Matemática Discreta - Universidade

Para verificarmos se uma sequência de números é gerada por uma expressão polinomial e qual polinômio que a gerou o segredo está no operador de diferença Δ Esse operador de diferença converterá uma sequência de números em uma nova sequência cujo nésimo termo será Quando aplicamos Δ repetidamente a uma sequência gerada polinomialmente chegamos à sequência completamente nula Se a é dado por um polinômio de grau d então Δa é fornecido por um polinômio de grau d 1 Isso significa que Δ Δa é fornecido por um polinômio de grau d 2 e assim por diante Em vez de Δ Δa escrevemos Δ²a Em geral Δᵏa ΔΔᵏ¹a e Δ¹a é apenas Δa Se uma sequência a é gerada por um polinômio de grau d então Δᵈ¹a é a sequência completamente nula Observe abaixo que a sequência 0 2 7 15 26 40 57 é gerada por um polinômio de grau 2 Aplicar repetidamente Δ a essa sequência resulta nisto a 0 2 7 15 26 40 57 Δa 2 5 8 11 14 17 Δ²a 3 3 3 3 3 Δ³a 0 0 0 0 0 Para determinar o polinômio que gera essa sequência vamos usar o seguinte teorema Sejam a₀ a₁ a₂ uma sequência de números os termos aₙ podem ser expressos como expressões polinomiais em n se e somente se houver um inteiro k não negativo de forma que para todo n 0 tenhamos Δᵏ¹aₙ 0 Nesse caso aₙ a₀ n 0 Δa₀ n 1 Δ²a₀ n 2 Δᵏa₀ n k Voltando a sequência 0 2 7 15 26 40 57 temos a 0 2 7 15 26 40 57 Δa 2 5 8 11 14 17 Δ²a 3 3 3 3 3 Δ³a 0 0 0 0 0 b Determine os primeiros 4 termos da sequência aₙ gerada pela relação de recorrência a₀ a₁ a₂ a₃ c Determine a solução para a sequência aₙ Observação Para escrita da relação de recorrência use como notação para representar o termo aₙ₁ a variável an1 para representar o termo aₙ₂ a variável an2 e assim sucessivamente A operação de multiplicação pode ser indicada pelo símbolo a operação de potenciação pode ser indicada pelo símbolo e as divisões podem ser indicadas pelo símbolo S Determine a soma e o produto abaixo a Σ³k43ᵏ b ⁴ⱼ₂ 1 1j Observações Sua resposta deve ser representada apenas por um valor numérico do sistema decimal caso seja um número negativo não deixe espaço entre o sinal e o número Caso o número não seja inteiro use no máximo duas casas decimais em sua resposta com ponto representando a vírgula decimal Por exemplo 123 Sua resposta não deve ser apresentada em forma de fração pq Por exemplo se sua resposta for 34 então ela deve ser apresentada como sendo 075 Escolher A demonstração de Eduarda está correta Fórmula 1 A demonstração de Cláudio está incorreta pois não utilizou a hipótese de indução para mostrar que partindo de um lado da expressão se chega ao outro A demonstração de Eduarda está incorreta pois não mostrou que os valores a esquerda e a direita para n1 são iguais A demonstração de Cláudio está correta Fórmula 2 A demonstração de Cláudio está incorreta pois a fórmula é a errada A demonstração de Eduarda está incorreta pois a fórmula é a errada Seja a relação de recorrência an 14an1 60an2 72an3 para n 3 e condições iniciais a0 4 a1 8 e a2 32 Determine a a equação característica em função de r b a solução para a sequência an a partir da equação característica do item anterior O Σn j0 n Σn44 j1 n Σj j0 n1 Σn44 j0 n1 Σn j1 n Seja a relação de recorrência an 1 an1 30 an2 para n 2 e condições iniciais a0 14 e a1 4 Determine a a equação característica em função de r 0 b a solução para a sequência an a partir da equação característica do item anterior S b Assinale a alternativa que apresenta corretamente as condiçãoões inicialis da relação de recorrência condição inicial a0 2 condição inicial a1 3 condição inicial a2 6 condições iniciais a0 2 e a1 3 condições iniciais a0 2 e a2 6 condições iniciais a1 3 e a2 6 condições iniciais a0 2 a1 3 e a2 6 b Determine a relação de recorrência para o enésimo termo Observação Para escrita da relação de recorrência use como notação para representar o termo an1 a variável an1 para representar o termo an2 a variável an2 e assim sucessivamente A operação de multiplicação pode ser indicada pelo símbolo a operação de potenciação pode ser indicada pelo símbolo e as divisões podem ser indicadas pelo símbolo an Observe a construção recursiva para a sequência a seguir a0 2 a1 3 a2 6 a3 4 6 3 2 a4 4 30 3 3 a5 4 129 3 6 a6 4 498 3 30 Supondo que a regra de recorrência se mantenha a Determine o valor de a7 a7 De acordo com o Teorema an 0 n 0 2 n 1 3 n 2 0 2 n 3 nn 1 2 4n 3nn 1 2 n4 3n 1 2 n3n 1 2 Agora