Exercício Subespaços-2022 1

Encontre conjuntos geradores para os seguintes subespacos: (a) {(a, b, c) ∈ R^3 | 3a - 5b + 2c = 0} (b) {A ∈ M22 | 3a11 = 2a12} (c) {p ∈ P3 | p(2) = 0} (d) {p ∈ P3 | p(2) = p(-1)} (a) Podemos, por exemplo, tirar c em função de a e b na equacao 3a - 5b + 2c = 0 obtendo c = 1/2 (5b - 3a). Substituindo o valor de c em um ponto qualquer do plano obtemos que os vetores do plano sao da forma (a, b, c) = (a, b, 1/2 (5b - 3a)) = a(1, 0, -3/2) + b(0, 1, 5/2). Assim, os vetores v1 = (1, 0, -3/2) e v2 = (0, 1, 5/2) geram o subespaco. (b) Podemos, por exemplo, obter que a12 = 3/2a11. Substituindo o valor de a12 obtido em uma matriz qualquer do subespaco obtemos que as matrizes do subespaco sao da forma [a11 a12] = [a11 3/2a11] = a11 [1 3/2] + a21 [0 0] [a21 a22] [a21 a22] [0 1] + a22 [0 1]. Assim as matrizes M1 = [1 3/2] e M2 = [0 0] e M3 = [0 0] geram o subespaco [0 1] [1 0] [0 1] (c) Um polinomio p(t) = at^3 + bt^2 + ct + d pertence ao subespaco se, e somente se, p(2) = 0, ou seja, se a2^3 + b2^2 + c2 + d = 0. Podemos, por exemplo, tirar o valor de d em função de a, b e c obtendo d = -8a - 4b - 2c. Substituindo este valor de d em um polinomio qualquer do subespaco obtemos p(t) = at^3 + bt^2 + ct + d = at^3 + bt^2 + ct + (-8a - 4b - 2c) = at^3 - 8 + b(t^2 - 4) + c(t - 2). Assim, os polinomios t^3 - 8, t^2 - 4 e t - 2 geram o subespaco. (d) Um polinomio p(t) = at^3 + bt^2 + ct + d pertence ao subespaco se, e somente se, p(2) = p(-1), ou seja, se a2^3 + b2^2 + c2 + d = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d ou ainda 9a + 3b + 3c = 0. Podemos, por exemplo, tirar o valor de c em função de a e b obtendo c = -3a - b. Substituindo este valor de c em um polinomio qualquer do subespaco obtemos