Prova de Física do Estado Solido

2a Avaliação de Física do Estado Sólido 2 2024 Prof Adenilson J Chiquito 1 Considere o caso de uma onda eletromagnética ωk incidente em um metal elétron livres e mostre que a refletividade do metal será na região de freqüências 1τ ωωp sendo 1τ a freqüência natural do sistema e ωp é a freqüência de plasma 2 Para explicar o comportamento de um cristal ferroelétrico podese usar a Termodinâmica considerando a energia livre de Landau por exemplo em função da polarização Neste caso mostre em detalhes o fenômeno de uma transição ferroparaelétrica considerando uma transição de primeira ordem 3 Mostre que o número n de átomos intersticiais em equilíbrio com n vacâncias na rede em um cristal tendo N átomos e N possíveis posições intersticiais é dado por 𝐸 𝑘𝐵𝑇𝑙𝑛 𝑁𝑛𝑁𝑛 𝑛2 sendo E a energia necessária para remover um átomo de sua posição e levá la a um interstício 4 Construa um modelo que suporte por argumentos simples relação entre temperatura excitação de fônons seção de choque de colisões entre elétrons e íons como função da temperatura por exemplo que a resistividade tem dependência linear com a temperatura para metais ou seja ρT AT Considere que T θD com θD representando a temperatura de Debye 5 Calcule o número de elétrons em um sistema 2D numa dada temperatura T diferente de zero Entrega até às 1700h da sextafeira 07022025 em minha sala Resolução 1 Vamos lá rsrs Para entender a refletividade de um metal quando uma onda eletromagnética incide sobre ele precisamos olhar para as propriedades ópticas do metal que são descritas por uma função chamada função dielétrica complexa representada por ϵωϵω A refletividade RR é simplesmente a razão entre a intensidade da onda refletida e a intensidade da onda incidente e ela pode ser calculada usando essa função dielétrica Para um metal com elétrons livres a função dielétrica ϵωϵω pode ser descrita pelo modelo de Drude 𝜖𝜔 1 𝜔²𝑝 𝜔𝜔𝑖 𝜏 Onde ωp é a frequência de plasma do metal τ é o tempo de relaxamento dos elétrons 1τ é a frequência de colisão dos elétrons 2 No regime de frequências onde 1τωωp1τωωp podemos simplificar a função dielétrica Como ωω é muito maior que 1τ1τ o termo iτiτ no denominador pode ser ignorado em comparação com ωω Assim a função dielétrica fica aproximadamente 𝜖𝜔 1 𝜔𝑝² 𝜔² Ou seja nessa faixa de frequências a função dielétrica depende basicamente da relação entre a frequência da onda ω e a frequência de plasma ωp 3 Sabemos que o índice de refração complexo n do metal é dado por 𝑛 𝜖𝜔 1 𝜔𝑝² 𝜔² No regime 𝜔 𝜔𝑝 o termo 𝜔²𝑝 𝜔² é muito maior que 1 isso quer dizer que podemos fazer uma aproximação 𝑛 𝜔²𝑝 𝜔² 𝑖 𝜔𝑝 𝜔 Isso quer dizer que o índice de refração é imaginário o que é normal em um meio altamente refletivo 4 O coeficiente de reflexão r para uma onda incidente normal à superfície do metal é dado por 𝑟 𝑛 1 𝑛 1 Fazendo uma substituição 𝑛 𝑖 𝜔𝑝 𝜔 Teremos 𝑟 𝑖 𝜔𝑝 𝜔 1 𝑖 𝜔𝑝 𝜔 1 5 A refletividade R é o módulo quadrado do coeficiente de reflexão 𝑅 𝑟2 𝑖 𝜔𝑝 𝜔 1 𝑖 𝜔𝑝 𝜔 1 ² Calculando o módulo teremos 𝑅 𝜔𝑝 𝜔 2 1 𝜔𝑝 𝜔 2 1 1 No regime de frequências 1τω ωp a refletividade do metal é aproximadamente 1 indicando que a maior parte da onda eletromagnética incidente é refletida Isso ocorre porque nesse regime o metal se comporta como um condutor quase perfeito com uma alta densidade de elétrons livres que respondem ao campo elétrico da onda resultando em uma alta refletividade Primeiro precisamos saber o que é um cristal ferroelétrico é um material que em certas condições geralmente em temperaturas mais baixas tem uma polarização elétrica espontânea Isso significa que ele gera uma espécie de campo elétrico interno mesmo sem precisar de um campo elétrico externo Quando a temperatura aumenta ele pode perder essa polarização e se tornar um material paraelétrico que não tem polarização espontânea A transição entre essas duas fases ferroelétrica e paraelétrica pode acontecer de duas maneiras Transição de primeira ordem Acontece de forma abrupta como se fosse um salto Transição de segunda ordem Acontece de forma suave sem descontinuidades Para entender essa transição usamos uma ferramenta chamada energia livre de Landau Essa energia livre depende da polarização P que é a quantidade de campo elétrico interno e da temperatura T A energia livre é dada por Numa transição de primeira ordem o material muda de forma muito rápida isso acontece