Teste de Hipótese para a Média - Métodos Quantitativos Aplicados

EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Métodos Quantitativos Aplicados Teste de Hipótese para a Média Prof Dr José Marcos Carrera Junior São Paulo Agosto 2023 1 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Mini Currículo do Professor Prof Dr José Marcos Carrera Junior Forte experiência em Finanças Corporativas MA Valuation e Controladoria adquirida durante a vida acadêmica e profissional em consultorias boutique de investimento e em grandes multinacionais tendo participado de diversas transações nacionais e internacionais Atualmente é Assessor Financeiro e Professor de Finanças Corporativas Doutor pela Fundação Getulio Vargas FGVEAESP com estágio doutoral na Universidade de Columbia em Nova York Mestre em Administração de Empresas pela Fundação Getulio Vargas FGVEAESP e Mestre em Finanças pela Universidade de São Paulo FEAUSP formado em Administração de Empresas pela Universidade de São Paulo FEAUSP Professor de Métodos Quantitativos Aplicados ao Mercado Financeiro na UNIFESP Universidade Federal de São Paulo FIA FECAP In Company FGV In Company Ibmec In Company MBA EACHUSP e Saint Paul Escola de Negócios e Financial Advisor na Plata Capital Partners e na Pezco Economic Business Intelligence Sócio fundador do Finanças 101 canal no YouTube com vídeos e aulas de finanças e economia Contato josemarcoscjgmailcom 2 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Fonte ANDERSON David R SWEENEY Dennis J WILLIAMS Thomas A Estatística Aplicada à Administração e Economia 3 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Principais Fórmulas 4 𝒐 Estatística de Teste z CONHECIDO 𝒐 Estatística de Teste t DESCONHECIDO 𝒐 𝒐 𝒐 Estatística de Teste z Proporção Distribuição Normal DISTNORMPEstatística de Teste 1 no Excel em Português NORMSDISTEstatística de Teste 1 no Excel em Inglês Distribuição t DISTTEstatística de Teste Graus de Liberdade 1 no Excel em Português TDISTEstatística de Teste Graus de Liberdade 1 no Excel em Inglês ValorP no Excel Valor Crítico no Excel Distribuição Normal INVNORMPN1 Nível de Significância no Excel em Português NORMSINV1 Nível de Significância no Excel em Inglês Distribuição t INVT1 Nível de Significância graus de liberdade no Excel em Português TINV1 Nível de Significância graus de liberdade no Excel em Inglês EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Introdução ao Teste de Hipóteses Já discutimos como uma amostra pode ser usada para desenvolver estimações por ponto e por intervalo dos parâmetros populacionais Prosseguiremos nossas analises mostrando como o teste de hipóteses pode ser usado para determinar se uma afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional deve ou não ser rejeitada Os métodos apresentados são exatos se a amostra for selecionada de uma população que está normalmente distribuída o Se a população da qual extraímos a amostra está normalmente distribuída a distribuição amostral de 𝑥 também estará normalmente distribuída Nos casos em que não é razoável supormos que a população esteja normalmente distribuída ainda assim esses métodos são aplicáveis se o tamanho da amostra for grande o bastante Ao testar hipóteses iniciamos por criar uma hipótese experimental a respeito de um parâmetro da população Essa hipótese experimental é chamada Hipótese Nula denotada por 𝒐 Definimos então outra hipótese denominada Hipótese Alternativa a qual é o oposto daquilo que é formulado na hipótese nula A hipótese alternativa é denotada por 𝒂 ou 𝟏 5 Como desenvolver as hipoteses nula e alternativa Devemos tomar cuidado para estruturar as hipoteses de maneira apropriada a fim de que a conclusao do teste de hipdteses produza a informacao que o pesquisador ou o tomador de decisao desejam COMO DIRETRIZ GERAL UMA HIPOTESE DE PESQUISA DEVE SER FORMULADA COMO A HIPOTESE NULA H H éahipdtese em que acreditamos a priori que so sera rejeitado mediante evidéncias de sua falsidade Assim durante a realizaao do teste ainda acreditase na validade de Ho salvo que haja fortes evidéncias em contrarlio AS HIPOTESES NULA E ALTERNATIVA DEVEM SER FORMULADAS DE TAL MANEIRA QUEA REJEICAO DE H CORROBORE A CONCLUSAO DA PESQUISA o As hipoteses sdo mutualmente excludentes o Meta rejeitar a hipdtese nula H Oteste de hipotese funciona como um tribunal a hipotese nula sera rejeitada somente se houver uma forte evidéncia contraria o H éahipotese em que acreditamos a priori que so sera rejeitado mediante evidéncias de sua falsidade Assim durante a realizacao do teste ainda acreditase na validade de H salvo que haja fortes evidéncias em contrario o Assim como em um julgamento o réu inocente até que se prove o contrario em um teste de hipdteses H verdadeira até que se prove o contrario o No tribunal um individuo é culpado somente com fortes evidéncias o que tornaria a hipdtese alternativa verdadeira UNIFESP wath EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis P ee Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior oa 7 a at a os tee Assim como no Tribunal Temos que ter muita prova ou evidéncia estatistica para rejeitar H O réu inocente até que se prove o contrario H verdadeira até que se prove o contrario 7 Resumo das formas das Hipoteses Nula e Alternativa Em relacao ao teste de hipoteses que envolvem uma media populacional 1 admitimos que fg denota o valor hipotetico e entdo precisamos escolher uma das trés formas seguintes para o teste de hipoteses Teste Bicaudal Teste Unicaudal Ho H Ho Ho S Mo Ho Ho 1 re ae Le oe ae 1 ee Média populacional yp é igual Média populacional ft é menor ou Média populacional tt é maior ou aum valor hipotético Uo igual aum valor hipotético Uo igual a um valor hipotético Hp Regido Critica aw et aw et we ow Regiao Critica Regiao Critica Rejelgao de Ho Rejeicao de Hy Rejeigao de Hy si x 4 4 jf si ug NaoRejeitaHy n Nao Rejeita Ho ee Nao Rejeita Hg ae H Uo He Uo So eo Soe O termo de IGUALDADE SEMPRE aparece na HIPOTESE NULA EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 3 sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior e wT e wa e Hipoteses Nula e Alternativa Exercicios Ogerente do DanversHilton Resort Hotel afirmou que o valor médio da conta dos hdspedes em um final de semana é igual a 600 ou menos Um membro da equipe de contabilidade do hotel observou que o total cobrado nas contas dos hospedes se elevou nos Ultimos meses O contador usaré uma amostra de contas de héspedes em fins de semana para testar a afirmacdo do gerente Qual a forma de hipotese que deve ser usada pelo contador para testar a afirmado do gerente Qual conclusdo é apropriada quando Hy nao pode ser rejeitada e quando Hp pode ser rejeitada o Hp 600 o Ag u 600 o Se Hy nao pode ser rejeitada dado um determinado grau de confianga ndo podemgs rejeitar a hipdtese de que o valor médio da conta dos hdspedes em um final de semana seja inferior ou igual a 600 ou seja ndo ha evidéncia estatistica de que o valor médio da conta dos héspedes em um final de semana seja superior a 600 Ja se Hg pode ser rejeitada dado um determinado grau de confianga nado podemos aceitar a hipdtese de que o valor médio da conta dos hdspedes em um final de semana seja inferior ou igual a 600 ou seja ha evidéncia estatistica de que o valor médio da conta dos héspedes em um final de semana seja superior a 600 Ogerente de uma concessionaria de automéveis esta pensando em um novo plano de comissées para aumentar o volume de vendas Atualmente o volume médio de vendas é de 14 automoveis por més O gerente quer realizar um estudo e pesquisa para verificar se o novo plano aumenta o volume de vendas Para co etar ados sobre o piano uma amostra da equipe C e vendas sera autoriza a aven er Sob oO novo plano urante o perio oO de um mes Desenvolva as Ipoteses nula e alternativa mais apropriadas a essa situacgao de pesquisa e comente a conclusdo relativa quando Hy nao pode ser rejeitada e a quando Hy pode ser rejeitada o Apiuws14 o Agiu14 o Se Hy nao pode ser rejeitada dado um determinado grau de confiana nado podemos rejeitar a hipdtese de que o valor médio de vendas de automoveis seja menor ou igual a 14 ou seja ndo ha evidéncia estatistica de que 0 novo plano aumentara as vendas Se Hy pode ser rejeitada dado um determinado grau de confianca podemos rejeitar a hipdtese de que o valor médio de vendas de automoveis seja menor ou igual a 14 ou seja ha evidéncia estatistica de que o valor médio de vendas de automoveis é maior do que 14 e de que o novo plano aumentara as vendas UNIFESP Pm j it j Sei iAnci Shei TTattatea EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 9 sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior e wT e wa e Hipoteses Nula e Alternativa Exercicios Uma operagao de linha de producao foi projetada para encher caixas de sabao em po com um peso médio de 0907 kg Uma amostra das caixas é selecionada periodicamente e pesada para determinar se ha a ocorréncia de enchimentos abaixou ou acima do padrao Se os dados da amostra levarem a conclusdo de que ha enchimentos abaixo ou acima do padrdo a linha de producao sera interrompida e ajustada para se obter o enchimento apropriado Formule as hipoteses nula e alternativa que ajudem a decidir se a linha de producao deve ser interrompida e ajustada e comente a conclusao e a decisdo de quando Hy nao pode ser rejeitada e de quando Hy pode ser rejeitada Oo Hop 0907 o Hg 0907 o Se Ho nao pode ser rejeitada dado um determinado grau de confianca ndo podemos rejeitar a hipdtese de que o peso médio das caixas seja igual a 0907 e portanto ha evidéncia estatistica de que a média de peso das caixas nao seja diferente de 0907 ea linha de producdo nao deve ser interrompida e ajustada Se Hg pode ser rejeitada dado um determinado grau de confianca podemos rejeitar a hipdtese de que