Prova de Algebra Linear - Final

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO\nCCEN - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA - ÁREA II\nPRIMEIRO SEMESTRE DE 2012\nProva Final de Álgebra Linear - 27/09/2013\nNome: \n\nATENÇÃO:\n\n- Leia cada enunciado com atenção antes de iniciar uma resolução.\n- Não esqueça de justificar as respostas.\n- Escreva todos os detalhes dos cálculos que levam a uma solução\n- Não destaque as folhas do caderno de prova\n\n1ª Questão: Julgue como verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir. Justifique suas respostas.\n\na) (1,0 ponto) Seja A = [0 0 p]\n B = [q 0 0]\n [a b c] [r s t]\n [f] [t 0]\n matrizes cujos elementos\ndispensáveis não-nulos são números reais quaisquer. Então, |A * B| =\n\nb) (1,0 ponto) Existe uma transformação linear T: R² → R² tal que T(1,1) = (7,5), T(1,2) = (0,1) e T(2,3) = (2,1).\n\n2ª Questão: Considere a base β = {v₁, v₂, v₃} de R² e os vetores\nw₁ = v₁,\nw₂ = v₁ + v₂,\nw₃ = v₁ + v₂ + v₃.\n\na) (1,0 ponto) Mostre que γ = {w₁, w₂, w₃} é uma base de R³.\n\nb) (1,0 ponto) Sabendo que [u]β = [1]\n [1], determine [u]γ.\n\nc) (1,0 ponto) Sabendo que [r]γ = [1]\n [-1], determine [r]β.\n\n3ª Questão: Julgue como verdadeira ou falsa cada afirmação a seguir. Justifique suas respostas.\n\na) (1,0 ponto) Seja W = [(1,2,3), (3,2,1)] um subespaço vetorial de R³. O vetor u = (1, -2, 1) pertence a W⊥.\n\n4ª Questão: Seja S a quadrática em R³ que satisfaz a equação\nx² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2zx - x - 2y - z = 0.\n\na) (1,0 ponto) Determine a forma quadrática e a forma linear associadas a S.\n\nb) (2,0 pontos) Diagonalize a forma quadrática e obtenha a expressão da forma linear neste sistema de coordenadas;\n\nc) (1,0 ponto) Expresse a quadrática na sua forma canônica (não é necessário classificar a figura).\n\nNote: Esta prova tem um ponto suplementar, a fim de que o estudante direcione seus esforços em pontos a sua escolha. O grau máximo continua sendo 10,0. b) (1,0 pontos) Seja R um operador linear que representa uma rotação de π/2 rad em R³, e seja u um vetor que não pertence ao eixo desta rotação. Então\n(ν, R(u)) = 0, isto é, u e R(u) são ortogonais.