Exercícios de Eletromagnetismo

Semana 9 1 20 pontos Mostre que a energia potencial Uvecr de um dipolo magnético vecm mergulhado em um campo magnético vecBvecr é dado por Uvecr vecm cdot vecBvecr através do seguinte roteiro Basta mostrar que vecF vec abla leftvecm cdot vecBright através dos seguintes passos a Considere sem prejuízo de generalidade a força magnética sobre um dipolo localizado na origem vecm fracI2 ointpartial S vecr imes dvecr I vecS 1 mergulhado em um campo vecBvecr cuja força de Lorentz pode ser expressa como vecF I ointpartial S dvecr imes vecBvecr 2 e faça uma expansão do campo vecBvecr em 1a ordem em torno de vecr 0 vecBvecr approx vecB0leftvecr cdot vec ablarightBigvecr 0 vecB 3 mostrando que vecF I ointpartial S dvecr imes left leftvecr cdot vec ablarightBigvecr 0 vecBright 4 b Escreva a iésima componente da equação vetorial acima utilizando as identidades epsilonkji epsilonlmj deltali deltakm deltami deltakl 5 e ointpartial S xm dxj epsilonkmj Sk 6 mostrando que Fi left partialirightBigvecr 0 leftI vecS cdot vecBright Exercício Extra Prove a identidade 6 através dos seguintes passos a Utilizando a identidade abaixo veca imes vecb cdot vecc vecc imes veca cdot vecb vecb imes vecc cdot veca 7 prove o Lema 1 ints vec abla f imes dvecs ointpartial s f dvecr 8 Dica Utilize o teorema de Stokes com vecv vecc f quad vecc const b Utilizando a função fvecr vecc cdot vecr 9 prove o Lema 2 ointpartial S leftvecc cdot vecrrightdvecr vecS imes vecc 10 c Reescreva 10 indicialmente e faça ci deltami 11 para finalmente obter 6 2 20 pontos Utilizando a identidade vec abla imes vecu imes vecv vecu leftvec abla cdot vecvrightvecv leftvec abla cdot vecuright leftvecv cdot vec ablarightvecu leftvecu cdot vec ablaright vecv 12 mostre que o campo magnético produzido por momento de dipolo vecm colocado na origem é dado por vecBvecr fracmu04 pi r3 left3 leftvecm cdot hatrright hatr vecmright Semana 10 1 20 pontos a Calcule o momento de dipolo magnético de um disco de carga Q e raio R que gira com frequência angular constante omega em torno de seu eixo b Utilize o resultado anterior para calcular o dipolo magnético de uma esfera de carga Q e raio R que gira com frequência angular constante omega em torno de seu eixo Exercício Extra Mostre que o torque da força magnética sobre um momento de dipolo magnético vecm mergulhado sobre um campo magnético vecB constante é dado por vec au vecm imes vecB 13 através dos seguintes passos a Assim um elemento de torque dvec au sobre um elemento de circuito partial S pode ser escrito como dvec au I vecr imes leftdvecr imes vecBright 14 Utilizando a identidade vetorial abaixo vecA imes leftvecB imes vecCrightvecB leftvecA cdot vecCright vecC leftvecA cdot vecBright Mostre que dvec au I leftdvecr leftvecB cdot vecrright d leftfracvecB2 r2 right right 15 b Por outro lado aplicando a identidade vetorial abaixo vecA imes leftvecB imes vecCright leftvecA imes vecBright imes vecC vecA leftvecB cdot vecCright vecC leftvecA cdot vecBright em 14 mostre que dvec au I left leftvecr imes dvecrright imes vecB vecr leftvecB cdot dvecrright d leftfracvecB2 r2 right right 16 c Diferenciando a quantidade vecr leftvecB cdot vecrright e substituindo em 16 vem dvec au leftleftI vecr imes dvecrright imes vecB d leftvecr leftvecB cdot vecrright frac12 vecB r2right dvecr leftvecB cdot vecrright right 17 Semana 9 QUESTÃO 1 a Considere um dipolo magnético modelado como uma espira pequena percorrida por corrente constante I localizada na origem O momento de dipolo