Prova de Algebra Linear - Segunda Chamada

Universidade Federal de Pernambuco\nSegunda Chamada de Álgebra Linear\nAluno: \nAs respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta.\nQuestão 1\nConsidere os seguintes subespaços W1 e W2 do espaço vetorial R4:\nW1 = [(1,1,2,1), (0,2,2,1)]; e\nW2 = {(x,y,z,t) ∈ R4: x - 2z + 2t = 0 e y + 3z - 6t = 0}.\na) (1,0) Determine uma base para o subespaço somatório W1 + W2.\nb) (1,0) Determine uma base para o subespaço interseção W1 ∩ W2.\nc) (0,5) É possível afirmar que R4 = W1 ⊕ W2?\nd) (1,0) Considere em R4 o seguinte produto interno:\n< (x1,y1,z1,t1), (x2,y2,z2,t2) > = x1x2 + 2y1y2 + 3z1z2 + t1t2.\nDetermine uma base para o subespaço complemento ortogonal W1⊥.\n\nQuestão 2\nSeja T : M2x2(R) → M2x2(R). Seja T a transformação linear\nT ( a b ) = ( 2c - b 2d - 2a\nc d ) . ( a - d b - 2c ) .\na) (0,6) Encontre uma base para ker(T).\nb) (0,6) Encontre uma base para Im(T).\nc) (0,8) Determine, para α = {{( 1 0 ) } ( 0 0 )( 0 1 )}\na base canônica, a matriz [T]α.\nd) (0,5) T é isomorfismo?\n Questão 3\na) (1,0) Seja V espaço vetorial. E sejam T : V → V e S : V → V operadores lineares. Seja w autovetor de T associado a λ₁, e também autovetor de S associado a λ₂. Mostre que w é autovetor de R : V → V associado ao autovetor zero, onde R é definido por R(v) = S(T(v)) - T(S(v)), ∀v ∈ V.\nb) (0,5) Mostre que se T é operador ortogonal e λ é autovalor real de T então λ = +1 ou λ = -1.\n\nQuestão 4\n(2,5) Considere em R3 o <, > usual. Observe a quadric cuja equação na base canônica é:\nΩ : x² + 2y² + z² + 2xy + 2x + 6√2y + 12 = 0.\nDetermine uma base β que diagonaliza a parte quadrática. Escreva a equação reduzida (sem termos mistos, nem lineares quando possível) da quadric em relação a esta base β. Identifique a quadric.