Tarefa 1 - Leis de Kepler - Cálculo 2 2021-2

1 TAREFA T1 - Cálculo 2 - Segundo Semestre 2021 (ENPE) LEIS de KEPLER sobre o Movimento Planetário As funções vetoriais podem ser usadas para provar as leis de Kepler sobre o movimento planetário: 1. Um planeta gira em torno do sol em uma órbita elíptica com o sol em um dos focos. 2. A reta que liga o sol a um planeta percorre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. 3. O quadrado do período de revolução de um planeta é proporcional ao cubo do comprimento do maior eixo de sua órbita. Como a força gravitacional do sol sobre um planeta é muito maior que as forças exercidas por outros astros, podemos ignorar todos os outros corpos do universo, exceto o sol e um planeta girando em torno dele. Suponha que o sol esteja na origem de um sistema de coordenadas e ⃗r = ⃗r(t) seja o vetor posição do planeta (Pode igualmente ser considerado o vetor posição da Lua ou de um satélite girando em torno da Terra ou um cometa movendo-se ao redor de uma estrela). Então o vetor velocidade é ⃗v = ⃗r ′ e o vetor aceleração é ⃗a = ⃗r ′′. Isaac Newton mostrou que as três leis de Kepler podem ser obtidas como consequência de duas leis de sua autoria, a Segunda Lei do Movimento, ⃗F = m⃗a, e a Lei da Gravitação, ⃗F = −GMm r3 ⃗r = −GMm r2 ⃗u, onde ⃗F é a força da gravidade sobre o planeta, m e M são as massas dos planetas e do sol, G é a constante gravitacional, r = ||⃗r|| e ⃗u = ⃗r ||⃗r|| o versor de ⃗r. Para provar as leis de Kepler usando as leis de Newton, precisamos conhecer um pouco das seções cônicas. Teorema 0.1. Teorema: Seja F um ponto xado (chamado foco) e ℓ uma reta xada (chamada diretriz) em um plano. Seja e um número positivo xado (chamado excentrici- dade). O conjunto de todos os pontos P no plano tal que a razão entre a distância a F e a distância a ℓ é a constante e, |PF| Pℓ| = e, é uma seção cônica. A cônica é uma elipse se e < 1, uma parábola se e = 1 e uma hipérbole se e > 1. Se no sistema de coordenadas cartesianas o foco F está na origem, a diretriz ℓ tem equação x = d e se P tem coordenadas polares (r, θ) onde x = r cos θ, y = rsenθ, veja Figura 1, então |PF| = r |Pℓ| = d − r cos θ a y é:x=d (diretriz) P a B x C é ——— {———— Figura lL: e a condicao aA = e torna-se r= e(d—rcos6). Elevando ao quadrado ambos os lados dessa equacao polar obtemos a equacao nas coor- denadas cartesianas xr? +y? =e(d—2”) ou (1 — e*)a* + 2de*x + y* = ed? que depois de completar os quadrados torna-se (a + e7d ? 1 y” ed? x + — —— = — 1-—e? l—e? (1-e?)? que se e < 1 é da forma —h)? —k)? =n =P a b? que é a equacao de uma elipse com centro no ponto (h, k), eixo maior medindo 2a e menor medindo 2b, onde 2 272 272 ed ed ed h = ————~ k=0 a? = ——___ b? = ——.. 1—e? (1 — e?)? 1 —e? Sabemos que os focos de uma elipse estao a uma distancia c a partir do centro, onde c’ =a’ — b’, e portanto, e = £. Também, de r = e(d — rcos@) temos que uma equagao polar da c6nica pode ser escrita como ed r= ———_.. 1+ecosé 3 Para provar as leis de Kepler seguimos alguns passos. Os passos da prova da primeira lei estão justicados, você deve justicar os passos para a prova da segunda e terceira lei. 0.1 Primeira Lei de Kepler 1. Usando a expressão para ⃗F nas duas leis de Newton concluímos que o vetor ⃗a é paralelo ao vetor ⃗r, pois ⃗F = m⃗a e ⃗F = − GMm r3 ⃗r. Logo ⃗a = − GM r3 ⃗r, o que mostra que os vetores ⃗r e ⃗a são paralelos já que um é múltiplo do outro. 