Física 3 Eletromagnetismo

3a semanaGabarito Considere uma semiesfera de raio R com uma distribuição de carga com densidade volumétrica ρr dada por ρr ρ0 sin θ cos ϕera 0 θ π2 0 ϕ 2π então 1 Calcule o fluxo do campo elétrico por uma superfície esférica de raio 2R centrada na origem 2 Tomando um sistema de coordenadas cilíndricas ρ ϕ z calcule o campo elétrico criado por um cilindro infinito com uma distribuição homogênea de carga densidade volumétrica ρ0 e raio a 3 Exercício Extra Seja uma distribuição de carga dada por ρr ρ0era então utilizando o apêndice matemático a Calcule a carga Qr contida em uma esfera de raio r b Calcule o campo elétrico em todo o espaço Apêndice Matemático Iβ x eβx dx β1eβx Iβ xβ xeβx dx β β1eβx β2eβx 1 βx ²Iβ xβ² x²eβx dx β3eβx β²x² 2βx 2 QUESTÃO 1 A superfície esférica de raio 2R é fechada e está centrada na origem Pelo teorema de Gauss ΦE s E d a Qintε0 logo basta calcular a carga total Qint contida dentro da esfera de raio 2R Toda a distribuição está dentro de r R meiaesfera 0 θ π2 0 ϕ 2π portanto Qint é a carga total da própria distribuição Com coordenadas esféricas r θ ϕ e elemento de volume dV r2 sin θ dr dθ dϕ a densidade é ρr ρ0 sin θ cos ϕ era Assim Qint v ρr dV ρ0 0R 0π2 02π r sin θ cos ϕ era r² sin θ dϕ dθ dr Separase o produto de integrais Qint ρ0 0R r² era dr Ir 0π2 sin² θ dθ Iθ 02π cos ϕ dϕ Iϕ Calculando cada fator Iϕ 02π cos ϕ dϕ sin ϕ 02π 0 Iθ 0π2 sin² θ dθ π4 Ir 0R r² era dr 2a³ aR² 2a²R 2a³ eRa Como Iϕ 0 concluise que Qint ρ0 Ir Iθ Iϕ 0 Aplicando Gauss ΦE Qintε0 0 Em palavras embora exista densidade de carga local a dependência angular cos ϕ produz regiões com sinais opostos ao longo de ϕ cuja soma sobre 0 ϕ 2π cancela exatamente por isso a carga total encerrada e portanto o fluxo pela esfera de raio 2R é nula QUESTÃO 2 Considere um cilindro infinito de raio a com densidade volumétrica homogênea ρ0 Pela simetria cilíndrica o campo elétrico é puramente radial e independe de ϕ e z Eρ Eρ ρ Para determinar Eρ aplicase o teorema de Gauss com uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio ρ e comprimento L Nessa superfície E é paralelo ao elemento de área lateral d a e não há fluxo pelas tampas pois ali E d a Assim s E d a Eρ 2πρL Qintρε0 Caso ρ a ponto dentro do cilindro a carga encerrada é a carga do cilindro de raio ρ e comprimento L Qintρ ρ0 πρ²L Substituindo Eρ 2πρL ρ0 πρ²L ε0 Eρ ρ02ε0 ρ logo Eρ ρ02ε0 ρ ρ 0 ρ a Caso ρ a ponto fora do cilindro a carga encerrada satura na carga do cilindro físico de raio a e comprimento L Qintρ ρ0 πa²L Aplicando Gauss Eρ 2πρL ρ0 π a² L ε0 Eρ ρ0 a² 2ε0 1ρ portanto Eρ ρ₀a²2ε₀ 1ρ ρ ρ a Em resumo o campo elétrico é radial e dado por Eρ ρ₀2ε₀ ρ ρ 0 ρ a ρ₀a²2ε₀ 1ρ ρ ρ a Usase o teorema de Gauss porque a simetria cilíndrica garante campo com módulo constante na superfície gaussiana escolhida o que torna a integral de fluxo simples e permite relacionar diretamente o fluxo à carga encerrada QUESTÃO 3 a Pelo formato esfericamente simétrico de ρ usase coordenadas esféricas rθφ com elemento de volume dV r² sinθ dr dθ dφ A carga encerrada é Qr rr ρr dV ρ₀ ₀r ₀π ₀2π era r² sinθ dφ dθ dr As integrais angulares fornecem o fator 4π ₀π sinθ dθ 2 ₀2π dφ 2π logo Qr 4πρ₀ ₀r r² era dr Para a integral radial utilizase o apêndice com β 1a e p r ₀r x² eβx dx β3 eβp β² p² 2 β p 2 Avaliando entre 0 e r ₀r r² era dr a³ erar²a² 2ra 2₀r 2a³ eraa r² 2a² r 2a³ Substituindo no fator 4πρ₀ obtémse uma forma direta Qr 4πρ₀2a³ eraa r² 2a² r 2a³ Equivalente e frequentemente mais compacta é a forma fatorada Qr 8πρ₀ a³ 1 era 1 ra r²2a² Verificações úteis Q0 0 e lim r Qr 8πρ₀ a³ que é a carga total da distribuição b Como a densidade ρr ρ₀ era é esfericamente simétrica o campo elétrico deve ser radial e depender apenas de r Er Er r Aplicase o teorema de Gauss a uma superfície gaussiana esférica de raio r s E d A Er 4π r² Qrε₀ onde Qr é a carga encerrada até o raio r Do item a Qr 8πρ₀ a³ 1 era 1 ra r²2a² Substituindo na lei de Gauss e simplificando Er Qr4πε₀ r² 2ρ₀ a³ ε₀ r² 1 era1 ra r²2a² portanto Er 2ρ₀ a³ ε₀ r² 1 era1 ra r²2a² r