Slide Sistemas de Equações Lineares Pt1-2022 1

Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Professora: Adriana Juzga Le´on UFSC - Campus Blumenau Departamento de Matem´atica Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Consideremos o sistema de equa¸c˜oes lineares: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ⋮ am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm com m equa¸c˜oes e n− inc´ognitas x1,x2,...,xn. Usando o produto de matrizes, temos que o anterior sistema pode ser escrito como: ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 am3 ... amn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×n ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ x1 x2 ⋮ xn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ n×1 = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ b1 b2 ⋮ bm ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×1 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Consideremos o sistema de equa¸c˜oes lineares: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ⋮ am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm com m equa¸c˜oes e n− inc´ognitas x1,x2,...,xn. Usando o produto de matrizes, temos que o anterior sistema pode ser escrito como: ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 am3 ... amn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×n ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ x1 x2 ⋮ xn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ n×1 = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ b1 b2 ⋮ bm ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×1 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I A matriz A = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 am3 ... amn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×n , ´e chamada a Matriz de coeficientes. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I O vetor coluna x = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ x1 x2 ⋮ xn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ n×1 o vetor de inc´ognitas. E, o vetor coluna b = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ b1 b2 ⋮ bm ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×1 ´e chamado vetor solu¸c˜ao. Usando a anterior nota¸c˜ao , obtemos o sistema Ax = b. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I O vetor coluna x = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ x1 x2 ⋮ xn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ n×1 o vetor de inc´ognitas. E, o vetor coluna b = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ b1 b2 ⋮ bm ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×1 ´e chamado vetor solu¸c˜ao. Usando a anterior nota¸c˜ao , obtemos o sistema Ax = b. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I O vetor coluna x = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ x1 x2 ⋮ xn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ n×1 o vetor de inc´ognitas. E, o vetor coluna b = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ b1 b2 ⋮ bm ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×1 ´e chamado vetor solu¸c˜ao. Usando a anterior nota¸c˜ao , obtemos o sistema Ax = b. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Dois sistemas de equa¸c˜oes s˜ao equivalentes, se eles possuem as mesmas solu¸c˜oes. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Teorema (Troca de linhas) O sistema definido por a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha i ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm ´e equivalente ao sistema obtido ao trocar as linhas i− ´esima e j− ´esima: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha i ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Teorema (Troca de linhas) O sistema definido por a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha i ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm ´e equivalente ao sistema obtido ao trocar as linhas i− ´esima e j− ´esima: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha i ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Teorema (Troca de linhas) O sistema definido por a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha i ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm ´e equivalente ao sistema obtido ao trocar as linhas i− ´esima e j− ´esima: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha i ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Teorema (Multiplicac¸˜ao de uma linha por uma constante) O sistema definido por a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha i ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm ´e equivalente ao sistema obtido ao multiplicar a i− ´esima linha por uma constante n˜ao nula c: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ cai1x1 + cai2x2 + . . . + cainxn = cbi → Linha i ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Teorema (Multiplicac¸˜ao de uma linha por uma constante) O sistema definido por a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha i ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm ´e equivalente ao sistema obtido ao multiplicar a i− ´esima linha por uma constante n˜ao nula c: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ cai1x1 + cai2x2 + . . . + cainxn = cbi → Linha i ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Teorema (Multiplicac¸˜ao de uma linha por uma constante) O sistema definido por a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha i ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm ´e equivalente ao sistema obtido ao multiplicar a i− ´esima linha por uma constante n˜ao nula c: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ cai1x1 + cai2x2 + . . . + cainxn = cbi → Linha i ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Teorema (Adic¸˜ao de linhas) O sistema definido por a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha i ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm ´e equivalente ao sistema obtido ao somar a i− ´esima linha com c− vezes a linha j− ´esima, onde c ´e uma constante n˜ao nula: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ (ai1+caj1)x1 + (ai2+caj2) + . . . + (ain+cajn)xn = bi +cbj → Linha i ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Teorema (Adic¸˜ao de linhas) O sistema definido por a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha i ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm ´e equivalente ao sistema obtido ao somar a i− ´esima linha com c− vezes a linha j− ´esima, onde c ´e uma constante n˜ao nula: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ (ai1+caj1)x1 + (ai2+caj2) + . . . + (ain+cajn)xn = bi +cbj → Linha i ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Teorema (Adic¸˜ao de linhas) O sistema definido por a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn = bi → Linha i ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm ´e equivalente ao sistema obtido ao somar a i− ´esima linha com c− vezes a linha j− ´esima, onde c ´e uma constante n˜ao nula: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ⋮ (ai1+caj1)x1 + (ai2+caj2) + . . . + (ain+cajn)xn = bi +cbj → Linha i ⋮ aj1x1 + aj2x2 + . . . + ajnxn = bj → Linha j ⋮ am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, te- mos que as opera¸c˜oes descritas nos anteriores teoremas podem se escrever como: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj Tais opera¸c˜oes s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, te- mos que as opera¸c˜oes descritas nos anteriores teoremas podem se escrever como: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj Tais opera¸c˜oes s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, te- mos que as opera¸c˜oes descritas nos anteriores teoremas podem se escrever como: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj Tais opera¸c˜oes s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, te- mos que as opera¸c˜oes descritas nos anteriores teoremas podem se escrever como: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj Tais opera¸c˜oes s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, te- mos que as opera¸c˜oes descritas nos anteriores teoremas podem se escrever como: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj Tais opera¸c˜oes s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, te- mos que as opera¸c˜oes descritas nos anteriores teoremas podem se escrever como: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj Tais opera¸c˜oes s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Sejam A e matrizes do mesmo tamanho. Dizemos que, A ´e equivalente a B; se B ´e obtida atrav´es de um n´umero finito de opera¸c˜oes elementares entre linhas. Vamos denotar isto me- diante A ≈ B. A equivalˆencia de matrizes e de sistemas satisfaz as seguintes propriedades: i) A ≈ A ii) Se A ≈ B ent˜ao B ≈ A. iii) Se A ≈ B e B ≈ C ent˜ao A ≈ C. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Sejam A e matrizes do mesmo tamanho. Dizemos que, A ´e equivalente a B; se B ´e obtida atrav´es de um n´umero finito de opera¸c˜oes elementares entre linhas. Vamos denotar isto me- diante A ≈ B. A equivalˆencia de matrizes e de sistemas satisfaz as seguintes propriedades: i) A ≈ A ii) Se A ≈ B ent˜ao B ≈ A. iii) Se A ≈ B e B ≈ C ent˜ao A ≈ C. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Sejam A e matrizes do mesmo tamanho. Dizemos que, A ´e equivalente a B; se B ´e obtida atrav´es de um n´umero finito de opera¸c˜oes elementares entre linhas. Vamos denotar isto me- diante A ≈ B. A equivalˆencia de matrizes e de sistemas satisfaz as seguintes propriedades: i) A ≈ A ii) Se A ≈ B ent˜ao B ≈ A. iii) Se A ≈ B e B ≈ C ent˜ao A ≈ C. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Sejam A e matrizes do mesmo tamanho. Dizemos que, A ´e equivalente a B; se B ´e obtida atrav´es de um n´umero finito de opera¸c˜oes elementares entre linhas. Vamos denotar isto me- diante A ≈ B. A equivalˆencia de matrizes e de sistemas satisfaz as seguintes propriedades: i) A ≈ A ii) Se A ≈ B ent˜ao B ≈ A. iii) Se A ≈ B e B ≈ C ent˜ao A ≈ C. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I De acordo `a quantidade de solu¸c˜oes que possui um sistema de m equa¸c˜oes e n inc´ognitas, estes se classificam como: i) Sistema consistente: Existe pelo menos uma solu¸c˜ao que satisfaz todas as equa¸c˜oes do sistema. ii) Sistema inconsistente: N˜ao existe uma solu¸c˜ao que sa- tisfaz todas as equa¸c˜oes do sistema. iii) Sistema dependente: Existe uma quantidade infinita de solu¸c˜oes que satisfazem todas as equa¸c˜oes dadas no sis- tema. iv) Sistema independente: Existe uma ´UNICA solu¸c˜ao que satisfaz todas as equa¸c˜oes dadas no sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I De acordo `a quantidade de solu¸c˜oes que possui um sistema de m equa¸c˜oes e n inc´ognitas, estes se classificam como: i) Sistema consistente: Existe pelo menos uma solu¸c˜ao que satisfaz todas as equa¸c˜oes do sistema. ii) Sistema inconsistente: N˜ao existe uma solu¸c˜ao que sa- tisfaz todas as equa¸c˜oes do sistema. iii) Sistema dependente: Existe uma quantidade infinita de solu¸c˜oes que satisfazem todas as equa¸c˜oes dadas no sis- tema. iv) Sistema independente: Existe uma ´UNICA solu¸c˜ao que satisfaz todas as equa¸c˜oes dadas no sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I De acordo `a quantidade de solu¸c˜oes que possui um sistema de m equa¸c˜oes e n inc´ognitas, estes se classificam como: i) Sistema consistente: Existe pelo menos uma solu¸c˜ao que satisfaz todas as equa¸c˜oes do sistema. ii) Sistema inconsistente: N˜ao existe uma solu¸c˜ao que sa- tisfaz todas as equa¸c˜oes do sistema. iii) Sistema dependente: Existe uma quantidade infinita de solu¸c˜oes que satisfazem todas as equa¸c˜oes dadas no sis- tema. iv) Sistema independente: Existe uma ´UNICA solu¸c˜ao que satisfaz todas as equa¸c˜oes dadas no sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I De acordo `a quantidade de solu¸c˜oes que possui um sistema de m equa¸c˜oes e n inc´ognitas, estes se classificam como: i) Sistema consistente: Existe pelo menos uma solu¸c˜ao que satisfaz todas as equa¸c˜oes do sistema. ii) Sistema inconsistente: N˜ao existe uma solu¸c˜ao que sa- tisfaz todas as equa¸c˜oes do sistema. iii) Sistema dependente: Existe uma quantidade infinita de solu¸c˜oes que satisfazem todas as equa¸c˜oes dadas no sis- tema. iv) Sistema independente: Existe uma ´UNICA solu¸c˜ao que satisfaz todas as equa¸c˜oes dadas no sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I De acordo `a quantidade de solu¸c˜oes que possui um sistema de m equa¸c˜oes e n inc´ognitas, estes se classificam como: i) Sistema consistente: Existe pelo menos uma solu¸c˜ao que satisfaz todas as equa¸c˜oes do sistema. ii) Sistema inconsistente: N˜ao existe uma solu¸c˜ao que sa- tisfaz todas as equa¸c˜oes do sistema. iii) Sistema dependente: Existe uma quantidade infinita de solu¸c˜oes que satisfazem todas as equa¸c˜oes dadas no sis- tema. iv) Sistema independente: Existe uma ´UNICA solu¸c˜ao que satisfaz todas as equa¸c˜oes dadas no sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Al´em disso, de acordo `a quantidade de equa¸c˜oes e de inc´ognitas os sistemas se classificam como: i) Sistema indeterminado: O n´umero de equa¸c˜oes ´e menor ao n´umero de inc´ognitas, por exemplo, um sistema 2 × 4. Estes sistemas usalmente tem um n´umero infinito de solu¸c˜oes. ii) Sistema superdeterminado: O n´umero de equa¸c˜oes ´e maior ao n´umero de inc´ognitas, por exemplo, um sistema 5 × 2. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Al´em disso, de acordo `a quantidade de equa¸c˜oes e de inc´ognitas os sistemas se classificam como: i) Sistema indeterminado: O n´umero de equa¸c˜oes ´e menor ao n´umero de inc´ognitas, por exemplo, um sistema 2 × 4. Estes sistemas usalmente tem um n´umero infinito de solu¸c˜oes. ii) Sistema superdeterminado: O n´umero de equa¸c˜oes ´e maior ao n´umero de inc´ognitas, por exemplo, um sistema 5 × 2. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Al´em disso, de acordo `a quantidade de equa¸c˜oes e de inc´ognitas os sistemas se classificam como: i) Sistema indeterminado: O n´umero de equa¸c˜oes ´e menor ao n´umero de inc´ognitas, por exemplo, um sistema 2 × 4. Estes sistemas usalmente tem um n´umero infinito de solu¸c˜oes. ii) Sistema superdeterminado: O n´umero de equa¸c˜oes ´e maior ao n´umero de inc´ognitas, por exemplo, um sistema 5 × 2. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Uma matriz ´e chamada uma matriz escalonada se o n´umero de zeros que precede ao primeiro termo distinto de zero de uma linha, aumenta linha por linha at´e obter possivelmente uma linha cujas entradas s˜ao todas iguais a zero. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I A seguir, alguns exemplos de matrizes escalonadas: B = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 3 6 −9 3 0 2 4 5 0 0 4 2 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 6 −9 3 0 0 4 5 0 0 0 2 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I A seguir, alguns exemplos de matrizes escalonadas: B = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 3 6 −9 3 0 2 4 5 0 0 4 2 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 6 −9 3 0 0 4 5 0 0 0 2 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I A seguir, alguns exemplos de matrizes escalonadas: B = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 3 6 −9 3 0 2 4 5 0 0 4 2 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 6 −9 3 0 0 4 5 0 0 0 2 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I No entanto, a seguinte matriz n˜ao ´e escalonada: D = ⎛ ⎜ ⎝ 7 4 2 0 2 4 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I No entanto, a seguinte matriz n˜ao ´e escalonada: D = ⎛ ⎜ ⎝ 7 4 2 0 2 4 2 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Os primeiros coeficientes n˜ao nulos de cada linha de uma matriz escalonada s˜ao chamados pivotes. Por exemplo, se consideramos a matriz B = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 3 6 −9 3 0 2 4 5 0 0 4 2 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Os pivotes desta matriz est˜ao em verde, ou seja Pivote de L1 = 3 Pivote de L2 = 2 Pivote de L3 = 4 Pivote de L4 = 1 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Os primeiros coeficientes n˜ao nulos de cada linha de uma matriz escalonada s˜ao chamados pivotes. Por exemplo, se consideramos a matriz B = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 3 6 −9 3 0 2 4 5 0 0 4 2 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Os pivotes desta matriz est˜ao em verde, ou seja Pivote de L1 = 3 Pivote de L2 = 2 Pivote de L3 = 4 Pivote de L4 = 1 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Os primeiros coeficientes n˜ao nulos de cada linha de uma matriz escalonada s˜ao chamados pivotes. Por exemplo, se consideramos a matriz B = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 3 6 −9 3 0 2 4 5 0 0 4 2 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Os pivotes desta matriz est˜ao em verde, ou seja Pivote de L1 = 3 Pivote de L2 = 2 Pivote de L3 = 4 Pivote de L4 = 1 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Os primeiros coeficientes n˜ao nulos de cada linha de uma matriz escalonada s˜ao chamados pivotes. Por exemplo, se consideramos a matriz B = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 3 6 −9 3 0 2 4 5 0 0 4 2 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Os pivotes desta matriz est˜ao em verde, ou seja Pivote de L1 = 3 Pivote de L2 = 2 Pivote de L3 = 4 Pivote de L4 = 1 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Os primeiros coeficientes n˜ao nulos de cada linha de uma matriz escalonada s˜ao chamados pivotes. Por exemplo, se consideramos a matriz B = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 3 6 −9 3 0 2 4 5 0 0 4 2 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Os pivotes desta matriz est˜ao em verde, ou seja Pivote de L1 = 3 Pivote de L2 = 2 Pivote de L3 = 4 Pivote de L4 = 1 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Os primeiros coeficientes n˜ao nulos de cada linha de uma matriz escalonada s˜ao chamados pivotes. Por exemplo, se consideramos a matriz B = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 3 6 −9 3 0 2 4 5 0 0 4 2 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Os pivotes desta matriz est˜ao em verde, ou seja Pivote de L1 = 3 Pivote de L2 = 2 Pivote de L3 = 4 Pivote de L4 = 1 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Para nosso segundo exemplo consideremos a matriz D = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 6 −9 3 0 0 4 5 0 0 0 2 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Pivote de L1 = 6 Pivote de L2 = 4 Pivote de L3 = 2 Pivote de L4 = esta linha n˜ao possui pivote Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Para nosso segundo exemplo consideremos a matriz D = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 6 −9 3 0 0 4 5 0 0 0 2 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Pivote de L1 = 6 Pivote de L2 = 4 Pivote de L3 = 2 Pivote de L4 = esta linha n˜ao possui pivote Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Para nosso segundo exemplo consideremos a matriz D = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 6 −9 3 0 0 4 5 0 0 0 2 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Pivote de L1 = 6 Pivote de L2 = 4 Pivote de L3 = 2 Pivote de L4 = esta linha n˜ao possui pivote Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Para nosso segundo exemplo consideremos a matriz D = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 6 −9 3 0 0 4 5 0 0 0 2 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Pivote de L1 = 6 Pivote de L2 = 4 Pivote de L3 = 2 Pivote de L4 = esta linha n˜ao possui pivote Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Para nosso segundo exemplo consideremos a matriz D = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 6 −9 3 0 0 4 5 0 0 0 2 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Pivote de L1 = 6 Pivote de L2 = 4 Pivote de L3 = 2 Pivote de L4 = esta linha n˜ao possui pivote Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Uma matriz esta na forma escalonada reduzida se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: i) Todas as linhas cujas entradas s˜ao todas nulas aparecem na parte inferior da matriz. ii) O primeiro n´umero distinto de zero numa linha (ou seja, o pivote) ´e exatamente igual a 1. iii) Se duas linhas sucessivas tem elementos distintos de zero, ent˜ao o primeiro 1 na linha de abaixo esta mais `a direita que o primeiro 1 da linha imediatamente anterior. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Uma matriz esta na forma escalonada reduzida se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: i) Todas as linhas cujas entradas s˜ao todas nulas aparecem na parte inferior da matriz. ii) O primeiro n´umero distinto de zero numa linha (ou seja, o pivote) ´e exatamente igual a 1. iii) Se duas linhas sucessivas tem elementos distintos de zero, ent˜ao o primeiro 1 na linha de abaixo esta mais `a direita que o primeiro 1 da linha imediatamente anterior. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Uma matriz esta na forma escalonada reduzida se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: i) Todas as linhas cujas entradas s˜ao todas nulas aparecem na parte inferior da matriz. ii) O primeiro n´umero distinto de zero numa linha (ou seja, o pivote) ´e exatamente igual a 1. iii) Se duas linhas sucessivas tem elementos distintos de zero, ent˜ao o primeiro 1 na linha de abaixo esta mais `a direita que o primeiro 1 da linha imediatamente anterior. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Por exemplo, as matrizes A = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 1 7 0 −9 0 1 8 51 0 0 1 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ L = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 1 −1 32 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ s˜ao matrizes escalonadas reduzidas. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Por exemplo, as matrizes A = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 1 7 0 −9 0 1 8 51 0 0 1 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ L = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 0 1 −1 32 0 0 1 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ s˜ao matrizes escalonadas reduzidas. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Dado o sistema Ax = b ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 am3 ... amn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×n ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ x1 x2 ⋮ xn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ n×1 = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ b1 b2 ⋮ bm ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×1 a matriz ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ a11 a12 a13 ... a1n ⋮ b1 a21 a22 a23 ... a2n ⋮ b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ am1 am2 am3 ... amn ⋮ bm ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ ´e chamada matriz aumentada do sistema, ou simplesmente, matriz aumentada Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Dado o sistema Ax = b ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 am3 ... amn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×n ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ x1 x2 ⋮ xn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ n×1 = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ b1 b2 ⋮ bm ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×1 a matriz ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ a11 a12 a13 ... a1n ⋮ b1 a21 a22 a23 ... a2n ⋮ b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ am1 am2 am3 ... amn ⋮ bm ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ ´e chamada matriz aumentada do sistema, ou simplesmente, matriz aumentada Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao Dado o sistema Ax = b ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ am1 am2 am3 ... amn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×n ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ x1 x2 ⋮ xn ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ n×1 = ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ b1 b2 ⋮ bm ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ m×1 a matriz ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ a11 a12 a13 ... a1n ⋮ b1 a21 a22 a23 ... a2n ⋮ b2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ am1 am2 am3 ... amn ⋮ bm ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ ´e chamada matriz aumentada do sistema, ou simplesmente, matriz aumentada Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao M´ETODO DA MATRIZ ESCALONADA (REDUZIDA): 1 Escreva a matriz aumentada do sistema. 