o peso médio das caixas seja igual a 0907 e portanto ha evidéncia estatistica de que o peso médio das caixas seja diferente de 0907 e a linha de producdo deve ser interrompida e ajustada Em virtude do tempo e dos custos elevados de produao e transformacdo um diretor de operacdes precisa convencer a administraao de que um novo metodo de producao proposto reduz os custos antes de 0 novo metodo ser implementado O método atual opera com um custo medio de 220 por hora Um estudo e pesquisa medirdo o custo do novo metodo ao longo e um periodo de producao amostral Desenvolva as hipoteses nula e alternativa mais apropriadas a este estudo e comente a conclusao de quando Hy nao pode ser rejeitada e de quando Hp pode ser rejeitada o Hp 220 o Agu 220 o Se Hg nao pode ser rejeitada dado um determinado grau de confianga ndo podemos concluir que o custo médio seja é maior ou igual a 220 por hora ou seja ndo ha evidéncia estatistica de que 0 novo processo reduzira os custos Se Hy pode ser rejeitada dado um determinado grau de confianga podemos rejeitar a hipdtese de que o custo médio sera maior ou igual a 220 ou seja ha evidéncia estatistica de que 0 novo processo reduzira o custo UNIFESP er arm j it j Lei iAnci Sh ej TTattatea EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 10 sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Erros do Tipo e do Tipo II Infelizmente as conclusdes corretas nem sempre sao possiveis Uma vez que os testes de hipdotese baseiamse em informacdes de amostras devemos admitir a possibilidade de erros Situacao Real da Populacao H VERDADEIRA H FALSA Conclus3o do Aceitar Ho Conclusao Correta Erro Tipo Il Teste de Hipotese Rejeitar Ho Conclusao Correta Erro Tipo Rejeitar Hy quando Ho for verdadeira Erro Tipo Il Aceitar Hy quando Ho for falsa Nivel de Significancia a probabilidade de cometermos o erro do Tipo I probabilidade de rejeitar Hy quando H é verdadeiro Na pratica a pessoa que realiza o teste de hipoteses especifica o nivel de significancia Ao selecionar a a pessoa controla a probabilidade de cometer um erro do Tipo Se o custo de cometer um erro do Tipo for alto valores pequenos de sao preferiveis UNIFESP wath EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 11 ee Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Erros do Tipo e do Tipo II Ndo obstante as aplicacdes de testes de hipdtese controlem a probabilidade de cometer um erro do Tipo elas nem sempre controlam a probabilidade de se cometer um erro do Tipo Il Portanto se decidirmos aceitar Hy nado podemos determinar quao confiantes podemos estar a respeito desta decisao Devido a incerteza associada a probabilidade de cometer um erro do Tipo II quando se realizam testes de significancia os estatisticos frequentemente recomendam que devemos usar a afirmagao NAO REJEITAR Ho em vez de aceitar Hy Situacao Real da Populacao Hy VERDADEIRA H FALSA Conclus3o0 do Aceitar Ho Conclusdo Correta Erro Tipo II Teste de Hipotese Rejeitar Hy Conclusao Correta Duas ConclusGes Possiveis NAO REJEITAR Ho REJEITAR Hy UNIFESP wath EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negécios Curso de Ciéncias Contabeis D sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Erros do Tipo e do Tipo II Situacao Real da Populacao Ho VERDADEIRA H FALSA Conclus3o0 do Aceitar Ho Conclusdo Correta Erro Tipo Il Teste de Hipotese a aicitar Ho Conclusao Correta Duas ConclusGes Possiveis NAO REJEITAR Ho Peat ws in O fato de nao termos evidéncias para rejeitar a hipotese nula Hp nao significa que ela seja verdadeira Assim e incorreto dizer que Hy e verdadeira ou falsa Tudo o que se pode dizer é se as evidéncias nos permitem ou nao rejeitar Ho Assim os termos sao rejeito ou nao rejeito Ho Uma analogia ocorre com um tribunal do juri norteamericano Face a evidéncias inconclusivas nao se diz que o réu é innocent mas que ele é not guilty UNIFESP wath EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 13 sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior e e wa e Erros do Tipo e do Tipo II Exercicios A Nielsen divulgou que gs jovens dos Estados Unidos assistem a 562 minutos de TV diariamente no horario nobre The Wall Street Journal Europe 18 de novembro de 2003 Um pesquisador acredita que os jovens alemdes do sexo masculino passam mais tempo assistindo a TV no horario nobre Uma amostra de jovens da Alemanha sera selecionada pelo pesquisador e o tempo que eles passam assistindo a TV em um dia sera registrado Os resultados da amostra serdo usados para testar as hipoteses nula e alternativa Formule as hipoteses nula e alternativas para este caso e informe qual 0 erro do Tipo nessa situado e quais as consequencias de se cometer este erro qual oerro do Tipo lle qualS as consequencias de se cometer este erro o Hom 562 o Hgp 562 o Erro do Tipo é rejeitar Hy quando Hp é verdadeira A consequéncia deste erro concluir que os jovens alemdes do sexo masculino