Prova de Algebra Linear - 2 ee

Universidade Federal de Pernambuco\n2ª Avaliação de Álgebra Linear\n18 de outubro de 2017\nAluno: \nTurma: \n\nAs respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta.\n\nQuestão 1\n(1.0) Seja W = {\\( \\begin{pmatrix} a & b \\\\ 0 & c \\end{pmatrix} \\) | \\forall a, b, c \\in \\mathbb{R} } subespaço de M_{2x2}(\\mathbb{R}). Seja \\( \\beta \\) uma base de W, \\( \\beta = \\left\\{ \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}, \\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix} \\right\\} \\). Encontre a base c de W tal que \\( [I]_{\\beta} = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\end{pmatrix} \\)\n\nQuestão 2\nIdentifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.\na) (1.0) Existe transformação linear T: \\( \\mathbb{R}^{5} \\to \\mathbb{R}^{2} \\) cuja núcleo é dado por \\( ker(T) = \\{(x_1, \\ldots, x_5) \\in \\mathbb{R}^{5} \\; | \\; x_2 = 3x_2 \\text{ e } x_4 = x_5\\} \\).\nb) (1.0) Seja a transformação linear T: \\( \\mathbb{R}^{2} \\to \\mathbb{R}^{2} \\) para as bases \\( \\beta = \\{(1, 1), (1, 0)\\} \\) e \\( \\beta' = \\{(1, 1), (1, 1)\\} \\), tem \\( [T]_{\\beta}] = \\begin{pmatrix} 2 & -4 \\\\ 3 & 1 \\end{pmatrix} \\). Então T(1, 2) = (3, -5).\n\nQuestão 3\na) (1.0) Seja \\( T: P_1 \\to P_2 \\) uma transformação linear tal que \\( T(p) = a + b p + c p^2 \\) onde \\( p = (x + 1, x - 1) \\) uma base de P_1, \\( \\beta = \\{ (x + 1), (x - 1) \\} \\) uma base de P_2. Determine \\( [T]^\\beta \\).\nb) (2.0) Seja T : \\( \\mathbb{R}^{3} \\to \\mathbb{R}^{3} \\) linear tal que \\( T(1,1,0) = (1,2,-1), T(0,1,1) = (2, -1, 2) \\). Determine T(2, 2, 1). Determine uma base \\( \\beta_{c} \\) e diga se T é sobrejetor.\nc) (1.5) Seja T : \\( V \\to V \\) operador linear, com dim V = 2, e sejam \\( \\alpha \\in B \\) bases de V, tais que \\( \\mid \\begin{pmatrix} 2 & 3 \\end{pmatrix}\\mid \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\end{pmatrix} \\). T é inversível? Se sim, determine uma matriz para T^{-1}.\n\nQuestão 4\nConsidere que a matriz abaixo é de uma transformação linear T : \\( \\mathbb{R}^3 \\to \\mathbb{R}^2 \\) e que \\( \\alpha \\) é base canônica de \\( \\mathbb{R}^3 \\).\n\n\\[ [T]^{\\alpha} = \\begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\end{pmatrix} \\]\n\na) (0.5) Determine o polinômio característico de T.\na) (0.7) Para que valores de m a transformação T tem apenas um autovalor \\( \\lambda \\). Determine o autoespaço V_{\\lambda}.\nc) (1.3) T é diagonalizável para algum valor de m?