Lista com Resposta-2022 1

1. Seja 𝑇: 𝐼𝑅³ ⟶ 𝐼𝑅² uma transformação linear definida por 𝑇(1, 1, 1) = (1, 2), 𝑇(1, 1, 0) = (2, 3) e 𝑇(1, 0, 0) = (3, 4). a) Determinar 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) b) Determinar 𝑣 Є 𝐼𝑅³ tal que 𝑇(𝑣) = (0,0). Nos problemas 2 a 4 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas: a) Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é injetora? Justificar. b) Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobrejetora? Justificar. 2. 𝑇: 𝐼𝑅² ⟶ 𝐼𝑅², 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 − 𝑦, −3𝑥 + 𝑦) 3. 𝑇: 𝐼𝑅² ⟶ 𝐼𝑅³, 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥, 2𝑦) 4. 𝑇: 𝐼𝑅² ⟶ 𝐼𝑅², 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 2𝑦, 𝑥 + 𝑦) Respostas 1. a) T(x,y,z) = (3x-y-z, 4x-y-z) b) v = (0, -z, z) 2. a) N(T) = {(x,3x)/x € IR}; dim N(T) = 1 T não é injetora, porque N(T) ≠ {(0,0)}. b) Im(T) = {(-y,y)/y € IR}; dim Im(T) = 1 T não é sobrejetora, porque Im(T)≠IR². 3. a) N(T) = {(0,0)}; dim N(T) = 0 T é injetora, porque N(T) = {0} b) Im(T) = {(x,y,z) € IR/ 2x -2y –z =0} dim Im(T) = 2. T não é sobrejetora, porque Im(T)≠IR³. 4. a) N(T) = {(0,0)}; dim N(T) = 0 T é injetora. b) Im(T) = IR²; dim Im(T) = 2; T é sobrejetora.