Slide Matrizes Definição e Operações Pt2-2022 1

Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Professora: Adriana Juzga Le´on UFSC - Campus Blumenau Departamento de Matem´atica Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Definic¸˜ao Seja A uma matriz quadrada de ordem n, se existe uma matriz B (quadrada de ordem n) tal que BA = I e AB = I onde I ´e a matriz identidade de ordem n dizemos que a matriz A ´e inversa e a matriz B ´e denotada A−1. Logo, se A ´e invers´ıvel temos A−1A = I e AA−1 = I Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Definic¸˜ao Seja A uma matriz quadrada de ordem n, se existe uma matriz B (quadrada de ordem n) tal que BA = I e AB = I onde I ´e a matriz identidade de ordem n dizemos que a matriz A ´e inversa e a matriz B ´e denotada A−1. Logo, se A ´e invers´ıvel temos A−1A = I e AA−1 = I Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Teorema (Propriedades da matriz inversa) Sejam A e B matrizes invers´ıveis. Ent˜ao i) (A−1)−1 = A ii) AT ´e invers´ıvel e (AT)−1 = (A−1)T. iii) (AB)−1 = B−1A−1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Teorema (Propriedades da matriz inversa) Sejam A e B matrizes invers´ıveis. Ent˜ao i) (A−1)−1 = A ii) AT ´e invers´ıvel e (AT)−1 = (A−1)T. iii) (AB)−1 = B−1A−1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Teorema (Propriedades da matriz inversa) Sejam A e B matrizes invers´ıveis. Ent˜ao i) (A−1)−1 = A ii) AT ´e invers´ıvel e (AT)−1 = (A−1)T. iii) (AB)−1 = B−1A−1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Teorema (Propriedades da matriz inversa) Sejam A e B matrizes invers´ıveis. Ent˜ao i) (A−1)−1 = A ii) AT ´e invers´ıvel e (AT)−1 = (A−1)T. iii) (AB)−1 = B−1A−1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, as opera¸c˜oes: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares entre linhas. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, as opera¸c˜oes: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares entre linhas. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, as opera¸c˜oes: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares entre linhas. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, as opera¸c˜oes: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares entre linhas. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, as opera¸c˜oes: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares entre linhas. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Se denotamos a i− ´esima linha de uma sistema mediante Li, as opera¸c˜oes: i) Troca de linhas: Li ↔ Lj ii) Multiplica¸c˜ao de linha por escalar: Li → cLi iii) Adi¸c˜ao de linhas multiplicadas por escalar: Li → Li + cLj s˜ao chamadas Opera¸c˜oes elementares entre linhas. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Exemplo Dada a matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 4 8 12 −3 1 0 0 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ efetuar as seguintes opera¸c˜oes elementares linha (na ordem in- dicada) 1. L1 → 1 4L1 2. L2 → L2 + 3L1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Solu¸c˜ao: ⎛ ⎜ ⎝ 4 8 12 −3 1 0 0 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ L1→ 1 4 L1 → ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 −3 1 0 0 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ L2→L2+3L1 → ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 0 7 9 0 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ Portanto, a matriz obtida ´e ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 0 7 9 0 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Solu¸c˜ao: ⎛ ⎜ ⎝ 4 8 12 −3 1 0 0 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ L1→ 1 4 L1 → ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 −3 1 0 0 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ L2→L2+3L1 → ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 0 7 9 0 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ Portanto, a matriz obtida ´e ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 3 0 7 9 0 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Definic¸˜ao (ALGORITMO PARA CALCULAR A INVERSA DE UMA MATRIZ A) 1 Escreva a matriz aumentada (A ∣ I). 