Lista 5-2023-2

Lista 5 : Problemas do capítulo 11 do Beer/Johnston/Cornwell-9a edição Equipe: Profs. José Almeida Maciel e Osmundo Donato Adote g=9,81 m/s2. P11.111: Um foguete é lançado do ponto A com velocidade inicial vo m/s e cai no solo a 120 m ladeira abaixo como mostra a figura. Determine (a) o ângulo αo do lançamento, (b) a altura máxima ymax m da trajetória e (c) a duração t s do vôo. P11.143: Um jogador de golfe lança uma bola a partir do ponto A com velocidade inicial vo m/s e um ângulo αo com a horizontal. Determine em metros o raio de curvatura da trajetória ρ da bola (a) no ponto A e (b) no ponto mais alto da trajetória. P11.111 Vo= 78 P11.143 vo= 50,9 αo= 25,8 Observações: 1) Os problemas da lista são baseados nas questões indicadas do livro texto, mas nunca idênticos. 2) Em vermelho, encontram-se as variáveis cujos valores são apresentados na planilha anexa. 3) Não deixe de considerar o número de algarismos significativos dos dados e a consequente precisão das respostas 4) Os dados são apresentados em notação científica. Apresente as respostas no mesmo formato e nas unidades de medida solicitadas. Lista 5: Problemas do capítulo 11 do Beer/Johnston/Cornwell-9a edição Equipe: Profs. José Almeida Maciel e Osmundo Donato Adote g=9,81 m/s2. P11.111: Um foguete é lançado do ponto A com velocidade inicial vo m/s e cai no solo a 120 m ladeira abaixo como mostra a figura. Determine (a) o ângulo αo do lançamento, (b) a altura máxima ymax m da trajetória e (c) a duração t s do vôo. Vamos estabelecer a origem no ponto A: 𝑥0 = 0 𝑦0 = 0 No movimento horizontal, podemos escrever: 𝑥 = 𝑣0𝑡 sin 𝛼 sin 𝛼 = 𝑥 𝑣0𝑡 Para o movimento vertical, podemos escrever: 𝑦 = 𝑣0𝑡 cos 𝛼 − 1 2 𝑔𝑡² cos 𝛼 = 𝑦 + 1 2 𝑔𝑡2 𝑣0𝑡 Como temos sin 𝛼 e cos 𝛼, vamos usar a relação trigonométrica fundamental: sin2 𝛼 + cos2 𝛼 = 1 1 = ( 𝑥 𝑣0𝑡) 2 + ( 𝑦 + 1 2 𝑔𝑡2 𝑣0𝑡 ) 2 Simplificando: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑔𝑦𝑡2 + 1 4 𝑔2𝑡4 𝑣0 2𝑡2 = 1 1 4 𝑔2𝑡4 − (𝑣0 2 − 𝑔𝑦)𝑡2 + 𝑥2 + 𝑦2 = 0 … … … (1) No ponto B temos: √𝑥2 + 𝑦2 = 120 𝑚 𝑥 = 120 cos 30° 𝑚 𝑦 = −120 sin 30° = −60 𝑚 𝑔 = 9,81 𝑚 𝑠2 Substituindo esses dados na equação 1: 1 4 · 9.812 · 𝑡4 − [782 − 9.81 · (−60)]𝑡2 + 1202 = 0 24.0590𝑡4 − 6672.6𝑡2 + 14400 = 0 𝑡1,2 = ±1.47484 𝑠 𝑡3,4 = ±16.5882 𝑠 Usando os tempos positivos. Para 𝑡3 = 16.5882 𝑠 tan 𝛼 = 𝑥 𝑦 + 1 2 𝑔𝑡2 = 120 cos 30° −60 + 4.905 · 16.58822 = 0.0805792 𝛼 = arctan 0.0805792 = 4.607° Para 𝑡1 = 1.47484 𝑠 tan 𝛼 = 120 cos 30° −60 + 4.905 · 1.474842 = −2.10665 arctan −2.10665 = 115.39° Usando o menor ângulo calculado 𝛼 = 4.607° b) Altura máxima 𝑣𝑦 = 0 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 𝑦𝑚á𝑥 𝑣𝑦 = 𝑣0 cos 𝛼 − 𝑔𝑡 = 0 𝑡 = 𝑣0 cos 𝛼 𝑔 𝑦𝑚á𝑥 = 𝑣𝑜𝑡 cos 𝛼 − 1 2 𝑔𝑡2 𝑦𝑚á𝑥 = 𝑣𝑜 · 𝑣0 cos 𝛼 𝑔 · cos 𝛼 − 1 2 𝑔 · (𝑣0 cos 𝛼 𝑔 ) 2 𝑦𝑚á𝑥 = 𝑣0 2 cos2 𝛼 2𝑔 𝑦𝑚á𝑥 = 782 cos2 4.607° 2 · 9.81 𝑦𝑚á𝑥 = 308.091 𝑚 c) Duração do voo: 𝑡 = 𝑣0 cos 𝛼 𝑔 𝑡 = 78 · cos 4.607° 9.81 𝑡 = 7.92538 𝑠 P11.143: Um jogador de golfe lança uma bola a partir do ponto A com velocidade inicial vo m/s e um ângulo αo com a horizontal. Determine em metros o raio de curvatura da trajetória ρ da bola (a) no ponto A e (b) no ponto mais alto da trajetória. a) Nós temos: (𝑎𝐴)𝑛 = 𝑣𝐴 2 𝑅𝐴 𝑅𝐴 = 𝑣𝐴 2 (𝑎𝐴)𝑛 𝑅𝐴 = 𝑣𝐴 2 𝑔 cos 𝛼 𝑅𝐴 = 50.92 9.81 cos 25.8° 𝑅𝐴 = 293.339 𝑚 b) Nós temos: (𝑎𝐵)𝑛 = 𝑣𝐵 2 𝑅𝐵 No ponto B, temos: 𝑣𝐵 = (𝑣𝐴)𝑥 = 𝑣𝐴 cos 25.8° Então: 𝑅𝐵 = (50.9 cos 25.8°)2 9.81 𝑅𝐵 = 214.072 𝑚 P11.111 Vo= 78 P11.143 vo= 50,9 αo= 25,8 Observações: 1) Os problemas da lista são baseados nas questões indicadas do livro texto, mas nunca idênticos. 2) Em vermelho, encontram-se as variáveis cujos valores são apresentados na planilha anexa. 3) Não deixe de considerar o número de algarismos significativos dos dados e a consequente precisão das respostas 4) Os dados são apresentados em notação científica. Apresente as respostas no mesmo formato e nas unidades de medida solicitadas.