Lista 3 Fisica III - Exercicios sobre Capacitancia e Dielétricos UFSC

FSC 5113 Física III LISTA 3 Paweł Klimas Universidade Federal de Santa Catarina Trindade 88040900 Florianópolis SC Brazil Dated May 7 2019 1 Calcule capacitância equivalente de um sistema de cinco ca pacitores de capacitâncias C mostrado na Fig1 Considerando C 100µF calcule os valores das cargas elétricas nas placas dos capacitores e as diferenças de potenciais entre as placas para Vab 45V Figure 1 2 Calcule capacitância equivalente de um sistema de cinco ca pacitores de capacitâncis C 2C e 3C mostrado no Fig2 Figure 2 3 Calcule capacitância equivalente de um sistema de cinco ca pacitores de capacitâncis C 25µF mostrado no Fig3 Figure 3 4 Considere um capacitor com duas palcas planas paralelas mostrado no Fig4 O capacitor está preenchido por três tipos de materiais dielétricos com permissividades 1 2 3 As áreas das superficies de contacto dos materiais dielétricos com a placa metalica tem valores A1 A2 e A3 A distancia entre as placas condutoras tem valor d e a voltagem tem valor V Encontre a formula para capacitância deste capacitor Calcule as cargas elétricas que parmanecem nas superfiícies A1 A2 A3 para V 10V A1 1cm2 A2 3cm2 A3 3cm2 e d 1cm 1 150 2 20 3 120 Figure 4 5 Caclule capacitância de um capacitor com duas placas planas paralelas preenchodo por três tipos de materiais dielétricos com permissividades 1 2 3 A área das placas condu toras tem valor A e as espesuras dos dielétricos são a b c respetivamente Veja Fig5 Figure 5 6 Considere um capacitor com duas palcas planas paralelas mostrado no Fig6 As áreas de contato de dielétricos caracter izados por permissividades 1 2 3 com as placas metáli cas são A1 A2 A3 A2 e A3 A espessura de primeiro dielétrico tem valor a e para outros dois tem valor b Calcule capacitância deste capacitor Figure 6 7 Um capacitor esfêrico de raios das esferas condutoras R1 e R2 está preenchodo por dois materiais dielétricos com per missividades 1 e 2 veja Fig7 Calcule capacitância deste capacitor 2 Figure 7 8 Um capacitor cilíndrico de raios dos cilíndros condutiores R1 e R2 e comprimento L está preenchodo por dois materiais dielétricos com permissividades 1 e 2 veja Fig8 Calcule capacitância deste capacitor Figure 8 9 Um capacitor cilíndrico de raios dos cilíndros condutores R1 e R2 e comprimento L está preenchodo por dois materiais dielétricos com permissividades 1 e 2 A metade do vol ume entre as placas não contem nenhum dielétrico veja Fig9 Calcule capacitância deste capacitor Figure 9 10 Calcule capaticância do capacitor plano mostrado no Fig10 O capacitor esta preenchodo por dois dielétricos homogeneos com permissividades 1 e 2 O s dimensões do capacitor Hdistancia entre as placas Lcomprimento Slargura Figure 10 11 Calcule a densidade de energia do campo elétrico em caso de capacitores mostrados em Fig7 e Fig8 Considere que nas placas encontrase a carga eletrica Q Calcule a energia total integrando