Questão - Limites e Curvas - Cálculo 2 2021 2

(a) Mostre que o limite lim(x,y)->(0,0) xy/x^3-y não existe. (Sugestão: para encontrar uma curva sobre a qual o limite é diferente de zero, olhe para as curvas de nível da função) (b) Calcule o limite lim(x,y)->(0,0) x^5y/x^4+y^2 ou mostre que não existe Atividade Cálculo II a) Para provar que o limite não existe, vamos determinar dois caminhos distintos (que passam pela origem), nos quais o limite sobre esse caminho tenha resultados diferentes. Isso provará que ele não existe pois, se ele existisse, o limite sobre todos os caminhos que tendem à origem deveriam ser iguais. Considere primeiramente o caminho 𝛾1(𝑡): {𝑥(𝑡) = 0 𝑦(𝑡) = 𝑡. Esse caminho é tal que se 𝑡 → 0 , então (𝑥; 𝑦) → (0; 0), e sobre esse caminho temos que: lim (𝑥;𝑦)→(0;0) 𝑥𝑦 𝑥3−𝑦 = lim 𝑡→0 0 −𝑡 = 0 Considere agora o caminho 𝛾2(𝑡): { 𝑥(𝑡) = 𝑡 𝑦(𝑡) = 𝑡3. Esse caminho é tal que se 𝑡 → 0, então (𝑥; 𝑦) → (0; 0), e sobre esse caminho temos que: lim (𝑥;𝑦)→(0;0) 𝑥𝑦 𝑥3−𝑦 = lim 𝑡→0 𝑡∙𝑡3 𝑡3−𝑡3 = lim 𝑡→0 𝑡4 𝑡3−𝑡3 = ∄ Logo, o limite não irá existir. b) Note que 𝑥5𝑦 𝑥4+𝑦2 = 𝑥𝑦 ∙ ( 𝑥4 𝑥4+𝑦2) A função 𝑥4 𝑥4+𝑦2 será sempre um valor positivo, para quaisquer valores de 𝑥; 𝑦; ∈ ℝ, (exceto (0; 0), onde a função não está definida), pois como os valores estão todos elevados à potências pares, e temos soma e divisão desses valores, então eles serão todos positivos, ou seja: 0 ≤ 𝑥4 𝑥4+𝑦2 Além disso, 𝑥4 ≤ 𝑥4 + 𝑦2, pois 𝑦2 ≥ 0. Então 𝑥4 𝑥4+𝑦2 ≤ 𝑥4+𝑦2 𝑥4+𝑦2 = 1 Então temos que 0 ≤ 𝑥4 𝑥4+𝑦2 ≤ 1 E isso implica em |𝑥𝑦| ∙ 0 ≤ |𝑥𝑦| ∙ 𝑥4 𝑥4+𝑦2 ≤ |𝑥𝑦| ∙ 1 São diretos os resultados: lim (𝑥;𝑦)→(0;0)|𝑥𝑦| ∙ 0 = 0 lim (𝑥;𝑦)→(0;0)|𝑥𝑦| ∙ 1 = 0 Então pelo teorema do confronto, temos que lim (𝑥;𝑦)→(0;0)|𝑥𝑦| ∙ 𝑥4 𝑥4+𝑦2 = 0 Lembrando que se lim (𝑥;𝑦)→(𝑎;𝑏)|𝑓(𝑥; 𝑦)| = 0 ⇔ lim ((𝑥;𝑦)→(𝑎;𝑏)) 𝑓(𝑥; 𝑦) = 0, então lim (𝑥;𝑦)→(0;0) 𝑥𝑦 ∙ 𝑥4 𝑥4+𝑦2 = 0, resolvendo o nosso problema! .