central não é capaz de estudar a Variabilidade As medidas de Variabilidade que trataremos na disciplina: ⇒ Amplitude ⇒ Desvio Médio ⇒ Variância ⇒ Desvio Padrão ⇒ Distância Interquartílica Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Variabilidade: capacidade de submeter-se a variação Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 2 Amplitude: diferença entre o maior e menor valor de um conjunto. Simbologia ⇒ ∆ Exemplo: Dados: {2,79; 4,3; 4,46; 7,64; 7,7; 2,09; 4,94; 5,78; 8,33; 7,45; 5,28; 10; 7,8; 5,56} Mínimo: 2,09 Máximo: 10 ∆ = 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜– 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 10 − 2,09 = 7,91 Amplitude Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 3 ⇒ Exemplo: Notas dos alunos em provas Aluno A: 6.5; 6.5; 6.0; 5.0 Aluno B: 1.0; 4,0; 9.0; 10.0 Média A: 6,0 Media B: 6,0 ∆𝐴 = 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜– 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 6.5 − 5.0 = 1.5 ∆𝐵 = 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜– 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = 10 − 1.0 = 9.0 Amplitude Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade Aluno A apresentou notas mais homogêneas do que o aluno B 4 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛 𝑖=1 Conjunto de dados ⇒ a soma das distância é igual a zero Exemplo: Aluno A: 6.5; 6.5; 6.0; 5.0 Média A: 6,0 Distância ⇒ 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛 𝑖=1 = (6.5 − 6.0) + (6.5 − 6.0) + (6.0 − 6.0) + (5.0 − 6.0) = 0 Alternativa 1 ⇒ Desvio Médio Alternativa 2 ⇒ Variância Distância em torno da Média Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 5 ⇒ valor absoluto (módulo) das distâncias ⇒ distancias médias para comparação entre conjunto de dados com tamanhos diferentes 𝑑𝑚 = 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑛 𝑖=1 𝑛 Desvio Médio (dm) Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 6 Exemplo: Aluno A: 6.5; 6.5; 6.0; 5.0 Aluno B: 1.0; 4,0; 9.0; 10.0 Média A: 6,0 𝑑𝑚𝐴 = 1 4 6.5 − 6.0 + 6.5 − 6.0 + 6.0 − 6.0 + 5.0 − 6.0 = 1 4 (2) = 0,5 𝑑𝑚𝐵 = 1 4 1.0 − 6.0 + 4.0 − 6.0 + 9.0 − 6.0 + 10.0 − 6.0 = 1 4 (14) = 3,5 Desvio Médio (dm) Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 7 ⇒ elevar ao quadrado as distâncias em torno da média 𝜎2 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 OBS: IMPORTANTE!!!! Inferência sobre a população (Variância amostral) 𝜎 2 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 − 1 ⇒ O divisor n-1 faz com que a variância apresente melhores propriedades Variância (𝝈𝟐) Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 8 Exemplo: Aluno A: 6.5; 6.5; 6.0; 5.0 Aluno B: 1.0; 4,0; 9.0; 10.0 Média A: 6,0 𝝈 𝟐𝑨 = 1 4 − 1 6.5 − 6.0 2 + 6.5 − 6.0 2 + 6.0 − 6.0 2 + 5.0 − 6.0 2 = 1 4 − 1 (1.5) = 0,5 𝝈 𝟐𝑩 = 1 4 − 1 1.0 − 6.0 2 + 4.0 − 6.0 2 + 9.0 − 6.0 2 + 10.0 − 6.0 2 = 1 4 − 1 (54) = 18 Variância (𝝈𝟐) Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 9 Exemplo 2: 𝑥 ≈ 21,0667 𝜎 2 = ( 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛𝑖) 𝑛 𝑖=1 𝑛 − 1 = 𝑛𝑖𝑥𝑖2 𝑛 𝑖=1 − 𝑛(𝑥 )2 𝑛 − 1 = 1 15−1 { 1. 17 2 + 1. 