Lista - Unidade 3 - Geometria Analítica 2022 1

81116 Geometria Analítica 1º semestre de 2022 Lista de exercícios da Unidade 3 11 Seja π1 o plano que passa pelos pontos A 1 0 0 B 0 1 0 e C 0 0 1 Seja π2 o plano que passa por Q 1 1 0 e e paralelo aos vetores v 0 1 1 e w 1 0 1 Seja π3 o plano de equacao vetorial π3 X 1 1 1 λ2 1 0 µ1 0 1 a Escreva equacoes gerais para os planos π1 π2 e π3 b Mostre que a interseccao π1 π2 π3 se reduz a um unico ponto e determineo 12 Verifique se a reta r x 1 2y 4 z esta contida no plano π x 2y 2z 1 0 13 Sejam P 4 1 1 e r X 2 4 1 λ1 1 2 a Mostre que P r b Obtenha uma equacao geral do plano determinado por r e P 14 Obtenha uma equacao geral do plano π que passa pelo ponto P 1 1 2 e e paralelo ao plano π1 xy2z1 0 15 Determine uma equacao geral do plano que passa pelo ponto P 1 0 1 e e perpendicular a reta r X 0 0 1 λ1 2 1 16 Escreva equacoes parametricas da reta que passa pela origem e perpendicular ao plano π x 1 λ µ y λ µ z λ 17 Em cada item abaixo determine a posicao relativa das retas r e s dadas Caso r e s sejam reversas verifique se sao tambem ortogonais Caso r e s sejam concorrentes verifique se sao tambem perpendiculares e determine o ponto de interseccao a r X 1 1 1 λ2 1 1 s y z 3 x y z 6 b r x 3 2y 4 4 z 1 3 s X 0 2 2 λ1 1 1 c r x 1 2 y z s x y 3z 1 2x y 2z 0 d r x 3 2 y 1 4 z s 2x y 7 0 x y 6z 2 e r X 8 1 9 λ2 1 3 s X 3 4 4 λ1 2 2 2 Escreva equações nas formas paramétrica e simétrica da reta que contém o ponto A 2 0 3 e é paralela à reta descrita pelas equações 1 x5 3y4 z 36 Escreva equações na forma simétrica da reta determinada pelo ponto 1 4 2 e pelo ponto médio do segmento de extremidades 1 3 5 e 2 3 1 Dados os pontos A 1 2 5 e B 0 1 0 determine o ponto P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA Dados A 0 2 1 e r X 0 2 2 λ1 1 2 λ ℝ encontre os pontos de r que distam 3 unidades de A Em seguida determine se a distância de A a r é maior menor ou igual a 3 justificando sua resposta Seja P p1 p2 p3 tal que dP A 3 Em cada item abaixo determine uma equação vetorial equações paramétricas e uma equação geral para os planos a π passa pelos pontos A 1 0 1 B 2 2 1 e C 1 1 0 b π passa pelos pontos A 1 1 0 e B 1 1 1 e é paralelo ao vetor v 2 1 0 AB 2 1 1 0 1 1 1 1 2 AC 1 1 1 0 0 1 0 1 1 Em cada item abaixo verifique se r s a r x 1 3λ b r y 13 λ λ ℝ c z 23 λ Sejam P 1 0 1 e Q 0 1 1 Determine um ponto C da reta que passa por P e Q tal que a área do triângulo ABC seja 12 onde A 3 0 2 e B 2 1 2 PQ 1 1 0 r 1 0 1 λ1 1 0 reta que passa por C c1 c2 c3 L 1 λ λ 1 CA 2λ 2 1 CB 1 λ 1 λ 1 Sido B b1 b2 b3 AB b1 b2 b3 CB c1 c2 c3 Como são paralelos a r X 0 0 z λ3 4 5 Temos b1 3 b2 4 b3 5 0 1 1 1 2 1 1 1 1 π3 x 2y z 2 0 r x t 1 y 12 t z t t frac4 21 2 frac14 3 herefore P otin r vecn 1 1 2 vecn 1 2 1 pi x 2y z d 0 vecn 1 1 0 Em cada item abaixo mostre que as retas r e s determinam um plano π e obtenha uma equação geral de tal plano Em cada item abaixo determine a posição relativa de r e π Caso r e π sejam transversais determine se são ortogonais e exiba o ponto de intersecção r x1 yλλ zλ Mostre que os planos π1 x λ 2μ π2 x 1 mλ μ são transversais qualquer que seja m ℝ r X130 λ234 Em cada item abaixo determine a posição relativa dos planos π1 e π2 Caso os planos sejam transversais determine se são ortogonais e escreva uma equação vetorial da reta r π1 π2 r x1λ y1λ zλ Obtenha uma equação geral do plano π que contém a reta r x y z 1 0 e é paralelo à reta s X 0 1 1 λ1 2 2 μ2λ t12λ u 1λ t12λ 4t22λ 2λ 191 λ 59 μ 109 rπ 194919 nπ i j k 0 1 2 2i2jk 221 141221 281 9 cosΘ 989 12 22 sudo transversais não ortogonais π₁ r₁ 1m₁1 r₂ 201 n₁ i j k 1 m 1 mi3j2mk m32m π₂ r₁ m₁00 r₂ 10m n₂ i j k m 1 0 mim²jk mm²1 Para que seja paralelas m₁m 3 2mm² Mas mm 2m m12 3m 2m m 32 sudo transversais p mℝ m₁ i j k ijk 111 m₂ i j k 2l2j2k 222 Como m₂ 2m₁ então π₁π₂ m₁ 112331 550 m₂ 110014 441 550441 20200 40 sudo transversais não ortogonais π₁ 5x4 5y2 0z4 0 5x205y100 5x5y100 xy20 π₂ 4x34y01z00 4x124yz0 xy20 4x4yz120 r x2λ yλ zμ r X20μλ110 c m1212 2mλm1 m1 m2 m2μ124 m2 i j k 3i4jk341 m1112 π1 xλμ yμ z13λμ π2 xμ yμ z1μ π2 π1 xμ yμ z1μ π2 π1 X001μ111 r x0 yt1 zt r X010t011 m1 i j k 0 1 1 s0ijk011 π1 0x01y1z00 y1z0 π2 yz10