magnético é vecm fracI2 ointpartial s vecr imes dvecr I vecS quad vecS frac12ointpartial s vecr imes dvecr onde partial S é a curva fechada da espira vecr é o vetor posição medido a partir da origem e vecS é o vetor área orientado pela regra da mão direita diagram with coordinate axes and a loop O objetivo é mostrar que para uma espira suficientemente pequena campo variando pouco ao longo dela vecF vec abla leftvecm cdot vecBright o que implica uma energia potencial U vecm cdot vecB até uma constante Como a espira é pequena expansese vecBvecr em primeira ordem em torno de vecr vec0 vecBvecr approx vecBvec0 leftvecr cdot vec ablaright vecB Bigvecr vec0 Substituindo na expressão da força vecF approx I ointpartial S dvecr imes vecBvec0 I ointpartial S dvecr imes leftleftvecr cdot vec ablarightvecB Bigvecr vec0right O primeiro termo é nulo porque vecBvec0 é constante ao longo da integral I ointpartial S dvecr imes vecBvec0 I left ointpartial S dvecrright imes vecBvec0 vec0 imes vecBvec0 vec0 SEMANA 9 Logo F I S dr r Bkr0 que é exatamente a forma pedida no roteiro Para tornar a manipulação explícita escrevese em notação de índices A componente i de F é Fi I S dr r Bi I S εijk d rj r Bk Como r Bk xℓ ℓ Bk derivadas avaliadas em 0 segue que Fi I εijk ℓ Bk S xℓ drj Agora entra uma identidade puramente geométrica para uma curva fechada S Da definição do vetor área Sm 12 εmlj S xl drj Essa relação pode ser invertida para S xl drj De fato a identidade S xl drj εljm Sm é compatível com a definição acima pois ao substituir na expressão de Sm 12 εmlj S xl drj 12 εmlj εljp Sp 122 δmp Sp Sm Usando S xl drj εljm Sm obtémse Fi I εijk ℓ Bk εljm Sm Usase a identidade de contração εijk εljm δil δkm δim δkl então Fi I δil δkm δim δkl ℓ Bk Sm I Sm i Bm Si ℓ Bℓ Pelo fato físico B 0 temse ℓ Bℓ 0 e portanto Fi I Sm i Bm Como n I S isto vira Fi Im i Bm Além disso como n é constante dipolo rígido corrente constante vale i n B i Im Bm Im i Bm Logo Fi i n B F n B Para uma força conservativa F U Comparando com o resultado anterior U n B U n B 0 Assim Ur n Br constante Escolhendo o zero de energia de modo conveniente por exemplo U 0 quando B 0 fica Ur n Br Observação física a aproximação usada é de primeira ordem no tamanho da espira isto é o campo é tomado como aproximadamente linear no interior do dipolo Isso é o que permite descrever a espira inteira apenas por n b Partese do resultado obtido em a já na forma em primeira ordem F I S dr r Br0 Escrevendo em componentes cartesianas com ri xi e dr d x1 d x2 d x3 temse dr C εijk dxj Ck onde aqui C r B Logo Fi I S εijk dxj r Bk Agora r Bk rℓ ℓ Bk xℓ ℓ Bk e as derivadas ℓ Bk não avaliadas em r 0 portanto são constantes dentro da integral Substituindo Fi I S εijk dxj xℓ ℓ Bkr0 I ℓ Bkr0 εijk S xℓ dxj Neste ponto entra a identidade fornecida no enunciado 6 S pm dxj εjkm Sk Aplicandoa com m ℓ obtémse S xℓ dxj εjkl Sk Portanto Fi I ℓ Bkr0 εijk εjkl Sm Agora usase a identidade 5 com a correspondência k j j k ℓ m m ℓ isto é exatamente o padrão εijk εiml εijk εiml δil δkm δim δkl Substituindo Fi I ℓ Bkr0 δiℓ δkm δim δkℓ Sm Distribuindo os termos e contraindo deltas sem detalhar aritmética trivial Fi I i Bk δkm Sm ℓ Bk δkℓ Sir0 I i Bm Sm k Bk Sir0 Como B 0 temse k Bk 0 logo Fi I Sm i Bmr0 Agora comparase com a derivada de I S B Como I e S são constantes para o dipolo rígido i I S B i I Sm Bm I Sm i Bm Avaliando em r 0 i I S Br0 I Sm i Bmr0 Fi Portanto fica demonstrado o que o item b pede F t r 0 IS B Se desejar escrever em termos do momento de dipolo m IS então F t r 0 m