Slide - Variação de Temperatura e Recalque de Apoio - 2023-2

Teoria das Estruturas 2 - Método das Forças: variação de temperatura e recalque de apoio Wanderson Fernando Maia Universidade Federal de São Carlos Departamento de Engenharia Civil 3.2 - Vetor de cargas EIδ10 = \left[ \left( \frac{1}{6} \cdot 4 \cdot (-1) \cdot (-50) \right) + \left( \frac{1}{3} \cdot 4 \cdot (-1) \cdot 20 \right) \right]_{AB} + \left[ \left( \frac{1}{6} ((4 + 2) \cdot (-1) \cdot 70) \right) \right]_{BC} = -63,33 EIδ20 = \left[ \left( \frac{1}{6} ((4 + 2) \cdot (-1) \cdot 70) \right) \right]_{BC} + \left[ \left( \frac{1}{3} \cdot (-1) \cdot 11,25 \right) + \left( \frac{1}{6} (3 + 1,5) \cdot (-1) \cdot 45 \right) \right]_{CD} = -115,00 ─────────────────────────────────────────── Tabela de diferenças momentâneas Trecho AB 50,0 10 \cdot \frac{32}{8} + 60 \cdot \frac{3}{4} 11,25 + 45 = 56,25 M₀ (kN.m) M₁ (kN.m) 1,0 1,0 0,5 Trecho AB 82,5 kN Cима A B C D 0,25 0,50 0,25 42,5 kN 80,0 kN 45,0 kN 50,2 Pera Trecho AB 70,0 Trecho AB 20,0 Cima ─────────────────────────────────────────── 3.3 - Efeito da temperatura (Δt_{inf} = +20 °C e Δt_{sup} = +60 °C) δ_{lt} = \alpha \cdot Δt_{ecg} \cdot \left[ \int{N_i \cdot \mathrm{d}x} + \alpha \cdot \left( \Delta t_{inf} - \Delta t_{sup} \right) \frac{1}{h} \right] \cdot \int{M_i \cdot \mathrm{d}x} A B C D M₁ (kN.m) 1.0 1.0 0.5 M₂ (kN.m) 0.25 0.50 0.25 0.50 0.33 M_{1t} = \frac{10^{-5} (20 - 60)}{0.6} \left( \left(\frac{-1 \cdot 4}{2}\right)_{AB} + \left(\frac{-1 \cdot 4}{2}\right)_{BC} \right) = 2,67 \cdot 10^{-3} M_{2t} = \frac{10^{-5} (20 - 60)}{0.6} \left( \left(\frac{-1 \cdot 4}{2}\right)_{BC} + \left(\frac{-1 \cdot 3}{2}\right)_{CD} \right) = 2,33 \cdot 10^{-3} 3.4 - Recalque de apoio (p = 1 cm para baixo no apoio B) δ_{1p} = - \Sigma R_i \cdot p δ_{1p} = {-(0.01 \cdot 0.50)} = 0.005 δ_{2p} = {-(0.01 \cdot 0.25)} = -0,0025 4 - Equilíbrio \begin{bmatrix} 2.67 & 0.67 \newline 0.67 & 2.33 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \newline X_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-63,33 + 2,67 \cdot 10^{-3} \cdot 10^8 \cdot 0,001 + 0,005 \cdot 10^8 \cdot 0,001\newline -115 + 2,33 \cdot 10^{-3} \cdot 10^8 \cdot 0,001 - 0,0025 \cdot 10^8 \cdot 0,001\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2.67 & 0.67 \newline 0.67 & 2.33 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \newline X_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-703,67 \newline 132 \end{bmatrix} X_1 = -299,4 X_2 = 142,7 ─────────────────────────────────────────── 5 - Efeitos finais 50 kN 0 Σ M_{esq}^B = 0 299,4 + 10 \cdot 4 \cdot 2 + 50 \cdot 5 - V_A \cdot 4 = 0 V_A = 157,4 kN Σ M_{dir}^C = 0 142,7 - 10 \cdot 3 \cdot 1,5 - 60 \cdot 1,5 + V_D \cdot 3 = 0 V_D = -2,6 kN 0 2,5 1m 4m 2m V_C V_B V_A σ_F = 0 157,4 - 143,0 \cdot 70 - 10 \cdot 3 - 60 = 0 V_C = 238,2 kN ─────────────────────────────────────────── DEC (kN) DMF (kN.m) 50,0 107,4 67,4 75,6 dire V_B M_{BC} = -2,6 \cdot 5 \cdot 10 \cdot 3 \cdot 3,5 - 60 \cdot 3,5 + 238,2 \cdot 2 = 148,4 kN.m M_{CD} = -2,6 \cdot 1,5 \cdot 10 \cdot 1,5 \cdot 0,75 = -15,2 kN.m ─────────────────────────────────────────── Trocar de QES para o pórtico de aço representado a seguir, devido às seguintes ações: a) carregamento externo b) Recalque vertical para baixo no apoio D de 3 cm c) Variação uniforme da temperatura de 60ºC. 10 kN/m 2 m 3 m 20 kN A B C D 5 I 3 I 2 I 8 m E = 2,1 . 