Analise-de-Vibracao-Equacao-Movimento-Resposta-Criticamente-Amortecida

Uma barra de comprimento l massa não desprezível e momento polar de inércia J0 está em equilíbrio estático até que uma massa M cai de uma altura h sobre a mesma e permanece sem quicar Fig 1 Sabendo que a barra iniciará um movimento θt em torno do ponto O a partir do contato com a massa M determine o que se pede 1 A equação do movimento do sistema 15 pontos 2 As condições iniciais do sistema 15 pontos 3 A resposta do sistema sabendo que o mesmo é criticamente amortecido 1 ponto 4 Faça um esboço da resposta do sistema 1 ponto II 2ª Lei de Newton M0 J0 θ M x Fk l4 Fc3l4 J0 θ M x l4 k l θ4 l4 c 3l θ 4 3l4 7 m l² 48 θ M l² 16 θ θ 7 m l² 48 M l² 16 θ 9 cl 16 θ k l² 16 0 III Condições iniciais Imediatamente após a colisão Conservação de energia da massa Ep Ec M g h M v²2 v 2 g h Conservação de energia do sistema Ec M Ec θ M v² 2 meq 2 θ ² M 2 g h m l² 3 M l² 16 θ0 2 mgh 7 ml² 48 M l² 16 ¹ ¹² Novo ponto de eq estático devido ao peso do massa W Fk Mg SST k SST θ ST l4 Mg θ ST l4 k Obs Fk é contra o deslocamento e Fc ao movimento Sendo θ0 θ ST θ0 4 Mg k III Resposta do sistema criticomente amortecido θ t θ0 θ0 wn θ0 t ewnt Wn keq meq k l² 16 7 m l² 48 M l² 16 k l² 16 7 m l² 3 M l² 3 48 3 ke² 7 m l² 3 M l² θ t 4 Mg k 2 mgh 7 m l² 48 M l² 16 3 ke² 7 m l² 3 M l² 4 Mg k t et 3 k e² 7 m l² 3 M l² Quando um motor de 250 kg em repouso é montado na extremidade livre de uma viga Fig 2 observase no ponto de montagem uma deflexão de 15 cm na viga Querendo obter a resposta em vibração livre do sistema o engenheiro responsável realizou um teste logo após a montagem No teste aplicou uma pancada de baixo para cima no motor em repouso mediu o seu deslocamento através de um transdutor Fig 3 Além disso o fabricante do motor indica que durante o funcionamento este produz uma força vertical ft 500 sinwt N Baseandose nessas informações obtenha os seguintes dados 1 A equação do movimento do sistema com valores numéricos para os coeficientes 15 pontos 2 Determine a frequência da forca em Hertz que produz a máxima amplitude de deslocamento em regime permanente do sistema Determine também o valor da máxima amplitude 15 pontos 3 Caso o amortecedor do sistema falhe c 0 e o motor seja ligado na frequência w wn quanto tempo levaria para que a amplitude de vibração do sistema fosse oito vezes maior do que a máxima amplitude de funcionamento do sistema em boas condições OBS Assuma x0 0 e x0 0 e que o motor atinge w wn instantaneamente após ligado 2 pontos II 2a lei de Newton ΣF mx F Fc Ft mx kx c x F0 senwt mx mx c x kx F0 senwt III Acha os coeficientes Eq Estático W k δST k mg 250981 δST 0015 k 163500 Nm