Slide Vetores Tratamento Algébrico e Geométrico-2022 1

Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Professora: Adriana Juzga Le´on UFSC - Campus Blumenau Departamento de Matem´atica Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Uma primeira defini¸c˜ao (intuitiva) de vetor ´e um segmento orientado e um par ordenado (A,B) de pontos no plano ou no espa¸co. O ponto A ´e chamado ponto inicial e o ponto B ´e chamado o ponto final do segmento orientado. Denotamos tal vetor mediante → AB. Chama- remos comprimento do vetor ao compri- mento do segmento AB, e, a direc˜ao e o sentido da flecha s˜ao a dire¸c˜ao e o sentido do vetor. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Uma primeira defini¸c˜ao (intuitiva) de vetor ´e um segmento orientado e um par ordenado (A,B) de pontos no plano ou no espa¸co. O ponto A ´e chamado ponto inicial e o ponto B ´e chamado o ponto final do segmento orientado. Denotamos tal vetor mediante → AB. Chama- remos comprimento do vetor ao compri- mento do segmento AB, e, a direc˜ao e o sentido da flecha s˜ao a dire¸c˜ao e o sentido do vetor. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Notemos que, se temos uma fam´ılia de ve- tores do mesmo comprimento e o mesmo sentido e escolhemos arbitrariamente um de- les podemos obter todos os outros depois de mover o vetor escolhido paralelamente, e, nesse sentidos todos os vetores nessa fam´ılia s˜ao equivalentes. Definic¸˜ao (Definic¸˜ao geom´etrica de vetor) O conjunto de todos os segmentos de reta orientados equiva- lentes a um segmento de reta dirigido dado ´e chamado vetor e qualquer segmento orientado nesse conjunto ´e dito represen- tante do vetor. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Notemos que, se temos uma fam´ılia de ve- tores do mesmo comprimento e o mesmo sentido e escolhemos arbitrariamente um de- les podemos obter todos os outros depois de mover o vetor escolhido paralelamente, e, nesse sentidos todos os vetores nessa fam´ılia s˜ao equivalentes. Definic¸˜ao (Definic¸˜ao geom´etrica de vetor) O conjunto de todos os segmentos de reta orientados equiva- lentes a um segmento de reta dirigido dado ´e chamado vetor e qualquer segmento orientado nesse conjunto ´e dito represen- tante do vetor. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Queremos definir agora a adi¸c˜ao de vetores. Suponhamos que u e v s˜ao vetores bi ou tridimensionais para somar eles: i) trasladamos eles de maneira tal que os seus pontos iniciais coincidam, ii) depois trasladamos uma vez mais v de maneira que o ponto inicial de v seja o ponto final de u. Ent˜ao, os vetores formam os lados adjacen- tes de um paralelogramo e u + v ´e represen- tado pela flecha desde o ponto inicial comum de u e v at´e o v´ertice oposto do paralelo- gramo. O anterior processo ´e conhecido como regra do paralelogramo. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Queremos definir agora a adi¸c˜ao de vetores. Suponhamos que u e v s˜ao vetores bi ou tridimensionais para somar eles: i) trasladamos eles de maneira tal que os seus pontos iniciais coincidam, ii) depois trasladamos uma vez mais v de maneira que o ponto inicial de v seja o ponto final de u. Ent˜ao, os vetores formam os lados adjacen- tes de um paralelogramo e u + v ´e represen- tado pela flecha desde o ponto inicial comum de u e v at´e o v´ertice oposto do paralelo- gramo. O anterior processo ´e conhecido como regra do paralelogramo. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Queremos definir agora a adi¸c˜ao de vetores. Suponhamos que u e v s˜ao vetores bi ou tridimensionais para somar eles: i) trasladamos eles de maneira tal que os seus pontos iniciais coincidam, ii) depois trasladamos uma vez mais v de maneira que o ponto inicial de v seja o ponto final de u. Ent˜ao, os vetores formam os lados adjacen- tes de um paralelogramo e u + v ´e represen- tado pela flecha desde o ponto inicial comum de u e v at´e o v´ertice oposto do paralelo- gramo. O anterior processo ´e conhecido como regra do paralelogramo. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico A soma de vetores pode ser reescrita como: Regra do triˆangulo para a adi¸c˜ao veto- rial: Se u e v forem vetores no espa¸co bi ou tridimensional posicionados de tal modo que o ponto inicial de v ´e o ponto final de u, ent˜ao u + v ´e o vetor representado pela flecha desde o ponto inicial de u at´e o ponto final de v Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico A soma de vetores pode ser reescrita como: Regra do triˆangulo para a adi¸c˜ao veto- rial: Se u e v forem vetores no espa¸co bi ou tridimensional posicionados de tal modo que o ponto inicial de v ´e o ponto final de u, ent˜ao u + v ´e o vetor representado pela flecha desde o ponto inicial de u at´e o ponto final de v Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Nesta figura provamos geometricamente a comutatividade da soma de vetores. No triˆangulo inferior na cor vermelha, usando a regra do triˆangulo ´e obtida a soma u + v. No entanto, no triˆangulo superior na cor azul mediante a regra do triˆangulo ´e obtida a soma v + u. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Esta figura nos mostra que a soma dos vetores u,v e w pode ser obtida se posicionamos os vetores de maneira tal que o ponto inicial de um coincida com o ponto final do outro vetor e tra¸camos o vetor com ponto ini- cial o ponto inicial de u e ponto final o ponto final de w. A figura mostra tamb´em a associativi- dade da soma, ou seja, (u + v) + w = u + (v + w) Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico A primeira figura na direita mostra que a soma de vetores pode ser estendida a quatro ou mais vetores. No entanto, a segunda figura nos per- mite ver que se u,v,w s˜ao vetores tri- dimensionais com um produto inicial em comum, ent˜ao u + v + w ´e a di- agonal do paralelep´ıpedo que tem os trˆes vetores como arestas adja- centes. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico O vetor cujo ponto inicial e ponto final coincidem ´e chamado o vetor zero ou vetor nulo e denotamos ele 0. Notemos que, o vetor zero naturalmente possui comprimento 0 e satisfaz u + 0 = 0 + u = u, para todo vetor u. Se u ´e um vetor n˜ao nulo bi ou tridimensional e α um escalar real, ent˜ao o m´ultiplo por escalar de u por α, denotado por αu, ´e o vetor de mesma dire¸c˜ao que u com comprimento ´e ∣α∣ vezes o comprimento de u e cujo sentido esta dado por: Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico O vetor cujo ponto inicial e ponto final coincidem ´e chamado o vetor zero ou vetor nulo e denotamos ele 0. Notemos que, o vetor zero naturalmente possui comprimento 0 e satisfaz u + 0 = 0 + u = u, para todo vetor u. Se u ´e um vetor n˜ao nulo bi ou tridimensional e α um escalar real, ent˜ao o m´ultiplo por escalar de u por α, denotado por αu, ´e o vetor de mesma dire¸c˜ao que u com comprimento ´e ∣α∣ vezes o comprimento de u e cujo sentido esta dado por: Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Se α > 0, ent˜ao αu tem o mesmo sentido que u. Na figura alguns exemplos com α = 2 e α = 1 2. Se α < 0, ent˜ao αu tem o sen- tido oposto que u. Na figura al- guns exemplos com α = −1, α = −2 e α = −3. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Para definir a substra¸c˜ao de vetores notemos primeiro que −v ´e o vetor com o mesmo comprimento e dire¸c˜ao de v mas com sentido oposto e defi- nimos u − v como o vetor u + (−v). Em outras palavras, se u e v s˜ao vetores com ponto inicial que coincide, o vetor u − v ´e obtido ao tra¸car o vetor cujo ponto inicial ´e o ponto final de v e ponto final ´e o ponto final de u. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Para definir a substra¸c˜ao de vetores notemos primeiro que −v ´e o vetor com o mesmo comprimento e dire¸c˜ao de v mas com sentido oposto e defi- nimos u − v como o vetor u + (−v). Em outras palavras, se u e v s˜ao vetores com ponto inicial que coincide, o vetor u − v ´e obtido ao tra¸car o vetor cujo ponto inicial ´e o ponto final de v e ponto final ´e o ponto final de u. Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Da defini¸c˜ao geom´etrica de vetor, segue que: Dado um vetor v ele pode ser presentado de diferentes maneiras. Seja → PQ um representante de v Logo sem mudar a dire¸c˜ao, o comprimento nem o sentido do vetor podemos mover → PQ de forma paralela at´e que o seu ponto inicial seja a origem de R2 ou R3 (dependendo se o vetor ´e bi ou tridimensional), e, obtemos assim um segmento orientado → 0R que ´e outro representante de v Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Da defini¸c˜ao geom´etrica de vetor, segue que: Dado um vetor v ele pode ser presentado de diferentes maneiras. Seja → PQ um representante de v Logo sem mudar a dire¸c˜ao, o comprimento nem o sentido do vetor podemos mover → PQ de forma paralela at´e que o seu ponto inicial seja a origem de R2 ou R3 (dependendo se o vetor ´e bi ou tridimensional), e, obtemos assim um segmento orientado → 0R que ´e outro representante de v Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Da defini¸c˜ao geom´etrica de vetor, segue que: Dado um vetor v ele pode ser presentado de diferentes maneiras. Seja → PQ um representante de v Logo sem mudar a dire¸c˜ao, o comprimento nem o sentido do vetor podemos mover → PQ de forma paralela at´e que o seu ponto inicial seja a origem de R2 ou R3 (dependendo se o vetor ´e bi ou tridimensional), e, obtemos assim um segmento orientado → 0R que ´e outro representante de v Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Suponhamos que estamos em R2 e R tem coordenadas cartesi- anas (a,b). Logo, poder´ıamos descrever → 0R pelas coordenadas (a,b), ou seja, o segmento de reta orientado com origem (0,0) e ponto final (a,b). Portanto, num abuso da linguagem podemos simplesmente es- crever v = (a,b). Analogamente, se estamos em R3 e R tem coordenadas (a,b,c) podemos escrever v = (a,b,c). Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Suponhamos que estamos em R2 e R tem coordenadas cartesi- anas (a,b). Logo, poder´ıamos descrever → 0R pelas coordenadas (a,b), ou seja, o segmento de reta orientado com origem (0,0) e ponto final (a,b). Portanto, num abuso da linguagem podemos simplesmente es- crever v = (a,b). Analogamente, se estamos em R3 e R tem coordenadas (a,b,c) podemos escrever v = (a,b,c). Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Suponhamos que estamos em R2 e R tem coordenadas cartesi- anas (a,b). Logo, poder´ıamos descrever → 0R pelas coordenadas (a,b), ou seja, o segmento de reta orientado com origem (0,0) e ponto final (a,b). Portanto, num abuso da linguagem podemos simplesmente es- crever v = (a,b). Analogamente, se estamos em R3 e R tem coordenadas (a,b,c) podemos escrever v = (a,b,c). Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Suponhamos que estamos em R2 e R tem coordenadas cartesi- anas (a,b). Logo, poder´ıamos descrever → 0R pelas coordenadas (a,b), ou seja, o segmento de reta orientado com origem (0,0) e ponto final (a,b). Portanto, num abuso da linguagem podemos simplesmente es- crever v = (a,b). Analogamente, se estamos em R3 e R tem coordenadas (a,b,c) podemos escrever v = (a,b,c). Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Suponhamos que estamos em R2 e v = → PQ com P = (a1,b1) Q = (a2,b2). Para trasladar o vetor `a origem fazemos a opera¸c˜ao ponto final − ponto inicial ou seja, Q − P E dizemos que o vetor equivalente a v = → PQ trasladado `a origem ´e vetor cujo ponto inicial ´e a origem (0,0) e cujo ponto final ´e: Q − P = (a2 − a1,b2 − b1) Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Suponhamos que estamos em R2 e v = → PQ com P = (a1,b1) Q = (a2,b2). Para trasladar o vetor `a origem fazemos a opera¸c˜ao ponto final − ponto inicial ou seja, Q − P E dizemos que o vetor equivalente a v = → PQ trasladado `a origem ´e vetor cujo ponto inicial ´e a origem (0,0) e cujo ponto final ´e: Q − P = (a2 − a1,b2 − b1) Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Exemplo Consideremos o vetor u = → PQ com P = (2,1) e Q = (3,3). Trasladar tal vetor a um vetor equivalente cujo ponto inicial ´e a origem. Seja u = → PQ com P = (2,1) e Q = (3,3), para trasladar ao vetor at´e a origem devemos calcular ponto final − ponto inicial, ou seja, Q−P = (3,3)−(2,1) = (3−2,3−1) = (1,2) Logo, desdenhamos o vetor cujo ponto inicial ´e a origem e ponto final ´e (1,2). Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Exemplo Consideremos o vetor u = → PQ com P = (2,1) e Q = (3,3). Trasladar tal vetor a um vetor equivalente cujo ponto inicial ´e a origem. Seja u = → PQ com P = (2,1) e Q = (3,3), para trasladar ao vetor at´e a origem devemos calcular ponto final − ponto inicial, ou seja, Q−P = (3,3)−(2,1) = (3−2,3−1) = (1,2) Logo, desdenhamos o vetor cujo ponto inicial ´e a origem e ponto final ´e (1,2). Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico No anterior exemplo, notemos que quando falamos do par or- denado (1,2) estamos falando da seta (ou vetor) em R2 cujo ponto inicial ´e a origem e cujo ponto final ´e (1,2). E, que tal vetor ´e equivalente ao vetor u = → PQ com P = (2,1) e Q = (3,3). Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Exemplo Trasladar os vetores u = → AB com A = (1,4) e B = (2,6) v = → CD com C = (3,5) e D = (4,4) `a origem Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Exemplo Trasladar os vetores u = → AB com A = (1,4) e B = (2,6) v = → CD com C = (3,5) e D = (4,4) `a origem Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Para trasladar os vetores `a origem devemos fazer a opera¸c˜ao ponto final − ponto inicial Logo, u = → AB ´e equivalente a B − A = (2,6) − (1,4) = (1,2) e, v = → CD ´e equivalente a D − C = (4,4) − (3,5) = (1,−1) Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Para trasladar os vetores `a origem devemos fazer a opera¸c˜ao ponto final − ponto inicial Logo, u = → AB ´e equivalente a B − A = (2,6) − (1,4) = (1,2) e, v = → CD ´e equivalente a D − C = (4,4) − (3,5) = (1,−1) Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Para trasladar os vetores `a origem devemos fazer a opera¸c˜ao ponto final − ponto inicial Logo, u = → AB ´e equivalente a B − A = (2,6) − (1,4) = (1,2) e, v = → CD ´e equivalente a D − C = (4,4) − (3,5) = (1,−1) Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Notemos que, de acordo ao anterior exemplo estamos identifi- cando o ponto (1,2) de R2 com o vetor u = (1,2) cujo ponto inicial ´e a origem e ponto final ´e (1,2). Equivalentemente, estamos identificando tamb´em o ponto (1,2) com o vetor u = → AB cujo ponto inicial ´e A = (1,4) e ponto final ´e B = (2,6). Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Notemos que, de acordo ao anterior exemplo estamos identifi- cando o ponto (1,2) de R2 com o vetor u = (1,2) cujo ponto inicial ´e a origem e ponto final ´e (1,2). Equivalentemente, estamos identificando tamb´em o ponto (1,2) com o vetor u = → AB cujo ponto inicial ´e A = (1,4) e ponto final ´e B = (2,6). Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Obtemos assim uma equivalˆencia entre os vetores vistos como setas nos espa¸cos bidimensional R2 e tridimensional R3 e o ponto de R2 ou R3 dado pelas suas componentes depois de trasladar o vetor `a origem. Isto ´e, → PQ ´e equivalente a Q − P Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico Obtemos assim uma equivalˆencia entre os vetores vistos como setas nos espa¸cos bidimensional R2 e tridimensional R3 e o ponto de R2 ou R3 dado pelas suas componentes depois de trasladar o vetor `a origem. Isto ´e, → PQ ´e equivalente a Q − P Professora: Adriana Juzga Le´on Vetores tratamento alg´ebrico e geom´etrico