Atividade de Fisica 3

Semanas 11 e 12Gabarito 1 20 pontos Calcule a indutância mútua M entre um solenóide infinito de raio R2 densidade linear de espiras n2 e um solenóide finito de comprimento d raio R1 R2 situado no eixo de simetria do solenóide maior e com densidade linear de espiras n1 Qual o fluxo de campo magnético na seção do solenóide maior se o solenóide finito for percorrido por uma corrente I 2 20 pontos Na eletrodinâmica potenciais φ e A podem ser introduzidos tais que E φ At e B A 1 Utilizando então o calibre de Lorenz A 1c2 φt 2 mostre que 2φ 1c2 2φt2 ρε0 e 2 A 1c2 2 At2 μ0 j 3 Exercício Extra Mostre ainda que as transformações de calibre φ φ ξt e A A ξ 4 preservam o calibre de Lorenz para qualquer função harmônica ξ r t isto é 2 ξ 1c2 2 ξt2 0 3 Calcule a energia magnética Um armazenada em um solenóide cilíndrico longo de comprimento h raio a e densidade linear de espiras n e utilize esse resultado para calcular a autoindutância L 4 Utilizando a identidade A B B A A B juntamente com a Lei de Ampère mostre que a densidade espacial de energia magnética é dada por um 1 2μ0 B2 QUESTÃO 1 Considere dois solenóides coaxiais solenóide 2 maior infinito raio R2 e densidade linear de espiras n2 solenóide 1 menor finito comprimento d raio R1 R2 e densidade linear de espiras n1 colocado ao longo do eixo do solenóide maior A indutância mútua M pode ser obtida a partir da definição de fluxo concatenado Se uma corrente I2 percorre o solenóide 2 o fluxo concatenado total no solenóide 1 é λ1 N1 Φ21 M λ1 I2 onde N1 é o número de espiras do solenóide finito e Φ21 é o fluxo por espira do solenóide 1 devido ao campo produzido pelo solenóide 2 Como o solenóide 2 é ideal e infinito o campo magnético no seu interior é uniforme e paralelo ao eixo B2 μ0 n2 I2 ẑ para r R2 B2 0 para r R2 Como R1 R2 toda a seção do solenóide 1 está contida na região onde B2 é uniforme O fluxo por uma espira do solenóide 1 é então Φ21 A1 B2 dA Escolhendo a superfície A1 como o disco de raio R1 perpendicular ao eixo temse dA ẑ dA e B2 dA B2 dA Logo Φ21 A1 μ0 n2 I2 dA μ0 n2 I2 A1 dA μ0 n2 I2 π R12 o número de espiras do solenóide 1 é N1 n1 d Portanto o fluxo concatenado total no solenóide 1 devido a I2 é λ1 N1 Φ21 n1 d μ0 n2 I2 π R12 Dividindo por I2 obtémse a indutância mútua M λ1 I2 μ0 n1 n2 π R12 d Agora para o fluxo na seção do solenóide maior quando o solenóide finito é percorrido por uma corrente I isto é I1 I usase a reciprocidade da indutância mútua em meios lineares M12 M21 M O campo produzido pelo solenóide 1 isolado fica essencialmente confinado à sua própria seção Assim uma espira do solenóide 2 localizada na região axial onde existe sobreposição ao longo do comprimento d enxerga fluxo apenas através da área comum que é π R12 Para essa espira do solenóide 2 o fluxo devido ao solenóide 1 é Φ12 A2 B1 dA A2 B1 dA μ0 n1 I π R12 isto é Φ12 μ0 n1 I π R12 para uma espira do solenóide maior situada na região de sobreposição Se for de interesse o fluxo concatenado total no solenóide 2 apenas ao longo do trecho de comprimento d onde ele efetivamente acopla com o solenóide 1 o número de espiras desse trecho é N2 n2 d e então λ2 N2 Φ12 n2 d μ0 n1 I π R12 M I coerente com M μ0 n1 n2 π R12 d QUESTÃO 2 Partindo das definições dos potenciais E φ At B A e impondo o calibre de Lorenz mostrase que φ e a satisfazem equações de onda com fontes Começase pela lei de Gauss para o campo elétrico substituindo Usando a linearidade e as identidades Agora entra o calibre de Lorenz portanto Substituindo isso na equação anterior isto é Multiplicando ambos os lados por 1 que é a primeira equação pedida Para obter a equação para usarse a lei de AmpèreMaxwell substituise Em seguida substituise de modo que onde foi usada a comutação logo a lei de AmpèreMaxwell fica Aplicase agora a identidade vetorial Assim Neste ponto usase novamente o calibre de Lorenz Substituindo isso Observase que com isso o