2 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x1 na primeira linha seja 1, ou seja, para que a entrada a11 da matriz aumentada seja 1. 3 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x1 nas outras linhas sejam iguais a zero. 4 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x2 na segunda linha seja 1, ou seja, para que a entrada a22 da matriz aumentada seja 1. 5 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x2 nas outras linhas sejam iguais a zero. 6 Continue o processo at´e (se for poss´ıvel) obter ao lado esquerdo a matriz identidade. Nesse caso, a matriz `a direita da aumentada ´e a inversa de A, A−1. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Definic¸˜ao (ALGORITMO PARA CALCULAR A INVERSA DE UMA MATRIZ A) 1 Escreva a matriz aumentada (A ∣ I). 2 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x1 na primeira linha seja 1, ou seja, para que a entrada a11 da matriz aumentada seja 1. 3 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x1 nas outras linhas sejam iguais a zero. 4 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x2 na segunda linha seja 1, ou seja, para que a entrada a22 da matriz aumentada seja 1. 5 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x2 nas outras linhas sejam iguais a zero. 6 Continue o processo at´e (se for poss´ıvel) obter ao lado esquerdo a matriz identidade. Nesse caso, a matriz `a direita da aumentada ´e a inversa de A, A−1. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Definic¸˜ao (ALGORITMO PARA CALCULAR A INVERSA DE UMA MATRIZ A) 1 Escreva a matriz aumentada (A ∣ I). 2 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x1 na primeira linha seja 1, ou seja, para que a entrada a11 da matriz aumentada seja 1. 3 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x1 nas outras linhas sejam iguais a zero. 4 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x2 na segunda linha seja 1, ou seja, para que a entrada a22 da matriz aumentada seja 1. 5 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x2 nas outras linhas sejam iguais a zero. 6 Continue o processo at´e (se for poss´ıvel) obter ao lado esquerdo a matriz identidade. Nesse caso, a matriz `a direita da aumentada ´e a inversa de A, A−1. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Definic¸˜ao (ALGORITMO PARA CALCULAR A INVERSA DE UMA MATRIZ A) 1 Escreva a matriz aumentada (A ∣ I). 2 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x1 na primeira linha seja 1, ou seja, para que a entrada a11 da matriz aumentada seja 1. 3 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x1 nas outras linhas sejam iguais a zero. 4 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x2 na segunda linha seja 1, ou seja, para que a entrada a22 da matriz aumentada seja 1. 5 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x2 nas outras linhas sejam iguais a zero. 6 Continue o processo at´e (se for poss´ıvel) obter ao lado esquerdo a matriz identidade. Nesse caso, a matriz `a direita da aumentada ´e a inversa de A, A−1. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Definic¸˜ao (ALGORITMO PARA CALCULAR A INVERSA DE UMA MATRIZ A) 1 Escreva a matriz aumentada (A ∣ I). 2 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x1 na primeira linha seja 1, ou seja, para que a entrada a11 da matriz aumentada seja 1. 3 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x1 nas outras linhas sejam iguais a zero. 4 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x2 na segunda linha seja 1, ou seja, para que a entrada a22 da matriz aumentada seja 1. 5 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x2 nas outras linhas sejam iguais a zero. 6 Continue o processo at´e (se for poss´ıvel) obter ao lado esquerdo a matriz identidade. Nesse caso, a matriz `a direita da aumentada ´e a inversa de A, A−1. