Prova de Algebra Linear - 3 ee

Questão 4\n(1,0) Seja V espaço vetorial com <,>. Seja T : V → V um operador ortogonal. Suponha que λ₁ e λ₂ são autovalores de T tais que λ₁ ≠ λ₂. Mostre que se v₁ e v₂ são autovetores associados aos autovalores λ₁ e λ₂, respectivamente; então v₁ e v₂ são ortogonais.\nQuestão 5\na) (0,5) Considere em ℝ³ o <,> usual. Classifique a quadríca Ω cuja equação numa base β ortonormal diferente da canônica é dada por\n−u² − v² + 3uv + 6w + 4 = 0.\nb) (1,5) Encontre a equação desta Ω na base canônica α sabendo que\n[I]ᵇ = [ 1 0 0\n 0 -√3/2 1/2\n 0 -√2/2 √2/2 ] Universidade Federal de Pernambuco\n3ª Avaliação de Álgebra Linear\nAluno: 24/11/2017\nTurma:\nAs respostas somente serão aceitas com justificativa. Não é permitida qualquer consulta.\nQuestão 1\na) (2,0) Seja W = { ( a 0 ) | ∀a, b ∈ ℝ } subespaço de M₂₂(ℝ). Considere 〈{ a₁ a₀ }\n { a₂ b₁ }\n { b₂ 0 }〉 = 2a₁a₂ + b₁b₂ + 2a₁c₂ em W. Encontre uma base β ortogonal para W, usando o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, a partir da base α = { ( 2 0 ) ( 1 0 ) ( 1 0 ) ( 2 -1 ) }\nb) (1,0) Considere no ℝ⁴ o <,> usual. Determine uma base para seu subespaço V' cujo complemento ortogonal é W' = [(1,1,0,-1), (0,1,-2,-1)].\nQuestão 2\na) (1,0) Mostre que em todo espaço vetorial V com <,>, se α = {t₁, t₂, t₃} é uma base ortonormal de V, então ∀w ∈ V temos\n||w||² = < w, v₁ >² + < w, v₂ >² + < w, v₃ >².\nb) (1,0) Seja V espaço vetorial com <,>. Seja V' subespaço de V. Sejam Rᵥ e Rᵥ⁻ os operadores reflexão em W e em W⁻, respectivamente. Mostre que v ∈ V temos Rᵥ⁺(Rᵥ(v)) = −v.\nQuestão 3\nSeja V = P₂ munido do produto interno ⟨p₁(t), p₂(t)⟩ = ∫₀¹ p₁(t)p₂(t) dt. Seja T um operador em V definido por T(a₀ + a₁t + a₂t²) = a₁t.\na) (1,0) Mostre que T não é autoadjunto.\nb) (1,0) Justifique porque, embora a matriz de T na base α = {1, t, t²} seja\n[T]ᵇ = [ 0 0 0\n 0 1 0\n 0 0 0 ] isso não contradiz o item anterior.