Exercício com Relatório

Objetivo Este trabalho tem por objetivo adquirir a capacidade de otimizar muitas variáveis relacionadas ao campo da resistência dos materiais levando em conta restrições imposta a algumas variáveis e a liberdade de escolha de outros parâmetros Desenvolvimento Considerando o problema ilustrado na figura abaixo Requisitos de projeto I A seção transversal da barra BE não pode ser quadrada ou circular II Comprimento total 2m x1 x2x3x45m III Ângulo da barra AB 15θ75 IV Variação de comprimento δ ABeδ BE0002m V Força P mínima P20kN VI Torque T mínimo T10kNm VII Ângulo de rotação máxima ϕ ABe ϕBE15 Não é necessário a otimização de todos os aspéctos Itens a serem estabelecidos 1 O aço é largamente utilizado como material estrutural de engenharia e tem ampla gama de variação de resistências possívels a depender do processo de fabricação Esse material será a escolha para as barras AB e BE As propriedades mecânicas do aço são dadas a seguir E207GPa G80GPa 300 MPAS y 1500 MPa 2 Para simplicidade dos calculos os comprimentos x1 x2x3e x4 serão considerados unitários x1x2x3x41m 3 Para simplicidade dos cálculos o ângulo θ será considerado 45 θ45 4 As barras AB e BE terão a mesma seção transversal retangular vazada Essa seção é simples de ser produzida por laminação e dobra de chapas além de ter propriedades geométicas simples de serem calculadas Os detalhes são dados na figura a seguir Ánálise preliminar A análise de elementos estruturais comtempla a relação entre as cargas atuantes nos elementos a distribuição das cargas ao longo do elemento que depende de sua geometria de das condições de aplicação das cargas e das resistências e deflexões do material com relação às cargas que a estrutura deve suportar Nesse projeto será adotado a seguinte abordagem Estabelecer condições geométricas para a seção transversal dadas a seguir b07h e01h Cálcular as propriedades geométricas da seção Abhb2e h2e 07hh07h20 1h h201h A03h 2 Ibh 3 12 b2e h2e 3 12 07hh 3 12 07h201h h201h 3 12 I003697h 4 Como as barras AB e BE tem a mesma seção transversal e a barra BE tem maior comprimento se a barra BE for dimensionada para resistir às deformações exigidas a barra AB também estará dimensionada para resistir às deformações Estabelecer uma relação entra a força vincular no ponto B e a deflexão imposta δ BE FBx x2x3 E A Adotando 0001 metros para a deflexão 0001 FBx 11 20710 903h 2 F Bx h 2 310510 7 Estabelecer uma relação entra o torque aplicado em E e a rotação imposta à barra ϕ AB T x1x2x3 4 Amédia 2 G Pmedio e Considerando um ângulo de 10 10 π 180 T 111 4 be he 28010 9 bh2e e 10 π 180 T 111 4 07h01h h01h 28010 9 07hh201h 01h 017453 T 18 93312h 410 9 T h 49047610 8 Logo as seguintes relações garantem que a estrutura sofrerá deformações dentro dos limites impostos F Bx h 2 310510 7deflexões dasbarras otimizadas T h 49047610 8rotaçõesdas barras otimizadas Análise da flexão da barra BE Diagrama de corpo livre As extremidades da barra sofrem flexão nula Os pontos de flexão máxima não no ponto de aplicação da carga C e no apoio D Cálculo do momento fletor em C M C8105Fbx07071 M C40707Fbx Cálculo do momento fletor em D M D8105P1 M D4P O trecho BD da barra sobre esforço axial e flexão enquanto o trecho DE apenas flexão Os pontos de máxima tensão na barra BE estão no trecho BD combinando esforços axiais e de flexão cuja tensão máxima é dada pela expressão σFBx 0707 A M h 2 I σFBx 0707 03h 2 M h 2003697h 4 σ23567FBx h 2 135245M h 3 Para o ponto C σ C23567FBx h 2 13524540707 Fbx h 3 54098 h 3 72051 FBx h 2 Para o ponto D σ D23567 FBx h 2 1352454P h 3 23567FBx h 2 