a densidade de energia no espaço Calcule esta en ergia como energia de um capacitor Compare este resultado com resultado anterior 12 No centro de uma bola dielétrica de raio R encontrase a carga pontual q O material dielétrico possui a permissividade dielétrica const a Calcule campo elétrico em todo espaço b Calcule vetor de polarização P em coordenadas esféri cas Mostre que r P 0 no interior da esfera c Calcule densidade superficial da carga polarizada σp na superficie r R Calcule o valor total da carga polar izada qp nesta superficie Questão 2 V Va Vb caminho 12 V1 V2 V caminho 43 V4 V3 V caminho 153 V1 V5 V3 V nós x Q1 Q5 Q2 0 Y Q3 Q5 Q3 0 eliminamos cargas C4 V1 C5 V5 C2 V2 0 C3 V5 C5 V5 C3 V3 0 V1 V2 V V3 V5 V V1 V3 V5 V C4 V1 C2 V2 C5 V5 0 C3 V3 C4 V4 C5 V5 0 sistema linear de equações C1 C2 C3 C4 C C5 2C V1 V2 V V3 V5 V V1 V3 V5 V V5 V V1 V3 V1 V2 2 V5 0 V3 V1 2 V5 0 V1 V2 V V3 V4 V V1 V2 2 V1 2 V3 2 V 0 1 V3 V4 2 V1 2 V3 2 V 0 V1 V2 V V3 V4 V V4 V V3 3 V1 V2 2 V3 2 V 2 V1 3 V3 V4 2 V V1 V2 V 3 V1 V2 2 V3 2 V V1 V2 V 2 V1 3 V3 V V3 2 V V1 V2 V 3 V1 V2 2 V3 2 V 2 2 V1 4 V3 3 V 6 V1 2 V1 2 V2 5 V3 5 V3 5 V 3 V LISTA 3 Questão 1 Calcular capacitância equivalente deste sistema C 100 nF Vab 45 V Este problema pode ser resolvido pela sucessiva substituição pelos sistemas equivalentes Co 1 Co 1 2C 1 C 3 2C Co 2 3 C CAPACITÂNCIA EQUIVALENTE Ceq 2C Co 2 2 3 C 8 3 C cargas nas placas dos capacitores Q Ceq V 2 Q1 Qo 2 C V 2 3 C V Q1 C V Qo 2 3 C V V1 V2 V 4V1 2V2 V 6V1 3V V1 V2 V2 V V1 V2 Temos a equação 3V1 V2 2V3 2V 32 V V2 2V3 2V 2V3 V V3 V2 V4 V V3 V2 V5 V V1 V3 V 12 12 0 V1 V2 V3 V5 V2 V5 0 É como se fosse o capacitor C5 não existir Capacitância equivalente Q Q1 Q5 Ceq V C1 V1 C5 V5 Ceq V C V2 C V2 C V Ceq C Questão 4 Capacitor preenchido por 3 dielétricos Diferença de potenciais é a mesma em todos os pontos das placas Em 3 regiões existe campo elétrico E E z vetor constante V ab Edl E d independente da região condições de contorno na placa inferior D1 σ1 D2 σ2 D3 σ3 ε1 E σ1 ε2 E σ2 ε3 E σ3 capacitância C σ1 A1 σ2 A2 σ3 A3 E d ε1 A1 ε2 A2 ε3 A3 E E d C ε1 A1 ε2 A2 ε3 A3 d cc0 1c 1c 2c 1c0 2c Ceq c2 c2 c Questão 3 1Ceq 132 c 132 c 232 c 13 c 14 Ceq 34 c Questão 5 Capacitor com preenchimento em camadas Capacitores C QV σAV Campo elétrico em três regiões E1 E1 z E2 E2 z E3 E3 z Voltagem V P0P1 E d l E1 a E2 b E3 c Condições de contorno placa D1 σ ε1 E1 σ interface D2 D1 D3 D2 ε2 E2 ε1 E1 ε3 E3 ε2 E2 E2 ε1ε2 E1 E3 ε2ε3 E2 ε2ε3ε1ε2 E1 1C a E1 b ε1ε2 E1 c ε1ε3 E1ε1 E1 A 1C1A aε1 bε2 cε3 Questão 6 4 regiões Ansätze E12 E12 z E2 E2 z E3 E3 z E13 E13 z V c1 E d l 1 E12 a E2 b c2 E d l E13 a E3 b podemos eliminar E13 ou E12 Condições de contorno placa inferior D12 σ12 ε1 E12 σ12 D13 σ13 ε1 E13 σ13 superfície de interface D2 D12 ε2 E2 ε1 E12 D3 D13 ε3 E3 ε1 E13 carga na placa interior Q σ12 A2 σ13 A3 ε1 E12 A2 ε1 E13 A3 E12 ε2ε1 E2 E13 ε3ε1 E3 capacitância C ε1 A2 E12 ε1 A3 E13 E12 a E2 b Temos a relação E12 a