passam mais tempo assistindo a TV quando na verdade nao 6 o caso o Erro do Tipo Il é nao rejeitar Hy quando H nao é verdadeira A consequéncia deste erro é concluir que os jovens alemdes do sexo masculino ndo passam mais tempo assistindo a TV quando na verdade eles passam mais tempo assistindo a TV Orotulo de um frasco de 283 litros de suco de laranja afirma que o suco de laranja conteém em média 1 grama ou menos de gordura Desenvolva as hipoteses nula e alternativa apropriadas e informe qual é 0 erro do Tipo nessa situado e quais sao as consequencias de cometer esse erro e informe qual eo erro do Tipo lle qualS Sao aS CONSeEquenclas de cometer esse erro o Hou 1 gramade gordura o Hgu1grama de gordura o ErrodoTipolé rejeltar Hy quando Hg é verdadeira A consequéncia deste erro é concluir 0 suco de laranja contém mais de 1 grama de gordura quando na verdade ele nao contem mais de um grama o Erro do Tipo Il é nao rejeitar Hy quando Hg nao é verdadeira A consequéncia deste erro é concluir 0 suco de laranja nado contem mais de um grama de gordura quando na verdade ele contém mais de um grama UNIFESP Pm j it j Sei iAnci Shei TTattatea EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 14 aoe Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior e e wa e Erros do Tipo e do Tipo II Exercicios A equipe de vendas da Carpetland atinge uma média de 8 mil em vendas por semana Steve Contois 0 vicepresidente da firma propos um programa de remuneracao com novos incentivos de vendas Steve espera que os resultados de um periodo experimental de vendas lhes possibilitem concluir que o programa de remuneracdo aumenta a média de vendas por vendedor Desenvolva as hipoteses nula e alternativa apropriadas e informe qual é 0 erro do Tipo nessa situagdo e quais sao as consequéncias de cometer esse erro e informe qual é o erro do Tipo II e quais sdo as consequéncias de cometer esse erro o Hows8mil o Hgu8mil o Erro do Tipo é rejeitar Hy quando Hp é verdadeira A consequéncia deste erro é concluir que o programa de remuneracgdo aumenta a média de vendas quando na verdade nado aumenta o Erro do Tipo Il é nado rejeitar Hy quando H nao é verdadeira A consequéncia deste erro é concluir que 0 programa de remuneracdo nado aumenta a média de vendas quando na verdade aumenta Suponha que um novo método de produao seja implementado se um teste de hipdteses sustentar a conclusdo de que 0 novo metodo reduz a média de custo operacional por hora Estabeleca as hipoteses nula e alternativa apropriadas considerando que o custo médio do método de producao atual seja igual a 220 por hora e informe qual é 0 erro de Tipo nessa situacdo e quais as consequéncias de cometer esse erro e qual o erro de Tipo II e quais sao as consequéncias de se cometer esse erro o Ho 220 por hora o Hg u 220 por hora o ErrodoTipolé rejeltar Ho quando Hy é verdadeira A consequéncia deste erro é concluir o novo método de producdo reduz o custo por hora quando na verdade nao reduz o Erro do Tipo Il 6 nado rejeitar Hy quando Hg nado é verdadeira A consequéncia deste erro é concluir o novo método de producao nao reduz o custo por hora quando na verdade reduz UNIFESP Pm j it j Sei iAnci Shei TTattatea EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 15 aoe Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Formalizagao de teste de hipoteses Coletamos uma amostra de 100 barras de cereal e observarmos que a média de carboidratos dessas barras é de 041 No rotulo a fabricante informa gue as barras tem 04g de carboidratos Sabese que o desvio padrao da populacao e conhecido de 005g Suponha que acreditamos que a média da populacao é igual a determinado valor 04g como indicado no rétulo da embalagem mas suspeitamos que o valor da média possa ter aumentado Ho ht 049 Ay n 04g Rejeitamos a hipotese nula Ho pp 04 se observarmos uma amostra com média muito superior a 04g Caso a media da amostra nao seja muito superior a 04g nao teremos forte evidéncia estatistica para rejeitar a hipdtese nula Hy uw 04 Mas quao alta deve ser a média da amostra para que tenhamos evidéncia estatistica forte o suficiente para rejeitar Ho uw 04 UNIFESP wath EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negécios Curso de Ciéncias Contabeis 16 sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Distribuição Normal Forma de sino SIMÉTRICA em relação à média UNIMODAL só possui uma média que é seu valor central Vai do infinito até o infinito PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA TENDE A ZERO QUANTO MAIS LONGE DA MÉDIA ÁREA 100 abaixo da curva normal Padronizada z observação médiadesviopadrão com Média 0 e DesvioPadrão 1 o 6826 das observações estarão contidas em 1 desviopadrão da média o 9544 das observações estarão contidas em 2 desviospadrão da média o 9974 quase todas das observações estarão contidas em 3 desviospadrão da média z mostra a distância em desviospadrão da observação em