Decremento logaritmico S ln x1x2 2πξ1ξ2 S 1ξ22 2πξ2 S2 S2 ξ2 4π ξ2 ξ2 4π S2 S2 ξ S24π S2 S ln02956008198 ξ 02 wn km 163500250 wn 256 rads wn do motor w c 2ξ m wn 202250256 c 2560 Nsm Aplicando na equação do movimento m x c x kx F0 senwt 250 x 2560 x 163500 x 500 sen256 t IV Em regime permanente xpt X senwt Φ X F0k m w22 c w212 Máxima amplitude dXdw 0 ddwF02k2 m2 w4 2 k m w2 c2 w212 0 12 F024 m2 w3 4 k m w 2 c2 wk2 m2 w4 2 k m w2 c2 w22 0 4 m wm w2 k 2 c2 w 0 c22m m w2 k w km c22 m2 163500 25602250 22502 wn 2452 rads Xmáx F0 k m ωn22 c ωn2 12 Xmáx 500 163500 250245222 256024522 12 Xmáx 00078 m V Ressonância W Wn r 1 ф 90 Resposta do sistema X0 0 e Ẋ0 0 xt X0 cos Wn t Ẋ0Wn Sen Wn t δStk0 Wn t 2 sen Wn t Deslocamento estático devido à força harmônico F0 keq δSt k0 δStk0 F0 keq 500 163500 306 103 m xt δ Xmáx δSt k0 Wn t 2 sen Wn t 1 t δ Xmáx 2 δStk0 Wn 00078 2 000306 256 t 159 s Questão do macacão 2 maçãs penduradas no galho vibrio c o vento subamortecido e a amplitude cai pelo método x1 x2 2 a cada ciclo O vento para de soprar e uma maçã cai o galho oscila de novo mas para num ponto 3 cm acima de antes X1 X2 2 δSt 003 m a Qual a frequência natural do sistema W keq δSt mg keq δSt keq mg δSt Wn keq m mg δSt m g δSt 981 003 Wn 1808 rad s b Determine o tempo necessário para que após a queda a oscilação decaia de X Xe1 Solução do sistema amortecido xt X0 eξ Wn t cos Wd t ф0 Para X Xe1 ξ Wn t 1 t 1 ξ Wn após a queda ξ c cc c1 c2 característica do sistema c1 c2 cc 2 kmeq c1 c2 ξ1 c1 ξ2 c2 ξ2 ξ1 c1 c2 Pelo decremento logarítmico calculamos ξ1 δ ln X1 X2 2π ξ 1 ξ2 ln 22 2πξ 1 ξ22 4 π2 ξ2 1 ξ2 ln 2 ξ2 ln 2 4 π2 ξ ln 2 2 4 π212 ξ1 013 ξ2 ξ1 2kn 0132 ξ2 018 t 1 ξ2Wn 1 018 1808 t 03 s c condições iniciais A oscilação ocorre por conta do deslocamento inicial δST não há aplicação de impulso x0 0 x0 003 m Dicas importantes 1 condições iniciais 2 Qual o ponto de equilíbrio em torno do qual o sistema vai oscilar 3 As propriedades do sistema não mudam k e c 21 A Um homem cai de uma altura h 3 m e é resgatado por uma rede de segurança O conjunto formado pelo homem e pela rede pode ser modelado como um sistema de um grau de liberdade criticamente amortecido Sabendo que a massa do homem é de 70 kg e rigidez da cama pode ser representada por uma constante de rigidez equivalente de k 4000 Nm determine o que se pede 1 DCL antes depois II Ponto de equilíbrio e cond iniciais δST W δSTk δST mgk 709814000 δST 017 m Pelo conservação de energia Ep Ec x mg h mv²2 V 2gh 29813 V767 ms Cond Iniciais x0 017 m x0 767 ms III Resposta do Sistema Criticamente Amortecido ξ1 xt x0 x0 x0Wnt eξWnt ξ1 Wn km 400070 Wn 756 rads Amplitude máxima ocorre em dxdt 0 Wn eWnt x0x0 x0Wnt eWnt x0 