Lista Vetores-2022 1

1) Sejam os vetores \( \vec{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \vec{u}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \vec{u}_3 = \begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 8 \end{bmatrix}, \vec{u}_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}. \) a) Verifique se o conjunto \( S = \{u_1, u_2, u_3, u_4\} \) é LD ou LI. b) Determine uma base para o subespaço de \( \mathbb{R}^4 \) gerado pelos elementos do conjunto \( S. \) Justifique sua escolha. c) Determine uma condição entre as componentes de um vetor genérico do \( \mathbb{R}^4 \) para que ele pertença ao subespaço vetorial do item anterior. 2) Dada a matriz \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \\ 5 \end{bmatrix} \), encontre uma base para cada um dos subespaços a seguir e indique a dimensão de cada um deles. a) Espaço-linha de \( A; \) b) Espaço-coluna de \( A; \) c) Espaço nulo de \( A. \) 3) Determine a lei de formação para o subespaço gerado pelas matrizes \( A_1 = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, A_2 = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, A_3 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}. \) Por que o conjunto \( S = \{A_1, A_2, A_3\} \) não é uma base para o espaço vetorial das matrizes reais 2x2? Descreva uma estratégia para encontrar uma base para tal espaço, contendo essas 3 matrizes. 4) Sejam \( p_1 = t^2 - 2t + 1, p_2 = t + 2 \) e \( p_3 = 2t^2 - t. \) a) Escrever \( p = 5t^2 - 5t + 7 \) como combinação linear de \( p_1, p_2 \) e \( p_3. \) b) Determinar uma condição sobre as constantes \( a, b \) e \( c \) para que \( p = at^2 + bt + c \) seja combinação linear de \( p_2 \) e \( p_3. \)