Física 3 Eletromagnetismo

4a semana 1 20 pontos Considere uma semiesfera de raio R com uma distribuição de carga com densidade volumétrica ρṙ dada por ρṙ ρ0 sin θ cos φ erR 0 θ π2 0 φ 2π então calcule o momento de dipolo elétrico desta distribuição 2 20 pontos Calcule o campo elétrico o potencial elétrico e a energia eletrostática total de uma casca esférica homogênea de carga Q e raio R 3 Exercício Extra Calcule o potencial do exercício acima por integração direta 0711 Eletrostático E Pε0 E 0 E ρ potencial elétrico ²φ Pε0 F 0 F U Poisson γ ρ c Eṙ Q4πε0 1ṙ ρṙ Q4πε0 1π ρṙ α1m 14πε0 Edṙ ṙ ρṙ 14πε0 r eṙ dr ṙ ṙ ²φ Pε0 Dipolo elétrico eṙ ṙ 1ṙ ṙ r² r² 2r r¹2 ṙ ṙ 1r 1 r²r² 2 r rr² ¹2 ρx 1 x¹² ρ0 1 ρ0 12 ρx 1 12 x O x² 1 A distribuição ocupa uma semiesfera de raio R isto é 0 r R 0 θ π2 0 φ 2π com ρṙ ρ0 sin θ cos φ erR O momento de dipolo elétrico de uma distribuição volumétrica é definido por p V ṙ ρṙ dτ porque pelo desenvolvimento multipolar do potencial o termo de primeira ordem depende de ṙ ρ dτ Em coordenadas esféricas usase x r sin θ cos φ y r sin θ sin φ z r cos θ e dτ r² sin θ dr dθ dφ Assim calculase cada componente pi ρ xi dτ Componente x px 0R 0π2 02π ρ0 sin θ cos φ erRr sin θ cos φ r² sin θ dφ dθ dr ρ0 0R r³ erR dr 0π2 sin³ θ dθ 02π cos² φ dφ As integrais angulares são padrão 0 2π cos² φ dφ π 0 π2 sin³ θ dθ 23 Na integral radial usase a troca u rR logo dr R du 0R r³ erR dr R⁴ 0 1 u³ eu du R⁴ 6 16 e¹ Logo px ρ0 R⁴ 6 16 e¹ 23 π ρ0 π R⁴ 4 323e 4π ρ0 R⁴ 3e 3e 8 Componentes y e z pela mesma definição py ρ0 r³ erR dr sin² θ dθ cos φ sin φ dφ 0 pz ρ0 r³ erR dr sin² θ cos θ dθ cos φ dφ 0 porque 0 2π cos φ dφ 0 e 0 2π cos φ sin φ dφ 0 Isso reflete a simetria imposta pelo fator cos φ em ρ Comentários sobre o uso das fórmulas a lei de Gauss foi aplicada porque a simetria esférica permite fatorar o campo do integral de fluxo levando a uma relação algébrica direta entre Er e a carga interna Para o potencial empregouse a definição Vr Edℓ com a referência no infinito o que é natural para distribuições localizadas Para a energia escolheuse a forma U ε₀2 E² dτ válida em eletrostática que evita ambiguidades na autointeração e reproduz o mesmo resultado que 12 σV dA para cascas finas 3 Pedese o potencial elétrico da casca esférica homogênea de raio R e carga total Q por integração direta tomando V 0 Usase a forma integral do potencial para uma distribuição superficial pois ela dá V diretamente a partir das contribuições k dqr r de cada elemento de área dA Vr k ₛ σ dAr r k 14πε₀ σ Q4πR² Devido à simetria esférica escolhese o ponto de observação sobre o eixo z a uma distância r do centro No integrando entra apenas o módulo r r Denotando por θ o ângulo polar da fonte r medido a partir do eixo que passa pelo ponto de observação a lei dos cossenos fornece r r r² R² 2rR cos θ Em coordenadas esféricas na casca raio fixo R temse dA R² sin θ dθ dϕ Substituindo na integral Vr k σ ₀2π ₀π R² sin θ dθ dϕr² R² 2rR cos θ A integral em ϕ dá 2π Com a troca u cos θ logo du sin θ dθ e os limites u 1 1 resulta Vr 2π k σ R² 11 du r² R² 2rRu A integral elementar dua bu 2ba bu aplicada com a r² R² e b 2rR fornece 11 du a bu 22rR a b a b 1rR r R² r R² Portanto o momento de dipolo elétrico é dirigido ao longo de x e vale p 4πρ₀ R⁴3e 3e 8 x 2 Para cascas e esferas com simetria esférica utilizase a lei de Gauss para obter E pois a simetria garante que E é radial e seu módulo depende apenas de r Definese k 14πε₀ Campo elétrico por lei de Gauss Considerase uma superfície gaussiana esférica de raio r concêntrica com a casca A lei de Gauss é ₛ Ed a Qint ε₀ Pela simetria E Er r e Ed a Er da Então ₛ Er da Er 4πr² Para r R toda a carga Q está no interior Er 4πr² Qε₀ Er 14πε₀ r² Q k Q r² Logo Er k Qr² r r R Para r R a casca é infinitamente fina portanto Qint 0 Er 4πr² 0 Er 0 Logo Er 0 r R Potencial elétrico Usase a relação E V Para uma distribuição radial com referência V 0 Vr r Edℓ Para r R tomase uma linha radial dℓ dr r então Vr r k Qr² dr k Q 1rr k Q r Para r R como E 0 no interior V é constante e igual ao valor na superfície isto é Vr VR k Q R r R Resumindo Vr k Qr r R k QR r R Energia eletrostática total Usase a expressão em termos da densidade de energia do campo elétrico U ε₀2 R³ E² dτ porque ela conta a energia armazenada no campo em todo o espaço Como E 0 para r R integrase apenas para r R com Er k Q r² Em coordenadas esféricas dτ r² sin θ dr dθ dϕ Assim U ε₀2 ₀ ₀π ₀2π k Q r²² r² sin θ dϕ dθ dr ε₀2 k² Q² ₀2π dϕ ₀π sin θ dθ R 1 r² dr Calculamse as integrais angulares ₀2π dϕ 2π ₀π sin θ dθ 2 e a integral radial R 1r² dr 1rR 1R Logo U ε₀2 k² Q² 2π 2 1R ε₀2 14πε₀² Q² 4π R Q² 8πε₀ R Resultados finais reunidos Er 0 r R k Q r² r r R Vr k Q R r R k Q r r R U Q² 8πε₀ R Portanto Vr 2πkσR² 1 rR r R² r R² 2πkσR rr R r R A expressão envolve r R o que leva a dois regimes físicos distintos Para r R r R r R Substituindo Vr 2πkσR rr R r R 2πkσR r 2R 4πkσR² r k Q r porque Q 4πR²σ Para r R r R R r Substituindo Vr 2πkσR rr R R r 2πkσR r 2r 4πkσR k Q R Concluise por integração direta que o potencial elétrico é Vr k Q R r R k Q r r R coincidindo com o resultado obtido a partir do campo de Gauss A escolha da integral Vr k σ r r dA foi apropriada aqui porque para uma casca esférica homogênea a simetria permite reduzir a integral angular a uma forma de variável única que se resolve analiticamente e a referência V 0 fixa a constante aditiva do potencial