Slide Determinantes-2022 1

Determinantes Professora: Adriana Juzga Le´on UFSC - Campus Blumenau Departamento de Matem´atica Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Definic¸˜ao Seja A = (a11 a12 a21 a22) 2×2 o determinante da matriz A, denotado det(A) ou ∣ A ∣, ´e definido como ∣ A ∣ = a11a22 − a21a12 Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Definic¸˜ao Seja A = ⎛ ⎜ ⎝ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ⎞ ⎟ ⎠ 3×3 , o determinante da matriz A est´a dado por ∣ A ∣ = a11 ∣a22 a23 a32 a33∣ − a12 ∣a21 a23 a31 a33∣ + a13 ∣a21 a22 a31 a32∣ = a11(a22a33 − a32a23) − a12(a21a33 − a31a23) + a13(a21a32 − a31a22) = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32) − (a13a22a31 + a12a21a33 + a11a23a32) Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Notemos que, a igualdade | A |= (411422433 + 412493431 + 413421432 )— (413422431 + 412421433 + 411423432) pode se obter com um método grafico chamado Regra de Sar- rus: Notemos que, a igualdade | A |= (411422433 + 412493431 + 413421432 )— (413422431 + 412421433 + 411423432) pode se obter com um método grafico chamado Regra de Sar- rus: i) Se escreve a matriz A e repetimos as duas primeiras colu- nas. M1 412 413: «A112 421. 422, 423: «AQT D2 431 432 433: «431 32 Notemos que, a igualdade | A |= (411422433 + 412493431 + 413421432 )— (413422431 + 412421433 + 411423432) pode se obter com um método grafico chamado Regra de Sar- rus: i) Se escreve a matriz A e repetimos as duas primeiras colu- nas. M1 412 413: «A112 421. 422, 423: «AQT D2 431 432 433: «431 32 ii) Multiplicamos os termos na diagonais principais (cor azul) e somamos tais produtos. M11 412 413: «A112 421 422 423: 421 22 431 432 433 : a31 a32 | A |= (411492233 + 442423431 + 413.41 232 )— (413.422.4531 + 412491 433 + 411493432) | A |= (411492233 + 412493431 + 413.41 232 )— (413.422.4531 + 412491 433 + 411493432) iii) Multiplicamos os termos nas diagonais secundarias, soma- mos esses produtos e escrevemos o resultado com sinais invertido. 411 412-13, A AD 421 422 423 : ao1 a2 431 432 433 : 431 432 Definic¸˜ao Seja A = (aij)n×n uma matriz de ordem n. O menor ij de A, denotado por Mij, ´e o determinante da submatriz obtida ao omitir a i− ´esima linha e a j− ´esima coluna de A. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Por exemplo, a matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 2 4 3 0 17 8 9 ⎞ ⎟ ⎠ possui um total de 9 menores Mij. Alguns deles s˜ao: Menor M12: para este menor devemos omitir a primeira linha e a segunda coluna (linha e coluna em roxo) e calcular o deter- minante da matriz obtida ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 2 4 3 0 17 8 9 ⎞ ⎟ ⎠ , ou seja, M12 = ∣ 4 0 17 9∣ = (4)(9) − (17)(0) = 36. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Por exemplo, a matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 2 4 3 0 17 8 9 ⎞ ⎟ ⎠ possui um total de 9 menores Mij. Alguns deles s˜ao: Menor M12: para este menor devemos omitir a primeira linha e a segunda coluna (linha e coluna em roxo) e calcular o deter- minante da matriz obtida ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 2 4 3 0 17 8 9 ⎞ ⎟ ⎠ , ou seja, M12 = ∣ 4 0 17 9∣ = (4)(9) − (17)(0) = 36. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Por exemplo, a matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 2 4 3 0 17 8 9 ⎞ ⎟ ⎠ possui um total de 9 menores Mij. Alguns deles s˜ao: Menor M12: para este menor devemos omitir a primeira linha e a segunda coluna (linha e coluna em roxo) e calcular o deter- minante da matriz obtida ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 2 4 3 0 17 8 9 ⎞ ⎟ ⎠ , ou seja, M12 = ∣ 4 0 17 9∣ = (4)(9) − (17)(0) = 36. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Menor M23: para este menor devemos omitir a segunda linha e a terceira coluna (linha e coluna em roxo) e calcular o determi- nante da matriz obtida A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 2 4 3 0 17 8 9 ⎞ ⎟ ⎠ , ou seja, M23 = ∣ 1 7 17 8∣ = (8)(1) − (17)(7) = −111. Em geral, se a matriz A ´e de ordem n ela possui n2 Menores. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Menor M23: para este menor devemos omitir a segunda linha e a terceira coluna (linha e coluna em roxo) e calcular o determi- nante da matriz obtida A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 2 4 3 0 17 8 9 ⎞ ⎟ ⎠ , ou seja, M23 = ∣ 1 7 17 8∣ = (8)(1) − (17)(7) = −111. Em geral, se a matriz A ´e de ordem n ela possui n2 Menores. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Menor M23: para este menor devemos omitir a segunda linha e a terceira coluna (linha e coluna em roxo) e calcular o determi- nante da matriz obtida A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 2 4 3 0 17 8 9 ⎞ ⎟ ⎠ , ou seja, M23 = ∣ 1 7 17 8∣ = (8)(1) − (17)(7) = −111. Em geral, se a matriz A ´e de ordem n ela possui n2 Menores. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Definic¸˜ao Seja A = (aij)n×n uma matriz de ordem n. O cofator ij de A, denotado por Cij, ´e cij = (−1)i+jMij Notemos que, se A ´e de ordem n, ent˜ao A possui n2 cofatores. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Definic¸˜ao Seja A = (aij)n×n uma matriz de ordem n. O cofator ij de A, denotado por Cij, ´e cij = (−1)i+jMij Notemos que, se A ´e de ordem n, ent˜ao A possui n2 cofatores. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes No anterior exemplo consideramos a matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 2 4 3 0 17 8 9 ⎞ ⎟ ⎠ e calculamos dois dos seus menores Mij (recordemos que possui um total de 9 menores): M12 = 36 M23 = −111 Logo, associados a estos menores temos os cofatores C12 = (−1)1+2M12 = (−1)3M12 = (−1)(36) = −36 C23 = (−1)2+3M23 = (−1)5M23 = (−1)(−111) = 111 Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes No anterior exemplo consideramos a matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 7 2 4 3 0 17 8 9 ⎞ ⎟ ⎠ e calculamos dois dos seus menores Mij (recordemos que possui um total de 9 menores): M12 = 36 M23 = −111 Logo, associados a estos menores temos os cofatores C12 = (−1)1+2M12 = (−1)3M12 = (−1)(36) = −36 C23 = (−1)2+3M23 = (−1)5M23 = (−1)(−111) = 111 Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Definic¸˜ao Se A = (aij)n×n ´e uma matriz de ordem n, a matriz C = ⎛ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜ ⎝ C11 C12 C13 ... C1n C21 C22 C23 ... C2n C31 C32 C33 ... C3n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ Cn1 Cn2 Cn3 ... Cnn ⎞ ⎟⎟⎟⎟⎟⎟ ⎠ n×n onde Cij ´e o cofator ij de A ´e chamada matriz de cofatores de A. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Exemplo Seja A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 −1 1 2 0 1 2 3 0 ⎞ ⎟ ⎠ Os menores Mij de A s˜ao: M11 = ∣0 1 3 0∣ = −3 M12 = ∣2 1 2 0∣ = −2 M13 = ∣2 0 2 3∣ = 6 M21 = ∣−1 1 3 0∣ = −3 M22 = ∣1 1 2 0∣ = −2 M23 = ∣1 −1 2 3 ∣ = 5 M31 = ∣−1 1 0 1∣ = −1 M32 = ∣1 1 2 1∣ = −1 M33 = ∣1 −1 2 0 ∣ = 2 Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Exemplo Seja A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 −1 1 2 0 1 2 3 0 ⎞ ⎟ ⎠ Os menores Mij de A s˜ao: M11 = ∣0 1 3 0∣ = −3 M12 = ∣2 1 2 0∣ = −2 M13 = ∣2 0 2 3∣ = 6 M21 = ∣−1 1 3 0∣ = −3 M22 = ∣1 1 2 0∣ = −2 M23 = ∣1 −1 2 3 ∣ = 5 M31 = ∣−1 1 0 1∣ = −1 M32 = ∣1 1 2 1∣ = −1 M33 = ∣1 −1 2 0 ∣ = 2 Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Logo, os seus cofatores s˜ao: C11 = (−1)1+1M11 = (−1)2M11 = M11 = −3 C12 = (−1)1+2M12 = (−1)3M12 = −M12 = −(−2) = 2 C13 = (−1)1+3M13 = (−1)4M13 = M13 = 6 C21 = (−1)2+1M21 = (−1)3M21 = −M21 = −(−3) = 3 C22 = (−1)2+2M22 = (−1)4M22 = M22 = −2 C23 = (−1)2+3M23 = (−1)5M23 = −M23 = −5 C31 = (−1)3+1M31 = (−1)4M31 = M31 = −1 C32 = (−1)3+2M32 = (−1)5M32 = −M32 = −(−1) = 1 C33 = (−1)3+3M33 = (−1)6M33 = M33 = 2 Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Logo, os seus cofatores s˜ao: C11 = (−1)1+1M11 = (−1)2M11 = M11 = −3 C12 = (−1)1+2M12 = (−1)3M12 = −M12 = −(−2) = 2 C13 = (−1)1+3M13 = (−1)4M13 = M13 = 6 C21 = (−1)2+1M21 = (−1)3M21 = −M21 = −(−3) = 3 C22 = (−1)2+2M22 = (−1)4M22 = M22 = −2 C23 = (−1)2+3M23 = (−1)5M23 = −M23 = −5 C31 = (−1)3+1M31 = (−1)4M31 = M31 = −1 C32 = (−1)3+2M32 = (−1)5M32 = −M32 = −(−1) = 1 C33 = (−1)3+3M33 = (−1)6M33 = M33 = 2 Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes E, portanto, a matriz de cofatores esta dada por: C = ⎛ ⎜ ⎝ C11 C12 C13 C21 C22 C23 C31 C32 C33 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ −3 2 6 3 −2 −5 −1 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Definic¸˜ao Seja A = (aij)n×n uma matriz de ordem n. A matriz transposta da matriz de cofatores de A ´e chamada matriz adjunta e a denotamos adj(A). Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Exemplo A matriz de cofatores de A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 −1 1 2 0 1 2 3 0 ⎞ ⎟ ⎠ esta dada por C = ⎛ ⎜ ⎝ −3 2 6 3 −2 −5 −1 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ e, portanto sua matriz adjunta ´e: adj(A) = C T = ⎛ ⎜ ⎝ −3 2 6 3 −2 −5 −1 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ T = ⎛ ⎜ ⎝ −3 3 −1 2 −2 1 6 −5 2 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Exemplo A matriz de cofatores de A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 −1 1 2 0 1 2 3 0 ⎞ ⎟ ⎠ esta dada por C = ⎛ ⎜ ⎝ −3 2 6 3 −2 −5 −1 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ e, portanto sua matriz adjunta ´e: adj(A) = C T = ⎛ ⎜ ⎝ −3 2 6 3 −2 −5 −1 1 2 ⎞ ⎟ ⎠ T = ⎛ ⎜ ⎝ −3 3 −1 2 −2 1 6 −5 2 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Definic¸˜ao O determinante de uma matriz A = (aij)n×n ´e obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma linha qualquer da matriz A pelos respectivos cofatores, i.e., ∣ A ∣= ai1Ci1 + ai2Ci2 + ai3Ci3 + ... + ainCin. A anterior express˜ao ´e o determinante da matriz calculado pela i− ´esima linha. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Podemos obter, tamb´em, o determinante de uma matriz medi- ante a soma dos produtos dos elementos de uma coluna qual- quer da matriz A pelos respectivos cofatores, i.e., ∣ A ∣= a1jC1j + a2jC2j + a3jC3j + ... + anjCnj A anterior express˜ao ´e o determinante da matriz calculado pela j− ´esima coluna. Estas somas s˜ao denominadas expans˜oes em cofatores de ∣ A ∣. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes EXEMPLO Seja 1 -1 1 A=|2 0 1 2 3 0 Professora: Adriana Juzga Leon Drea elk EXEMPLO Seja 1 -1 1 A=|2 0 1 2 3 0 Para calcular o determinante de A pela segunda linha, usamos a primeira expressao na anterior definicao, ou seja, | A |= aja Cia + aj2 Cin + a3 Ci e, substituimos com i = 2. Professora: Adriana Juzga Leon Dotan T alr} EXEMPLO Seja 1 -1 1 A=|2 0 1 2 3 0 Para calcular o determinante de A pela segunda linha, usamos a primeira expressao na anterior defini¢ao, ou seja, | A |= aja Cia + aj2 Cin + a3 Ci e, substituimos com i = 2. Logo, 1 -1 1 |A| = |2 0 1 2 3 O = 91 Coy + 292 Co9 + 23 C23 = 2C1 as 0Co2 + 1.C53 = (2)(3) + (0)(-2) + (1)(-5) = 6-5=1 Professora: Adriana Juzga Leon Dotan T alr} EXEMPLO Seja 1 4 2 3 -1 0 2 0 B=lo 010 3 5 1 0 Professora: Adriana Juzga Leon Dotan T alr} EXEMPLO Seja 1 4 2 3 -1 0 2 0 a 2 01 0 3 5 1 0 Vamos calcular o determinante de B pela quarta coluna, para isto Usamos a expressao | B |= by Gy as bo; Co; as bz; C3; as byj Caj com j =4 Professora: Adriana Juzga Leon Dotan T alr} EXEMPLO Seja 1 4 2 3 Be -1 02 0 2 010 3 5 10 Vamos calcular o determinante de B pela quarta coluna, para isto Usamos a expressao | B |= by Gy ate bo; Co; ate bz; C3; ate byj Caj com J = 4 Logo, 1 4 2 3 -1 02 0 IBI| = 15 9 10 3 5 1 0 = bya C4 + boq Coq + 634 C34 + bag Cag = 3Ci4 ar 0.Co4 os 0.C34 ar 0. C44 = 3Ci4 Professora: Adriana Juzga Leon Dotan T alr} Devemos calcular assim o cofator Cy,. Devemos calcular assim o cofator Cy,. Recordemos que, . — (-1])\VIy.. Ci = (-1)'Y Mi onde Mj € 0 menor ij da matriz B. Devemos calcular assim o cofator Cy,. Recordemos que, Cij = (-1)" Mj onde Mj € 0 menor ij da matriz B. Assim, Cyq = (-1)*** Mia = (-1)? Mag = Mig O menor My, é o determinante da matriz obtida ao omitir a primeira linha e a quarta coluna de B, ou seja, -1 0 2 Mig = 2 0 1 3 51 Podemos calcular tal determinante por definicao ou usando a Regra de Sarrus. como temos algumas entradas nulas neste caso € mais pratico usar a definicao por cofatores e calcular este determinante pela segunda coluna, I.e., -1 0 2 _ Mig=|2 0 1 =mn2Cp + Mmo2Co2 + 32 C32 3 5 1 — f-1 0 2) x onde mj denota as entradas da matriz| 2 0 1i]e Cj os seus 3 5 1 cofatores. Professora: Adriana Juzga Leon Dotan T alr} Podemos calcular tal determinante por definicao ou usando a Regra de Sarrus. como temos algumas entradas nulas neste caso € mais pratico usar a definicao por cofatores e calcular este determinante pela segunda coluna, I.e., -1 0 2 _ Myg=}2 0 Lp = m2Cy2 + m2 Co2 + M32 C32 3 5 1 — f-1 0 2) x onde mj denota as entradas da matriz| 2 0 1i]e Cj os seus 3 5 1 cofatores. Logo, -1 0 2 M4 = |2 0 1 3.5 1 S m2 Cy2 + map Coo + 32 C32 = 0.Cio ar 0.C2 ota 5 C30 -1 2 = (y(-ay?{P J] = 6-2-1 4) = 6)(-1)(-5) = 25 Professora: Adriana Juzga Leon Dotan T alr} Logo, como Cig = —My,4 = -25 Logo, como Cig = —My,4 = -25 temos que, 1 4 2 3 -1 02 0 | B |= > 010 = 3Cy4 = (3)(-25) = -75 3 5 1 0 NOTAC¸ ˜AO Exemplo Seja A = (2 5 4 −1). A nota¸c˜ao para o determinante da matriz A ´e det (2 5 4 −1) ou ∣2 5 4 −1∣ as nota¸c˜oes: det = (2 5 4 −1) ou det ∣2 5 4 −1∣ est˜ao erradas. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes NOTAC¸ ˜AO Exemplo Seja A = (2 5 4 −1). A nota¸c˜ao para o determinante da matriz A ´e det (2 5 4 −1) ou ∣2 5 4 −1∣ as nota¸c˜oes: det = (2 5 4 −1) ou det ∣2 5 4 −1∣ est˜ao erradas. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Teorema (Propriedades dos Determinantes:) i) Se A ´e uma matriz quadrada com pelo menos uma coluna ou uma linha nulas, ent˜ao det(A) = 0. ii) Para qualquer matriz quadrada A, temos que det(AT) = det(A) iii) O determinante de uma matriz triangular (inferior ou supe- rior) ´e igual ao produto dos elementos da diagonal principal. iv) O determinante da matriz identidade ´e igual a 1. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Teorema (Propriedades dos Determinantes:) i) Se A ´e uma matriz quadrada com pelo menos uma coluna ou uma linha nulas, ent˜ao det(A) = 0. ii) Para qualquer matriz quadrada A, temos que det(AT) = det(A) iii) O determinante de uma matriz triangular (inferior ou supe- rior) ´e igual ao produto dos elementos da diagonal principal. iv) O determinante da matriz identidade ´e igual a 1. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Teorema (Propriedades dos Determinantes:) i) Se A ´e uma matriz quadrada com pelo menos uma coluna ou uma linha nulas, ent˜ao det(A) = 0. ii) Para qualquer matriz quadrada A, temos que det(AT) = det(A) iii) O determinante de uma matriz triangular (inferior ou supe- rior) ´e igual ao produto dos elementos da diagonal principal. iv) O determinante da matriz identidade ´e igual a 1. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Teorema (Propriedades dos Determinantes:) i) Se A ´e uma matriz quadrada com pelo menos uma coluna ou uma linha nulas, ent˜ao det(A) = 0. ii) Para qualquer matriz quadrada A, temos que det(AT) = det(A) iii) O determinante de uma matriz triangular (inferior ou supe- rior) ´e igual ao produto dos elementos da diagonal principal. iv) O determinante da matriz identidade ´e igual a 1. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Teorema (Propriedades dos Determinantes:) i) Se A ´e uma matriz quadrada com pelo menos uma coluna ou uma linha nulas, ent˜ao det(A) = 0. ii) Para qualquer matriz quadrada A, temos que det(AT) = det(A) iii) O determinante de uma matriz triangular (inferior ou supe- rior) ´e igual ao produto dos elementos da diagonal principal. iv) O determinante da matriz identidade ´e igual a 1. Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Teorema (Propriedades dos Determinantes:) v) Se B ´e uma matriz quadrada obtida de A por meio de troca de duas linhas (ou duas colunas) entre si, ent˜ao det(B) = −det(A) vi) Se B ´e a matriz quadrada que se obt´em de A multiplicando- se uma sua linha (ou coluna) por um escalar k, ent˜ao det(B) = kdet(A) vii) Se B ´e a matriz quadrada que se obt´em de A substituindo- se uma sua linha (ou coluna) pela que dela se obt´em adicionando-lhe um m´ultiplo escalar de outra, ent˜ao det(B) = det(A). Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Teorema (Propriedades dos Determinantes:) v) Se B ´e uma matriz quadrada obtida de A por meio de troca de duas linhas (ou duas colunas) entre si, ent˜ao det(B) = −det(A) vi) Se B ´e a matriz quadrada que se obt´em de A multiplicando- se uma sua linha (ou coluna) por um escalar k, ent˜ao det(B) = kdet(A) vii) Se B ´e a matriz quadrada que se obt´em de A substituindo- se uma sua linha (ou coluna) pela que dela se obt´em adicionando-lhe um m´ultiplo escalar de outra, ent˜ao det(B) = det(A). Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Teorema (Propriedades dos Determinantes:) v) Se B ´e uma matriz quadrada obtida de A por meio de troca de duas linhas (ou duas colunas) entre si, ent˜ao det(B) = −det(A) vi) Se B ´e a matriz quadrada que se obt´em de A multiplicando- se uma sua linha (ou coluna) por um escalar k, ent˜ao det(B) = kdet(A) vii) Se B ´e a matriz quadrada que se obt´em de A substituindo- se uma sua linha (ou coluna) pela que dela se obt´em adicionando-lhe um m´ultiplo escalar de outra, ent˜ao det(B) = det(A). Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Teorema (Propriedades dos Determinantes:) v) Se B ´e uma matriz quadrada obtida de A por meio de troca de duas linhas (ou duas colunas) entre si, ent˜ao det(B) = −det(A) vi) Se B ´e a matriz quadrada que se obt´em de A multiplicando- se uma sua linha (ou coluna) por um escalar k, ent˜ao det(B) = kdet(A) vii) Se B ´e a matriz quadrada que se obt´em de A substituindo- se uma sua linha (ou coluna) pela que dela se obt´em adicionando-lhe um m´ultiplo escalar de outra, ent˜ao det(B) = det(A). Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes Exemplo Calcular o determinante da matriz L = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 2 1 2 4 4 0 3 2 8 −1 4 2 2 1 5 2 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Determinantes 2124 4 0 32 |L| = 8 -1 4 2 2 1°52 2 1 2 4 4 0 3 2 [el = 8 -1 4 2 2 1 5 2 1 1 2 4 2 0 3 2 . ee = 2 4-142 Pois a coluna 1 é multiplo de 2 1 1 5 2 2 1 2 4 4 0 3 2 [el = 8 -1 4 2 2 1 5 2 1 1 2 4 2 0 3 2 . pear = 2 4-142 Pois a coluna 1 é multiplo de 2 1 1 5 2 1 1 2 2 2 0 3 1 : pear = 2(2) 4-14 1 Pois a coluna 4 é multiplo de 2 1 1 5 1 2 1 2 4 4 0 3 2 fy = gg 2 2 1 5 2 1 1 2 4 2 0 3 2 . ee = 2 4-142 Pois a coluna 1 é multiplo de 2 1 1 5 2 1 1 2 2 2 0 3 1 : ee = 2(2) 4-14 1 Pois a coluna 4 é multiplo de 2 1 1 5 1 11 2 2 fg>kgtli 4 2 0 3 1 ~ 5 0 6 3 115 1 2 1 2 4 4 0 3 2 fy = gg 2 2 1 5 2 1 1 2 4 2 0 3 2 . ee = 2 4-142 Pois a coluna 1 é multiplo de 2 1 1 5 2 1 1 2 2 2 0 3 1 : ee = 2(2) 4-14 1 Pois a coluna 4 é multiplo de 2 1 1 5 1 11 2 2 fg>kgtli 4 2 0 3 1 ~ 5 0 6 3 115 1 11 2 2 Larlg-Ly 4 2 0 3 1 - 5 0 6 3 0 0 3 -1 1122 203 1 |L| = 415 0 6 3 003 -1 1 1 2 2 203 1 ee 0 0 3 -1 2 3 1 = 4(-1)|5 6 3 Calculando o determinante pela coluna 2 0 3 -1 1 1 2 2 203 1 ee 0 0 3 -1 2 3 1 = 4(-1)|5 6 3 Calculando o determinante pela coluna 2 0 3 -1 2 1 1 = -4(3)|5 2 3 Pois a coluna 2 é multiplo de 3 0 1 -i1 1 1 2 2 203 1 ee 0 0 3 -1 2 3 1 = 4(-1)|5 6 3 Calculando o determinante pela coluna 2 0 3 -1 2 1 1 = -4(3)|5 2 3 Pois a coluna 2 é multiplo de 3 0 1 -i1 Oo Ose 2 2 1 ares 1215 5 8 0 0 -1 1 1 2 2 203 1 ee 0 0 3 -1 2 3 1 = 4(-1)|5 6 3 Calculando o determinante pela coluna 2 0 3 -1 2 1 1 = -4(3)|5 2 3 Pois a coluna 2 é multiplo de 3 0 1 -i1 Oo Ose 2 2 1 ere 1215 5 3 0 0 -1 2 2 . . = -12(-1) 5 5 Calculando o determinante pela linha 3 1 1 2 2 203 1 ee 0 0 3 -1 2 3 1 = 4(-1)|5 6 3 Calculando o determinante pela coluna 2 0 3 -1 2 1 1 = -4(3)|5 2 3 Pois a coluna 2 é multiplo de 3 0 1 -i1 Oo Ose 2 2 1 ares 1215 5 8 0 0 -1 2 2 . . = -12(-1) 5 5 Calculando o determinante pela linha 3 = 12[(2)(5) — (2)(5)] = 0 Portanto, 2 124 4°03 2 HI lg 4 4 2/9 2 1 52