Lista 2-2023-2

Lista 2 : Problemas do capítulo 11 do Beer/Johnston/Cornwell-9a edição Equipe: Profs. José Almeida Maciel e Osmundo Donato P11.17: Uma particula oscila entre os pontos x1=4 mm e x2= 1,60 mm com aceleração a=k (100−x) , em que a aceleração é expressa em mm/s2 e x em mm. Sabendo que v(x=1 mm)=1,80 mm/s, determine (a) k em s-2 e (b) v(x=x2-xo/2) em mm/s. P11.27: Com base em observações, a velocidade de um corredor pode ser aproximada pela relação v =7,4(1−0,04 x)0,3 , com x em Km e v em Km/h. Sabendo que x(t=to=0 h)=xo=0 Km, determine (a) a distância em Km que o corredor percorreu de zero a t1=9 h, (b) a aceleração em m/s2 do corredor em to h e (c) o tempo em h necessário para o corredor percorrer 6,00 Km. Observações: 1) Os problemas da lista são baseados nas questões indicadas do livro texto, mas nunca idênticos. 2) Em vermelho, encontram-se as variáveis cujos valores são apresentados na planilha anexa. 3) Não deixe de considerar o número de algarismos significativos dos dados e a consequente precisão das respostas 4) Os dados são apresentados em notação cientifica. Apresente as respostas no mesmo formato e nas unidades de medida solicitadas. 1 P11.3. a) Como 𝑎 = − 𝑏2 90, temos que: 𝑥(𝑡) = − 𝑏2 90 𝑡3 + 𝑏𝑡2 − 30𝑡 + 8. A velocidade 𝑣(𝑡) da partícula é a derivada de 𝑥(𝑡). Isto é, 𝑣(𝑡) = 𝑥′(𝑡) = [− 𝑏2 90 𝑡3 + 𝑏𝑡2 − 30𝑡 + 8] ′ = − 𝑏2 90 ⋅ 3𝑡2 + 2𝑏𝑡 − 30 = = − 𝑏2 30 𝑡2 + 2𝑏𝑡 − 30. Igualando a zero: 𝑣(𝑡) = 0 ⇔ − 𝑏2 30 𝑡2 + 2𝑏𝑡 − 30 = 0 ⇔ 𝑡 = −2𝑏 ± √(2𝑏)2 − 4 ⋅ (− 𝑏2 30) ⋅ (−30) 2 ⋅ (− 𝑏2 30) ⇔ ⇔ 𝑡 = −2𝑏 ± √4𝑏2 − 4𝑏2 − 𝑏2 15 ⇔ 𝑡 = −2𝑏 − 𝑏2 15 ⁄ = 30 𝑏 . Substituindo 𝑏 = 9,48: 𝑡 = 30 9,48 ≈ 3,16 s . b) A posição no instante 𝑡 = 3,16 s é: 𝑥(3,16) = −9,482 90 ⋅ 3,163 + 9,48 ⋅ 3,162 − 30 ⋅ 3,16 + 8 = = − 89,8704 90 ⋅ 31,554496 + 9,48 ⋅ 9,9856 − 30 ⋅ 3,16 + 8 = = 31,50905752576 + 94,663488 − 94,8 + 8 ≈ 39,37 m . c) A aceleração 