18 21 + 2 20 2 + ⋯ + 1 24 2 − 15 21,06 2 } = 3,35 Variância Amostral para Tabela de Frequência Simples Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 10 Exemplo 2: 𝑥 ≈ 1 15 350.1 + 450.1 + 550.5 + ⋯ (750.4) ≈ 610 𝜎 2 = ( 𝑥𝑖 − 𝑥 2𝑛𝑖) 𝑛 𝑖=1 𝑛 − 1 = 1 15 − 1 350 − 610 2 ∗ 1 + 450 − 610 2 ∗ 1 + ⋯ + 750 − 610 2 ∗ 4 = 14000 Variância Amostral para Tabela de Frequência por Intervalo Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 11 ⇒ é a raiz quadrada da variância ⇒ medido na escala original dos dados 𝜎 = 𝜎 2 = 𝑥𝑖 − 𝑥 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 − 1 Exemplo 𝜎 𝐴 = 𝜎 2𝐴 = 0.5 = 0.7 𝜎 𝐵 = 𝜎 2B = 18 = 4,24 Desvio Padrão (𝝈 ) Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 12 ⇒ é utilizado para comparar grupos de amostras ⇒ quando as médias dos grupos são muito diferentes ⇒ é a razão entre o desvio padrão (𝜎 ) e a média amostral (𝑥 ) 𝐶𝑉 = 𝜎 𝑥 100% Exemplo: 𝐶𝑉𝐴 = 0.7 6.0 = 0.1 𝐶𝑉𝐵 = 4,24 6.0 = 0.7 Menor CV ⇒ Menor Variabilidade Coeficiente de Variação (CV) Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 13 ⇒ são medidas que dividem a amostra ordenada em 100 em partes ⇒ a mediana é conhecida como o percentil 50% ou q(50) • Percentil amostral: q(p) é o valor tal que p% dos dados ordenados encontram-se abaixo dele e (100-p)% acima dele 𝑞(𝑝) = 𝑥(𝐿) + 𝑥(𝐿+1) 2 𝑥 𝐿 em que • 𝑥(1) ≤ 𝑥 2 + ⋯ + 𝑥(𝑛) • 𝐿 = 𝑃 100 (𝑛) • 𝐿 é o menor inteiro maior que 𝐿 Percentil Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade se L é inteiro Caso contrário 14 Percentil conhecidos como Quartil – Divide uma distribuição de frequência em quatro partes iguais ⇒ 𝑞(25) = 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 1(𝑄1) ⇒ 𝑞(50) = 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 2(𝑄2) ⇒ 𝑞(75) = 𝑄𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑙 3(𝑄3) Exemplo 1: Calcule o 𝑄1para o seguinte conjunto de dados Dados: {2,79; 4,3; 4,46; 7,64; 7,7; 2,09; 4,94; 5,78; 8,33; 7,45; 5,28; 10; 7,8; 5,56} • Passo 1: Ordenar o conjunto de dados de forma crescente {2,09; 2,79; 4,15; 4,3; 4,46; 4,94; 5,28; 5,56; 5,78; 7,45; 7,64; 7,7; 7,8; 8,33; 10} Percentil Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 15 • Passo 2: Calcular L 𝐿 = 𝑃 100 𝑛 = 25 100 15 = 3,75 • Passo 3: Verificar a condição de L L não é inteiro ⇒ 𝐿 = 4 • Passo 4: Determinar o Quartil 𝑄1 = 𝑥(4) = 4,3 Interpretação: 25% dos meus dados são menores que 4,3 e 75% são maiores Percentil Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 16 Exemplo 2: Calcule o 𝑄3para o seguinte conjunto de dados • Passo 1: Ordenar o conjunto de dados de forma crescente {2,09; 2,79; 4,15; 4,3; 4,46; 4,94; 5,28; 5,56; 5,78; 7,45; 7,64; 7,7; 7,8; 8,33; 10} • Passo 2: Calcular L 𝐿 = 𝑃 100 𝑛 = 75 100 15 = 11,25 • Passo 3: Verificar a condição de L L não é inteiro ⇒ 𝐿 = 12 • Passo 4: Determinar o Quartil 𝑄3 = 𝑥(12) = 7,7 Interpretação: 75% dos meus dados são menores que 7,7 e 25% são maiores Percentil Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 17 ⇒ Avaliar o grau de espalhamento dos dados em torno da medida de centralidade ⇒ é a diferença entre o Primeiro (𝑄1) e o Terceiro Quartil (𝑄3) 𝑑𝑞 = 𝑄3 − 𝑄1 Calculando a distância interquartílica do exemplo