Lista de Exercícios Física III - Energia Potencial e Potencial Elétrico

FSC 5113 Física III LISTA 2 Paweł Klimas Universidade Federal de Santa Catarina Trindade 88040900 Florianópolis SC Brazil Dated November 3 2020 I ENERGIA POTENCIAL E POTENCIAL ELÉTRICO 1 Duas cargas elétricas puntifiormes q1 q2 q encontram se no eixo x em pontos x a e x a Calcule o trabalho realizado pela força externa que transporta a carga q0 ao longo do eixo y no caminho x 0 de y 1 até y 0 Mostre que este trabalho e igual a energia da carga q0 no campo das cargas q1 e q2 Calcule a energia total da configuração de três cargas 2 Considere três cargas no eixo x q1 q em x a q2 2q em x 0 e q3 q em x a Uma força externa transporta a carga teste q0 no caminho entre pontos inicial P0x0 a 2 y0 e final P1x1 a 2 y1 Calcule trabalho realizado pela força energia da carga q0 em ponto P0 e em ponto P1 Compare a diferença de energias da carga q0 em pontos P0 e P1 com o trabalho realizado pela força externa 3 Condidere oito cargas pontiformes que ocupam os vértices de um cubo de lado a Quatro delas são positivas iguais com valor q e outras quatro são negativas iguais com valor q As cargas são distribuidas de tal maneira que em torno de cada carga as cargas vizinhas mais proximas tem sinais opostas com relação a dada carga Calcule a energia eletrostática to tal de tal configuração Calcule a energia da carga de prova q0 colocada no centro do cubo Qual é o valor do trabalho necessario para transportar a carga de prova de infinito para o centro do cubo 4 Uma casca esférica fina de raio R possui densidade da carga superficial σ0 const Calcule o potencial elétrico fora e dentro da casca 5 Uma casca esférica grossa de raio interno a e raio externo b possui densidade volumétrica de carga 0 const Calcule o potencial elétrico desta configuração em todo espaço 6 Calcule o potencial elétrico de uma distribuição linear in finita z 2 1 1 de carga elétrica dada por densidade λ0 const assumindo que em distancis r r0 sendo r a cordenada radial cilíndrica o potencial V r0 0 7 Calcule o potencial elétrico em todo espaço de um cilíndro infinito fino de raio R que possui a densidade superfícial de carga elétrica σ0 const assumindo que em distancis r r0 R sendo r a cordenada radial cilíndrica o potencial V r0 0 II OPERADORES GRADIENTE DIVERGENTE E ROTACIONAL 8 Calcule o gradiente das funções fx y z x2 y2ez2 gr a r4 onde a const hr φ z rcos2φ 9 Calcule o campo elétrico E dos seguintes potenciais V x y z kq p x2 y2 z2 V r k p r r3 onde p const V φ z λ0 20 ln 0 em coordenadas cilíndricas V r φ 8 0 30 3 2b2 a2 para r a 0 30 h 3 2b2 r2 2 a3 r i para a r b 0 30 b3a3 r para r b 10 Calcule divergênte e rotacional do campo vetorial F frˆr em coordenadas Cartesianas e esfericas onde r p x2 y2 z2 e fr é uma função arbitrara da coordenada radial 11 Calcule divergênte e rotacional do campo vetorial F fr aˆ em coordenadas Cartesianas e cilindricas onde p x2 y2 é uma coordenada radial cilindrica r zˆz e a é um vetor constante arbitrario u a² y² du 2ydy w kq₀qk du2 u32 q₀q du u32 a² a² q₀qk u12 2 q₀qk2 0 1a 2q₀qa 1 LISTA 2 1 y x a 0 