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Definic¸˜ao (ALGORITMO PARA CALCULAR A INVERSA DE UMA MATRIZ A) 1 Escreva a matriz aumentada (A ∣ I). 2 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x1 na primeira linha seja 1, ou seja, para que a entrada a11 da matriz aumentada seja 1. 3 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x1 nas outras linhas sejam iguais a zero. 4 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que o coefi- ciente de x2 na segunda linha seja 1, ou seja, para que a entrada a22 da matriz aumentada seja 1. 5 Fa¸ca opera¸c˜oes elementares entre linhas para que os coe- ficientes de x2 nas outras linhas sejam iguais a zero. 6 Continue o processo at´e (se for poss´ıvel) obter ao lado esquerdo a matriz identidade. Nesse caso, a matriz `a direita da aumentada ´e a inversa de A, A−1. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Exemplo Calcular a matriz inversa de B = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 1 0 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ Primeiro escrevemos a matriz aumentada, deixando a matriz identidade do lado direito: (B ∣ I) = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 3 1 0 ⋮ 0 1 0 1 1 1 ⋮ 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Fazemos opera¸c˜oes linha elementares do tipo: Li → cLi Li → Li + cLj para obter a matriz identidade do lado esquerdo da matriz au- mentada: ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 3 1 0 ⋮ 0 1 0 1 1 1 ⋮ 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ L2 → L2 − 3L1 L3 → L3 − L1 → ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 0 −5 −6 ⋮ −3 1 0 0 −1 −1 ⋮ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ seguimos operando: ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 0 −5 −6 ⋮ −3 1 0 0 −1 −1 ⋮ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ L2→− 1 →5 L2 ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 0 1 6 5 ⋮ 3 5 −1 5 0 0 −1 −1 ⋮ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Fazemos opera¸c˜oes linha elementares do tipo: Li → cLi Li → Li + cLj para obter a matriz identidade do lado esquerdo da matriz au- mentada: ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 3 1 0 ⋮ 0 1 0 1 1 1 ⋮ 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ L2 → L2 − 3L1 L3 → L3 − L1 → ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 0 −5 −6 ⋮ −3 1 0 0 −1 −1 ⋮ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ seguimos operando: ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 0 −5 −6 ⋮ −3 1 0 0 −1 −1 ⋮ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ L2→− 1 →5 L2 ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 0 1 6 5 ⋮ 3 5 −1 5 0 0 −1 −1 ⋮ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Fazemos opera¸c˜oes linha elementares do tipo: Li → cLi Li → Li + cLj para obter a matriz identidade do lado esquerdo da matriz au- mentada: ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 3 1 0 ⋮ 0 1 0 1 1 1 ⋮ 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ L2 → L2 − 3L1 L3 → L3 − L1 → ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 0 −5 −6 ⋮ −3 1 0 0 −1 −1 ⋮ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ seguimos operando: ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 0 −5 −6 ⋮ −3 1 0 0 −1 −1 ⋮ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ L2→− 1 →5 L2 ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 ⋮ 1 0 0 0 1 6 5 ⋮ 3 5 −1 5 0 0 −1 −1 ⋮ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, 1 2 2 : JI 0 O*\) 4-4-2 1 0 -2 : -% 2 0) . L3 + L3 + Lo . O1 $i 3 -3 Of >" [Ol Fig -; 0 : 1 : 2 0 -1 -1: -1 0 1 0 0 5: 75 75 1 Logo, 12 2: 1:0 O/) wen (1 0 -3 : -§ 3 0 6 : 3 1 37 isthe 6 - 3 1 0-1 -l1:-10 1 00 ¢ : -2 -; 1 dai 10-2: - 2 0 10-2: - 2 0 . L3>5L3 . rg gore Eps 00 ¢ : -2 -3 1 00 1 : -2 -1 5 Logo, 12 2 : 1 0 O*) usu-u (1 0 -2 : -} 2 0 01 8 : 3 1 of *223" 19 1 © : 8 L 9 eB Bap pF 0-1-1: -1 01 00 ¢ : -2 -3 1 dai 10-2: - 2 0 10-2: - 2 0 . L3>5L3 . 