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la. Avaliagao de Calculo 2. 27-11-2023 1. Considere a fungao vetorial o : [0,27] > R?, dada por a(t) = (e’cos(t), e'sen(t)). (a) Calcule ||o(t)|| e o/(t), Vt € [0,27]. Determine os "instantes" t € [0,27] tais que a reta tangente a trajetoria de a, no ponto o(t), seja: (i) paralela ao eixo Oy; (ii) paralela ao eixo Oz; (iii) paralela a reta y = 2; (iv) paralela a reta y = —2. (b) Facga um esboco da trajetoria de a (no plano Oxy). Explique seu esboco. 2. Em cada um dos itens a seguir, determine o conjunto dos pontos de continuidade da funcao f. Justifique sua resposta. 2 SS, (x, y) # (0,0), (a) f(@y)=y vere 0, (x,y) = (0,0) ts. x, 0, 0 9 (b) fly) = a, (0.9) # (000) 0, (x,y) = (0,0) 3. Teorema: Se lim(cy)+(2o,y9) A(@, y) = a e limps. g(t) = L, com Im(h) C Dg, entao, lim ey) (@0,yo) G(R(@, y)) = limysa g(t) = L. Assumindo o teorema acima, mostre que 21,2 lim sen(a* +y") _ 1 (xy)>(0,0) a? + y? 4, Considere a funcao f : R? > R dada por 5 x ~ y’, Il(x, y)|| < 3, f(x,y) = —4, ||(x,y)|| > 3 (a) Obtenha curvas de nivel c de f considerando: c = —4, -4<c<5ec=5. Verifique que Im(f) = [—4, 5]. Estude as intersecgoes de Gr(f) com os planos x = 0 e y = 0. Faca um esboco de Gr(f). (b) Considere a curva C = Gr(f)N (plano z = 1). Dé exemplo de uma funcao 7 : R > R® tal que Im(y7) = C. 1 QUESTAO 01 a) 1. Calculando ||o(t)||: Para calcular a norma do vetor o(t) = (e' cos(t),e’ sin(t)), usamos a formula da norma de um vetor: llo(t)|| = Vv (e? cos(t))? + (e* sin(t))? = 1/€?¢ cos?(t) + e sin?(t) = ,/e?t(cos?(t) + sin?(t)) = Vert =e! Portanto, ||o(¢)|| = e?. 2. Calculando o'(t): Para encontrar a derivada da funcao vetorial o(t), derivamos cada com- ponente em relacao a t: d d o'(t) = (Ftc cos(t)), ae sin(t))) = (e' cos(t) — e’ sin(t), e” sin(t) + e* cos(t)) = e'(cos(t) — sin(t), sin(t) + cos(t)) Portanto, o/(t) = e'(cos(t) — sin(t), sin(t) + cos(t)). 3. Determinando os ”instantes” t para as retas tangentes: 1. Reta tangente paralela ao eixo Oy: Para que a reta tangente seja paralela ao eixo Oy, a diregdéo da reta tangente deve ser (0,1). Portanto, a segunda componente de o’(t) deve ser zero: sin(t) + cos(t) = 0 2. Reta tangente paralela ao eixo Oz: Para que a reta tangente seja paralela ao eixo Ox, a direcado da reta tangente deve ser (1,0). Portanto, a primeira componente de o’(t) deve ser zero: cos(t) — sin(t) = 0 3. Reta tangente paralela 4 reta y = x: Para que a reta tangente seja paralela a reta y = x, a direcdo da reta tangente deve ser (1,1). Portanto, ambas as componentes de o’(t) devem ser iguais: cos(t) — sin(t) = sin(t) + cos(t) 1 4. Reta tangente paralela 4 reta y = —z: Para que a reta tangente seja paralela a reta y = —2, a direcao da reta tangente deve ser (1,—1). Portanto, a primeira componente de o’(t) deve ser igual ao negativo da segunda componente: cos(t) — sin(t) = —(sin(¢) + cos(t)) b) QUESTAO 02 a) Passo 1: Escrever a fungao f(x, y): 2 SS, se (x, y) # (0, 0) flay) = 5 verw 0, se (x,y) = (0,0) Passo 2: Determinar os pontos de continuidade da fungao. Para determinar os pontos de continuidade de f(x,y), precisamos consid- erar as condigées de continuidade em (0,0) e em todos os outros pontos diferentes de (0,0). - Para (x,y) # (0, 0): ~ a2 Z 2 . - A funcao Vene é continua em todos os pontos diferentes de (0,0) porque 6 uma, funcao racional, exceto quando x? + y? = 0. b) A fungao ez também é continua em todos os pontos diferentes de (0,0) porque 6 uma, funcao racional, exceto quando x? + y? = 0. - Para (x,y) = (0,0): - A fungao f(x,y) = 0 é continua em (0,0), pois é uma funcao constante. Portanto, a funcao f(x, y) é continua em todos os pontos do plano, exceto em (0,0), onde também é continua devido & definigao explicita da funcao nesse ponto. 2