Física Eletromagnetismo

QUESTÃO 1 Seja a espira 1 percorrida por uma corrente estacionária I1 O campo magnético B₁r₂ produzido por essa corrente num ponto r₂ do espaço é dado pela lei de BiotSavart na forma para um fio fino fechado B₁r₂ μ₀4π I₁ S₁ d𝐫₁ r₂ r₁ r₂ r₁³ Aqui S₁ é a curva fechada que coincide com a espira 1 parametrizada por d𝐫₁ e r₁ denota o vetor posição do elemento de corrente na espira 1 O fluxo do campo B₁ através da espira 2 é definido como o fluxo através de uma superfície S₂ cuja borda S₂ é a espira 2 Φ₁₂ S₂ B₁r₂ dS₂ Substituindo a expressão de B₁r₂ dentro da definição de fluxo Φ₁₂ S₂ μ₀4π I₁ S₁ d𝐫₁ r₂ r₁ r₂ r₁³ dS₂ Como μ₀4π e I₁ não dependem de r₂ eles podem ser colocados em evidência Φ₁₂ μ₀4π I₁ S₂ S₁ d𝐫₁ r₂ r₁ r₂ r₁³ dS₂ Definese então a indutância mútua M₁₂ como o fator geométrico que multiplica I₁ na expressão do fluxo M₁₂ μ₀4π S₂ S₁ d𝐫₁ r₂ r₁ r₂ r₁³ dS₂ de modo que Φ₁₂ M₁₂ I₁ Comentário físico importante a escolha da superfície S₂ é arbitrária desde que sua borda seja a espira 2 pois B₁ 0 implica que o fluxo através de duas superfícies diferentes com a mesma borda é o mesmo o fluxo não depende do tampão apenas da curva S₂ Assim M₁₂ depende apenas da geometria relativa entre as duas espiras como enunciado QUESTÃO 2 Partese da expressão obtida no item anterior M₁₂ μ₀4π S₂ S₁ d𝐫₁ r₂ r₁ r₂ r₁³ dS₂ A ideia é reconhecer para r₂ como variável e r₁ fixo dentro da integral interna que o núcleo vetorial r₂ r₁ r₂ r₁³ é o gradiente em r₂ de 1r₂ r₁ a menos de um sinal De fato definindo 𝐫 r₂ r₁ e R 𝐫 temse r₂ 1R r₂ 1r₂ r₁ 𝐫 R³ r₂ r₁ r₂ r₁³ Logo d𝐫₁ r₂ r₁ r₂ r₁³ d𝐫₁ r₂ 1r₂ r₁ Usase agora a identidade vetorial a identidade abaixo referida no enunciado em forma equivalente para um vetor constante em r₂ aqui d𝐫₁ f a f a a independente da variável de Aplicando com f 1r₂ r₁ e a d𝐫₁ obtémse r₂ d𝐫₁ r₂ r₁ r₂ 1r₂ r₁ d𝐫₁ Como u v v u segue que d𝐫₁ r₂ 1r₂ r₁ r₂ d𝐫₁ r₂ r₁ r₂ d𝐫₁ r₂ r₁ Portanto o integrando do item anterior pode ser reescrito como d𝐫₁ r₂ r₁ r₂ r₁³ r₂ d𝐫₁ r₂ r₁ Substituindo isso em M₁₂ M₁₂ μ₀4π S₂ S₁ r₂ d𝐫₁ r₂ r₁ dS₂ Semanas 13 e 14 1 20 Mostre que o fluxo do campo magnético de uma espira 1 sobre uma espira 2 é dado por Φ₁₂ M₁₂ I₁ com M₁₂ μ₀4π S₂ S₁ d𝐫₁ r₂ r₁ r₂ r₁³ dS₂ onde definimos acima a indutância mútua M₁₂ que é uma propriedade geométrica da disposição espacial relativa entre as duas espiras 2 Utilize a identidade abaixo para mostrar que M₂₁ M₁₂ μ₀4π S₂ S₁ d𝐫₁ d𝐫₂ r₂ r₁ Exercício Extra Prove a identidade 2 d𝐫₁ r₂ r₁ d𝐫₁ r₂ r₁ r₂ r₁³ 3 20 Mostre que as equações de Maxwell aplicadas às ondas planas definidas por E r t E₀ eⁱ𝐤𝐫 ωt B r t B₀ eⁱ𝐤𝐫 ωt implicam que a tripla ordenada 𝐤 E₀ B₀ forma um triedro ortogonal de orientação positiva e que E₀ c B₀ 4 