Segunda Prova - Gaal-2021 2

Segunda Prova - GAAL - UFSC Professora: Adriana Juzga Le´on INSTRU¸C˜OES: 1. JUSTIFIQUEM SUAS RESPOSTAS: Respostas sem justificativa ou que n˜ao in- cluam os c´alculos necess´arios, nem as propriedades ou opera¸c˜oes usadas n˜ao ser˜ao consideradas. 2. FORMATO DA PROVA: A prova deve ser resolvida de pr´oprio punho, digitali- zada e postada em um ´UNICO arquivo PDF, com folhas enumeradas, o nome do estudante deve estar na primeira folha, e, na ´ultima p´agina deve escrever o total de p´agina digitalizadas que tem o PDF e a assinatura do estudante. 3. DATA E HORA LIMITE: 20 de fevereiro de 2022 `as 18h00. EM CADA EXERC´ICIO QUE SEJA NECESS´ARIO O C´ALCULO DE UM DETERMINANTE ESTE DEVE SER CALCULADO USANDO PROPRIEDADES: respostas que incluam determinantes calculados por defini¸c˜ao, pela regra de Sarrus, regra do triˆangulo ou qualquer outro tipo de regra ou m´etodo ’gr´afico’ n˜ao ser˜ao consideradas. 1 1. (1 ponto) Dadas a retas: r1 : x + 5 2 = y − 4 7 = z − 8 4 r2 : x − 1 6 = y + 5 21 = z + 8 12 i) (0.5 pontos) Escreva as equa¸c˜oes param´etricas e vetorial de tais retas. Posteri- ormente identifique um ponto pelo qual passa a reta e o vetor dire¸c˜ao da reta. ii) (0.5 pontos) Determine se tais retas s˜ao paralelas. 2. (2 pontos) Determine a equa¸c˜ao do plano que cont´em os pontos P = (0, 1, 0), Q = (−1, 5, 8) e R = (4, 10, −1). 3. (2 pontos) Determine se o vetor u = (−1, 2, 4, 1) ´e combina¸c˜ao linear dos vetores v = (−1, 1, −1, 1), w = (0, 1, 8, −1) e x = (0, 7, 0, −1). 4. (2 pontos) Sejam A = (1, 7, 0), B = (9, 18, 2) e C = (5, 10, 10) em R3. i) (1 ponto) Considere o triˆangulo em R3 cujos v´ertices s˜ao os pontos A, B e C. Calcule o comprimento dos lados e os ˆangulos internos do tria˜ngulo. iii) (1 ponto) Calcule o volume do paralelep´ıpedo formado pelos vetores cujo ponto inicial ´e a origem e cujo ponto final s˜ao A, B e C. 5. (3 pontos) Dado o conjunto B = {(1, 5, −1); (3, 0, 3); (2, 1, 0)}. i) (1.5 ponto) Demonstrar que B ´e uma base de R3. ii) (0.5 ponto) Escrever o vetor coordenado de (−2, 1, 9) na base B iii) (1 ponto)Usando o processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt encontrar uma base ortogonal de R3. 2