relação à média e está associado a uma probabilidade de ocorrência 17 100 Área EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Zscore ou Valor Padronizado Número de desviospadrão que a observação está afastada da média o Diferença da observação menos a média dividido ajustado pelo desviopadrão TEOREMA DE CHEBYSHEV regras para o zscoredesviopadrão que se aplicam a qualquer distribuição com formato de sino não necessariamente igual a normal o 75 das observações devem estar contidos entre z 2 e z 2 desviospadrão da média o 89 das observações devem estar contidos entre z 3 e z 3 desviospadrão da média o 94 das observações devem estar contidos entre z 4 e z 4 desviospadrão da média Zscore pode ser ainda melhor para comparar observações entre duas distribuições diferentes 18 𝒊 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Probabilidade Acumulada de z Distribuição Normal Nz 19 0 z z 175 z 175 Área como do total Probabilidade de Ocorrência de z Nz 096 ou 96 DISTNORMPz no excel em Potuguês NORMSDISTz no excel em Inglês Todo z está associado a uma probabilidade de ocorrência EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior 20 Todo z está associado a uma probabilidade de ocorrência z INVNORMPNprob z NORMSINVprob Prob DISTNORMPz 1 Prob NORMSDISTz 1 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Exemplo Noções de teste de hipóteses Você é o responsável pelo controle de qualidade das barras de cereais PercaPeso Segundo a embalagem as barras de cereal têm em média no máximo 04g de carboidratos Para verificar se o processo está sob controle a cada dia colhese uma amostra de 100 barras de cereal e medese a quantidade de carboidratos Sabese que historicamente com esse processo fabril a quantidade de carboidratos por barra de cereal tem desvio padrão 005g Na última amostra coletada a média observada foi de 041g Qual é a probabilidade de coletarmos uma amostra de 100 barras de cereal e observarmos que a média de carboidratos dessas barras é maior que 041g se a média da população for 04g Suponha que acreditamos que a média da população é igual a 04g como indicado no rótulo da embalagem mas suspeitamos que o valor da média possa ter aumentado 21 𝟎 𝒂 Rejeitamos 𝑯𝟎 𝝁 𝟎 𝟒𝒈 se observarmos uma amostra com média muito alta Essa seria uma forte evidência para indicar que a média amentou Mas quão alta tem que ser a média da amostra para que rejeitemos 𝑯𝟎 𝝁 𝟎 𝟒𝒈 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Exemplo Noções de teste de hipóteses 22 𝟎 𝒂 Fazemos o teste de hipótese tomando 𝑯𝟎 como verdadeira 𝑯𝟎 é a hipótese em que acreditamos a priori que só será rejeitado mediante evidências de sua falsidade Assim durante a realização do teste ainda acreditase na validade de 𝑯𝟎 salvo que haja fortes evidências em contrário Assim como em um julgamento o réu é inocente até que se prove o contrário em um teste de hipóteses 𝑯𝟎 é verdadeira até que se prove o contrário Você é o responsável pelo controle de qualidade das barras de cereais PercaPeso Segundo a embalagem as barras de cereal têm em média no máximo 04g de carboidratos Para verificar se o processo está sob controle a cada dia colhese uma amostra de 100 barras de cereal e medese a quantidade de carboidratos Sabese que historicamente com esse processo fabril a quantidade de carboidratos por barra de cereal tem desvio padrão 005g Na última amostra coletada a média observada foi de 041g Qual é a probabilidade de coletarmos uma amostra de 100 barras de cereal e observarmos que a média de carboidratos dessas barras é maior que 041g se a média da população for 04g Suponha que acreditamos que a média da população é igual a 04g como indicado no rótulo da embalagem mas suspeitamos que o valor da média possa ter aumentado x 041g é um valor muito alto x 0419 esta muito afastado do pardmetro de 7 ean referéncia Ug 049 Teste de Hipoteses Fonte de evidéncias A diferencga entre x 0419 e Up 04g é bastante me u 0 4g superior a zero de modo que nos possibilite rejeitar Hg Hy uw 04g en oagso Hy u04g 0 Se Ho for verdadeira a distribuicdo aH 9 amostral de X se aproxima de uma distribuigdo normal com média 04eerr dra 008 3 H 04 e erro padrao oo 0005 2 10 Para testar ds hipoteses utilizamos a estatistica observada na amostra média e nosso conhecimento sobre a distribuicdo amiostral da média x p 04g x 0419 Segundo H Média da amostra X UNIFESP sue Zs oA s I os EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 33 sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior x 041g éum valor muito alto tank x 0419 esta muito afastado do pardmetro de Teste de Hipoteses Fonte de evidéncias referéncia fy 049 Estatistica de Teste A diferencga entre X 0419 e Wp 04g é bastante ie ws 0 4g superior a zero de modo que nos possibilite rejeitar Hg Hy uw 04g en oagso Hu04g 0 Se Ho for verdadeira a distribuicdo aH g amostral de X se aproxima de uma d lcul stica d distribuicgo normal