01 ££ : 2 -2 o] °>*]o 1 € : 2 -2 0 00 ¢ : -2 -3 1 00 1 : -2 -1 5 Assim, 2 .- 1 2 2 . 10 Sis 5 0 batt ts 100: -1 0 2 01 ¢@: 2 -2 0 —; 010: 3 1 -6 00 1: -2 -1 5 001: -2 -1 5 Notemos que, do lado esquerdo da matriz aumentada temos a matriz identidade e, portanto, a inversa de B ´e a matriz do lado direito da aumentada. Portanto, a inversa de B = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 1 0 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ esta dada por: B−1 = ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Notemos que, do lado esquerdo da matriz aumentada temos a matriz identidade e, portanto, a inversa de B ´e a matriz do lado direito da aumentada. Portanto, a inversa de B = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 1 0 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ esta dada por: B−1 = ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Exemplo Encontrar a matrix A3×3 tal que ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 1 0 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ A ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ −1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = 7 ⎛ ⎜ ⎝ −5 5 7 1 2 3 2 −3 1 ⎞ ⎟ ⎠ Solu¸c˜ao: Sejam B = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 1 0 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ e D = 7 ⎛ ⎜ ⎝ −5 5 7 1 2 3 2 −3 1 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ −35 35 49 7 14 21 14 −21 7 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Exemplo Encontrar a matrix A3×3 tal que ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 1 0 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ A ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ −1⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ = 7 ⎛ ⎜ ⎝ −5 5 7 1 2 3 2 −3 1 ⎞ ⎟ ⎠ Solu¸c˜ao: Sejam B = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 1 0 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ C = ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ e D = 7 ⎛ ⎜ ⎝ −5 5 7 1 2 3 2 −3 1 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ −35 35 49 7 14 21 14 −21 7 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, temos uma equa¸c˜ao do tipo BAC −1 = D multiplicando ao lado direito pela matriz C, temos BAC −1C = DC BA(C −1C) = DC BA(I) = DC BA = DC multiplicando ao lado esquerdo pela matriz B−1, temos B−1BA = B−1DC (B−1B)A = B−1DC (I)A = B−1DC A = B−1DC Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, temos uma equa¸c˜ao do tipo BAC −1 = D multiplicando ao lado direito pela matriz C, temos BAC −1C = DC BA(C −1C) = DC BA(I) = DC BA = DC multiplicando ao lado esquerdo pela matriz B−1, temos B−1BA = B−1DC (B−1B)A = B−1DC (I)A = B−1DC A = B−1DC Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, temos uma equa¸c˜ao do tipo BAC −1 = D multiplicando ao lado direito pela matriz C, temos BAC −1C = DC BA(C −1C) = DC BA(I) = DC BA = DC multiplicando ao lado esquerdo pela matriz B−1, temos B−1BA = B−1DC (B−1B)A = B−1DC (I)A = B−1DC A = B−1DC Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, temos uma equa¸c˜ao do tipo BAC −1 = D multiplicando ao lado direito pela matriz C, temos BAC −1C = DC BA(C −1C) = DC BA(I) = DC BA = DC multiplicando ao lado esquerdo pela matriz B−1, temos B−1BA = B−1DC (B−1B)A = B−1DC (I)A = B−1DC A = B−1DC Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, temos uma equa¸c˜ao do tipo BAC −1 = D multiplicando ao lado direito pela matriz C, temos BAC −1C = DC BA(C −1C) = DC BA(I) = DC BA = DC multiplicando ao lado esquerdo pela matriz B−1, temos B−1BA = B−1DC (B−1B)A = B−1DC (I)A = B−1DC A = B−1DC Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, temos uma equa¸c˜ao do tipo BAC −1 = D multiplicando ao lado direito pela matriz C, temos BAC −1C = DC BA(C −1C) = DC BA(I) = DC BA = DC