E2 b E13 a E3 b E12 E13 a E3 E2 b ε2ε1 E2 ε3ε1 E3 a E3 E2 b ε2ε1 a b E2 ε3ε1 a b E3 ε1 ε2 a ε1 b E2 ε3 a ε1 b E3 ε₂ a ε₁ b E₂ ε₃ a ε₁ b E₃ E₃ ε₂ a ε₁ b ε₃ a ε₁ b E₂ C ε₁ A₂ E₁₂ ε₁ A₃ E₁₃ E₁₂ a E₂ b ε₁ A₂ ε₂ ε₁ E₂ ε₁ A₃ ε₃ ε₁ E₃ ε₂ ε₁ E₂ a E₂ b ε₂ A₂ E₂ ε₃ A₃ ε₂ a ε₁ b ε₃ a ε₁ b E₂ ε₂ ε₁ a E₂ b E₂ ε₁ ε₂ A₂ ε₁ ε₃ A₃ ε₂ a ε₁ b ε₃ a ε₁ b ε₂ a ε₁ b C ε₁ ε₂ ε₂ a ε₁ b A₂ ε₁ ε₃ ε₃ a ε₁ b A₃ Questão 7 CAPACITOR ESFÉRICO ANSATZ E₁ α₁ r r² E₂ α₂ r r² VOLTAGEM V c₁ E₁ d r α₁ R1R2 dr r² α₁ 1 rR1R2 α₁ 1 R₁ 1 R₂ V c₂ E₂ d r α₂ 1 R₁ 1 R₂ α₁ α₂ E₁ E₂ α r r² Condições de contorno na placa interna D₁ σ₁ ε₁ α R₁² σ₁ D₂ σ₂ ε₂ α R₁² σ₂ Carga na placa interna Q 2π R₁² σ₁ 2π R₁² σ₂ 2πα ε₁ ε₂ Capacitância C Q V 2πα ε₁ ε₂ 1 R₁ 1 R₂ 2π ε₁ ε₂ 1 R₁ 1 R₂ Questão 8 Capacitor cilíndrico Este problema é análogo ao problema anterior E₁ α₁ r r E₂ α₂ r r V c₁ E₁ d r c₂ E₂ d r V α₁ ln R₂ R₁ α₂ R₂ R₁ α₁ α₂ E α r r V α ln R₂ R₁ questão 9 CAMPO E0 α0r ṙ E1 α1r ṙ E2 α2r ṙ V c1 E dr α0 ln r R1R2 α0 ln R2R1 V c2 E dr α1 ln R3R1 α2 ln R2R3 α0 ln R2R1 α1 ln R3R1 α2 ln R2R3 condições de contorno na placa interna R1 D1 σ1 ε1 E1 σ1 ε1 α1 R1 σ1 D0 σ0 ε0 E0 σ0 ε0 α0 R1 σ0 condição na sup de interface P2 R3 P1 R3 ε2 E2 R3 ε1 E1 R3 ε2 α2 R3 ε1 α1 R3 ε1 α1 R1 σ1 ε0 α0 R1 σ0 ε2 α2 ε1 α1 capacitância CΦV πR1 σ0 πR1 σ1L α0 ln R2R1 πR1 ε0 α0 R1 πR1 ε1 α1 R1L α0 ln R2R1 πL ε0 α0 ε1 α1 α0 ln R2R1 πL ln R2R1 ε0 α1α0 ε1 Da relação α0 ln R2R1 α1 ln R3R1 α2 ln R2R3 ε1ε2 α1 α0 ln R2R1 α1 ln R3R1 ε1ε2 ln R2R3 α1α0 ln R2R1 ln R3R1 ε1ε2 ln R2R3 condições de contornos na placa interna D1 σ1 ε1 α R1 σ1 D2 σ2 ε2 α R1 σ2 carga na placa interna Q π R1 L σ1 π R1 L σ2 π R1 L ε1 α R1 ε2 α R1 π L α ε1 ε2 capacitância C Φ V π L α ε1 ε2 α ln R2 R1 C π L ε1 ε2 ln R2 R1 Um capacitor preenchido em camadas possui a capacitância aula carga na placa dq σ dA σ S dx Tensão elétrica V E dl E1 E1 ŷ E2 E2 ŷ V Ey dy E1 dy E2 dy E1 y E2 H y condições de contorno na placa inferior D1 σ ε1 E1 σ na sup de interface D1 D2 ε1 E1 ε2 E2 E2 ε1ε2 E1 V E1 y ε1ε2 E1 H y capacitância de um capacitor infinitesim dC dqV σ S dxV S ε1 E1 dx E1 y ε1ε2 H y S dx 1ε1 y 1ε2 H y dC S dx 1ε1 1ε2 y 1ε2 H y HL x dC S dx 1ε1 1ε2HL x Hε2 S dx α x β C dCx 0 to L S dx α x β u α x β du α dx sα duu sα ln u evaluated at β to α L β sα ln α L ββ sα ln 1 αβ L not provided Questão 11 Densidade de energia de capacitor esférico e cilíndrico preenchidos em para pelos por dois dielétricos Dielétrico Densidade de energia u 12 E D E d³x u u1 12 E1 D1 12 E1 ε1 E1 ε12 E1² u2 12 E2 D2 12 E2 ε2 E2 ε22 E2² No caso de preenchimento em questão E1 E2 α r r² cap esférico E1 E2 β r r cap cilíndrico Constantes α e β dependem de voltagem atual nos placas do capacitor Seja V valor fixo de voltagem V ₘ E dl ₘ E1 dl α R₁R₂ dr r² α 1r R₁R₂ α 1R₁ 1R₂ cap esférico Similarmente para o capacitor cilíndrico temos V ₘ E dl ₘ E1 dl β R₁R₂ dr r β lnR₂ R₁ α V 1R₁ 1R₂ cap esférico β V lnR₂ R₁ cap cilíndrico r esférico ua εa2 α² r⁴ a 1 2 r cilíndrico ua εa2 