Exercício Al 1 Resolvido-2022 1

Escolha o valor de α que faz com que a função linear S: ℝ^3 → ℝ^3 dada abaixo seja inversível: S(x, y, z) = (αy - z, -3x + y - 3z, 3x + 2y + 2z). Resposta: α: 2/3 Utilizando o valor de α que faz a função S ficar inversível, complete a fórmula abaixo para determinar a inversa de S: (Observação: você deve escrever todos os coeficientes, inclusive 0, 1 e -1.): S⁻¹(x, y, z) = 1/3 ( x + y + z, x + y + z, x + y + z) Seja S: ℝ^3 → ℝ^3 uma função linear dada por S(x, y, z) = (αy - z, -3x + y - 3z, 3x + 2y + 2z) A matriz canônica de S é dada por [S] = | 0 α -1 | | -3 1 -3 | | 3 2 2 | Sabe-se que uma função linear é inversível se a matriz que a representa é inversível, logo, S é inversível se det([S]) ≠ Ø. Temos det([S]) = | 0 α -1 | | -3 1 -3 | | 3 2 2 | desenvolvimento pelo 1ª linha = 0 - α(-6 + 9) + (-1) ( -6 - 3) => = -α (3) + 9 = -3α + 9 Logo, -3α + 9 = 0 se α = 9/3 = 3 Ou seja, se α = 3, o det [S] = 0, logo, S não é inversível! Portanto, se α ≠ 3 a função S é inversível. Agora vamos determinar S⁻¹(x, y, z). Seja S⁻¹(x, y, z) = (a, b, c) então (x, y, z) = S(a, b, c) = (2b - c, -3a + b - 3c, 3a + 2b + 2c) Logo, { 2b - c = x (1) {-3a + b - 3c = y (2) {3a + 2b + 2c = z => {-b = x - y - z => b = -x + y + z De (1) com b = -x + y + z, temos -2(x + 2y + z) - c = x -2x + 2y + z - x = c c = -3x + 2y + z De (12) temos -3w = y - b + 3c -3w = x + λx + y - 3y - 9x + 6y + 6z -3w = -8x + 6y + 5z w = 8x - 6y - 5z ------------------ 3 Portanto, S⁻¹(x, y, z) = (8x - 6y - 5z , -x + y + 3 , -3x + 2y + 4z) ------------------------- 3 Resposta S⁻¹(x, y, z) = 1 (8x - 6y - 5z , -3x + 3y + 3z , -9x + 6y + 6z) 3