anterior • Distância Interquartílica 𝑑𝑞 = 𝑄3 − 𝑄1 𝑑𝑞 = 7,7 − 4,3 = 3,4 Distância Interquartílica Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 18 • Passo 3: Verificar a condição de L L não é inteiro ⇒ 𝐿 = 11,25 ⇒12 • Passo 4: Determinar o Quartil 𝑄3 = 𝑥(12) = 7,7 • Distância Interquartílica 𝑑𝑞 = 7,7 − 4,3 = 3,4 Distância Interquartílica Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 19 • É um gráfico que traz informação sobre a dispersão e o nível de assimetria dos dados Boxplot Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 25% 25% 25% 25% • Valores Atípicos (Outliers) ou Pontos Discrepantes ⇒ valores menores : 𝑄1 − 1,5 (𝑄3 − 𝑄1) ⇒ valores maiores : 𝑄3 − 1,5 (𝑄3 − 𝑄1) 20 Boxplot Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 21 Assimetria ⇒ Mede o grau de enviesamento ou distorção da distribuição em relação a sua média ⇒ Numa distribuição estatística, a assimetria representa o quanto a curva de frequência se desvia ou se afasta da posição simétrica • Curva Simétrica • Assimetria Positiva • Assimetria Negativa Medidas de Forma Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 22 ⇒ Uma distribuição é dita simétrica quando apresenta o mesmo valor para a moda, a média e a mediana ⇒ Não há enviesamento Curva Simétrica Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 23 ⇒ Quando a cauda da curva da distribuição declina para direita, tem-se uma distribuição com curva assimétrica positiva Assimetria à Direita ou Positiva Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 24 ⇒ a cauda da curva da distribuiçãoo declina para esquerda, tem-se uma distribuição com curva assimétrica negativa. Assimetria à Esquerda ou Negativa Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 25 ⇒ Métodos para o cálculo da medida de assimetria 𝐴𝑠 = 𝑥 − 𝑥𝑚𝑜𝑑 𝑠 𝐴𝑠 = 0 ⇒ a distribuição é simétrica 𝐴𝑠 > 0 ⇒ a distribuição é assimétrica positiva (à direita) 𝐴𝑠 < 0 ⇒ a distribuição é assimétrica negativa (à esquerda) Coeficiente de Assimetria de Pearson Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 𝐴𝑠 = 3(𝑥 − 𝑥𝑚𝑒𝑑) 𝑠 𝐴𝑠 ≤ 0,15 ⇒ a distribuição praticamente simétrica 0,15 < 𝐴𝑠 ≤ 1 ⇒ assimetria moderada 𝐴𝑠 > 1 ⇒ fortemente assimétrica 26 ⇒ Mede o grau de achatamento (concentração ou dispersão) da curva de frequência ao comparar a curva da Normal 𝑘 = 𝑄3 − 𝑄1 2(𝑃90 − 𝑃10) 𝑘 = 0,263 ⇒ distribuição mesocúrtica (normal) 𝑘 > 0,263 ⇒ distribuição leptocúrtica (em cume, mais densa em torno da média) 𝑘 < 0,263⇒ distribuição platicúrtica (achatada, menos densa em torno da média) Curtose (K) Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 27 ⇒ Mede o grau de achatamento da curva de frequência ao comparar a curva da Normal 𝑘 = 𝑄3 − 𝑄1 2(𝑃90 − 𝑃10) 𝑘 = 0,263 ⇒ distribuição mesocúrtica (normal) 𝑘 > 0,263 ⇒ distribuição leptocúrtica (em cume, mais densa em torno da média) 𝑘 < 0,263⇒ distribuição platicúrtica (achatada, menos densa em torno da média) Curtose (K) Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 28 Curtose (K) Amplitude Desvio Médio Variância Desvio Padrão Distância Interquartílica Patrícia de Sousa Ilambwetsi Medidas de Variabilidade 29 Distribuição conhecida: Normal média