Lista 1 - Álgebra Linear

Do not pity the dead, Harry. Pity the living, and above all those who live without love. (b) A interseção de dois subespaços de um espaço linear V sempre pro- duz um subespaço de V? (c) A soma de dois subespaços de um espaço linear V sempre produz um subespaço de V? (d) Se são elementos de um espaço linear V, en- tão qual é o menor subespaço que contém S? (e) Qual a relação entre os conceitos de soma e união de subespaços? (f) Definir soma direta de subespaços. Que propriedade distingue esta soma da soma usual de subespaços? (g) ? Respostas: (a) Não. Vimos contra-exemplo em aula (qual?), (b) Sim. Isso foi provado em aula, (c) Sim. Isso foi provado em aula, (d) por definição, é o subespaço gerado por , (e) soma direta de dois subespaços A e B é a soma quando e têm em comum apenas o elemento zero, (g) Sim. Vimos em aula que qualquer matriz pode ser escrita (de modo único!) como uma soma de uma matriz simétrica com uma matriz anti-simétrica. Q5- Seja o conjunto dos números reais positivos. Definimos soma de elementos de V e produto por escalar da seguinte forma: (no lado direito temos o produto usual de dois números reais e (no lado direito temos o número real x na potência ) . V é ou não espaço vetor? Justifique sua resposta em detalhe. Resposta: é um espaço linear. Verifique os oito axiomas. Q6- Quais dos seguintes subconjuntos de são subespaços? Justifique. (a) (b) Resposta: (a) Não, pois pertence a , mas não pertence a , (b) Sim. Mostre que é subespaço do verificando as condições de subespaço. Q7- Seja o conjunto de todas as funções reais diferenciáveis sobre o inter- valo tais que . Definindo a soma de funções e o produto por escalar da forma usual, indaga-se: é um espaço linear? Responda à mesma indagação para o caso onde as funções do conjunto, neste caso denotado , satisfazem . Resposta: é espaço linear, por ser subespaço do espaço linear das funções de em . Basta verificar as condições de subespaço. não é subespaço, pois se , então não pertence a , pois . Q8- O vetor pertence ao subespaço do gerado pelos vetores e ? Sugestão: pertence ao subespaço gerado pelos vetores se puder se escrito como uma combinação linear dos vetores , ou seja, devem existir escalares e tais que Q9- Seja V o espaço linear das funções . Seja o subconjunto das funções pares, . Seja o subconjunto de V formado pelas funções ímpares, . Responda às indagações: (a) é subespaço de V? (b) é subespaço de V? (c) ? (d) ? Respostas: (a) Sim, (b) Sim, (c) , (d) . Q10- Os vetores , são linearmente independentes em ? Determinar uma base do subes- paço do gerado por estes quatro vetores. Resposta: Basta escaloná-los e selecionar os vetores LI resultantes. Q11- Seja V o espaço linear das matrizes simétricas de ordem três com coefi- cientes reais, . Qual é a dimensão de V? Justifique sua resposta. Obtenha uma base para V. Resposta: . Q12- Encontre um conjunto de vetores geradores dos seguintes subespaços do . (a) ; (b) . Resposta: (a) , (b) . Q13- Considere no os seguintes subespaços vetoriais: e Determine um conjunto de vetores geradores de . Resposta: . Q14- Obter uma base e a dimensão do subespaço S do dado por e . Q15- (Revisão) Responda detalhadamente. (a) Comente a seguinte afirmativa: todo espaço linear possui uma base. (b) Defina dependência e independência linear, base e dimensão. (c) Dados m vetores do , como determinar se eles são LD? Mais geralmente, como determinar a dimensão do subespaço W gerado por estes vetores? (d) Dado um vetor qualquer do , como determinar se este vetor é uma combinação linear dos m vetores citados no item (c), isto é, se o vetor pertence a W? (e) Em um espaço linear de dimensão finita n, uma base de V se forem LI OU gerarem V. Esta afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique. Q16- Encontre uma base para , onde ; . Q17- Dado o seguinte subespaço de , determine um subespaço tal que . Q18- Seja U o subespaço gerado por e . Determinar uma base e a dimensão de e de . Resposta: , e logo . dim , logo . Q19- O conjunto das matrizes que que possuem traço nulo forma um subespaço de ? Justifique sua resposta em detalhe. Resposta: Sim. Este conjunto está contido em (que vimos ser espaço linear) e por isso basta verificar as condições de subespaço. Q20- Considere o seguinte conjunto . Este subconjunto é linearmente independente? Justifique detalhadamente. Construa a partir deste conjunto uma base para . Resposta: é linearmente independente. é uma base para . Q21- O polinômio pertence ao subespaço de gerado pelo conjunto ? Justifique detalhadamente sua resposta. Resposta: Não. Como qualquer combinação linear dos três polinômios deve anular-se em e o polinômio dado não anula-se em , não é possível representá-lo como uma combinação linear dos três polinônios dados. Q22- Considere os seguintes subespaços lineares do : e , , , Determine uma base e a dimensão para . Resposta: é uma base para e dim( ) = 3. Q23- Determinar uma base e a dimensão para o espaço solução do seguinte sistema linear homogêneo: , , Resposta: é uma base para e dim : . Q24- Seja M o conjunto das matrizes com coeficientes reais da forma: M é ou não um espaço vetorial? Justifique detalhadamente sua resposta. Resposta: Sim. Q25- Determine a dimensão do subespaço linear Encontre uma base para S. Q26- Estenda a uma base de . Q27- Que condições os coeficientes da matriz E devem satisfazer de modo que E, descrita a seguir, pertença ao subespaço gerado pelas matrizes A, B e C? Q28- Classifique as afirmações como V (verdadeiro) ou F (falso), justificando sua resposta em cada caso. O espaço linear zero não admite base. Qualquer espaço linear que é gerado por um conjunto finito tem uma base. Qualquer espaço linear tem uma base finita. Um espaço linear pode ter mais de uma base. Q29- O conjunto das soluções para o sistema linear , é um subespaço do (verifique). Encontre uma base para . Q30- Sejam , e (a) Verifique que é subespaço de . (b) Encontre uma base para e determine a dimensão de . (c) Encontre um subespaço de tal que . Q31- O conjunto das matrizes com traço igual a zero é um subespaço de (verifique). Encontre uma base para . Qual é a dimensão de ? Q32- O conjunto das matrizes anti-simétricas é um subespaço de (verifique). Encontre uma base para . Qual é a dimensão de ? Q33- Seja um número natural dado. Dado um polinômio de grau , verifique que: gera .