20 Confirme explicitamente a validade do teorema de Poynting para ondas planas Como a integral em S1 atua apenas sobre r1 e r2 atua apenas sobre r2 podese colocar o rotacional para fora da integral interna mantendo r2 como variável do rotacional Mλ 2 μo 4π S2 r2 S1 d r1 r2 r1 d S2 Agora aplicase o teorema de Stokes na superfície S2 S2 r2 F r2 dS2 S2 F r2 d r2 Tomando F r2 S1 d r1 r2 r1 resulta Mλ 2 μo 4π S2 S1 d r1 r2 r1 d r2 Como d r2 é o diferencial ao longo de S2 o produto escalar pode ser escrito diretamente dentro da integral dupla Mλ 2 μo 4π S2 S1 d r1 d r2 r2 r1 Esta é a chamada fórmula de Neumann para a indutância mútua Para a reciprocidade observase que a expressão é simétrica sob a troca 1 2 como r2 r1 r1 r2 e d r1 d r2 d r2 d r1 temse M2 1 μo 4π S1 S2 d r2 d r1 r1 r2 μo 4π S1 S2 d r1 d r2 r2 r1 Mλ 2 Assim concluise M2 1 Mλ 2 μo 4π S2 S1 d r1 d r2 r2 r1 QUESTÃO EXTRA Seja r r2 r1 R r r2 r1 fr2 1 R Desejase provar a identidade 2 d r1 r2 r1 d r1 r2 r1 r2 r13 Como d r1 depende apenas do parâmetro ao longo da espira 1 ele é constante em relação às derivadas em r2 Assim aplicase a identidade do rotacional do produto escalar por um campo escalar f a f a f a Tomando a d r1 temse 2 d r1 0 logo 2 f d r1 2 f d r1 Portanto basta calcular 2 1 R Como r r2 r1 temse 2 r2 r Além disso R r r r2 R r r r12 12 r r12 r r r Como r r r 2 r resulta r R r R Agora usando a regra da cadeia em R1 r 1 R r R1 R2 r R R2 r R r R3 Voltando à notação original 2 1 r2 r1 r2 r1 r2 r13 Substituindo em 2 f d r1 2 d r1 r2 r1 r2 r1 r2 r13 d r1 Por anticomutatividade do produto vetorial u v v u então r2 r1 r2 r13 d r1 d r1 r2 r1 r2 r13 Concluise portanto 2 d r1 r2 r1 d r1 r2 r1 r2 r13 QUESTÃO 3 Considere ondas planares harmônicas no vácuo ou mais geralmente em uma região sem cargas e sem correntes escritas na forma sinalfase Er t E0 eik r ωt Br t B0 eik r ωt No vácuo as equações de Maxwell relevantes são E 0 B 0 E B t B μo εo E t Para campos do tipo eik r ωt as operações diferenciais atuam de modo simples eik r ωt i k eik r ωt t eik r ωt i ω eik r ωt Aplicando E 0 0 E E0 eik r ωt i k E0 eik r ωt Como o fator exponencial nunca é nulo segue k E0 0 De forma análoga de B 0 obtémse k B0 0 Logo E0 e B0 são transversais ambos são ortogonais a k Agora aplicase a lei de Faraday E Bt E E₀eik r ωt ik E₀eik r ωt Bt t B₀eik r ωt iωB₀eik r ωt iωB₀ eik r ωt Igualando ik E₀eik r ωt iωB₀ eik r ωt Cancelando o fator comum i eik r ωt k E₀ ωB₀ isto é B₀ 1ω k E₀ Esta relação já mostra que B₀ é perpendicular a k e a E₀ pois um produto vetorial é ortogonal a cada um dos vetores que o compõem Além disso ela fixa o sentido de B₀ pelo sentido da regra da mão direita aplicada a k E₀ de modo que a tripla ordenada k E₀ B₀ tem