com média 2 Po emos ca cu ar uma estatistica e teste z que 04 dra0Z 295 consiste na diferenca entre xX 041g e Uy 049 BHO Ee erro Pa a0 i00 padronizada pelo erro padrdo de modo que Zp 0005 Ho que indica quantos erros padrao tal diferenca se an afasta de zero indicando se ela é grande o suficiente para rejeitar Ho x u04g 0 0419 04g 019 z 0 zy 2 3 200 Segurido Ho oyn 0005 UNIFESP I os EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 5A sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior x 041g é um valor muito alto an x 0419 esta muito afastado do pardmetro de Teste de Hipoteses Fonte de evidéncias referéncia fy 049 Valor p ou P Valor A diferencga entre x 0419 e Up 04g é bastante Ho ws 0 4g superior a zero de modo que nos possibilite rejeitar Hg ane 049 en oagso Hu04g 0 Se Ho for verdadeira a distribuicdo aH g amostral de X se aproxima de uma ee ew se E possivel que Ho esteja correta u 04g ou p distribuigdo normal com média Se 005 04g 0 ea média da amostra observada seja tao ou f 04 e erro padrdo Vi00 mais alta que 041 por acasosorte 905 9 005 Sim 10 3 Qual é a probabilidade que isso acontea probabilidade de Ho estar correta Valor p 00228 ou 228 3 UrNg probabilidade baixa nos leva a suspeitar que ha algo rado Ou tivemos muita falta de sorte e pegamos uma arpetra incomum ou Hog esta errada Ht Ho 0 X Ho Valor p A probabilidade u04g 0 041g 049 019 de obter uma amostra de z0 Zz 7 Ho O41 200 100 observagdes com Segurido Hy an 0005 média igual ou superior a 041g se Hyp w 04g UNIFESP ira 9 I os EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis for verdadelra 2287 sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior x 041g é um valor muito alto tank x 041g esta muito afastado do pardmetro de Teste de Hipoteses Fonte de evidéncias referéncia fly 049 Valor p ou P Valor Temos 228 de probabilidade A diferenca entre xX 0419 e Up 04g é bastante te w 0 Ag de cometer um erro do tipo I A superior a zero de modo que nos possibilite rejeitar Hg J ome Hu 04 probabilidade maxima aceitavel 9 de cometer um erro do tipo é ie He 2 Se Ho for verdadeira a distribuicao determinada pelo nivel de aH 9 amostral de X se aproxima de uma significancia a distribuic3o normal com média E possivel que Ho esteja correta u 04g ou p 6 005 04g 0 ea média da amostra observada seja tao ou pf 04 erro padrao vn V100 mais alta que 041 por acasosorte 905 9 005 Sim 10 valor p a rejeitamos Ho 3 Qual é a probabilidade que isso aconteca probabilidade de Ho estar correta valor p a nao rejeitamos Hy pe Nivelde Valor p 00228 ou 228 a Significdncia Ha evidéncias que ph 04 com 228 2 a 5 O que é uma probabilidade baixa Qual o limite a de probabilidade de erro do tipo Jo qual rejeitamos Ho rejeitar Hy quando Hg é verdadeira Pwignificdncia a Prob Erro 1 5 ou 10 2 a rejeitamos Ho H Hy 0 X Ho Valor p A probabilidade u 04g 0 0419 049 01g de obter uma amostra de z0 Zz 7 Ho O41 200 100 observagdes com Segurido Hy an 0005 média igual ou superior a 041g se Hy u 04g UNIFESP ira TT EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negécios Curso de Ciéncias Contabeis for verdadeira 228 aoe Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior x 041g é um valor muito alto x 0419 esta muito afastado do pardmetro de 7 eA referéncia 049 Teste de Hipdteses Fonte de evidéncias foe A diferencga entre x 0419 e Up 04g é bastante superior a zero de modo que nos possibilite rejeitar Hg Hoy ws 04g Hy u 049 0 Haim 049 2 Hy 04g 0 Se Ho for verdadeira a distribuicao amostral de X se aproxima de uma aoe normal com média we Nivel de Si aificancia erro padrdo Nivel de Significancia Y Dap vn 95 de probabilidade da Nivel de Significancia a 5 diferencga entre x 041ge 04 de o4 de probabilidade da Fo estar me 50 9 diferenca entre X 041ge rare lo 04g dep 04g estar nessa regido x H Ho 0 Fo u04g 0 0419 04g 019 z 0 Zz 2 200 Segurido Ho oyn 0005 UNIFESP TT EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 37 oan peer Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior x 041g é um valor muito alto tne x 0419 esta muito afastado do parametro de Teste de Hipoteses Fonte de evidéncias referéncia fy 049 Estatistica de Teste A diferenca entre xX 0419 e Up 04g é bastante superior a zero de modo que nos possibilite rejeitar Hg Calculase um valor critico z Ho hp 049 associado ao nivel de significancia Hy h 049 0 Ha u 0 4g a que define a regiao de rejeicao e Hu04g 0 nao rejeicao de Ho Se Ho for verdadeira a distribuicio Z 1645 Pz 1645 5 amostral de X se aproxima de uma distribuigdao normal com média we io Regiao de Rejeicao de Hy 6 Nivel de Significancia Y erro padrao vn se X lp estiver nessa me Nivel de Significancia a regiao nao é de se estranhar Mas se X Un estiver nessa Havia 95 de robabilidade i Fo regido ou ocorreu algo muito disto acontecer i raro com probabilidade igual ou inferior a5 ouX Up maior do que zero e portanto u 04g x u 049 0 041g 04g 019 Como Zo esta