é sua vez de responder sobre o polinômio que gera a sequência a seguir 4 1 6 17 32 51 74 101 132 167 Grau do polinômio Polinômio Observações Na caixa indicada por número sua resposta deve ser representada apenas por um valor numérico do sistema decimal caso seja um número negativo não deixe espaço entre o sinal e o número nem coloqueo entre parênteses Na caixa indicada por fórmula algébrica caso sua resposta seja o polinômio deverá digitar n3n1 2 como 3n2n2 Use esse padrão para digitar o polinômio que encontrou como resposta Matemática Discreta 0 até 𝑛 1 são 𝑛 números 0 0 0 0 4 4 Observe a soma 3 6 11 18 27 38 Para cada pergunta a seguir escolha a resposta correta dentre o conjunto de opções disponíveis na caixa de resposta PERGUNTA 1 A fórmula geral em n que representa o somatório dos n primeiros termos é Fórmula 1 Σ k² 2 2n³ 3n² 13n 6 ou Fórmula 2 Σ k² 2 2n³ 3n² n 12 6 ELE UTILIZOU NÃO UTILIZOU A HIPOTESE DE INDUÇÃO APENAS SUBSTITUI OS VALORES LOGO ESTÁ ERRADO A FÓRMULA ESTÁ ERRADA ELA USOU A HIPOTESE CORRETAMENTE MAS NÃO CHEGOU NA FORMULA DESEJADA Ao se efetuar a soma de 70 parcelas em PA para a₁ 209 e r 18 por distração não foi somada a 34ª parcela Qual foi a soma encontrada soma 14137 Determine a soma e o produto abaixo a Σ k 4 3ᵏ 262 b 1 1 j 025 Observações Sua resposta deve ser representada apenas por um valor numérico do sistema decimal caso seja um número negativo não deixe espaço entre o sinal e o número Caso o número não seja inteiro use no máximo duas casas decimais em sua resposta com ponto representando a vírgula decimal Por exemplo 123 Sua resposta não deve ser apresentada em forma de fração pq Por exemplo se sua resposta for 34 então ela deve ser apresentada como sendo 075 3 𝒂𝒏 𝟐𝒏𝟐 𝒏 𝟒 7221 4 an1 3 an3 𝒓𝟐 𝟑 𝟑𝟎 𝟕 𝟐𝟕 𝟓𝒏 𝟔 𝟕𝟐 𝟔𝒏 𝑟𝟑 𝟏𝟒𝒓𝟐 𝟔𝟎𝒓 𝟕𝟐 𝟐𝒏 𝟐 𝒏𝟔𝒏 𝟑 𝟔𝒏 𝒓𝟐 6𝒓 9 17 3𝒏 187 𝒏3𝒏 V F F F V F F 10 10 10 10 an1 12 1n Observe a soma 3 6 11 18 27 38 Para cada pergunta a seguir escolha a resposta correta dentre o conjunto de opções disponíveis na caixa de resposta PERGUNTA 1 A fórmula geral em n que representa o somatório dos n primeiros termos é Fórmula 1 ou Fórmula 2 PERGUNTA 2 Para demonstrar a fórmula geral obtida que foi a Fórmula 1 Cláudio utilizou o Princípio de Indução Matemática Observe a demonstração e avalie se Cláudio realizou os passos de indução corretamente Base de indução provando que vale para o primeiro termo da soma Hipótese de indução supondo que a fórmula é válida para n r com r 1 Provando que a fórmula é válida para n r 1 Como provamos para n r 1 então a fórmula está correta Seja a relação de recorrência aₙ 1aₙ₁ 2 para n 1 e condição inicial a₀ 10 a Analise se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa i aₙ é uma relação de recorrência linear ii aₙ é uma relação de recorrência não linear iii aₙ é uma relação de recorrência somente homogênea iv aₙ é uma relação de recorrência linear e homogênea v aₙ é uma relação de recorrência linear e heterogênea vi aₙ é uma relação de recorrência linear e homogênea com coeficientes constantes vii aₙ é uma relação de recorrência linear e heterogênea com coeficientes não constantes b A representação da soma dos n primeiros termos da sequência através da notação de somatório é j0n j4 4 j0n j j1n j4 4 j0n1 n j0n1 j4 4 Seja a sequência an tal que an n4 4 para todo inteiro n 0 a Liste os seis primeiros termos da sequência a0 a1 a2 a3 a4 a5 PERGUNTA 3 Para demonstrar a fórmula geral obtida que foi a Fórmula 2 Eduarda utilizou o Princípio de Indução Matemática Observe a demonstração e avalie se Eduarda realizou os passos de indução corretamente Base de indução provando que vale para o primeiro termo da soma k11 k2 2 2 13 3 12 1 126 12 2 186 3 3 Hipótese de indução supondo que a fórmula é válida para n r com r 1 k1r k2 2 2r3 3r2 r 126 Escolher Provando que a fórmula é válida para n r 1 k1r1 k2 2 k1r k2 2 kr1r1 k2 2 k1r k2 2 kr1r1 k2 2 2r3 3r2 r 126 r 12 2 2r3 3r2 r 126 r 12 2 2r3 3r2 r 12 6r 12 126 2r3 3r2 r 12 6r 12 126 2r3 9r2 13r 306 Como provamos para n r 1 então a fórmula está correta Seja a relação de recorrência an 6an1 9an2 para n 2 e condições iniciais a0 17 e a1 5 Determine a a equação característica em função de r b a solução para a sequência an a partir da equação característica do item anterior Ao se efetuar a soma de 70 parcelas em PA para a1 209 e r 18 por distração não foi somada a 34ª parcela Qual foi a soma encontrada soma