termo aparece em ambos os casos e se cancela restando trazendo o termo temporal para o lado esquerdo Multiplicando ambos os lados por 1 QUE é a segunda equação pedida QUESTÃO EXTRA Partese do calibre de Lorenz para os potenciais Considere a transformação de calibre dada no enunciado onde é uma função escalar A ideia é verificar sob quais condições também satisfazem o calibre de Lorenz isto é Começase pelo lado esquerdo calculando Usase logo Agora calculase o lado direito Distribuindo o fator Para que o calibre de Lorenz seja preservado deve valer a igualdade 𝐀 1c² φt Substituindo as expressões obtidas 𝐀 ²ξ 1c² φt 1c² ²ξt² Neste ponto usase que os potenciais originais já satisfazem o calibre de Lorenz 𝐀 1c² φt Substituindo isso no lado esquerdo da igualdade 1c² φt ²ξ 1c² φt 1c² ²ξt² O termo 1c² φt aparece em ambos os lados e se cancela restando ²ξ 1c² ²ξt² Trazendo tudo para o mesmo lado ²ξ 1c² ²ξt² 0 Logo as transformações φ φ ξt 𝐀 𝐀 ξ preservam o calibre de Lorenz se e somente se ξrt satisfaz a equação homogênea de onda a condição de função harmônica no sentido do enunciado ²ξ 1c² ²ξt² 0 QUESTÃO 3 Considere um solenóide cilíndrico longo efeitos de borda desprezáveis de comprimento h raio a e densidade linear de espiras n número de espiras por unidade de comprimento Seja I a corrente Para um solenóide ideal longo o campo magnético no interior é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo a força é desprezível 𝐁 μ₀ n I 𝑧 para r a 𝐁 0 para r a A densidade de energia magnética no vácuo é um B²2μ₀ Logo a energia magnética total armazenada é a integral dessa densidade sobre o volume onde há campo Um um dV B²2μ₀ dV Como B é aproximadamente constante no interior e desprezível fora tomase como região de integração o cilindro de raio a e comprimento h Em coordenadas cilíndricas dV r dr dθ dz e então Um ₀ʰ ₀²π ₀ᵃ B²2μ₀ r dr dθ dz Substituise B μ₀ n I Um ₀ʰ ₀²π ₀ᵃ μ₀ n I²2μ₀ r dr dθ dz ₀ʰ ₀²π ₀ᵃ μ₀ n² I²2 r dr dθ dz Como μ₀ n² I²2 é constante na integral Um μ₀ n² I²2 ₀ʰ dz ₀²π dθ ₀ᵃ r dr Calculando as integrais ₀ʰ dz h ₀²π dθ 2π ₀ᵃ r dr r²2₀ᵃ a²2 Substituindo Um μ₀ n² I²2 h 2π a²2 μ₀ n² I²2 π a² h Portanto Um μ₀ n² π a² h 2 I² Para obter a autoindutância L usase a relação entre energia armazenada em um indutor e a corrente Um 12 L I² Igualando com a expressão obtida 12 L I² μ₀ n² π a² h 2 I² Cancelando o fator comum 12 I² L μ₀ n² π a² h Como verificação dimensional μ₀ tem unidade Hm n² tem unidade m² e π a² h tem unidade m³ logo L tem unidade H como esperado QUESTÃO 4 Partese da identidade vetorial fornecida 𝐀𝐁 𝐁𝐀 𝐀𝐁 A estratégia é escolher 𝐀 de modo que 𝐀 𝐁 Para isso tomase 𝐀 como um potencial vetor do campo magnético isto é 𝐁 𝐀 Substituindo 𝐀 𝐁 na identidade 𝐀𝐁 𝐁𝐁 𝐀𝐁 B² 𝐀𝐁 Reorganizando A B B² A B Agora entra a lei de Ampère na forma magnetostática correntes estacionárias que é o contexto natural para energia puramente magnética B μ0 j Logo A B A μ0 j μ0 A j Substituindo na relação anterior μ0 A j B² A B Dividindo por μ0 A j B²μ0 1μ0 A B Integrase essa expressão sobre um volume V que contenha as correntes e o campo para relacionar com a energia total v A j dV v B²μ0 dV 1μ0 v A B dV O último termo vira integral de superfície pelo teorema da divergência v A B dV V A B dS Assim v A j dV v B²μ0 dV 1μ0 V A B dS Escolhese V grande o suficiente para que a fronteira V esteja em uma região onde o campo B e o potencial A decaem suficientemente rápido por exemplo sistemas localizados de corrente onde B 0 quando r Nessas condições V A B dS 0 e então fica v A j dV v B²μ0 dV Por outro caso em magnetostática a energia magnética total armazenada no campo pode ser escrita resultado padrão obtido a partir do trabalho para ligar as correntes lentamente como Um 12 v A j dV Substituindo a igualdade anterior Um 12 v B²μ0 dV v B²2μ0 dV Como a energia total é a integral da densidade de energia um Um v um dV segue que a densidade espacial da energia magnética é um B²2μ0