2. O produto vetorial ⃗r × ⃗v é um vetor constante constante ⃗h, pois d dt(⃗r × ⃗v) = ⃗r ′ × ⃗v + ⃗r × ⃗v ′ = ⃗v × ⃗v + ⃗r × ⃗a = ⃗0 +⃗0 = ⃗0, pois ⃗v é paralelo a ⃗v, ⃗a é paralelo ao vetor ⃗r e o produto vetorial de vetores paralelos é o vetor nulo. Logo o vetor ⃗r é perpendicular ao vetor ⃗h para todos os valores de t e, portanto, o planeta está sempre num plano que passa pela origem e é perpendicular ao vetor ⃗h. É conveniente escolher os eixos coordenados de modo que o vetor ⃗h aponte na direção do vetor ⃗k (eixo 0z). Assim o planeta se move no plano Oxy. 3. Podemos escrever o vetor ⃗h como ⃗h = r2(⃗u × ⃗u ′), pois ⃗h = ⃗r×⃗v = ⃗r×⃗r ′ = r⃗u×(r⃗u)′ = r⃗u×(r⃗u ′+r′⃗u) = r2(⃗u×⃗u ′)+r r′(⃗u×⃗u) = r2(⃗u×⃗u ′). Observamos que ⃗a × ⃗h = GM⃗u ′, pois ⃗a × ⃗h = −GM r2 ⃗u × r2(⃗u × ⃗u ′) = −GM⃗u × (⃗u × ⃗u ′) = −GM[(⃗u · ⃗u ′)⃗u − (⃗u · ⃗u)⃗u ′]. Logo ⃗a × ⃗h = GM ⃗u ′, pois ||⃗u||2 = ⃗u · ⃗u = 1 e, como ||⃗u(t)|| = 1, ⃗u · ⃗u ′ = 0. E então, (⃗v × ⃗h)′ = ⃗v ′ × ⃗h + ⃗v × ⃗h ′ = ⃗a × ⃗h = GM ⃗u ′. 4 Integrando ambos os membros obtemos ⃗v × ⃗h = GM ⃗u + ⃗c, ou seja ⃗v × ⃗h − GM ⃗u = ⃗c ⃗c é um vetor constante. Como ⃗v ×⃗h e ⃗u são perpendiculares ao vetor ⃗h, a equação acima mostra que o vetor ⃗c pertence ao plano Oxy e podemos escolher os eixos x e y de modo que ⃗c esteja na direção do vetor ⃗i (eixo Ox), como na Figura 2. Se θ é o ângulo entre ⃗c e ⃗r, então (r, θ) são as coordenadas polares do planeta. Assim x y z ⃗h ⃗c θ ⃗u ⃗r ⃗v Figura 2: 4. Vale a igualdade ⃗r · (⃗v × ⃗h) = GMr + rc cos θ, onde c = ||⃗c||, pois ⃗r·(⃗v×⃗h) = ⃗r·(GM⃗u+⃗c) = GM⃗r·⃗u+⃗r·⃗c = GMr⃗u·⃗u+||⃗r||||⃗c||cosθ = GMr+rc cos θ. Então r = ⃗r · (⃗v × ⃗h) GM + c cos θ = 1 GM ⃗r · (⃗v × ⃗h) 1 + e cos θ, onde e = c GM . Por outro lado, ⃗r · (⃗v × ⃗h) = (⃗r × ⃗v) · ⃗h = ⃗h · ⃗h = ||⃗h||2 = h2, onde h = ||⃗h||. Portanto, r = h2/(GM) 1 + e cos θ = eh2/c 1 + e cos θ, que fazendo d = h2/c obtemos r = ed 1 + e cos θ 5 que é a forma polar da seção cônica com foco na origem e excentricidade e. Como a órbita de um planeta é fechada, a curva é uma elipse, o que prova a Primeira Lei de Kepler. 0.2 Segunda Lei de Kepler Para provar a Segunda Lei de Kepler, utilize as coordenadas polares de modo que ⃗r = (r cos θ, r sen θ). 5. Mostre que ⃗h = r2 dθ dt⃗k e conclua que h = ||⃗h|| = r2 dθ dt. 6. Se A = A(t) é a área percorrida pelo vetor radial ⃗r = ⃗r(t) no intervalo de tempo [t0, t], mostre que dA dt = 1 2r2dθ dt e deduza que dA dt = 1 2h. x y r(t0) r(t) A(t) O Figura 3: Segunda lei de Kepler Essa última equação diz que a razão pela qual A é percorrida é constante, o que prova a Segunda Lei de Kepler. 6 0.3 Terceira Lei de Kepler Seja T o período de um planeta em torno do sol, ou seja, T é o tempo requerido para o planeta dar uma volta completa em torno do sol, através de sua órbita elíptica. Suponha que os comprimentos dos eixos maior maior e menor da elipse sejam 2a e 2b. 7. Mostre que T = 2πab/h. 8. Mostre que h2 GM = ed = b2 a . 9. Mostre que T 2 = 4π2 GM a3, o que prova a Terceira Lei de Kepler. 10. Sabendo que o valor da massa do sol é M = 1, 99×1030 kg, da constante gravitacional G é 6, 67 × 10−11 Nm2/kg2 e que o período da Terra girando em torno do sol é de aproximadamente 365,25 dias, determine o maior eixo da órbita terrestre. REFERÊNCIA: STEWART, J. Cálculo Volume II. 5a edição, Thomson Learning, São Paulo 2006.