54098 h 3 135245 P h 3 Considerando um aço laminado cuja resistência à tração seja dado a seguir Sy600MPa Para um coeficiente de segurança de 20 σ S y 12600 12 500 MPa Logo 54098 h 3 72051 FBx h 2 510 8 23567FBx h 2 54098 h 3 135245 P h 3 510 8 Logo as seguintes relações garantem que a estrutura não sofrerá deformação permanente 54098 h 3 72051 FBx h 2 510 8resistência otimizada 23567FBx h 2 54098 h 3 135245 P h 3 510 8resistência otimizada Adotando valores para os carregamentos impostos para determinar a geometria da seção Valores adotados dentro dos limites estabelecidos P30 kN T20kNm Equações otimizadas para todas as restrições impostas F Bx h 2 310510 7 T h 49047610 8 54098 h 3 72051 FBx h 2 510 8 23567FBx h 2 54098 h 3 135245 P h 3 510 8 Usando T 2010 3 h 4 9047610 8 h006857m Obtendo FBx FBx 006857 2310510 7 FBx14599228 N Recalculando h 54098 h 3 7205114599228 h 2 510 8 54098 h 3 105188898 h 2 510 8 h008175m Recalculando h 2356714599228 h 2 54098 h 3 13524530000 h 3 510 8 344060 h 2 405789098 h 3 510 8 h002638m Usando o maior valor de h obtido h82mm Resultados P30 kN T20kNm x1x2x3x41m θ45 ϕ10 Material Aço Laminado Sy600MPa h82mm b574 mm e82mm Capa Objetivo Este trabalho tem por objetivo adquirir a capacidade de otimizar muitas variáveis relacionadas ao campo da resistência dos materiais levando em conta restrições imposta a algumas variáveis e a liberdade de escolha de outros parâmetros Desenvolvimento Considerando o problema ilustrado na figura abaixo Requisitos de projeto I A seção transversal da barra BE não pode ser quadrada ou circular II Comprimento total 2𝑚 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 5𝑚 III Ângulo da barra AB 15 𝜃 75 IV Variação de comprimento 𝛿𝐴𝐵 𝑒 𝛿𝐵𝐸 0002 𝑚 V Força P mínima 𝑃 20 𝑘𝑁 VI Torque T mínimo 𝑇 10 𝑘𝑁𝑚 VII Ângulo de rotação máxima 𝜙𝐴𝐵 𝑒 𝜙𝐵𝐸 15 Não é necessário a otimização de todos os aspéctos Itens a serem estabelecidos 1 O aço é largamente utilizado como material estrutural de engenharia e tem ampla gama de variação de resistências possívels a depender do processo de fabricação Esse material será a escolha para as barras AB e BE As propriedades mecânicas do aço são dadas a seguir 𝐸 207 𝐺𝑃𝑎 𝐺 80 𝐺𝑃𝑎 300 𝑀𝑃𝐴 𝑆𝑦 1500 𝑀𝑃𝑎 2 Para simplicidade dos calculos os comprimentos 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑒 𝑥4 serão considerados unitários 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 1 𝑚 3 Para simplicidade dos cálculos o ângulo θ será considerado 45 𝜃 45 4 As barras AB e BE terão a mesma seção transversal retangular vazada Essa seção é simples de ser produzida por laminação e dobra de chapas além de ter propriedades geométicas simples de serem calculadas Os detalhes são dados na figura a seguir Ánálise preliminar A análise de elementos estruturais comtempla a relação entre as cargas atuantes nos elementos a distribuição das cargas ao longo do elemento que depende de sua geometria de das condições de aplicação das cargas e das resistências e deflexões do material com relação às cargas que a estrutura deve suportar Nesse projeto será adotado a seguinte abordagem Estabelecer condições geométricas para a seção transversal dadas a seguir 𝑏 07 ℎ 𝑒 01 ℎ Cálcular as propriedades geométricas da seção 𝐴 𝑏 ℎ 𝑏 2𝑒ℎ 2𝑒 07 ℎ ℎ 07ℎ 201 ℎℎ 201 ℎ 𝐴 03 ℎ2 𝐼 𝑏 ℎ3 12 𝑏 2𝑒 ℎ 2𝑒3 12 07 ℎ ℎ3 12 07 ℎ 201 ℎ ℎ 201 ℎ3 12 𝐼 003697 ℎ4 Como as barras AB e BE tem a mesma seção transversal e a barra BE tem maior comprimento se a barra BE for dimensionada para resistir às deformações exigidas a barra AB também estará dimensionada para resistir às deformações Estabelecer uma relação entra a força