x0Wn 0 x0 x0Wn ξWn x0 x0 Wn t x0 t 1Wn x0 x0 x0 Wn 1756 017 767 017 756 tmáx 016 s x tmáx 017 767 017 756 016 e756016 xmáx 025 m IV Desaceleração média a ΔvΔt 00767 016 a 4793 ms² O sistema abaixo gira em torno do ponto o e é composto de uma barra de massa desprezível um cilindro com massa mc e massas distintas em cada uma das extremidades como ilustra a figura O sistema oscila a partir do movimento prescrito yt Y sinwt Baseandose nessas informações determine 1 A equação do movimento do sistema 2 pontos 2 As expressões para a frequência natural e para o fator de amortecimento do sistema 1 ponto 3 A resposta permanente do sistema 1 ponto θmch²3 Mb² ma² θ c₁b² θ k₁b² k₂a² k₃a² k₃a k₃a sinwt Wn km Wn k₁b² k₂a² k₃a² Jo Mb² ma² ξ c 2 km ξ c₁b² 2 k₁b² k₂a² k₃a² Jo Mb² ma²12 θpt Θ sen wt φ Θ Mo k mw²² cw²12 φ atg cw k mw² Θ k₃a k₁b² k₂a² k₃a² Jo Mb² ma² w²² c₁b² w²12 φ c₁b² w k₁b² k₂a² k₃a² Jo Mb² ma² w² Um homem cai de uma altura h sobre uma rede de segurança criticamente amortecida com massa desprezível Após a queda o conjunto homemrede de segurança sofre um deslocamento máximo de 005 m a partir do seu ponto de equilíbrio Determine o que se pede com base nos dados fornecidos Massa do homem m 85 kg e rigidez da rede k 40kNm 1 Faça um esquema de um sistema de 1GDL representando o conjunto homemrede instantes antes da queda 1 ponto 2 Sem precisar calcular esboce a resposta xt esperada do sistema de acordo com o esquema apresentado no Item 1 1 ponto 3 Equacione o problema para determinar a altura h da queda do homem 3 pontos Xo δsτ e Xo 2gh xt δsτ 2gh δsτ km t eωnt xt umax005 dxmaxdt0 X tmax0 tmax Xo002 II No deslocamento máximo dxdt0 X ωneωnt Xo Xo ωnXot eωnt Xo ωnXo Xmáx0 Xo ωnXo ωnXo ωnt Xo ωnXo ωnt Xo Xo ωnXo tmax Xo ωnXo ωnXo Aplicando tmax em xt encontramos X Xmáx Xo Xo ωnXo tmax eωntmax 005 Xo Xo ωnXo Xo ωn Xo ωnXo eXoXo ωnXo 005 Xo Xo ωn eXoXo ωnXo 005 002 Xo 217 eXo 0434 005 Iterando achamos Xo 3 ms Xo V 2gh h Xo2 2g 32 2981 h 046 m 212 B Dado o sistema com vibração prescrita yt na base como ilustra a Figura 1 determine 1 A equação do movimento 2 pontos 2 A expressão para a frequência natural do sistema 1 ponto 3 A resposta permanente θpt dos sistema 2 pontos X2 aθ X2 aθ X bθ X bθ X1 cθ X1 cθ yt Y cosωt y γω sinωt I DC L FM2 k X2 kaθ Fc2 c2 X2 c2 aθ Fc1 c1 X1 y c1 cθ γω sin ωt Jo Jc mb2 mpl2 12 mb2 II 2ª lei de Newton ΣMo Jo θ M X b Fc1 c Fk2 a Fc2 a Jo θ mb2 θ c c1 θ y ka a2 θ c2 a2 θ Jo θ Mb2 θ θ mpl2 12 b2 m M θ c2 a2 c1 c2 θ ka a2 γω c1 senωt empty III Wn sqrtkm Wn sqrtk2a2 J0 Mb2 IV Resposta Permanente θn 0 θt θpt θt M senwt φ M Mo sqrtk mw22 cw212 M sqrtwc C k2a2 J0 Mb2w22 c2a2 c1C22 w2 12 φ atgcw k mw2 φ atgwc2a2 c1b2 k2a2 J0 Mb2w2