B F m B EXERCÍCIO EXTRA a a Prova do lema 1 a partir de Stokes e da identidade do produto misto Desejase provar o lema s f d s s f d r A dica manda usar o teorema de Stokes com o campo vetorial v c f c constante Pelo teorema de Stokes s v d r s v d s Substituindo v c f s c f d r s c f d s Como c é constante vale a identidade do rotacional do produto escalar por constante c f f c Justificase diretamente em componentes um c fk ck f c fi εijk j ck f εijk ck j f f c i Logo Stokes fica s f c d r s f c d s Agora entra a identidade do produto misto dada no enunciado a b c c a b b c a Aplicandoa ao integrando da direita com a f b c c d s f c d s d s f c Portanto s f c d r s d s f c Como d s f f d s s f c d r s f d s c Agora observase que c é um vetor constante arbitrário Se dois vetores a e b satisfazem c a c b para todo c então a b Aplicando isso à igualdade acima identificase o vetor cujo produto escalar com c aparece em cada lado c s f d r c s f d s c Logo s f d r s f d s ou equivalentemente s f d s s f d r Isto prova o lema 1 b Desejase provar que tomando fr c r c constante vale a identidade s c r d r s c onde s é o vetor área orientado associado à superfície S compatível com o sentido de integração em S Partese do lema 1 já demonstrado s f d s s f d r Substituindo fr c r s c r d s s c r d r Calculase c r explicitamente Escrevendo c r ci ri j c r j ci ri ci j ri ci δji cj Logo c r c Assim o caso esquerdo do lema 1 fica s c d s Como o produto vetorial é antissimétrico c d s d s c então s c d s s d s c Como c é constante podese reunir a integral de d s antes do produto vetorial s d s c s d s c Pela definição do vetor área orientado s s d s logo s d s c s c Portanto S c d r S c Substituindo esse resultado no lema 1 com fnc n S c S c n d r Multiplicando ambos os lados por 1 S c n d r S c Isto conclui a prova do lema 2 com a convenção usual de orientação regra da mão direita entre S e S c Partese do lema 2 equação 10 S c n d r S c Para evitar ambiguidades escrevese essa igualdade em componentes Seja xi a iésima coordenada de r e dxj a jésima componente de d r Então S c n d rl S c n dxl Além disso usando c n ci xi S c n dxl S ci xi dxl No lado direito a jésima componente de S c é S cj εjkl Sk cl Portanto a forma indicial de 10 é S ci xi dxl εjkl Sk cl Agora aplicase a instrução do enunciado escolher cl de modo que cl δlm isto é c é o vetor da base na direção m Com essa escolha ci xi δim xi xm e no lado direito εjkl Sk cl εjkl Sk δlm εjkm Sk Substituindo essas duas simplificações na identidade indicial acima obtêmse S pm dxl εjkm Sk que é exatamente a identidade 6 QUESTÃO 2 Considere um dipolo magnético ideal m colocado na origem Fora da origem r 0 o campo magnético pode ser obtido a partir de um potencial vetor do tipo Ar μ0 4π m r r3 Como B A basta calcular o rotacional de A Para usar a identidade 12 reescrevese A como o produto vetorial de dois campos Ar μ0 4π m r r3 Assim B A μ0 4π u r Aplicando a identidade fornecida u r u r r u r u u r Como um é constante no espaço u0 r u0 Logo para r 0 u r m r m r Resta calcular r e m r com r r r3 Em componentes vi xi r3 Então r i vi i xi r3 i xi r3 xi i r3 Como i xi 3 r 3 r3 xi i r3 Agora com r xi xi12 temse i r xi r e portanto i r3 3 r4 i r 3 r4 xi r 3 xi r5 Substituindo xi i r3 xi 3 xi r5 3 xi xi r5 3 r2 r5 3 r3 Logo para r 0 r r3 3 r3 3 r3 0 Assim m r m r r 0 Escrevese novamente em componentes m ri mj j xi r3 mj j xi r3 xi j r3 Como j xi δji m ri mj δji r3 mj xi j r3 mi r3 xi mj j r3 Já foi obtido acima que j r3 3 xj r5 Então mj j r3 mj 3 