2 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares at´e obter uma matriz escalo- nada reduzida. 3 Escreva o sistema de equa¸c˜oes que representa a matriz escalonada reduzida. 4 Neste ´ultima sistema acha o valor de cada inc´ognita, ou seja, a solu¸c˜ao do sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao M´ETODO DA MATRIZ ESCALONADA (REDUZIDA): 1 Escreva a matriz aumentada do sistema. 2 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares at´e obter uma matriz escalo- nada reduzida. 3 Escreva o sistema de equa¸c˜oes que representa a matriz escalonada reduzida. 4 Neste ´ultima sistema acha o valor de cada inc´ognita, ou seja, a solu¸c˜ao do sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao M´ETODO DA MATRIZ ESCALONADA (REDUZIDA): 1 Escreva a matriz aumentada do sistema. 2 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares at´e obter uma matriz escalo- nada reduzida. 3 Escreva o sistema de equa¸c˜oes que representa a matriz escalonada reduzida. 4 Neste ´ultima sistema acha o valor de cada inc´ognita, ou seja, a solu¸c˜ao do sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao M´ETODO DA MATRIZ ESCALONADA (REDUZIDA): 1 Escreva a matriz aumentada do sistema. 2 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares at´e obter uma matriz escalo- nada reduzida. 3 Escreva o sistema de equa¸c˜oes que representa a matriz escalonada reduzida. 4 Neste ´ultima sistema acha o valor de cada inc´ognita, ou seja, a solu¸c˜ao do sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Definic¸˜ao M´ETODO DA MATRIZ ESCALONADA (REDUZIDA): 1 Escreva a matriz aumentada do sistema. 2 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares at´e obter uma matriz escalo- nada reduzida. 3 Escreva o sistema de equa¸c˜oes que representa a matriz escalonada reduzida. 4 Neste ´ultima sistema acha o valor de cada inc´ognita, ou seja, a solu¸c˜ao do sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo Usando o m´etodo da matriz escalonada achar a solu¸c˜ao do sis- tema 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 3x1 + x2 − 2x3 = 4 Solu¸c˜ao: Primeiro, escrevemos a matriz aumentada ⎛ ⎜ ⎝ 2 4 6 ⋮ 18 4 5 6 ⋮ 24 3 1 −2 ⋮ 4 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo Usando o m´etodo da matriz escalonada achar a solu¸c˜ao do sis- tema 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 3x1 + x2 − 2x3 = 4 Solu¸c˜ao: Primeiro, escrevemos a matriz aumentada ⎛ ⎜ ⎝ 2 4 6 ⋮ 18 4 5 6 ⋮ 24 3 1 −2 ⋮ 4 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo Usando o m´etodo da matriz escalonada achar a solu¸c˜ao do sis- tema 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 3x1 + x2 − 2x3 = 4 Solu¸c˜ao: Primeiro, escrevemos a matriz aumentada ⎛ ⎜ ⎝ 2 4 6 ⋮ 18 4 5 6 ⋮ 24 3 1 −2 ⋮ 4 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo Usando o m´etodo da matriz escalonada achar a solu¸c˜ao do sis- tema 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 3x1 + x2 − 2x3 = 4 Solu¸c˜ao: Primeiro, escrevemos a matriz aumentada ⎛ ⎜ ⎝ 2 4 6 ⋮ 18 4 5 6 ⋮ 24 3 1 −2 ⋮ 4 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I e nesta matriz fazemos operacdes elementares: 24 6 : 18), 3, /1 2 3: 9 fl 2 3 5: 9 4 5 6 : 24) -3"f4 5 6 : 24) 272% 19 -3 -6 : -12 3 12: 4 3 1 2: 4 3 1 2: 4 e nesta matriz fazemos operacdes elementares: 24 6 : 18\, 1, (1 2 3 : 9 ft 2 3: 9 45 6 : 24) —3"{4 5 6 : 24)? 23*19 -3 6 : -12 3 1 2: 4 3 1 2: 4 3 1 -2 3: 4 continuamos operando mediante opera¢oes linha 1 2 3 : 9 1 2 3 : 9 a1 1 2 3 : 9 0-3 6: -12)884 9 25 26: pp)? 3"%fo 1 2 3 4 3 1 -2 : 4 0 —5 -11 ; —23 0 -5 -11 : —23 e nesta matriz fazemos operacdes elementares: 24 6 : 18\, 1, (1 2 3 : 9 fl 2 3: 9 45 6 : 24) —3"/4 5 6 : 24/7 23°19 -3 -6 : -12 3 1 2: 4 3 1 2: 4 3 1 -2 3: 4 continuamos operando mediante opera¢oes linha 1 2 3 : 9 1 2 3 : 9 a1 1 2 3 : 9 ( 3-6: 3) isrhss4 (° 3 6 : 3) 277312 ( 1 2 : 4 3 1 —2 i 4 0 —5 -11 i —23 0 -5 -11 : —23 finalmente fazemos as operacoes: 1 2 3: 9 Le slea5L 12 3 : 9 bok 123: 9 —>L3+ _— 01 2 : 47° >5"1lo 1 2 : 4] °5*]o 12: 4 0 -5 -11 : -23 0 0 -1 : -3 001: 3 A matriz ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 ⋮ 9 0 1 2 ⋮ 4 0 0 1 ⋮ 3 ⎞ ⎟ ⎠ ´e uma matriz escalonada reduzida cujo sistema de equa¸c˜oes associado ´e: x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x2 + 2x3 = 4 x3 = 3 Da ´ultima equa¸c˜ao, segue que x3 = 3. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I A matriz ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 ⋮ 9 0 1 2 ⋮ 4 0 0 1 ⋮ 3 ⎞ ⎟ ⎠ ´e uma matriz escalonada reduzida cujo sistema de equa¸c˜oes associado ´e: x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x2 + 2x3 = 4 x3 = 3 Da ´ultima equa¸c˜ao, segue que x3 = 3. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Subtituindo com x3 = 3 na segunda equa¸c˜ao obtemos x2 + 2x3 = 4 x2 + 2(3) = 4 x2 + 6 = 4 x2 = −2 Finalmente, substituindo com x3 = 3 e x2 = −2 na primeira equa¸c˜ao obtemos x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x1 + 2(−2) + 3(3) = 9 x1 = 4 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Subtituindo com x3 = 3 na segunda equa¸c˜ao obtemos x2 + 2x3 = 4 x2 + 2(3) = 4 x2 + 6 = 4 x2 = −2 Finalmente, substituindo com x3 = 3 e x2 = −2 na primeira equa¸c˜ao obtemos x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x1 + 2(−2) + 3(3) = 9 x1 = 4 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Logo, o sistema 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 3x1 + x2 − 2x3 = 4 tem solu¸c˜ao x1 = 4 x2 = −2 x3 = 3 Portanto, ´e um consistente e independente. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo Usando o m´etodo da matriz escalonada encontrar a solu¸c˜ao do sistema 2x2 + 3x3 = 4 2x1 − 6x2 + 7x3 = 15 x1 − 2x2 + 5x3 = 10 Solu¸c˜ao: Escrevemos a matriz aumentada ⎛ ⎜ ⎝ 0 2 3 ⋮ 4 2 −6 7 ⋮ 15 1 −2 5 ⋮ 10 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo Usando o m´etodo da matriz escalonada encontrar a solu¸c˜ao do sistema 2x2 + 3x3 = 4 2x1 − 6x2 + 7x3 = 15 x1 − 2x2 + 5x3 = 10 Solu¸c˜ao: Escrevemos a matriz aumentada ⎛ ⎜ ⎝ 0 2 3 ⋮ 4 2 −6 7 ⋮ 15 1 −2 5 ⋮ 10 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo Usando o m´etodo da matriz escalonada encontrar a solu¸c˜ao do sistema 2x2 + 3x3 = 4 2x1 − 6x2 + 7x3 = 15 x1 − 2x2 + 5x3 = 10 Solu¸c˜ao: Escrevemos a matriz aumentada ⎛ ⎜ ⎝ 0 2 3 ⋮ 4 2 −6 7 ⋮ 15 1 −2 5 ⋮ 10 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I nesta matriz fazemos operacoes elementares: nesta matriz fazemos operacoes elementares: 02 3: 4), ff -2 5: ly) ft -2 5 = 10 2 -6 7: 15) ]2 -6 7 : 15])735"]o0 -2 -3 : -5 1 -2 5 : 10 02 3: 4 02 3: 4 nesta matriz fazemos operacoes elementares: 02 3: 4), ff -2 5: ly) ft -2 5 = 10 2 -6 7: 15) ]2 -6 7 : 15])735"]o0 -2 -3 : -5 1 -2 5 : 10 02 3: 4 02 3: 4 continuamos operando 1-2 5 : 10) ft 72 9 >: 10 >L3+ 0 -2 -3 : -5| °-S7*]o -2 -3 : -5 02 3: 4 0 0 0 : -l1 Notemos que, o sistema de equa¸c˜oes associado `a matriz aumen- tada ⎛ ⎜ ⎝ 1 −2 5 ⋮ 10 0 −2 −3 ⋮ −5 0 0 0 ⋮ −1 ⎞ ⎟ ⎠ ´e: x1 − 2x2 + 5x3 = 10 −2x2 − 3x3 = −5 0x3 = −1 Em particular a ´ultima igualdade ´e 0 = −1 o qual ´e uma con- tradi¸c˜ao. Portanto, concluimos que o sistema n˜ao possui solu¸c˜ao, ou seja, ´e um sistema inconsistente. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Notemos que, o sistema de equa¸c˜oes associado `a matriz aumen- tada ⎛ ⎜ ⎝ 1 −2 5 ⋮ 10 0 −2 −3 ⋮ −5 0 0 0 ⋮ −1 ⎞ ⎟ ⎠ ´e: x1 − 2x2 + 5x3 = 10 −2x2 − 3x3 = −5 0x3 = −1 Em particular a ´ultima igualdade ´e 0 = −1 o qual ´e uma con- tradi¸c˜ao. Portanto, concluimos que o sistema n˜ao possui solu¸c˜ao, ou seja, ´e um sistema inconsistente. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo Usando o m´etodo da matriz escalonada achar a solu¸c˜ao do sistema 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 Solu¸c˜ao: Escrevemos a matriz aumentada ⎛ ⎜ ⎝ 2 4 6 ⋮ 18 4 5 6 ⋮ 24 2 7 12 ⋮ 30 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo Usando o m´etodo da matriz escalonada achar a solu¸c˜ao do sistema 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 Solu¸c˜ao: Escrevemos a matriz aumentada ⎛ ⎜ ⎝ 2 4 6 ⋮ 18 4 5 6 ⋮ 24 2 7 12 ⋮ 30 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo Usando o m´etodo da matriz escalonada achar a solu¸c˜ao do sistema 2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 2x1 + 7x2 + 12x3 = 30 Solu¸c˜ao: Escrevemos a matriz aumentada ⎛ ⎜ ⎝ 2 4 6 ⋮ 18 4 5 6 ⋮ 24 2 7 12 ⋮ 30 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I e nesta matriz fazemos operacdes elementares: 24 6 : 18\, 1/1 2 3: 9), ft 2 3: 9 45 6 : 2) 3 14 5 6 : 24)773*41o -3 6 : -12 2 7 12 : 30 2 7 12 : 30 2 7 12 : 30 e nesta matriz fazemos operacdes elementares: 24 6 : 18\,.1,/1 2 3 : 9), , (1 2 3 2: 9 45 6 : 24) 3 [4 5 6 : 24)? 73%Jo -3 -6 : -12 2 7 12 : 30 2 7 12 : 30 2 7 12 : 30 continuamos operando mediante operacoes linha 12 3: 9 12 3: 9 12 3: 9 0 -3 -6 : -12)°=3°1o -3 -6 ; -12/°2=3"]o -3 -6 : -12 2 7 12 : 30 0 3 6 : 12 00 0: 0 e nesta matriz fazemos operacdes elementares: 24 6 : 18\,.1,/1 2 3 : 9), , (1 2 3 2: 9 45 6 : 24) 3 [4 5 6 : 24)? 73%Jo -3 -6 : -12 2 7 12 : 30 2 7 12 : 30 2 7 12 : 30 continuamos operando mediante operacoes linha 12 3: 9 12 3: 9 12 3: 9 0 -3 -6 : -12)°=3°1o -3 -6 ; -12/°2=3"]o -3 -6 : -12 2 7 12 : 30 0 3 6 : 12 00 0: 0 Finalmente, 12 3 : 9\, 4, /1 2 35: 9 : 2>— 3h : 0 -3 -6 : -12} —> [0 12: 4 00 0: O 000: 0 Notemos que, a matriz ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 ⋮ 9 0 1 2 ⋮ 4 0 0 0 ⋮ 0 ⎞ ⎟ ⎠ ´e uma matriz escalonada reduzida cujo sistema de equa¸c˜oes associado ´e: x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x2 + 2x3 = 4 0x3 = 0 Em particular, a ´ultima equa¸c˜oa n´os diz que o sistema possui infinitas solu¸c˜oes pois x3 pode tomar qualquer valor. Assim, o sistema ´e consistente dependente. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Notemos que, a matriz ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 ⋮ 9 0 1 2 ⋮ 4 0 0 0 ⋮ 0 ⎞ ⎟ ⎠ ´e uma matriz escalonada reduzida cujo sistema de equa¸c˜oes associado ´e: x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x2 + 2x3 = 4 0x3 = 0 Em particular, a ´ultima equa¸c˜oa n´os diz que o sistema possui infinitas solu¸c˜oes pois x3 pode tomar qualquer valor. Assim, o sistema ´e consistente dependente. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Notemos que, a matriz ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 ⋮ 9 0 1 2 ⋮ 4 0 0 0 ⋮ 0 ⎞ ⎟ ⎠ ´e uma matriz escalonada reduzida cujo sistema de equa¸c˜oes associado ´e: x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x2 + 2x3 = 4 0x3 = 0 Em particular, a ´ultima equa¸c˜oa n´os diz que o sistema possui infinitas solu¸c˜oes pois x3 pode tomar qualquer valor. Assim, o sistema ´e consistente dependente. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Por exemplo, se tomamos x3 = 0, temos que x2 + 2x3 = 4 x2 + 2(0) = 4 x2 = 4 logo, com x2 = 4 e x3 = 0 obtemos x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x1 + 2(4) + 3(0) = 9 x1 = 1 Assim, x1 = 1, x2 = 4, x3 = 0 ´e uma das solu¸c˜oes do sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Por exemplo, se tomamos x3 = 0, temos que x2 + 2x3 = 4 x2 + 2(0) = 4 x2 = 4 logo, com x2 = 4 e x3 = 0 obtemos x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x1 + 2(4) + 3(0) = 9 x1 = 1 Assim, x1 = 1, x2 = 4, x3 = 0 ´e uma das solu¸c˜oes do sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Por exemplo, se tomamos x3 = 0, temos que x2 + 2x3 = 4 x2 + 2(0) = 4 x2 = 4 logo, com x2 = 4 e x3 = 0 obtemos x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x1 + 2(4) + 3(0) = 9 x1 = 1 Assim, x1 = 1, x2 = 4, x3 = 0 ´e uma das solu¸c˜oes do sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Outra solu¸c˜ao pode ser obtida se consideramos x3 = 1, logo x2 + 2x3 = 4 x2 + 2(1) = 4 x2 = 2 portanto, com x2 = 2 e x3 = 1 obtemos x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x1 + 2(2) + 3(1) = 9 x1 = 2 E podemos concluir que, x1 = 2, x2 = 2, x3 = 1 ´e outra das solu¸c˜oes do sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Outra solu¸c˜ao pode ser obtida se consideramos x3 = 1, logo x2 + 2x3 = 4 x2 + 2(1) = 4 x2 = 2 portanto, com x2 = 2 e x3 = 1 obtemos x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x1 + 2(2) + 3(1) = 9 x1 = 2 E podemos concluir que, x1 = 2, x2 = 2, x3 = 1 ´e outra das solu¸c˜oes do sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Outra solu¸c˜ao pode ser obtida se consideramos x3 = 1, logo x2 + 2x3 = 4 x2 + 2(1) = 4 x2 = 2 portanto, com x2 = 2 e x3 = 1 obtemos x1 + 2x2 + 3x3 = 9 x1 + 2(2) + 3(1) = 9 x1 = 2 E podemos concluir que, x1 = 2, x2 = 2, x3 = 1 ´e outra das solu¸c˜oes do sistema. Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo 7x + 2y = 4 2x + 5y = 1 62x − 31y = 37 −93x + 31y = −55 Solu¸c˜ao: Escrevemos a matriz aumentada do sistema ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 7 2 ⋮ 4 2 5 ⋮ 1 62 −31 ⋮ 37 −93 31 ⋮ −55 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Exemplo 7x + 2y = 4 2x + 5y = 1 62x − 31y = 37 −93x + 31y = −55 Solu¸c˜ao: Escrevemos a matriz aumentada do sistema ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 7 2 ⋮ 4 2 5 ⋮ 1 62 −31 ⋮ 37 −93 31 ⋮ −55 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I blo — Lo - 2L 2 . 4 7 2; 4 DF 2 F) gouge (6 7 FF 2 5 : 1 puogh] 2 5: LT) otto: fo 8: -2 62 -31 : 37] ~ |62 -31 : 37 ~~ 0 a: uf 93 31 : -55 -93 31 : -55 0 abs ; Ly > Ly -2L 2 : 4 7 2 : 4 1 z i ¢ bo Lb 62l 1 7 : 7 2 5 : 1 jah] 2 5: 1 ta>ta+93t, JO St : -2 62 -31 : 37] ~ [62 -31 : 37 _ 0 =a ; uf -93 31: —55 -93 31 : —55 0 #3; Wk Continuamos operando até obter uma escalonada reduzida ly > Ely 2 : 4 3 2. 4 : 1 5 i 7 la —ahla 1 5 : 7 fg > l3-lo 1 ; : 7 0 31 > ui La > ala 0 1: -2] Uou-bwu fo 1: -2 __ 40 31 _, : 31 0 a; of 0 1: -4 00: 0 0 a3 ; Lb 01: -2 00: 0 7 : 7 : 31 : A matriz aumentada ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 1 2 7 ⋮ 4 7 0 1 ⋮ − 1 31 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ tem o sistema associado x + 2 7y = 4 7 y = − 1 31 0y = 0 0y = 0 Notemos que, as ´ultimas duas linhas nos sugerem infinitas solu¸c˜oes; mas a primeira e segunda linha n´os dizem que dessas infinitas solu¸c˜oes consideramos s´o uma: Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I A matriz aumentada ⎛ ⎜⎜⎜ ⎝ 1 2 7 ⋮ 4 7 0 1 ⋮ − 1 31 0 0 ⋮ 0 0 0 ⋮ 0 ⎞ ⎟⎟⎟ ⎠ tem o sistema associado x + 2 7y = 4 7 y = − 1 31 0y = 0 0y = 0 Notemos que, as ´ultimas duas linhas nos sugerem infinitas solu¸c˜oes; mas a primeira e segunda linha n´os dizem que dessas infinitas solu¸c˜oes consideramos s´o uma: Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Da segunda equa¸c˜ao nos diz que y = − 1 31 Portanto, substituindo em x + 2 7y = 4 7 obtemos x + 2 7 (− 1 31) = 4 7 → x = 18 31 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I Portanto, a ´unica solu¸c˜ao do sistema 7x + 2y = 4 2x + 5y = 1 62x − 31y = 37 −93x + 31y = −55 esta dada por: x = 18 31 e y = − 1 31 Professora: Adriana Juzga Le´on Sistemas de equa¸c˜oes lineares PARTE I