10⁷ kN/m² I = 40 . 10⁶ m⁴ α = 10⁻⁵ ºC⁻¹ EIAB = 63.000 kN.m² EIBC = 105.000 kN.m² EICO = 4.200 kN.m² 1. Determinação do grau de hiperestaticidade e escolha da S.P. h = 5 - 3 = 2 2. Cálculo no S.P. 2.1. Devido ao carregamento externo ΣF_{ds} = 0 HA . 5 = 0 HA = 0 ΣFx = 0 - HA - 20 = 0 HA = 20 kN ∑MA = 0 20 . 2 - 20 . 5 + MA = 0 MA = 60 kN . m VB = 40 kN ΣFy = 0 VA - 40 - 10 . 8 = 0 VA = 40 kN 60 80 ∅ M0 (kN . m) ME = 60 - 20 . 3 = 0 2.2. Devida ao hiperestatica X1 = 1 kN . mm ΣMC_{ds} = 0 1 kN . mm 8 HA = 0 X1 = 0 2.3. Devida ao hiperestatica X2 = 1 kN . mm ΣFy = 0 VA’ + 0.125 = 0 VA’ = -0.125 kN ΣFx = 0 HA’ = 0 ΣMA = 0 1 + V0’ . 8 = 0 V0’ = 0,125 kN ΣFy = 0 VA’ - 0,125 = 0 VA’ = 0,125 kN 1 2 M1 (kN . m) M_i (kN . m) ΣMC_{ds} = 0 1 + HD . 5 = 0 HD = 0,25 kN HA = 0,25 HA = 0,25 ΣMA = 0 MA’ = 0,125 kN ΣMA = 0 1 + V0’ . 8 = 0 V0’ = 0,125 kN ΣFy = 0 VA’ + 0,125 = 0 VA’ = 0,125 kN M0 (kN . m) M_i (kN . m) M_1 (kN . m) 3. Calculo dos deslocamentos Δ_h/f = ∫ M_i M_f dx / EI 3.1 Matriz de flexibilidade S11 = 1 / (M_i, M_f, 1) 1 Sml = 0 Ei . ab (3 - M_m, M_f, 1) bc EI EIAB EIgac 63000 1005000 S12 = S21 (S12 = S21 = 105000 1 + Eiab (-1) (0) (.5)) (1 - (a) (.5)) (S12 = S21 = 0) Ei . bc (M1 M_f 0) 1,048.10⁻⁴ m 1 + M_m, M_2 EIB (b) (.8) A M1 M_f) S22 = 1 / (E/${1 / E}) EIAB 3 1. M_m, M_f)A + 5 / EIAB (1 - b)(4) . 8 - 2,638) S22 = S21 = 600 421 = 421 (1-(-b))(.5) 4 - (1-(-b)(-5) δ22 = 9,153.10⁻⁵ m M M_bar M_bar M_bar \tilde{M}_A, \tilde{M}_B \tilde{M} 1/2 LM M_bar 1/2 LM M_bar 1/2 (M_A + M_B) M_bar 1/2 L(1 + b) M_bar 1/2 LM M_bar 1/2 LM M_bar 1/6 LM M_bar 1/6 (2M_A + M_B) M_bar 1/6 L(1 + a) M_bar 1/6 LM M_bar 1/6 LM M_bar 1/6 L(2M_A + M_B) M_bar 1/6 L(2M_A + M_B) M_bar 1/6 L(1 + b) M M_bar 1/2 (M_A + M_B) M_bar 1/6 (2M_A + M_B) M_bar 1/6 L(2M_A + M_B) M_bar 1/6 L(1 + b + a) M_bar M M_bar 2/3 LM M_bar 1/3 (M_A + M_B) M_bar 1/3 L(\overline{M}_A + 3 M_B) 1/3 L(1 + ab) M_bar M M_bar 2/3 LM M_bar 5/12 LM M_bar 1/4 LM M_bar 1/12 L(5M_A + 5M_B) M_bar 1/12 L(5 - b - a^2) M_bar M M_bar 2/3 LM M_bar 1/4 LM M_bar 5/12 M_bar 1/12 L(5 \overline{M}_A + 3M_B) M_bar 1/12 L(5 - a - a^2) M_bar M M_bar 1/3 LM M_bar 1/12 L(M_A + 3 M_B) M_bar 1/12 L(1 + a + a^2) M M 1/3 (2M + 2A_B) M_bar 1/12 L(1 + b^2) M_bar 1/6 L(1 + b + a^2) M_bar 1/6 L(1 + b + a + M_B) M M_bar 1/3 L(1 + a) M_bar 1/3 L(1 + b) M_bar 16 VD 1 = - 0,125 kN VD 2 = 0,125 kN 10kN/m 20kN 87,32kNm M = 16,44kN 3,57kN 43,55kN 3,56 D E N (KN) 36,96kN 43,55 8- x 3,56 43,55 4,62 x = 8 - x 36,96 x = 4,35 m 16,44 4,62 53,32 39,0 46,12 48,71 17,85 17,85 M05464454443 - 39.09 53.32 89 u .. (Mz) - = @ 2,4 - S— Zab (32 32 Ake 32.68. R— ax al a... M = 18.25B41 ms 226, ak 13.85 V 39,3kN