dentro z0 Zz 7 Ho 01 200 da regido de rejeicao Segurido Hy an 0005 rejeitamos Ho UNIFESP TT EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 58 oan peer Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipóteses Fonte de evidências Estatística de Teste Rejeitamos 𝟎 Concluímos que há evidências que a média populacional de carboidratos por barra de cereal não é 04g mas é maior que 04g Esta é uma informação negativa A pergunta que naturalmente surge referese a qual valor da média populacional Não temos uma resposta exata mas podemos obter uma estimativa intervalar com 95 de confiança IC 95 041 196 0005 IC 95 041 00098 04002 04198 Como o valor hipotético 𝟎 04g está fora do intervalo de confiança rejeitamos 𝟎 29 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipótese para a Média da População CONHECIDO Dados históricos abundantes e relevantes Processo de produção sob controle 30 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 Teste Unicaudal Teste Bicaudal Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝒛 𝒛𝜶 𝟐 𝒛 𝒛𝜶 𝟐 𝒛 𝒛𝜶 𝒛 𝒛𝜶 𝒐 Estatística de Teste z Média da Amostra Desvio padrão populacional conhecido Média Hipotética Tamanho da Amostra 𝒛𝜶 𝟐 𝒛𝜶 𝟐 𝒛𝜶 𝒛𝜶 Não Rejeita 𝑯𝟎 Não Rejeita 𝑯𝟎 Não Rejeita 𝑯𝟎 Média populacional 𝝁 é igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 Média populacional 𝝁 é menor ou igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 Média populacional 𝝁 é maior ou igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste Bicaudal CONHECIDO 31 a2 0015 ou 15 a2 0015 ou 15 0 Não Rejeitar H0 Não Rejeitar H0 z a2 0015 ou 15 a2 0015 ou 15 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 𝒐 Estatística de Teste z Rejeitar za 217 za 217 Rejeitar za 217 za 217 Rejeitar 𝑯𝒐 quando a estatística de teste cai dentro da área de rejeição EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste Unicaudal Superior CONHECIDO 32 a00 ou a00 ou 0 za 1645 za 1645 Não Rejeitar H0 Não Rejeitar H0 z 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 𝒐 Estatística de Teste z Rejeitar Rejeitar 𝑯𝒐 quando a estatística de teste cai dentro da área de rejeição EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste Unicaudal Inferior CONHECIDO 33 a 010 ou 10 a 010 ou 10 0 za 128 za 128 Não Rejeitar H0 Não Rejeitar H0 z 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 𝒐 Estatística de Teste z Rejeitar Rejeitar 𝑯𝒐 quando a estatística de teste cai dentro da área de rejeição EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior PValue Valor p Probabilidade calculada usandose à estatística de teste que mede o apoiosuporte ou falta de apoiosuporte proporcionado pela amostra à hipótese nula É a base para determinarmos se a hipótese nula deve ser rejeitada dado o nível de significância Visto que o valor p é uma probabilidade ele varia de 0 0 a 1 100 o Em geral quanto maior o valor p mais suporte à estatística de teste dá à hipótese nula o Valores p pequenos levam à rejeição de 𝑯𝟎 ao passo que valores p grandes indicam que a hipótese nula não deveria ser rejeitada 34 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 Teste Unicaudal Teste Bicaudal Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 Distribuição Normal DISTNORMPEstatística de Teste 1 no Excel em Português NORMSDISTEstatística de Teste 1 no Excel em Inglês Distribuição t DISTTEstatística de Teste Graus de Liberdade 1 no Excel em Português TDISTEstatística de Teste Graus de Liberdade 1 no Excel em Inglês Não Rejeita 𝑯𝟎 Não Rejeita 𝑯𝟎 Não Rejeita 𝑯𝟎 Média populacional 𝝁 é igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 Média populacional 𝝁 é menor ou igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 Média populacional 𝝁 é maior ou igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior PValue Valor p Regra de Decisão 35 Rejeitar 𝟎 se o valor p 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 Teste Unicaudal Teste Bicaudal Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝜶 Probabilidade de se cometer um erro de Tipo I Rejeitar 𝑯𝟎 quando 𝑯𝟎 é verdadeira Valor p Probabilidade de se aceitar 𝑯𝟎 probabilidade de ocorrência a partir da estatística de teste Não Rejeita 𝑯𝟎 Não Rejeita 𝑯𝟎 Não Rejeita 𝑯𝟎 Média populacional 𝝁 é igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 Média populacional 𝝁 é menor ou igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 Média populacional 𝝁 é maior ou igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior PValue Valor p Regra de Decisão 36 pvalue 0072 ou 72 pvalue 0072 ou 72 0 za 128 za 128 z z 146 z 146 Valor p a Rejeita H0 𝒐 a 010 ou 10 Rejeitar H0 a 010 ou 10 Rejeitar H0 Estatística de Teste z Não Rejeitar H0 Não Rejeitar H0 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior PValue Valor p Regra de Decisão 37 pValue 0011 ou 11 pValue 0011 ou 11 0 za 175 za 175 a 004 ou 4 Rejeitar H0 a 004 ou 4 Rejeitar H0 z z 229 z 229 Valor p a