Física 3 Eletromagnetismo

5a semana 1 20 pontos Calcule a capacitância de um par de condutores esféricos concêntricos de raios R1 R2 e cargas Q e Q 2 20 pontos Calcule a energia eletrostática associada a esse capacitor 3 Exercício Extra a Calcule o campo elétrico no eixo de simetria de um disco homogêneo de carga Q e raio R b Calcule o campo elétrico de um plano infinito de densidade superficial de carga σ através do exercício anterior fazendo R Compare com o resultado obtido via Lei de Gauss QUESTÃO 1 O sistema é formado por dois condutores esféricos concêntricos de raios R1 R2 com cargas Q esfera interna e Q esfera externa A capacitância é definida por C QΔV onde ΔV VR1 VR2 é a diferença de potencial entre as superfícies condutoras Pelo equilíbrio eletrostático o campo elétrico é radial e não nulo apenas na região R1 r R2 Aplicase a lei de Gauss a uma superfície esférica de raio r com R1 r R2 E d a Er 4πr2 Qε0 Daí obtémse Er 14πε0 Qr2 Para determinar a diferença de potencial entre as superfícies considerase ΔV VR1 VR2 R2R1 E d ℓ Como E é radial o produto escalar reduzse a Er dr e a integral fica ΔV R2R1 14πε0 Qr2 dr R1R2 14πε0 Qr2 dr Calculando a integral obtémse ΔV Q4πε0 1rR1R2 Q4πε0 1R1 1R2 Substituindo essa expressão na definição de capacitância C QΔV Q Q4πε0 1R1 1R2 4πε0 11R1 1R2 O denominador pode ser simplificado 1R1 1R2 R2 R1R1 R2 portanto 11R1 1R2 R1 R2R2 R1 QUESTÃO 2 QUESTÃO 3 E P z R r dr dQ Adotando z 0 temse z2 z de modo que 0R r dr z2 r232 1z 1z2 R2 Substituindose volta em Ezz Ezz σ z2ε0 1z 1z2 R2 σ2ε0 1 zz2 R2 Portanto o campo elétrico sobre o eixo de simetria a uma distância z do centro do disco é E z σ2ε0 1 zz2 R2 z com z orientado para fora do disco se σ 0 Em termos de Q e R usando σ απ R2 podese escrever E z Q2πε0 R2 1 zz2 R2 z b Para obter o campo de um plano infinito com densidade superficial de carga σ considerase o limite em que o raio do disco tende a infinito mantendose σ constante Usase a expressão já obtida para o campo no eixo do disco Ezz R σ2ε0 1 zz2 R2 Tornase o limite R para um ponto a distância finita z limR zz2 R2 0 pois o termo R2 domina no denominador Assim limR Ezz R σ2ε0 1 0 σ2ε0 Logo o campo elétrico de um plano infinito de densidade superficial σ é uniforme e dado por E σ2ε0 n em que n é o vetor normal ao plano apontando para fora se σ 0 Esse resultado coincide com o obtido diretamente pela Lei de Gauss Considerando uma superfície gaussiana em forma de cilindro píllbox atravessando o plano com área da base A a carga interna é Qint σ A Pelo teorema de Gauss E dA Superfície gaussiana σ