multiplicando ao lado esquerdo pela matriz B−1, temos B−1BA = B−1DC (B−1B)A = B−1DC (I)A = B−1DC A = B−1DC Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, temos uma equa¸c˜ao do tipo BAC −1 = D multiplicando ao lado direito pela matriz C, temos BAC −1C = DC BA(C −1C) = DC BA(I) = DC BA = DC multiplicando ao lado esquerdo pela matriz B−1, temos B−1BA = B−1DC (B−1B)A = B−1DC (I)A = B−1DC A = B−1DC Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, temos uma equa¸c˜ao do tipo BAC −1 = D multiplicando ao lado direito pela matriz C, temos BAC −1C = DC BA(C −1C) = DC BA(I) = DC BA = DC multiplicando ao lado esquerdo pela matriz B−1, temos B−1BA = B−1DC (B−1B)A = B−1DC (I)A = B−1DC A = B−1DC Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, temos uma equa¸c˜ao do tipo BAC −1 = D multiplicando ao lado direito pela matriz C, temos BAC −1C = DC BA(C −1C) = DC BA(I) = DC BA = DC multiplicando ao lado esquerdo pela matriz B−1, temos B−1BA = B−1DC (B−1B)A = B−1DC (I)A = B−1DC A = B−1DC Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Portanto, a matriz A3×3 que devemos encontrar esta dada por A = B−1DC num exemplo anterior calculamos a inversa de B: B = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 1 0 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ → B−1 = ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Portanto, a matriz A3×3 que devemos encontrar esta dada por A = B−1DC num exemplo anterior calculamos a inversa de B: B = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 2 3 1 0 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ → B−1 = ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Portanto, A = B−1DC = ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ −35 35 49 7 14 21 14 −21 7 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ −35 35 49 7 14 21 14 −21 7 ⎞ ⎟ ⎠ ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 63 −77 −35 −182 245 126 133 −189 −84 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ −56 −329 644 259 896 −2100 −175 −707 1526 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Portanto, A = B−1DC = ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ −35 35 49 7 14 21 14 −21 7 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ −35 35 49 7 14 21 14 −21 7 ⎞ ⎟ ⎠ ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 63 −77 −35 −182 245 126 133 −189 −84 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ −56 −329 644 259 896 −2100 −175 −707 1526 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Portanto, A = B−1DC = ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ −35 35 49 7 14 21 14 −21 7 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ −35 35 49 7 14 21 14 −21 7 ⎞ ⎟ ⎠ ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 63 −77 −35 −182 245 126 133 −189 −84 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ −56 −329 644 259 896 −2100 −175 −707 1526 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Portanto, A = B−1DC = ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ −35 35 49 7 14 21 14 −21 7 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 2 3 1 −6 −2 −1 5 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ −35 35 49 7 14 21 14 −21 7 ⎞ ⎟ ⎠ ⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 63 −77 −35 −182 245 126 133 −189 −84 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ 2 −5 2 1 2 −4 3 −4 −6 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ −56 −329 644 259 896 −2100 −175 −707 1526 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, a matriz A ´e A = ⎛ ⎜ ⎝ −56 −329 644 259 896 −2100 −175 −707 1526 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Exemplo Suponha que A,B,C e D s˜ao matrizes de tamanho 4×4 (todas invers´ıveis). Indicar as opera¸c˜oes que devem ser efetuadas para encontrar a matriz M tal que 7(AB)T(M − 2C)D = D Solu¸c˜ao: Multiplicando ambos lados da igualdade (`a direita) por D−1 obtemos [7(AB)T(M − 2C)D]D−1 = DD−1 usando