𝑎 da partícula é dada por: 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = [− 𝑏2 30 𝑡2 + 2𝑏𝑡 − 30] ′ = − 𝑏2 30 ⋅ 2𝑡 + 2𝑏 = − 𝑏2 15 𝑡 + 2𝑏. Substituindo 𝑏 = 9,48 e 𝑡 = 3,16 s: 𝑎(3,16) = − 9,482 15 ⋅ 3,16 + 2 ⋅ 9,48 = − 89,8704 15 ⋅ 3,16 + 2 ⋅ 9,48 = = −18,9326976 + 18,96 ≈ 0,03 m s2 ⁄ . 2 P11.5. a) A velocidade 𝑣(𝑡) da partícula é dada por: 𝑣(𝑡) = 𝑥′(𝑡) = [𝑎𝑡4 + 𝑏𝑡3 − 12𝑡2 + 3𝑡 + 3]′ = 4𝑎𝑡3 + 3𝑏𝑡2 − 24𝑡 + 3. Logo, a aceleração 𝑎(𝑡) é: 𝑎(𝑡) = 𝑣′(𝑡) = [4𝑎𝑡3 + 3𝑏𝑡2 − 24𝑡 + 3]′ = 12𝑎𝑡2 + 6𝑏𝑡 − 24. Igualando a zero: 𝑎(𝑡) = 0 ⇔ 12𝑎𝑡2 + 6𝑏𝑡 − 24 = 0 ⇔ 𝑡 = −6𝑏 ± √(6𝑏)2 − 4 ⋅ 12𝑎 ⋅ (−24) 2 ⋅ 12𝑎 ⇔ ⇔ 𝑡 = −6𝑏 ± √36𝑏2 + 1152𝑎 24𝑎 ⇔... Substituindo 𝑎 = 6 e 𝑏 = −2: … ⇔ 𝑡 = −6 ⋅ (−2) ± √36 ⋅ (−2)2 + 1152 ⋅ 6 24 ⋅ 6 ⇔ ⇔ 𝑡 = 12 ± √36 ⋅ 4 + 1152 ⋅ 6 24 ⋅ 6 ⇔ 𝑡 = 12 ± √144 + 6912 144 ⇔ ⇔ 𝑡 = 12 ± √7056 144 ⇔ 𝑡 = 12 ± 84 144 ⇔... Como 𝑡 > 0: … ⇔ 𝑡 = 12 + 84 144 ⇔ 𝑡 = 96 144 ⇔ 𝑡 = 0,67 s . b) A posição da partícula no instante 𝑡 = 0,67 s é: 𝑥(0,67) = 6 ⋅ 0,674 + (−2) ⋅ 0,673 − 12 ⋅ 0,672 + 3 ⋅ 0,67 + 3 = = 6 ⋅ 0,20151121 − 2 ⋅ 0,300763 − 12 ⋅ 0,4489 + 3 ⋅ 0,67 + 3 = = 1,20906726 − 0,601526 − 5,3868 + 2,01 + 3 ≈ 0,23 m . c) A velocidade da partícula no instante 𝑡 = 0,67 s é: 𝑣(0,67) = 4 ⋅ 6 ⋅ 0,673 + 3 ⋅ (−2) ⋅ 0,672 − 24 ⋅ 0,67 + 3 = = 4 ⋅ 6 ⋅ 0,300763 + 3 ⋅ (−2) ⋅ 0,4489 − 24 ⋅ 0,67 + 3 = = 7,218312 − 2,6934 − 16,08 + 3 ≈ −8,56 m s ⁄ . 3 P11.9. a) Como a aceleração é constante a igual a −8 m s2 ⁄ , a posição 𝑥(𝑡) da partícula no instante 𝑡 é dada por 𝑥(𝑡) = −4𝑡2 + 𝑣(0)𝑡 + 𝑥(0). Além disso, a velocidade 𝑣(𝑡) no instante 𝑡 é dada por: 𝑣(𝑡) = −8𝑡 + 𝑣(0). Além disso, pela Equação de Torricelli, temos que: (𝑣(𝑡)) 2 = (𝑣(0)) 2 − 16(𝑥(𝑡) − 𝑥(0)). Assim, no instante em que 𝑥(𝑡) = 4, teremos, na equação acima, 162 = (𝑣(0)) 2 − 16(4 − 𝑥(0)) ⇒ 256 = (𝑣(0)) 2 − 64 + 16(𝑥(0)) ⇒ ⇒ 𝑥(0) = 320 − (𝑣(0)) 2 16 . Por outro lado, 𝑥(𝑡 = 4) = 20. Logo, 20 = −4 ⋅ 42 + 𝑣(0) ⋅ 4 + 𝑥(0) ⇒ 20 = −64 + 4𝑣(0) + 𝑥(0) ⇒ ⇒ 84 = 4𝑣(0) + 𝑥(0) ⇒ 84 = 4𝑣(0) + 320 − (𝑣(0)) 2 16 ⇒ ⇒ 1.344 = 64𝑣(0) + 320 − (𝑣(0)) 2 ⇒ ⇒ (𝑣(0)) 2 − 64𝑣(0) + 1.024 = 0. Assim, 𝑣(0) = 64 ± √(−64)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1.024 2 ⋅ 1 = 64 ± √4.096 − 4.096 2 = 32 m s ⁄ . Logo, 𝑣(𝑡) = −8𝑡 + 32. Assim, a velocidade será zero quando: −8𝑡 + 32 = 0 ⇒ 32 = 8𝑡 ⇒ 𝑡 = 4 s . b) Temos que: 𝑥(0) = 320 − (𝑣(0)) 2 16 = 320 − 322 16 = 320 − 1.024 16 = −44 m. Assim, 𝑥(𝑡) = −4𝑡2 + 32𝑡 − 44. A função acima atinge seu máximo em 𝑡 = − 32 2⋅(−4) = 4. Assim, a distância percorrida até 11 s é: (𝑥(4) − 𝑥(0)) + (𝑥(4) − 𝑥(11)) = (20 + 44) + (20 + 176) = 260 m . 4 P11.17. a) Temos que: 𝑎 = 𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑥 , o que nos dá: 𝑘(100 − 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑣. Integrando ambos os lados: ∫ 𝑘(100 − 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣. Logo, 100𝑘𝑥 − 𝑘 𝑥2 2 + 𝐶 = 𝑣2 2 , onde 𝐶 é uma constante real. Como 𝑣(𝑥 = 100) = 18, temos que: 100𝑘 ⋅ 100 − 𝑘 ⋅ 1002 2 + 𝐶 = 182 2 ⇒ 10000𝑘 − 𝑘 ⋅ 10000 2 + 𝐶 = 324 2 ⇒ ⇒ 10000𝑘 − 5000𝑘𝐶 = 162 ⇒ 10000𝑘 − 162 = 5000𝑘𝐶 ⇒ ⇒ 𝐶 = 5000𝑘 − 81 2500𝑘 . Ou seja, 100𝑘𝑥 − 𝑘 𝑥2 2 + 5000𝑘 − 81 2500𝑘 = 𝑣2 2 . Como nas extremidades do movimento a velocidade deve ser nula, quando 𝑥 = 40 tem-se 𝑣 = 0. Assim, 100𝑘 ⋅ 40 − 𝑘 402 2 + 5000𝑘 − 81 2500𝑘 = 02 2 ⇒ 4000𝑘 − 𝑘 1600 2 + 5000𝑘 − 81 2500𝑘 = 0 ⇒ ⇒ 4000𝑘 − 800𝑘 + 5000𝑘 − 81 2500𝑘 = 0 ⇒ 3200𝑘 + 5000𝑘 − 81 2500𝑘 = 0 ⇒ ⇒ 8.000.000𝑘2 + 5000𝑘 − 81 = 0 ⇒ ⇒ 𝑘 = −5000 ± √50002 − 4 ⋅ 8.000.000 ⋅ (−81) 2 ⋅ 8.000.000 ⇒ ⇒ 𝑘 = −5000 ± √25.000.000 + 2.592.000.000 16.000.000 ⇒ ⇒ 𝑘 = −5000 ± √2.617.000.000 16.000.000 ⇒ 𝑘 = −5 ± √2.617 16.000 . 