Física i - Ita

Questão 4. Num certo experimento, três cilindros idênticos encontraram-se em contato pleno entre si, apoiados sobre uma mesa e sob a ação de uma força horizontal F, constante, aplicada na altura do centro de massa do cilindro da esquerda, perpendicularmente ao seu eixo, conforme a figura. Desconsiderando qualquer tipo de atrito, para que os três cilindros permaneçam em contato entre si, a aceleração provocada pela força deve ser tal que:\n\nA ( ) g/\\sqrt{3} \\leq a \\leq 5g/\\sqrt{3}.\nB ( ) 2g/(\\sqrt{2}) \\leq a \\leq 4g/\\sqrt{2}.\nC ( ) g/(2\\sqrt{3}) \\leq a \\leq 3g/\\sqrt{3}.\nD ( ) 2g/(3\\sqrt{2}) \\leq a \\leq 3g/(4\\sqrt{2}).\nE ( ) g/(2\\sqrt{3}) \\leq a \\leq 3g/(4\\sqrt{3}).\n\nDigitalizado com CamScanner M_A = M_B = M_C = m\nP_A = P_B = P_C = P\n\n2º: lei de Newton, imaginando um sistema único.\n\nF = M.a\nF = (m.m.m) a\nF = 3m.a (I)\n\nTriângulo equilátero\n\n2R\n\n\\beta = \\pi / 3\n\nAnalisando os cilindros individualmente:\n\nA:\nF_{BA}\n\\rightarrow P\nF_{CA}\n\\rightarrow P\n\nB:\nF_{AB}\n\\rightarrow P\nF_{CB}\n\\rightarrow P\n\nC:\nF_{BC}\n\\rightarrow P\n\nDigitalizado com CamScanner Agora, equacionaremos um a um e aplicaremos a 2º lei de Newton\n\nA: \\sum F_x = m.g\nF - F_{BA} - F_{AC}(\\pi/3) = m.g\nF - F_{BA} - F_{CA} = m.g (II)\n\nB: \\sum F_x = m.g\nF_{AB} + F_{CB}cos(\\pi/3) = m.g\nF_{AB} + F_{CB} = m.g (III)\n\nC: \\sum F_y = m.g\nF_{AC}cos(\\pi/6) + F_{BC}cos(\\pi/6) = P\nF_{AC}\\sqrt{3}/2 + F_{BC}\\sqrt{3}/2 = P (VI)\n\nAnalisaremos, então, as condições para aceleração máxima e mínima do sistema.\n\nAssim, neste caso, teremos a tendência do cilindro e empurrar A e B para as laterais. Ou seja, a força de contato F_{AB} é 0.\n\nEntão, agora teremos:\n\nEq(II): F = 3m.a\nEq(III): F - F_{CA}/2 = m.a\nEq(IV): F_{AC} = m.a\n\nAgora, nos resta encontrar as soluções para o sistema.\n\nEq(III): F_{BC} = 2m.a substituindo na Eq(II): F_{AC} - 2m.a/2 = m.a\n\nAssim, agora teremos:\n\nEq(I): \\sqrt{3}/2 (F_{AC} + F_{BC}) = P = \\sqrt{3} (1m + 2m) = P\n\n\\sqrt{3} (6m) = P = \\sqrt{3}.3m.g = 3\\sqrt{3}.m.g\nLogo, a aceleração mínima é: 3m = 8/3\\sqrt{3}\n\nDigitalizado com CamScanner Já para a aceleração máxima, teremos a tendência de o bloco C ficar para trás devido sua inércia. Ou seja, primeiramente, sua força de contato com o bloco B irá a 0.\n\n\nG1(I): F=3m3\nG1(II): F-Fba-Fca=m3\nG1(III): Fba=m3\nG1(IV): Fca=m3/2\n\nSubstituindo a eq (III) na eq (II), teremos:\n\nF-Fba-Fca=m3\nFba=m3\nFca=\u221a3=m3\n\n\nG1(IV): Fca=mg\nG2(IV): Fca=\u221a3=mg\n\nAssim:\n\n3m3=\u221a3=mg\n\nAssim: a=\u221a3=g/\u221a3\n\nFinalizando, a aceleração do sistema deve estar entre a aceleração mínima e a aceleração máxima.\n\n\n3m/3\u221a3=a\u2264g/\u221a3\n\nGab.: A(X)g(3/3) \u2264 a \u2264 g/\u221a3