Exercícios Resolvidos: Cônicas - Elipse e Hipérbole

Exercícios 1 a Determinar o centro os vértices os focos o esboço do gráfico e a excentricidade da 4x2 9y2 24x 18y 9 0 b Determinar o vértice o foco o esboço do gráfico e a equação da diretriz da x2 2x 20y 39 0 2 Leia Hiperbole Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias em valor absoluto a dois pontos fixos desse plano é constante Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância dF1 F2 2c Seja um número real a tal que 2a 2c Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que dP F1 dP F2 2a ou dP F1 dP F2 2a dáse o nome de hipérbole Equação da hipérbole com centro no origem do sistema de coordenadas A equação da hipérbole é x2a2 y2b2 1 quando o eixo real está sobre o eixo dos x e seu centro é a origem do sistema coordenado As retas y bax e y bax são chamadas assíntotas dessa hipérbole e os pontos A2a 0 e A1a 0 são chamados vértices dessa hipérbole Exemplo x29 y24 1 3 Inspirado no desenho do exemplo faça as assíntotas da hipérbole do desenho ilustrativo acima A equação da hipérbole é y2b2 x2a2 1 quando o eixo real está sobre o eixo dos y e seu centro é a origem do sistema coordenado As retas y bax e y bax são as assíntotas dessa hipérbole e os pontos A20 b e A10 b são os vértices 4 Desenhe as assíntotas da hipérbole acima Exemplo y24 x29 1 Geometria Analıtica Exercıcios 26 de junho de 2022 1 a Determinar o centro os vertices os focos o esboco do grafico e a excentricidade da 4x2 9y2 24x 18y 9 0 Vamos escrever a equacao na forma padrao xx02 a2 yy02 b2 1 4x2 24x 36 9y2 18y 9 0 36 4x 32 9y 12 49 4x 32 9y 12 49 49 49 4x 32 49 9y 12 49 1 x 32 9 y 12 4 1 x 32 32 y 12 22 1 Logo temos x0 3 y0 1 a 3 e b 2 O centro e dado por C x0 y0 C 3 1 Os vertices sao dados por V1 a x0 y0 V2 x0 a y0 V1 3 3 1 V2 3 3 1 V1 6 1 V2 0 1 Os focos sao dados por F1 x0 a2 b2 y0 F2 x0 a2 b2 y0 F1 3 32 22 1 F2 3 32 22 1 F1 3 9 4 1 F2 3 9 4 1 1 F1 3 5 1 F2 3 5 1 A excentricidade é dada por E 1 b2a2 E 1 2232 E 99 49 E 9 49 E 59 E 59 E 53 Segue um esboço do gráfico b Determinar o vértice o foco o esboço do gráfico e a equação da diretriz da x2 2x 20y 39 0 Vamos colocar a equação na forma fx ax2 bx c com a b c R a 0 x2 2x 20y 39 0 20y x2 2x 39 y x2 20 2x 20 39 20 y x2 20 x 10 39 20 Logo temos a 1 20 b 1 10 e c 39 20 O vertice e dado por V b 2a 4ac b2 4a V 1 10 2 1 20 4 1 20 39 20 1 102 4 1 20 V 1 156 400 1 100 1 5 V 1 2 5 1 5 V 1 2 O foco e dado por F b 2a 4ac b2 1 4a F 1 10 2 1 20 4 1 20 39 20 1 102 1 4 1 20 F 1 156 400 1 100 1 1 5 F 1 3 5 1 5 F 1 3 A equacao da diretriz e dada por y 4ac b2 1 4a y 4 1 20 39 20 1 102 1 4 1 20 y 156 400 1 100 1 1 5 y 7 5 1 5 y 7 3 As raízes da parábola são dadas por y b b2 4ac 2a y 110 1102 41203920 2120 y 110 1100 156400 110 y 110 04 110 y 110 04 110 73245 e y 110 04 110 53245 Segue um esboço do gráfico 3 Inspirado no desenho do exemplo faça as assíntotas da hipérbole do desenho ilustrativo acima A equação da hipérbole é y2b2 x2a2 1 quando o eixo real está sobre o eixo dos y e seu centro é a origem do sistema coordenado As retas y bax e y bax são as assíntotas dessa hipérbole e os ponto A20 b e A10 b são os vértices 4 Desenhe as assíntotas da hipérbole acima Exemplo y24 x29 1 Exercícios 1 a Determinar o centro os vértices os focos o esboço do gráfico e a excentricidade da 4x2 9y2 24x 18y 9 0 b Determinar o vértice o foco o esboço do gráfico e a equação da diretriz da x2 2x 20y 39 0 2 Leia Hiperbole Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distâncias em valor absoluto a dois pontos fixos desse plano é constante Consideremos no plano dois pontos distintos F1 e F2 tal que a distância dF1 F2 2c Seja um número real a tal que 2a 2c Ao conjunto de todos os pontos P do plano tais que dP F1 dP F2 2a ou dP F1 dP F2 2a dáse o nome de hipérbole Equação da hipérbole com centro no origem do sistema de coordenadas A equação da hipérbole é x2a2 y2b2 1 quando o eixo real está sobre o eixo dos x e seu centro é a origem do sistema coordenado As retas y bax e y bax são chamadas assíntotas dessa hipérbole e os pontos A2a 0 e A1a 0 são chamados vértices dessa hipérbole Exemplo x29 y24 1