Lista - Unidade 2 - Geometria Analítica 2022 1

81116 Geometria Analıtica 1o semestre de 2022 Lista de exercıcios da Unidade 2 1 Sendo u v e w representados na figura ao lado represente x 2u v 5 4 w com origem em O 2 Mostre as seguintes afirmacoes a Se v 0 e α v β v entao α β b Se α 0 e α u α v entao u v 3 Determine se cada uma das afirmacoes abaixo e verdadeira ou falsa justificando sua resposta a Se u v entao u v e Se w u v entao w u v b Se u v entao u v f 5v 5v 5v c Se u v entao u v g Se u v u 2 e v 4 entao v 2u ou v 2u d Se u v entao u v e Se v 3 entao o versor de v e v 3 4 Considere um triˆangulo ABC Desenheo e determine no desenho o ponto D tal que D B AC Verifique se CD e AB representam o mesmo vetor 5 Mostre que u v e LI se e somente se u v u v e LI 6 Mostre que u 2v w 2u v 3 w u 8v 3 w e LD quaisquer que sejam os vetores u v w 7 Sejam E uma base de V 3 e u 0 0 mE v 1 1 0E w 1 2 pE e t 2 3 4E Em cada um dos itens abaixo determine os valores possıveis de m e p para os quais a v w e LI b v w t e LD c u v w t e LD 1 8 Decida se a afirmacao seguinte e verdadeira ou falsa justificando sua resposta Se um conjunto de vetores e LD entao qualquer um dos vetores do conjunto e combinacao linear dos demais 9 Suponha que um conjunto A tenha n vetores Determine em cada caso os valores possıveis de n a A e uma base de V 3 b Os vetores de A sao LI c Qualquer vetor de V 3 e combinacao linear dos vetores de A 10 Considere os vetores u 1 2 3 e v 2 1 2 a Determine um vetor unitario e paralelo ao vetor u v b Determine o cosseno do ˆangulo que u faz com v 11 Os vetores x e y formam um ˆangulo de π 3 radianos Se x 1 y 2 u x 2y e v 2x y determine o ˆangulo entre u e v 12 Considere os vetores u 2 a 1E v 3 1 2 e w 2a 1 2 4 Determine a R de modo que u v u v v w 13 Determine o vetor v paralelo ao vetor u 2 1 3 tal que v u 42 14 Dados os vetores u 1 23 v 2 0 1 e w 3 1 0 determine o vetor x tal que x u 16 x v 0 e x w 3 15 Sejam u v V 3 a Mostre que u v 2 u 2 2 u v v 2 quaisquer que sejam u v V 3 b Demonstre a desigualdade triangular u v u v Sugestao utilize o item anterior e a Desigual dade de CauchySchwarz c Interprete a desigualdade triangular geometricamente d Dˆe um exemplo no qual a igualdade na desigualdade triangular nao ocorre 16 Em cada item abaixo calcule a projecao ortogonal de v sobre u a v 1 1 2 u 3 1 1 b v 1 1 1 u 2 1 2 c v 1 3 5 u 3 1 0 d v 1 2 4 u 2 4 8 2 17 Em cada item abaixo decomponha v como soma de dois vetores p e q de modo que p u e q u a v 1 3 2 u 0 1 3 b v 1 2 1 u 2 1 0 18 Determine os vetores unitarios u x y z tais que a projecao ortogonal de u sobre k seja k 2 e o ˆangulo entre v x y 0 e i seja π 6 radianos 19 Mostre que a proj u v v se e somente se u v e LD b proj u v u se e somente se v u u c se A B e C sao pontos distintos e AC proj AC AB entao o triˆangulo ABC e retˆangulo 20 Calcule a area do paralelogramo ABCD sendo AB 1 1 1 e AD 2 1 4 21 Calcule a area do triˆangulo ABC sendo AB 1 1 0 e AC 0 1 3 22 Calcule o volume do tetraedro ABCD onde AB 1 1 0 AC 0 1 1 e AD 4 0 0 23 Seja h a altura de um triˆangulo ABC relativa ao lado AB Mostre que h AB AC AB 24 Um triˆangulo ABC tem area 4 Sendo B A u e C A v calcule u v 25 O lado do hexagono regular representado na figura abaixo mede 2 cm Calcule a AB AF b AB AC c AB AD 26 a Mostre que u v u v b Mostre que u v w u v w 27 Mostre que u v w e LD se e somente se u v w 0 3 a Verdadeiro Se a ua₁b a₁bℝ então ua²b² e assim uab e portanto ua²b²u f Verdade Pois s3 s v s v g Verdade Se v3 então k v 3 k ℝ Assim k v k v então 2k 4 h Verdade Como v3 3 o vetor de v é 13 pois 13 13 v 133 1 Como o vetor tem mesma direção e sentido então para v teremos 33 a m3 pois V³ tem dimensão 3 a u v 335 mathbfu cdot mathbfv 6 a 2 a 8 a b 5 a 1 3 mathbfu mathbfv 2a 2 1 2 a Seja 𝑥 𝑥₁𝑥₀𝑥₁ e 𝑟 𝑣₁𝑣₂𝑣₃ 𝑥 𝑟 𝑥₁𝑣₁ 𝑥₂𝑣₂ 𝑥₃𝑣₃ 𝑥 𝑟² 𝑥₁𝑣₁² 𝑥₂𝑣₂² 𝑥₃𝑣₃² 𝑥₁² 2𝑥₁𝑣₁ 𝑣₁² 𝑥₂² 2𝑥₂𝑣₂ 𝑣₂² 𝑥₃² 2𝑥₃𝑣₃ 𝑣₃² 𝑥² 2𝑥𝑣 𝑟² b Por a 𝑥 𝑟² 𝑥² 2𝑥𝑟 𝑟² Por outro lado 𝑥 𝑟² 𝑥² 2𝑥𝑟 𝑟² Pelo Desigualdade de CauchySchwarz 𝑥𝑟² 𝑥²𝑟² ou seja 𝑥𝑟 𝑥𝑟 Assin 𝑥 𝑟 𝑥 𝑟 c a 𝑟𝑥𝑥 𝑥² 112311 311 330 911 312 11 6 311 1811611611 b 111212 414 59 212 10959109 c 135310 310 330 910 000 d 124248 248 41664 2832 248 4284 12 248 124 a 𝑝𝑥 𝑝 𝑘𝑤 𝑞₁𝑥 𝑞𝑥 0 𝑝 𝑝₀𝑝₁3𝑝 𝑞 𝑞₁𝑞₂𝑞₃ 𝑝₀𝑞₁ 1 𝑝₁𝑞₂ 3 3𝑝𝑞₃ 2 𝑞₁3𝑞₂ 6 10𝑝 3 𝑘 310 𝑞₁ 1 𝑞₂ 3310 𝑞₃ 𝑚10 vecM x y z vecK 0 0 1 vecR x y 0 vecS 1 0 0 queremos que extprojvecR vecS 0 0 frac12 quad 0 ext sa langle vecR vecu rangle vecu Rightarrow vecM vecR quad 1 ext o extse quad n cdot vecu vecR S 1 1 1 imes 2 1 1 Rightarrow beginvmatrix i j k 1 1 1 2 1 1 endvmatrix 4i 2j k 2k i 4j SΔ AB x AC 110 x 013 2 VT AB AC AB 6 SΔ AB x AC 2