β² r² a 1 2 c sα ln 1 α β L s 1r1 1r2 HL ln 1 1ε1 1ε2 HL ε2 H s L H ln 1 1ε1 1ε2 ε2 1ε1 1ε2 s L H ln x ε2ε1 x 1ε1 1ε2 s L H ln ε2 ε1 1ε1 1ε2 onde ε2 ε1 0 C s L H ln ε2 ε1 1ε1 1ε2 Energia armazenada no capacitor calculada integrando densidade de energia E v u d3x v1 u1 d3x v2 u2 d3x capacitor esférico E 02π dφ 0π2 dθ sinθ R1R2 dr r2 u1r 02π dφ π20 dθ sinθ R1R2 dr r2 u2r 2π ε12 α2 R1R2 dr r2 1r2 ε22 α2 R1R2 dr r2 1r2 2π α22 ε1 ε2 R1R2 drr2 12 α2 2πε1 ε2 1R1 1R2 12 2 1R1 1R22 2π ε1 ε2 1R1 1R2 12 2π ε1 ε2 1R1 1R2 V2 C capacitância problema 7 Podemos ver que esta energia tem a forma E 12 CV2 isto é a forma de trabalho realizado para carregar um capacitor capacitor cilíndrico E v u d3x v1 u1 d3x v2 u2 d3x 0L dz 0π dφ R1R2 dr r u1r 0L dz 0π dφ R1R2 dr r u2r πL β2 ε12 R1R2 drr β2 ε22 R1R2 drr πL β2 12 ε1 ε2 ln R2R1 12 πL ε1 ε2 V2 ln R2R12 12 πL ε1ε2 ln R2R1 V2 C E 12 CV2 Trabalho realizado para carregar um capacitor é igual a energia armazenada no campo elétrico dele Questão 12 Bola dielétrica com carga pontual no seu centro ε₀ ε 2 Lei de Gauss em dielétrico ₛ Dda Qenc carga livre Ansatz D Dr r Gaussiane da r r² dΩ dΩ sinθ dθ dɸ Dr r² dΩ Qencr const 4π r² Dr Qencr Dr Qencr4π r² q4π r² Esta fórmula vale em região 1 e 2 D₁r D₂r 14π qr² o campo elétrico E₁r E₂r D₁r ε₁E₁r D₂r ε₀E₂r espaço vazio fora da esfera dielétrico E₁r 14πε qr² E₂r 14πε₀ qr² campo não é contínuo na superfície rR o vetor de polarização P ε₀E P P D ε₀E P₁ D₁ ε₀E₁ ε ε₀ E₁ ε ε₀4πε qr² rr² q4π 1 ε₀ε rr² P₂ D₂ ε₀E₂ ε₀E₂ ε₀E₂ 0 P₁ q4π 1 ε₀ε rr² P₂ 0 o Divergente de vetor de polarização P ρig o P₂ 0 P₁ P₁ é um vetor radial P₁ αr² r α q4π 1 ε₀ε P 1h₁h₂h₃ r Prr h₂h₃ θ Pθ h₁h₃ ɸ Pɸ h₁h₂ 1r² sinθ r Prr² sinθ 1r² r r² Pr D₂R D₁R ε₀E₂₁R ε₁ E₁₁R 4 4 4π ε₀R² 4π εR² OK carga polarizada na superfície é igual o componente normal do vetor de polarização tomando na superfície Pₙ lim r R r P₁ lim r R 4 π 1 ε₀ε 1r² 4 π 1 ε₀ε 1R² Este resultado é igual a descontinuidade de componente radial do campo elétrico na superfície dividida por ε₀ E₂ r R E₁ r R 4πε₀ 1R² 4πε 1R² 4πε₀ 1 ε₀ ε 1R² 1ε₀ Pₙ σₚε Explicação microscópica qₚ 4 πR² σₚ carga polarizada na superfície da bola corpo central livre gera campo elétrico radial que polariza dielétrico causando alinhamento de dipolos elétricos como consequência temos efeito de blindagem Fluxo de campo elétrico pela superfície esférica S₁ Eᵢ dā dU 4π 14πε qr² qε qε₀ O corpo elétrico é mais fraco 4ε 1ε₀ ε₀ε q E₁d a 1ε₀ ε₀ε q q Se fosse no espaço vázio este campo seria produzido por carga menor q q ε₀ε ψ Este efeito chamase BLINDAGEM Na vizinhança de carga q ε₀ε ψ q ψ ε₀ε ψ q 1 ε₀ε ψ q qₚ qₚ carga polarizada na vizinhança de carga q blinda ψ carga polarizada na superfície da bola σₚ R² dΩ q4π 1 ε₀ε 1R² R² dΩ4π 1 ε₀εψ qₚ ₛ₂ E₂ d a 1ε₀ q 1ε₀ q qₚ qₚ Fluxo do campo elétrico pela superfície de raio r R é igual ao fluxo do campo gerado pela carga q Carga polarizada na sup da bola cancela o efeito da carga polarizada na vizinhança da carga q