xj r5 3 m r r5 Logo m ri mi r3 3 xi m r r5 Voltando à forma vetorial m r r3 m r3 3 m r r r5 Portanto para r 0 m r r3 m r3 3 m r r r5 3 m r r r5 m r3 Finalmente Como e podese escrever na forma padrão 0 onde Em particular a forma solicitada no enunciado é então estendida com a combinação dimensional correta na escrita equivalente isto é a expressão de dipolo válida fora da origem SEMANA 10 QUESTÃO 1 A Assumese que a carga está uniformemente distribuída na superfície do disco Assim a densidade superficial é O disco pode ser decomposto em anéis concêntricos de raio e espessura dp A carga do anel é Como o anel gira rigidamente com frequência angular ω o período é A corrente equivalente associada ao movimento da carga do anel é Pelo resultado do item a um disco de carga total dQ e raio a girando com ω tem momento de dipolo EXERCÍCIO EXTRA a Partindo de dF I r dr B e usando o produto vetorial triplo com B constante o elemento da força magnética sobre o fio é dF I dr B O elemento do torque em relação à origem é dT r dF I r dr B que é a equação 14 Aplicase agora a identidade vetorial A B C B A C C A B com as escolhas A r B dr C B Então r dr B dr r B B r dr Logo dT I dr B r B r dr Resta reescrever r dr como diferencial de r² Como r² r r dr² dr r dr r r dr 2 r dr portanto r dr 12 dr² Substituindo dT I dr B r B 12 dr² Como B é constante no espaço vale B 12 dr² d r²2 B e finalmente obtémse a forma pedida dT I dr B r d r²2 B b Integração ao longo do circuito a obtenção de T m B O torque total sobre a espira circuito fechado S é T S dT I S dr B r d r²2 B Separamse as integrais T I S B r dr I S d r²2 B O segundo termo é nulo pois é a integral ao longo de uma curva fechada de um diferencial exato S d r²2 B 0 Logo T I S B r dr Agora usase o lema 2 já estabelecido que para c constante fornece S c r dr S c Tomando c B S B r dr S B Assim T IS B Como o momento de dipolo magnético da espira é m IS concluise T m B Isso mostra que um dipolo magnético em campo magnético uniforme sofre um torque que tende a alinhar m com B b Partese da expressão do elemento do torque equação 14 com B constante dT I r dr B Aplicase agora a identidade vetorial indicada no enunciado A B C A B C A B C C A B Fazendo as identificações A r B dr C B obtémse r dr B r dr B r B dr B r dr Substituindo isso em dT dT I r dr B r B dr B r dr Resta reescrever o último termo Como r² r r temse dr² dr r dr r r dr 2 r dr logo r dr 12 dr² Então B r dr B 12 dr² Como B é constante podese absorver esse fator no diferencial B 12 dr² d B2 r² de modo que B r dr d B2 r² Substituindo na expressão de dT obtémse exatamente 16 dT I r dr B r B dr d B2 r² c Partese da expressão já obtida em 16 com B constante dF Ir x dri x B r B dri dB2 r2 16 O objetivo é substituir o termo r B dri por uma combinação envolvendo dr B r e dB r Para isso diferenciase explicitamente a quantidade r B r Como B é constante B r é uma função escalar de r Então aplicase a regra do produto vetor vezes escalar dr B r dri B r r dB r Além disso dB r B dri pois B é constante e o diferencial atua apenas em r Substituindo isso na regra do produto dr B r dri B r r B dri Isolando o termo r B dri r B dri dr B r dri B r Agora substituise na equação 16 dF Ir x dri x B dr B r dri B r dB2 r2 Reorganizando os termos para ficar na forma do enunciado dF Ir x dri x B dr B r B2 r2 dri B r Como B r é escalar costumase escrever o último termo como dri B r ou B r dri ambas as escritas representam o mesmo produto escalar vezes vetor Assim obtémse exatamente 17 dF Ir x dri x B dr B r B2 r2 dri B r 17