Lista de Exercícios Produto Interno- com Respostas-2022 1

Lista de exercícios: Produto Interno 1) Consideremos, no ³ (a) e no 4 (b), o produto interno usual. Para que valores de m os vetores 𝑢 e 𝑣 são ortogonais? a) 𝑢 = (3𝑚, 2, −𝑚) e 𝑣 = (−4, 1, 5) b) 𝑢 = (0, 𝑚, −1, 4) e 𝑣 = (5, 𝑚, −1, −1) 2) Seja 𝑉 = ³ com o produto interno usual. Determinar um vetor 𝑢  ³ ortogonal aos vetores 𝑣1 = (1, 1, 2), 𝑣2 = (5, 1, 3) e 𝑣3 = (2, −2, −3). 3) Determinar os vetores (𝑎, 𝑏, 𝑐) para que o conjunto 𝐵 = {(1, −3, 2), (2, 2, 2), (𝑎, 𝑏, 𝑐)} seja uma base ortogonal do ³ em relação ao produto interno usual. Construir a partir de B uma base ortonormal. 4) Sejam 𝑉 = ³ munido do produto interno usual e 𝐴 = {(1, −1, −2)} ⊂ V. Encontrar uma base ortogonal 𝐵 de V tal que 𝐴 ⊂ 𝐵. 5) Sendo 𝑉 = ⁴ munido do produto interno usual, determinar um vetor não- nulo 𝑣  4 que seja ortogonal a 𝑣1 = (1, 1, 1, −1), 𝑣2 = (1, 2, 0, 1) e 𝑣3 = (−4,1,5,2). 6) Consideremos as seguintes bases do ² e do ³: a) 𝐵 = {(3, 4), (1, 2)} b) 𝐵 = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 2)} c) 𝐵 = {(1, 0, 1), (1, 0, −1), (0, 3, 4)} Ortonormalizar essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de cada espaço. 7) Seja ³ munido do produto interno usual e 𝐵 = {(1, 2, −3), (2, −4, 2)}. Determinar: a) O subespaço S gerado por B. b) O subespaço S|. 8) Seja ³ munido do produto interno usual, 𝑊 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{(5, −2,1), (1,2, −1)} e 𝑦 = (−1, −5, 10). Determine a projeção ortogonal de 𝑦 em 𝑊 e a distância entre 𝑦 e 𝑊. Respostas 1) a) 2 17 b) ±√3 2) u = a(1,7,-4), a  3) t(-5,1,4), t≠0 {( 1 √14 , − 3 √14 , 2 √14 ) , ( 1 √3 , 1 √3 , 1 √3 ) , (− 5 √42 , 1 √42 , 4 √42 )} 4) {(1,-1,-2), (1,1,0),(-1,1,-1)} é uma delas. 5) Uma solução é (9, -8, 6, 7) 6) a) {( 3 5 , 4 5) , (− 4 5 , 3 5)} b) {(1,0,0), (0, 1 √2, 1 √2), (0, - 1 √2, 1 √2)} c) {( 1 √2,0, 1 √2), ( 1 √2,0,- 1 √2), (0,1,0)} 7) a) S = {(x, y, z)  ³ / x+y+z = 0} b) S|= {(x, y, z)  ³ / x = y = z} 8) 𝑦 = (−1, −8, 4) √45