5 b) Temos que: 𝑥2 − 𝑥0 2 = 160 − 100 2 = 60 2 = 30. Assim, quando 𝑥 = 30 teremos: 100𝑘 ⋅ 30 − 𝑘 302 2 + 5000𝑘 − 81 2500𝑘 = 𝑣2 2 ⇒ 3.000𝑘 − 450𝑘 + 5000𝑘 − 81 2500𝑘 = 𝑣2 2 ⇒ ⇒ 2.550𝑘 + 5000𝑘 − 81 2500𝑘 = 𝑣2 2 ⇒ ⇒ 6.375.000𝑘2 + 5000𝑘 − 81 = 1.250𝑘𝑣2 ⇒ ⇒ 𝑣2 = 6.375.000𝑘2 + 5000𝑘 − 81 1.250𝑘 ⇒. .. Como 5000𝑘 − 81 = −8.000.000𝑘2, temos que: … ⇒ 𝑣2 = 6.375.000𝑘2 − 8.000.000𝑘2 1.250𝑘 ⇒ 𝑣2 = − 1.625.000𝑘2 1.250𝑘 ⇒ ⇒ 𝑣2 = −1.300𝑘. Assim, 𝑣2 = −1.300 ⋅ −5 − √2.617 16.000 = 13(5 + √2.617) 160 . Portanto, 𝑣 = √13(5 + √2.617) 160 ≈ 2,14 mm s ⁄ . 6 P11.27. a) Temos que: 𝑣 = 7,4(1 − 0,04𝑥)0,3 ⇒ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 7,4(1 − 0,04𝑥)0,3 ⇒ 1 7,4(1 − 0,04𝑥)0,3 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 ⇒ ⇒ ∫ 1 7,4(1 − 0,04𝑥)0,3 𝑑𝑥 = ∫𝑑𝑡 ⇒... Fazendo a mudança de variável 𝑢 = 1 − 0,04𝑥, temos 𝑑𝑢 = −0,04𝑑𝑥. Logo, … ⇒ − 1 0,04 ∫ 1 7,4𝑢0,3 𝑑𝑢 = ∫𝑑𝑡 ⇒ − 1 0,296 ∫𝑢−0,3𝑑𝑢 = ∫𝑑𝑡 ⇒ ⇒ − 1 0,296 ⋅ 𝑢0,7 0,7 + 𝐶 = 𝑡 ⇒ − 1 0,296 ⋅ (1 − 0,04𝑥)0,7 0,7 + 𝐶 = 𝑡 ⇒ ⇒ − (1 − 0,04𝑥)0,7 0,2072 + 𝐶 = 𝑡. Como 𝑥(0) = 0: − (1 − 0,04 ⋅ 0)0,7 0,2072 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝐶 = (1 − 0,04 ⋅ 0)0,7 0,2072 ⇒ 𝐶 = 1 0,2072. Portanto, 1 − (1 − 0,04𝑥)0,7 0,2072 = 𝑡. Dessa forma, quando 𝑡 = 0,9: 1 − (1 − 0,04𝑥)0,7 0,2072 = 0,9 ⇒ 1 − (1 − 0,04𝑥)0,7 = 0,18648 ⇒ ⇒ (1 − 0,04𝑥)0,7 = 0,81352 ⇒ 1 − 0,04𝑥 ≈ 0,74 ⇒ 0,04𝑥 ≈ 0,26 ⇒ ⇒ 𝑥 ≈ 6,5 km . b) Quando 𝑡 = 0, temos que: 𝑣(0) = 7,4(1 − 0,04 ⋅ 0)0,3 = 7,4 ⋅ 1 = 7,4. Derivando a expressão dada com respeito a 𝑡: 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡 (7,4(1 − 0,04𝑥)0,3) ⇒ 𝑎(𝑡) = 𝑑 𝑑𝑥 (7,4(1 − 0,04𝑥)0,3) ⋅ 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ⇒ ⇒ 𝑎(𝑡) = 7,4 ⋅ 0,3(1 − 0,04𝑥)−0,7 ⋅ (−0,04) ⋅ 𝑣(𝑡) ⇒ ⇒ 𝑎(𝑡) = −0,0888(1 − 0,04𝑥)−0,7𝑣(𝑡). Assim, em 𝑡 = 0: 𝑎(0) = −0,0888(1 − 0,04 ⋅ 0)−0,7𝑣(0) = −0,0888 ⋅ 1 ⋅ 7,4 = −0,65712 km h2 ⁄ = = −0,65712 ⋅ 1 12.960 m s2 ⁄ = −5,07 ⋅ 10−5 m s2 ⁄ . 7 c) Quando 𝑥 = 6 km, temos: 𝑡 = 1 − (1 − 0,04 ⋅ 6)0,7 0,2072 = 1 − (1 − 0,24)0,7 0,2072 = 1 − 0,760,7 0,2072 ≈ 0,82 h .