pois a energia livre tem dois vales na tempetura de transição um vala corresponde a fase ferroelétrica e o outro corresponde a fase paraelétrica Mas na temperatura de transição os dois valores tem a mesma altura o que permite que o material pule de um vale para o outro de forma abrupta Podemos definir o comportamento da polarização da seguinte maneira 1 Abaixo da temperatura de transição O material está na fase ferroelétrica com uma polarização P não nula Conforme a temperatura aumenta a polarização diminui mas ainda existe 2 Na temperatura de transição A polarização cai abruptamente para zero É como se o material desligasse sua polarização de uma vez 3 Acima da temperatura de polarização O material está na fase paraelétrica sem polarização espontânea Todo esse processo acontece porque na transição de primeira ordem o material prefere mudar de forma repentina em vez de gradual É como se o material estivesse segurando sua polarização até não aguentar mais e de repente a soltasse de uma vez Queremos descobrir quantos átomos intersticiais n e vacâncias nn estarão em equilíbrio no cristal dado que cada par vacânciaintersticial custa uma energia E O sistema possui duas coisas importes 1 Energia Criar vacâncias e átomos intersticiais custa energia E por par 2 Desordem entropia Quanto mais vacâncias e intersticiais mais desarrumado o cristal fica e isso aumenta a entropia No equilíbrio o sistema tenta minimizar a energia e maximizar a entropia A energia livre F combina essas duas coisas O número total de maneiras de organizar o sistema é o produto desses dois Sabemos que a entropia S está relacionada ao número de configurações Ω Fazendo a substituição A energia livre é No equilíbrio a energia livre F é mínima Para encontrar o valor de n que minimiza F vamos derivar F em relação a n Ou seja assim obtemos Essa fórmula mostra que durante o equilíbrio o número de átomos intersticiais e vanacias depende da energia E necessária para criar esses defeitos e da temperatura Ou seja quanto maior a temperatura mais defeitos o cristal pode ter Vamos passo a passo A resistividade ρ de um metal está diretamente relacionada à frequência com que os elétrons de condução colidem com os íons da rede cristalina Quanto mais colisões maior a resistividade Essas colisões são causadas principalmente por Impurezas e defeitos Contribuição independente da temperatura Fônons vibrações da rede Contribuição que depende da temperatura Para TθD a contribuição dos fônons domina então focaremos nela Fônons são quanta de vibração da rede cristalina A energia média de um fônon é proporcional à temperatura T Para TθD todos os modos de vibração da rede estão excitados e o número de fônons é proporcional a T Quanto mais fônons mais colisões os elétrons sofrem A probabilidade de colisão chamada de seção de choque também aumenta com a temperatura Sendo assim temos que o número total de colisões é proporcional a Logo o tempo médio entre as colisões diminui com o aumento das colisões Para temperaturas acima da temperatura de Debye TθD a resistividade de um metal varia linearmente com a temperatura onde A é uma constante que depende do material Sendo assim em altas temperaturas a rede vibra mais criando mais fônons Os elétrons colidem mais com esse fônons e isso aumenta a resistividade de forma linear com a temperatura Vamos pensar no sistema 2D sendo uma folha bem fina onde os elétrons só podem se mover para os lados e nós queremos saber quantos elétrons estão nessa folha quando ela está a uma temperatura T Os elétrons ocupam lugares chamados estados de energia Em 2D o número desses estados é constante e depende da massa do elétron e de uma constante chamada ℏ A uma temperatura T os elétrons se espalham pelos estados de energia seguindo uma regra chamada distribuição de FermiDirac Ela diz que Quanto maior a temperatura mais elétrons ocupam estados de energia mais altos O número total de elétrons N é calculado somando todos os estados ocupados Para temperaturas baixas T pequena isso dá Se a temperatura aumentar alguns elétrons vão para estados de energia mais altos mas o número total de elétrons N não muda muito A fórmula exata é Ou seja o número de elétrons na folha 2D é basicamente determinado pela energia de Fermi Se a temperatura aumentar alguns elétrons vão para estados de energia mais altos mas o número total de elétrons não muda muito