a q q q₀ y Quando acarga ocupa a posição r₀ 00 a energia potencial dela é U U₁ U₂ k q₀qr₁r₀ k q₀qr₂r₀ onde r₁ a0 r₂ a0 r₁r₀ a r₂r₀ a U k 2q₀qa 2 Trabalhos realizados pela forca exten para deslocar a carga q₀ de ate 00 W Fext dr Fcel dr Fcel q₀ E₁ q₀ E₂ R₁ r r₁ y y a x a x y y R₂ r r₂ y y a x a x y y Fcel kq₀q R₁R₁³ R₂R₂³ kq₀q a x y ya² y²³₂ a x y ya² y²³₂ 2q₀qk ya² y²³₂ d r d y y W 2q₀q y dy a² y²³₂ from to 0 Questão 2 E E1 E2 E3 r1 ax q1 q r2 0 q2 2q r3 ax q3 q r a2 x yy dr dy y R1 r r1 R2 r r2 R3 r r3 r r1 a2 a x yy a2 x yy r r2 a2 x yy r r3 3a2 x yy E1 kq a2 x yy a24 y232 E2 2kq a2 x yy a24 y232 E3 kq 3a2 x yy 9a24 y232 dr dy y Edr kq y dy a24 y232 2 y dy a24 y232 y dy 9a24 y232 kq y dy a24 y232 y dy 9a24 y232 Fcxt q0 E y1 W q0 Edl kq y dy a24 y232 kq y dy 9a24 y232 y1 y0 y1 y0 kq q0 12 du u32 kq q0 12 dw w32 kq q0 u12 a24y02 kq q0 w12 9a24y02 kq q0 a24y0212 a24y1212 9a24y0212 9a24y1212 Energia de carga 4o na posição inicial Uini 9q0 1 ri r1 2 ri r2 1 ri r3 ri r1 a2 x y0 y a24 y0212 ri r2 a2 x y0 y a24 y0212 ri r3 3a2 x y0 y 9a24 y0212 Uini 9q0 a24 y0212 9a24 y0212 Ufin 9q0 a24 y1212 9a24 y1212 Diferença de energia potencial de carga ΔU Ufin Uini 9q0 9a24 y1212 9a24 y0212 a24 y1212 a24 y0212 ΔU w Questão 3 U U₁₂ U₁₃ U₂₃ U₁₄ U₂₄ U₃₄ U₁₅ U₂₅ U₃₅ U₄₅ U₁₆ U₂₆ U₃₆ U₄₆ U₅₆ U₁₇ U₂₇ U₃₇ U₄₇ U₅₇ U₆₇ U₁₈ U₂₈ U₃₈ U₄₈ U₅₈ U₆₈ U₇₈ k q² a 1 12 1 1 12 1 1 12 13 12 12 1 12 13 1 13 12 1 12 12 1 12 13 12 1 1 12 1 k q² a 12 122 43 A energia da carga q₀ em centro de cubo em distancia 32 a de outras cargas U k 4 q₀q 32 a 4 q₀ q 32 a 0 Trabalho necessario para transportar a carga q₀ de infinito ao centro de cubo é zero Question 4 σ₀ const calcular potencial eléctrico Vr Primeiro vamos determinar campo elétrico e depois o potencial Vr dr Er Determinemos Er usando Lei de Gauss Ansatz Er Er r Gaussion d a r r² sinθ dθ dφ Lei de Gauss Er d a 1ε₀ Qr Er r² dΩ Qr ε₀ 4π Er 14πε₀ Qr r² k Qr r² Qr carga dentro da região encerrada pela superfície r const Qr 0 r R Qr 4πR2σ₀ r R Er 0 r R k4πσ₀ R2r2 r R potencial elétrico r R Vr r dr σ₀ε₀ R2r2 σ₀ε₀ R2 r drr2 σ₀R2ε₀ 1rr σ₀R2ε₀ 1r r R Vr r Erdr R Er dr Rr 0 dr σ₀R2ε₀ 1R const Seja q 4πR2σ₀ Vr k qR r R k qr r R Vr kqR 1r r R Er kqR2 1r2 R Potencial elétrico é CONTÍNUO Campo elétrico pode não ser contínuo nas superfícies onde existe uma densidade superficial de carga elétrica Questão 5 B₀ const campo elétrico superfície gaussiana esfera Er Er r d ā r r2 dΩ sinθ dθ dφ Lei de Gauss E d ā 1ε Qr S Qr v d3x ρr Er r2 s dΩ 4π 1ε₀ Qr Er 14πε₀ Qrr2 k Qrr2 r a Qr d³x 0 0 a r b Qr d³x ρr 4π ra dr r² ρ₀ 4π ρ₀ r³ a³3 4π3 ρ₀ r³ a³ r b Qr 4π a0 dr r² 0 ba dr r² ρ₀ br dr r² 0 4π3 ρ₀ b³ a³ campo elétrico Er 0 r a Er k 4π3 ρ₀ r a³r² a r b Er k 4π3 ρ₀ b³ a³r² r b Potencial elétrico r b Vr r Er dr 4π3 ρ₀ k b³ a³ r drr² 4π3 ρ₀ k b³ a³ 1r a r b Vr k ρ₀ 4π3 rb dr r a³r² k ρ₀ 4π3 b³ a³ b k ρ₀ 4π3 r² b²2 a³ 1r 1b k ρ₀ 4π3 b³ a³b k ρ₀ 4π3 b² a³b r²2 b²2 a³r a³b k ρ₀ 4π3 32 b² r²2 a³r r a Vr 0 k ρ₀ 4π3 32 b² a²2 a³a 32 a² k ρ₀ 4π3 b² a²2 Vr 4π3 k ρ₀ b² a²2 r a 4π3 k ρ₀ 32 b² r²2 a³r a r b 4π3 k ρ₀ b³ a³ 1r r b Questão 6 Distribuição linear de carga E ŝ Es dā ŝ s ds