Lista 2 - Estatística e Probabilidade - 2023-1

1 Probabilidade 1. Para cada um dos eventos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos: (a) Uma moeda é lançada duas vezes e observam-se as faces obtidas. (b) Um dado é lançado duas vezes e a ocorrência de face par ou ímpar é observada. (c) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas. Três bolas são selecionadas ao acaso, com reposição, e as cores são anotadas. (d) Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces observadas. (e) Em uma cidade famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando-se o sexo de cada uma, de acordo com a idade. (f) Uma máquina produz 20 peças por hora, escolhe-se um instante qualquer e observa-se o número de defeituosas na próxima hora. (g) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara. (h) Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que se queimem. (i) Um fichário com 10 nomes contém 3 nomes de mulheres. Seleciona-se ficha após ficha, até o último nome de mulher ser selecionado, e anota-se o número de fichas selecionadas. (j) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara e anota-se o número de lançamentos. 2. Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca lança-se uma moeda. Se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira-se outra. Dê um espaço amostral para o experimento. 3. Uma balança digital é usada para fornecer pesos em gramas. Seja A o evento em que um peso excede 11 gramas. Seja B o evento em que um peso é menor que ou igual a 15 gramas, e seja C o evento em que um peso é maior ou igual a 8 gramas e menor que 12 gramas. Descreva os seguintes eventos: (a) Ω (b) A∪ B (c) A∩ B (d) Ac (e) A∪ B ∪ C (f) (A∪ C)c (g) A∩ B ∩ C (h) Bc ∩ C (i) A∪(B ∩ C) 4. Considere o lançamento de dois dados. Considere os eventos A = “soma dos números obtidos igual a 9”, e B = “número no primeiro dado maior ou igual a 4”. (a) Enumere os elementos de A e B. (b) Obtenha A∪ B, A∩ B, e Ac. (c) Obtenha todas as probabilidades dos eventos acima. 5. Suponhamos que 10000 bilhetes sejam vendidos em uma loteria e 5000 em outra, cada uma tendo apenas um ganhador. Um homem tem 100 bilhetes de cada. Qual a probabilidade de que: (a) Ele ganhe exatamente um prêmio? (b) Ele ganhe alguma coisa? 6. Um grupo de 12 homens e 8 mulheres concorre a três prêmios através de um sorteio, sem reposição de seus nomes. Qual a probabilidade de: (a) Nenhum homem ser sorteado? (b) Um prêmio ser ganho por homem? (c) Dois homens serem premiados? 7. Suponha que A e B sejam eventos mutuamente exclusivos (ou disjuntos) para os quais P(A)= 0,3 e P(B)= 0,5. Qual é a probabilidade de que: (a) A ou B ocorra? (b) A ocorra mas B não ocorra? (c) A e B ocorram? 2 8. Discos de plástico de policarbonato, provenientes de um fornecedor, são analisados com relação à resistência a arranhões e a choques. Os resultados de uma amostra de 100 discos estão resumidos a seguir: Res. a choques Res. a arranhões Alta Baixa Alta 70 9 Baixa 16 5 Seja A o evento em que um disco tem alta resistência a choque e B o evento em que um disco tem alta resistência a arranhões. Com isso: (a) Determine o número de discos em A∩ B, Ac, e A∪ B. (b) Se um disco for selecionado aleatoriamente, determine as seguintes probabilidades: i. P(A) ii. P(B) iii. P(Ac) iv. P(A∩ B) v. P(A∪ B) vi. P(Ac ∪ B) vii. P(A|B) viii. P(B|A) (c) Se um disco for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de sua resistência a arranhões ser alta e de sua resistência a choque ser alta? (d) Se um disco for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de sua resistência a arranhões ser alta ou de sua resistência a choque ser alta? (e) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? (f) Os eventos A e B são independentes? 9. Suponhamos que um um aluno estime que sua probabilidade de receber um conceito final “A” em Estatística é 0,6, e a probabilidade de um “B” é de 0,4 (ele não considera receber menos do que isso!). Com isso: (a) Os eventos “receber A” e “receber B” são mutuamente exclusivos? Por que? (b) Determine a probabilidade condicional de que obtenha um “B”, dado que de fato tenha recebido um “A”. (c) Verifique se os eventos “receber A” e “receber B” são independentes. 10. Uma urna contém 10 bolas verdes e 6 azuis. Tiram-se duas bolas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que as duas bolas: (a) sejam verdes? (b) sejam da mesma cor? (c) sejam de cores diferentes? 11. De 100 pessoas que solicitaram emprego de programador de computadores durante um ano em uma grande empresa, 40 possuíam experiência anterior (E), e 30 possuíam certificado profissional (C). Vinte dos candidatos possuíam tanto experiência anterior como certificado profissional e foram incluídos nas contagens dos dois grupos. (a) Elaborar um diagrama de Venn para representar estes eventos. (b) Qual a probabilidade de que um candidato escolhido ao acaso tenha experiência ou certificado? (c) Qual a probabilidade de que um candidato escolhido ao acaso tenha experiência ou certificado, mas não ambos? (d) Determinar a probabilidade condicional de que um candidato escolhido ao acaso tenha um certificado, dado que ele tenha alguma experiência anterior. (e) Verificar se os eventos E e C são independentes. GABARITO 1. Para cada um dos eventos abaixo, escreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos: (a) Ω= {CC,CR,RC,RR} n(Ω)= 4 3 (b) Ω= {PP, PI, IP, II} n(Ω)= 4 (c) Ω= {AA,AV,VA, (d) Ω= {2,3,4,...,12} (e) Ω= {MMM, MMF, MFM, FMM, FFM, FMF, MFF, FFF} n(Ω)= 8 (f) Ω= {ω : 0 ≤ ω ≤ 20} n(Ω)= 21 (g) Ω= {C,RC,RRC,RRRC,RRRRC,...} n(Ω)= ∞ (h) Ω ω : ω> 0} =R+ n(Ω)= ∞ 3,4,5,...,10 (j) Ω= { } ( )= 2. Ω= {BC,BR,VB,VV} . 5. (a) 0,0296 (b) 0,0298 6. (a) 0,049 (b) 0,463 (c) 0,295 7. (a) 0,8 (b) 0,3 (c) 0 8. (a) (b) A∩ B = 70, Ac = 14, e A∪ B = 95. i. 0,86 ii. 0,79 iii. 0,14 iv. 0,7 v. 0,95 vi. 0,84 vii. 70/79 viii. 70/86 (c) 0,7 (d) 0,95 3. (c) (d) (f) } C = {x : x ≥ 8} (g) (h) (i) ABc∪∩(BC∩=C∅)= {x : x ≥ 8} 4. , e (c) = P A )= 4 (e) (f) Não, pois P(A∩ B)= 70/100 Não, pois P(A∩ B)≠ P(A)P(B) 9. (a) Sim, porque não é possível receber conceito A e B ao mesmo tempo. (b) 0 (c) P(A∩ B)= 0 ≠ 0,24 = P(A)· P(B). São dependentes. 10. (a) 3/8 (b) 1/2 (c) 1/2 11. (a) Desenhar o diagrama de Venn (b) 0,5 (c) 0,3 (d) 0,5 (e) P(C|E)= 0,5 ≠ 0,3 = P(C). São dependentes.