Prova de Algebra Linear - 2 ee

Universidade Federal de Pernambuco\n2ª Avaliação de Álgebra Linear\n14 de outubro de 2016\nAluno: \nTurma:\n\nAs respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta.\n\nQuestão 1\nDetermine se é verdadeira ou falsa cada afirmação abaixo (justifique).\na) (1.0) Sejam V e W espaços vetoriais e sejam α = {v₁,v₂} ∈ β e β = {w₁,w₂} bases destes respectivamente. Existe transformação T: V → W linear injetora tal que T(v₁) =\nv₁, w₂ ∈ T(r) = w₁ - w₁.\n\nb) (1.0) Seja T: V → W um operador linear. Se λ é autovalor de T associado ao autovalor λ.\nλ e também é vetor fixo de T o T, então λ = +1 ou λ = -1.\n\nQuestão 2\nSeja T : M₂₂(ℝ) → P₃(ℝ) a transformação linear dada por \nT( a b ) = a + b + c + bx + (a + d)x² + cx³\n ( c d )\n\na) (0.8) Determine uma base para o ker(T) e outra para a Im(T).\n\nb) (0.8) T é injetora? T é sobrejetora?\n\nQuestão 3\nSeja α = {(1,2), (-1,1)} ∈ S = {(-3,0), (2,-1)} bases do ℝ². Seja [T]ᵗ = [1 2]\n[3 3] \n\nQuestão 4\nConsidere a transformação linear T: ℝ² → ℝ³ cuja matriz na base canônica é dada por:\n[T]ᵗ = [1 2 0]\n [2 2 0]\n [0 -1 3]\n\na) (0.5) T é um isomorfismo? \nb) (1.5) Calcule os autovalores λ de T e determine uma base para cada autoespaço Vλ.\nc) (0.5) T é diagonalizável? Se sim, exiba uma base β de ℝ² na qual [T]ᵗ é diagonal. Álgebra Linear\n2016.2\nGabinete da 2ª Unidade\nTurma SM.\n\n1-a) α = {v₁,v₂} base de V,\nβ = {w₁,w₂} base de W. Sendo T linear e injetora\nT:V→W tem T(v₁) = w₁ e T(v₂) = w₂.\n(f) Não existe uma tal tranv. linear injetora,\np pois não cabe como se devia o conjunto L.I. em conj. L.I.\nDe entre pumas: T(v₁) + T(v₂) = 0 ⇒ (T(v₁),T(v₂)) = 0\nv₁+v₂ ∈ Ker(T) = {0} (por T ser injetora) ⇒\nv₁ + v₂ = 0 ⇒ v₁ = -v₂. Almdo! Já! que α é L.I.\nb) T:V→W linear em c é, o escalar de t amiçado\na α e v é firme e vetor finto de T, então λ=±1.\n(V) λ ≠ 0 e T ∆λV também temos que:\nT(λr) = λT(r) (T(λ)) = T(λr) = λT(r) => λ.λr = λ²T(r) = 0\ndoc λ = ±1 ou λ = -1.\n\n2 - T: M₂×₂ → β₃\nT(α, b) = a + b + c + bx + (a+d)x² + cx³\na) T( a 0 b c ) = 0 ⇒ a + b + c = 0\n b a 0 -1\n a + b + c = 0 ⇒ ker(T)={ ( 0 0 ) }\n ( 0 0 )\n c = 0.\nβ ∩ Ker(T) = { }\n\na + b + c + bx + (a+d)x² + cx³ = a + (1+x²) + (1+x) +\n+ c(1+x³) + d.x² \n\ngeneradores = L.I.\n\n\nβ₃Im(T) = {1 + x², 1 + x³, 1 + x³, x²}\nIm(T) = β₃\n\nb) T é injetora para Ker(T) = {0}.\nT é sobrejetora para Im(T) = β₃ = W. b) S = { (1,-1), (1,1) }, [T]ᵇ = ?\n[T]ᵗ = [T]ᵇ \u27c1 [I]ᵕ\n\n(1,-1) = a(1,2) + b(-1,1) = 0(1,2) + (1,-1)\n\n(1,1) = a(1,2) + b(-1,1) ⇒ a - b = 1\n 2a + b = 1 \n\nb = -1/3\n\n[T]ᵗ = [-0 2/3]\n \n [1 3 3]\n\n[T]ᵗ = \n [-0 2/3]\n [1 3 3] = [-2 -3 0] \n\nc) T(x,y) = \n(existem várias maneiras de fazer...)\nT(1,2) = a(1,-3,0) + 3(2,-1) = (3,-3)\n\nT(1,1) = (2,-3,1) + 3(2,-1) = (0,-3)\n\n(x,y) = a(1,2) + b(–1,1) = (b) a - b = x\n\nT(x,y) = x + y + (x+y) = (x+y,x - 2y).\n\n4- [-T]ᵕ = \n[1 2 0]\n[2 2 0]\n[0 -1 3]\n\n a) T é um isomorfismo? Sim, pois det (T) ≠ 0.\n\nb) det ([T]ᵕ - λI) = 0.\n |1-λ 2 0|\n |2 λ 0| = 0\n |0 -1 3-λ|\n\n(1-λ)²(3-λ) + 0 + 0 - 4(3-λ) = 0\n\n((1-λ)²-λ)(3-λ) = 0 ⇔ (1-λ+2)(1-λ)(3-λ) = 0\n⇔ (3-λ)(-1-λ)(3-λ) = 0.\n\nAntevalores λ = 3 e λ = -1. Alternativamente, como dim V = dim ker(T) + dim Im(T)\nQuando constatamos que dim(ker(T)) = 0 já poderíamos dizer: dim(Mx2) = 0 + dim Im(T)\n\n4 = dim Im(T), além disso.\nIm(T) ⊆ P3\n(dim(P3) = 4) ⇒ Im(T) = P3\nβ ∈ bm(T) = {1, x1, x2, x3}\n\n(Como dim V = dim W, T é injetora ⇔ T é sobrejetora)\nc) α = {(1,2), (1,-1), (0,0), (1,0)}\n[T]α = [v3 v4]\n[T](0 0) = -1 + 4x + 12x + 0x3 = -2x2 = [T v3]β = [0 0]\n[T](1 -1) = -1 + 4x + 12x + 4x3 = -x + x3\n\n[T]α = [3 -2 -1 1]\n\n3 - α = {(1,2), (1,1)}\nβ = {(−3,0), (2,−1)}, [T]β = [4 2 3]\n\nT(v) = 4 (-3,0) + β (2,-1) = (+6,-9). Continuação 4-b)\n[P] / λ = 3 :\nx + 2y = 3x, y = y\n2x + y + 3y = 0,\nλ = 3 : Vλ = { (0,0,3) | 3 ∈ R3 }, e ⊆ Vλ =3 [0,0,1]\n[P] / λ = -1 : Vλ = { (x + 2y) = −x (x = −y) \n2x + y = 3y = −3y + 4y = 4y∈ R }\n \nβλ = −1 = {(−1,1 + 4y)} \n\nc) T não é diagonalizável, pois obtemos no máximo dois autovetores L.I. e a dimR3=3.\n\nNão existe base de R3 formada por autovetores de T.