dφ dā ẑ s ds dφ De Lei de Gauss Es 2πsL 1ε₀ λ₀ L Es λ₀ 2πε₀ 1s Em todo espaço Integramos Vs s₀ to s Es ds s₀ ponto de referência Vs λ₀ 2πε₀ s₀ to s ds s λ₀ 2πε₀ lns s₀ Vs λ₀ 2πε₀ lns s₀ Questão 7 cilindro infinito σ₀ const d â ŝ s dφ dz gaussiana cilindro Ē Es ŝ Lei de Gauss s Ē dô 1ε₀ Qs Es s 2πsL Qs ε₀ Es 12πε₀ Qs sL Qs 0 if s R 2πRLσ₀ if s R Es 0 if s R σ₀ ε₀ R L 1s if s R Potencial elétrico Não podemos usar ponto de referência em s porque log diverge Escolhemos um ponto P tal que s s₀ s R Vs s₀ to s ds Es s₀ to s ds σ₀ ε₀ R L 1s σ₀ R ε₀ L lns s₀ Vs₀ 0 em particular podemos escolher s₀ R se precisar s R Vs s₀ to R ds σ₀ ε₀ R L 1s R to s ds 0 σ₀ R ε₀ L lnR s₀ fxyzx2y2ez2 grad f f x fx y fy z fz 2xez2x 2yez2y 2z x2y2 ez2z 2ez2 x x y y zx2y2 z g r a r 4 r x2y2z2 g r a x2y2z22 grad g g 2a x2y2z23 2x x 2y y 2z z 4a r r 6 hrφzr cos2 φ h r hr φ 1r hφ z hz r cos2 φ φ 1r 2cosφ sinφ cosφ cosφ r 2sinφφ Question 9 potential Vxyz kqx2y2z2 E V kq r1x x r1y y r1z z kq1r2 rx x ry y rz z kqr2 xr x yr y zr z kqr2 r r kq r r3 Este é o campo de carga puntual potential de un dipoles eléctricos V r k p r r3 k pi xi r3 E ej Vxi ej k pi xi xi r3 k pi ej xixi r3 3r2 rxi xir6 k pi ej δij r3 3 xi xir5 kr5 3 pi xi xj ej r2 pi δij ej kr5 3 p r r r2 p Vsφz λ02πε0 ln ss0 E s Vs 0 λ02πε0 s 1s Vrθφ β03ε0 32 b2a2 I β03ε0 32 b2 r22 a3r II β03ε0 b3a3r III E r Vr θ 1r Vθ φ 1r sinθ Vφ r Vr I E 0 II E r β03ε0 r a3r2 β03ε0 r a3r2 r III E β03ε0 b3 a3 r 1r2 β03ε0 b3 a3 r r2 Question 10 F fr r r x² y² z² F fr x x y ŷ z ẑ r f r x x f r y ŷ f r z ẑ Divergent F Fxx Fyy Fzz x f r x r f r xx x f r xx f r x² r f r f r x² y² z²r 3f r f r x² r f r² x² r 3f r f f r 3f r f 2 r f F f 2 r f Fx Fzy Fyz y f r z z f r y f r ry z f r rz y f r y z r z y r 0 Fy Fxz Fzx f r z x r x z r 0 Fz Fyx Fxy f r x y r y x r 0 F 0 Esta conta pode ser realizada em notação com índices Fi εijk xj Fk εijk xj f r xk εijk f r rxj xk εijk f r 1 r xj xk 0 antisymetric symetric Em coordenadas esféricas h1 1 h2 r h3 r sinθ Divergente F 1 h1 h2 h3 r1 F1 h1 h2 h3 r2 F2 h1 h3 r3 F3 h1 h2 1 r² sinθ r r² sinθ Fr θ r sinθ Fθ φ r Fφ F fr r Fr r F 1 r² sinθ r r² sinθ fr 1 r² r r² f 1 r² 2r f r² f f 2 r f Rotacional Fr 1hohoψ θ hψ Fψ ψ ho Fθ 0 Fθ 1hθhr ψ hr Fψ r hψ Fθ 0 Fψ 1hrho r ho Fθ θ hr Fψ 0 Questao 11 F fr â s s x² y² cosφ xs sinφ ys s x cosφ y sinφ x xs y ys xx² y² x yx² y² y r â ax x ay y az z F fr â xx² y² x fr â yx² y² y Fx Fy Divergente F Fxx Fyy x f xx² y² y f yx² y² f ax xx² y² f 1x² y² f x xs³ f ay yx² y² f 1x² y² f y ys³ f ax x ay y x² y² 2f x² y² f x² y² s³ f ax x ay y s f s 1s f ax x ay y f Rotacional Fx y Fz z Fy fz yx² y² f az yx² y² Fy z Fx x Fz fz xx² y² f az xx² y² Fz x Fy y Fx x f ys y f xs x fs y y fs x f ax 1s f xs³ y f ay 1s f ys³ x f ay xs f x ys³ f ay xs f y xs³ fx² y² ax y ay x Em coordenadas cilindricas F Fs s Fs fr â fax x ay y az z fax s cosφ ay s sinφ az z Fs s φ z Divergente F 1s s Fs 1s φ Fφ z Fz 1s Fs 1s Fss fs fs f ax cosφ ay sinφ fs f ax x ay y x² y² fx² y² Rotacional Fs 1hs hz φ hz Fz z hφ Fφ 0 Fφ 1hz hs z hφ Fs s hz Fz 1s fz f az Fz 1hs hφ s hφ Fφ φ hs Fs 1s fφ 1s f ax s sinφ ay s cosφ f ax sinφ ay cosφ