orientação positiva quando ω 0 o caso usual em ondas físicas A seguir usase a lei de AmpèreMaxwell no vácuo B μ₀ε₀ Et O caso esquerdo é B B₀eik r ωt ik B₀ eik r ωt e o caso direito é μ₀ε₀ Et μ₀ε₀ iωE₀ eik r ωt iμ₀ε₀ωE₀ eik r ωt Igualando e cancelando o fator i eik r ωt k B₀ μ₀ε₀ω E₀ Agora substituise B₀ 1ω k E₀ nessa expressão k B₀ k 1ω k E₀ 1ω k k E₀ Usase a identidade do produto vetorial duplo k k E₀ k k E₀ k k E₀ Como já foi dito k E₀ 0 e k k k² resulta k k E₀ k² E₀ logo k B₀ 1ω k² E₀ k²ω E₀ Comparando com k B₀ μ₀ε₀ω E₀ obtémse a relação de dispersão k²ω E₀ μ₀ε₀ω E₀ k² μ₀ε₀ω² Definindo c 1μ₀ε₀ segue ω c k Para a relação entre os módulos de E₀ e B₀ partese de B₀ 1ω k E₀ Tomando módulos B₀ 1ω k E₀ 1ω k E₀ sinθ onde θ é o ângulo entre k e E₀ Como k E₀ 0 temse θ90 e sinθ1 Assim B₀ kω E₀ Usando ω c k fica B₀ 1c E₀ E₀ c B₀ Com isso concluise simultaneamente que k E₀ e B₀ são mutuamente ortogonais pois k E₀ 0 k B₀ 0 e B₀ k E₀ e que k E₀ B₀ tem orientação positiva pois k E₀ ωB₀ com ω 0 além da relação de módulos E₀ c B₀ QUESTÃO 5 Considere uma onda plana no vácuo propagandose na direção z com campos reais a parte física escolhidos sem perda de generalidade como Er t E₀ coskz ωt x Br t B₀ coskz ωt ŷ onde do item anterior B₀ E₀c ω c k c 1μ₀ε₀ O teorema de Poynting na forma local é ut S J E No vácuo J 0 então deve valer ut S 0 A densidade de energia eletromagnética e o vetor de Poynting são definidos por u 12 ε₀ E² 1μ₀ B² S 1μ₀ E B Cálculo explícito de u Para a onda dada E² E₀² cos²kz ωt B² B₀² cos²kz ωt Substituindo em u u 12 ε₀ E₀² cos²kz ωt 1μ₀ B₀² cos²kz ωt Usando B₀ E₀c u 12 ε₀ E₀² 1μ₀ E₀²c² cos²kz ωt Como c² 1μ₀ε₀ então 1μ₀c² ε₀ e portanto u 12 ε₀ E₀² ε₀ E₀² cos²kz ωt ε₀ E₀² cos²kz ωt Cálculo explícito de S Temse E B E₀ coskz ωt x B₀ coskz ωt ŷ E₀ B₀ cos²kz ωt z Logo S 1μ₀ E₀B₀cos²kz ωt ẑ 1μ₀ E₀ E₀c cos²kz ωt ẑ E₀²μ₀c cos²kz ωt ẑ Como 1μ₀c ε₀c pois c 1με₀ resulta S ε₀cE₀²cos²kz ωt ẑ Agora calculase ut e S Definindo ψ kz ωt obtémse u ε₀E₀²cos²ψ S ε₀cE₀²cos² ψ ẑ Como cos² ψ 1 cos2ψ2 segue que t cos² ψ t 1 cos2ψ2 12 sin2ψ 2 ψt sin2ψ ψt Como ψt ω t cos² ψ ω sin2ψ Portanto ut ε₀E₀² ω sin2ψ Para o divergente como S Sz ẑ e depense apenas de z e t S Szz ε₀cE₀² z cos² ψ De modo análogo z cos² ψ sin2ψ ψz ψz k logo z cos² ψ k sin2ψ e então S ε₀cE₀² k sin2ψ ε₀ckE₀² sin2ψ Somando ut S ε₀E₀²ω sin2ψ ε₀ckE₀² sin2ψ ε₀E₀²ω ck sin2ψ Usando a relação de dispersão ω ck obtémse ut S 0 confirmando explicitamente a validade do teorema de Poynting para ondas planas no vácuo Como complemento os valores médios temporais em um período τ 2πω usam cos² ψ 12 resultando em u 12 ε₀ E₀² S 12 ε₀ c E₀² ẑ o que também é consistente com a interpretação de S como fluxo de energia propagandose com velocidade c