vincular no ponto B e a deflexão imposta 𝛿𝐵𝐸 𝐹𝐵𝑥 𝑥2 𝑥3 𝐸 𝐴 Adotando 0001 metros para a deflexão 0001 𝐹𝐵𝑥 1 1 207109 03 ℎ2 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 3105107 Estabelecer uma relação entra o torque aplicado em E e a rotação imposta à barra 𝜙𝐴𝐵 𝑇 𝑥1 𝑥2 𝑥3 4 𝐴𝑚é𝑑𝑖𝑎 2 𝐺 𝑃𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑒 Considerando um ângulo de 10 10 𝜋 180 𝑇 1 1 1 4 𝑏 𝑒ℎ 𝑒 2 80109 𝑏 ℎ 2𝑒 𝑒 10 𝜋 180 𝑇 1 1 1 4 07 ℎ 01ℎℎ 01 ℎ 2 80109 07 ℎ ℎ 201 ℎ 01 ℎ 017453 𝑇 18 93312 ℎ4 109 𝑇 ℎ4 90476108 Logo as seguintes relações garantem que a estrutura sofrerá deformações dentro dos limites impostos 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 3105107 𝑑𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥õ𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑜𝑡𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑇 ℎ4 90476108 𝑟𝑜𝑡𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑜𝑡𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎𝑠 Análise da flexão da barra BE Diagrama de corpo livre As extremidades da barra sofrem flexão nula Os pontos de flexão máxima não no ponto de aplicação da carga C e no apoio D Cálculo do momento fletor em C 𝑀𝐶 8105 𝐹𝑏𝑥 07071 𝑀𝐶 4 0707 𝐹𝑏𝑥 Cálculo do momento fletor em D 𝑀𝐷 8105 𝑃 1 𝑀𝐷 4 𝑃 O trecho BD da barra sobre esforço axial e flexão enquanto o trecho DE apenas flexão Os pontos de máxima tensão na barra BE estão no trecho BD combinando esforços axiais e de flexão cuja tensão máxima é dada pela expressão 𝜎 𝐹𝐵𝑥 0707 𝐴 𝑀 ℎ 2 𝐼 𝜎 𝐹𝐵𝑥 0707 03 ℎ2 𝑀 ℎ 2003697 ℎ4 𝜎 23567 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 135245 𝑀 ℎ3 Para o ponto C 𝜎𝐶 23567 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 135245 4 0707 𝐹𝑏𝑥 ℎ3 54098 ℎ3 72051 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 Para o ponto D 𝜎𝐷 23567 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 135245 4 𝑃 ℎ3 23567 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 54098 ℎ3 135245 𝑃 ℎ3 Considerando um aço laminado cuja resistência à tração seja dado a seguir 𝑆𝑦 600 𝑀𝑃𝑎 Para um coeficiente de segurança de 20 𝜎 𝑆𝑦 12 600 12 500 𝑀𝑃𝑎 Logo 54098 ℎ3 72051 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 5108 23567 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 54098 ℎ3 135245 𝑃 ℎ3 5108 Logo as seguintes relações garantem que a estrutura não sofrerá deformação permanente 54098 ℎ3 72051 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 5108 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑡𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 23567 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 54098 ℎ3 135245 𝑃 ℎ3 5108 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜𝑡𝑖𝑚𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 Adotando valores para os carregamentos impostos para determinar a geometria da seção Valores adotados dentro dos limites estabelecidos 𝑃 30 𝑘𝑁 𝑇 20 𝑘𝑁𝑚 Equações otimizadas para todas as restrições impostas 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 3105107 𝑇 ℎ4 90476108 54098 ℎ3 72051 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 5108 23567 𝐹𝐵𝑥 ℎ2 54098 ℎ3 135245 𝑃 ℎ3 5108 Usando T 20103 ℎ4 90476108 ℎ 006857 𝑚 Obtendo 𝐹𝐵𝑥 𝐹𝐵𝑥 0068572 3105107 𝐹𝐵𝑥 14599228 𝑁 Recalculando h 54098 ℎ3 7205114599228 ℎ2 5108 54098 ℎ3 105188898 ℎ2 5108 ℎ 008175 𝑚 Recalculando h 2356714599228 ℎ2 54098 ℎ3 13524530000 ℎ3 5108 344060 ℎ2 405789098 ℎ3 5108 ℎ 002638 𝑚 Usando o maior valor de h obtido ℎ 82 𝑚𝑚 Resultados 𝑃 30 𝑘𝑁 𝑇 20 𝑘𝑁𝑚 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 1 𝑚 𝜃 45 𝜙 10 Material Aço Laminado 𝑆𝑦 600 𝑀𝑃𝑎 ℎ 82 𝑚𝑚 𝑏 574 𝑚𝑚 𝑒 82 𝑚𝑚