a propriedade associativa do produto de matrizes, temos: [7(AB)T(M − 2C)](DD−1) = DD−1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Exemplo Suponha que A,B,C e D s˜ao matrizes de tamanho 4×4 (todas invers´ıveis). Indicar as opera¸c˜oes que devem ser efetuadas para encontrar a matriz M tal que 7(AB)T(M − 2C)D = D Solu¸c˜ao: Multiplicando ambos lados da igualdade (`a direita) por D−1 obtemos [7(AB)T(M − 2C)D]D−1 = DD−1 usando a propriedade associativa do produto de matrizes, temos: [7(AB)T(M − 2C)](DD−1) = DD−1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Exemplo Suponha que A,B,C e D s˜ao matrizes de tamanho 4×4 (todas invers´ıveis). Indicar as opera¸c˜oes que devem ser efetuadas para encontrar a matriz M tal que 7(AB)T(M − 2C)D = D Solu¸c˜ao: Multiplicando ambos lados da igualdade (`a direita) por D−1 obtemos [7(AB)T(M − 2C)D]D−1 = DD−1 usando a propriedade associativa do produto de matrizes, temos: [7(AB)T(M − 2C)](DD−1) = DD−1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Como DD−1 = I obtemos [7(AB)T(M − 2C)]I = I Da´ı, 7(AB)T(M − 2C) = I multiplicando ambos lados da igualdade por 1/7 obtemos (AB)T(M − 2C) = 1 7I Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Como DD−1 = I obtemos [7(AB)T(M − 2C)]I = I Da´ı, 7(AB)T(M − 2C) = I multiplicando ambos lados da igualdade por 1/7 obtemos (AB)T(M − 2C) = 1 7I Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Como DD−1 = I obtemos [7(AB)T(M − 2C)]I = I Da´ı, 7(AB)T(M − 2C) = I multiplicando ambos lados da igualdade por 1/7 obtemos (AB)T(M − 2C) = 1 7I Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Na igualdade (AB)T(M − 2C) = 1 7I chamemos E = (AB)T Logo, E(M − 2C) = 1 7I Notemos que, E = (AB)T logo E −1 = ((AB)T)−1 = ((AB)−1)T = (B−1A−1)T Logo, como A e B s˜ao invers´ıveis temos que E −1 existe. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Na igualdade (AB)T(M − 2C) = 1 7I chamemos E = (AB)T Logo, E(M − 2C) = 1 7I Notemos que, E = (AB)T logo E −1 = ((AB)T)−1 = ((AB)−1)T = (B−1A−1)T Logo, como A e B s˜ao invers´ıveis temos que E −1 existe. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Na igualdade (AB)T(M − 2C) = 1 7I chamemos E = (AB)T Logo, E(M − 2C) = 1 7I Notemos que, E = (AB)T logo E −1 = ((AB)T)−1 = ((AB)−1)T = (B−1A−1)T Logo, como A e B s˜ao invers´ıveis temos que E −1 existe. Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Portanto, podemos multiplicar a ambos lados da igualdade (`a esquerda) por E −1: E −1[E(M − 2C)] = E −1 [1 7I] e operando as propriedades do produto de matrizes obtemos: [E −1E](M − 2C) = 1 7 [E −1I] Como E −1E = I temos I(M − 2C) = 1 7E −1 ou seja M − 2C = 1 7E −1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Portanto, podemos multiplicar a ambos lados da igualdade (`a esquerda) por E −1: E −1[E(M − 2C)] = E −1 [1 7I] e operando as propriedades do produto de matrizes obtemos: [E −1E](M − 2C) = 1 7 [E −1I] Como E −1E = I temos I(M − 2C) = 1 7E −1 ou seja M − 2C = 1 7E −1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Portanto, podemos multiplicar a ambos lados da igualdade (`a esquerda) por E −1: E −1[E(M − 2C)] = E −1 [1 7I] e operando as propriedades do produto de matrizes obtemos: [E −1E](M − 2C) = 1 7 [E −1I] Como E −1E = I temos I(M − 2C) = 1 7E −1 ou seja M − 2C = 1 7E −1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Portanto, podemos multiplicar a ambos lados da igualdade (`a esquerda) por E −1: E −1[E(M − 2C)] = E −1 [1 7I] e operando as propriedades do produto de matrizes obtemos: [E −1E](M − 2C) = 1 7 [E −1I] Como E −1E = I temos I(M − 2C) = 1 7E −1 ou seja M − 2C = 1 7E −1 Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, M = 1 7E −1 + 2C Portanto, como E = (AB)T obtemos M = 1 7((AB)T)−1 + 2C Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II Logo, M = 1 7E −1 + 2C Portanto, como E = (AB)T obtemos M = 1 7((AB)T)−1 + 2C Professora: Adriana Juzga Le´on Matrizes: defini¸c˜ao e opera¸c˜oes PARTE II