Rejeita H0 𝒐 Não Rejeitar H0 Não Rejeitar H0 Estatística de Teste z Teste de Hipotese para a Média da Populacao a CONHECIDO Intervalo de Confiana Ea Mo an Margem de Erro G fe Zq2 NVNORMPN1 a rau or a Za2 NORMSINV1e Za27 Probabi réncia Na La2 Za2 fe 4 af Zo Nn a2 i a oO oO X La27 X Zq2 Cae Jn ae NET Intervalo de Confianga Rejeitar Hy se lp estiver fora do Intervalo de Confianca EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 38 one Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Z crítico CONHECIDO 39 5 𝜶2 5 𝜶2 Prob 95 𝒛𝜶 𝟐 1645 Prob 5 𝒛𝜶 𝟐 1645 Grau de Confiança 90 𝛂 10 1 Grau de Confiança 10 5 1 Nível de Significância Bicaudal 25 𝜶2 25 𝜶2 Prob 975 𝒛𝜶 𝟐 1960 Prob 25 𝒛𝜶 𝟐 1960 Grau de Confiança 95 𝛂 5 1 Grau de Confiança 05 𝜶2 05 𝜶2 Prob 995 𝒛𝜶 𝟐 2576 Prob 05 𝒛𝜶 𝟐 2576 Grau de Confiança 99 𝛂 1 1 Grau de Confiança Unicaudal Superior Unicaudal Inferior 10 𝜶2 Prob 90 𝒛𝒂 1282 Grau de Confiança 90 5 𝜶 Prob 95 𝒛𝒂 1645 Grau de Confiança 95 1 𝜶 Prob 99 𝒛𝒂 2326 Grau de Confiança 99 10 𝜶2 Prob 10 𝒛𝒂 1282 Grau de Confiança 90 5 𝜶 Prob 5 𝒛𝒂 1645 Grau de Confiança 95 1 𝜶 Prob 1 𝒛𝒂 2326 Grau de Confiança 99 𝑯𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝑯𝒂 𝝁 𝝁𝟎 𝑯𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝑯𝒂 𝝁 𝝁𝟎 𝑯𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝑯𝒂 𝝁 𝝁𝟎 Teste de Hipotese para a Média da Populacao a CONHECIDO Teste Bicaudal Teste Unicaudal Superior Teste Unicaudal Inferior Hipéteses Ho H Ho Ho S Mo Ho Ho Ha Mo re ae eS Média populacional é Média populacional é maior Média populacional é menor diferente de valor hipotético do que um valor hipotético do que um valor hipotético eect sete an Regido Critica Regiao Critica a Rejeigao de Hy Rejeiao de Hy a W q NaoRejeitaHy a 130 Rejeita Ho dca Rejeita Ho LH Mo H Mo H Ho H Ho ZZa2 ZZqa2 ZZq ZZq f e x x x n Estatistica de Teste z z X Ho Z ea ac Z ea an OAL CANE Regra de Rejeiao Rejeitar Hy se Rejeitar Hg se Rejeitar Hy se Critério do Valor p Valorpa Valorpa Valorpa Regra de Rejeiao Rejeitar Hy se Rejeitar Hg se Rejeitar Hy se Critério do Valor Critico z Za2 ouz Za2 Z Za Valor z Za Regra de Rejeido Rejeitar Ho se ly estiver fora Rejeitar Hg se lo estiver fora Rejeitar Ho se lo estiver fora Intervalo de Confianga do Intervalo de Confianga do Intervalo de Confianga do Intervalo de Confianga UNIFESP I os EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis A0 sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipotese para a Média da Populacao a CONHECIDO Exercicios As declaracoes do imposto de renda individuais entregues antes do dia 31 de marco obtiveram media de restituigdo de 1056 Considere a populacdo de declarantes de ultima hora que entregaram suas declaragdes durante os cinco ultimos dias do periodo de entrega das declaracdes do imposto de renda tipicamente de 10 a 15 de abril Um pesquisador sugere que uma razao para que as pessoas esperem até os cinco ultimos dias que em media essas pessoas tem menores restituides a receber do que aquelas que entregam as declaracoes primeiro Para uma media de 400 individuos que entregaram suas declaragoes entre 10 e 15 de abril a media amostral de restituicdo foi de 910 Baseandose na experiéncia anterior podese supor um desvio padrdo populacional de 1600 Com um nivel de significancia de 5 qual é a sua conclusado 0 Ho 1056 ou Hy 1056 0 Regiao Critica Rejeigao de Hy o Hgu1056 ou Hp u 1056 0 i Za 1 5 ro ge XHo o Estatistica de Teste z cn a5 95 ae 910 1056 Oo o Estatistica de Teste z 1825 1600V400 z 1825 zcritico para 5 unicaudal inferior 1645 Valor p 340 o Como aestatistica de teste de 1825 é menor do que o valor critico de 1645 estando assim na area de rejeicao rejeitamos Hy com 95 de confianga ou a 5 de significancia Valor p de 340 nivel de significancia a de 5 o A5de significancia podemos concluir que a média das restituigdes de declarantes de ultima hora é inferior a dos demais declarantes UNIFESP sue Zs oA s I os EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 1 aoe Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipotese para a Média da Populacao a CONHECIDO Exercicios A Reis uma firma de pesquisa imobiliaria de Nova York acompanha o custo do aluguel de apartamentos nos Estados Unidos Em meados de 2002 0 indice medio de aluguel DOr apartamento em todo 0 territorio nacional era de 895 por més The Wall Street Journal 8 de julho de 2002 Suponha que baseandose em pesquisas trimestrais historicas seja razoavel considerarse um desvio padrao populacional de 225 Em um estudo recente dos indices de aluguel de apartamentos uma amostra de 180 apartamentos de todo o pais produziu uma média amostral de 915 por més Os dados amostrais possibilitam a Reis concluir que 0 indice médio populacional de aluguel de apartamentos agora ultrapasse o nivel relatado em 2002 com nivel de significancia de 1 Regido Critica Ho u 895 Hp u 895 0 ew Hoss ou Hou Rejeicao de Hy o Hah 895 ou Ho 895 0 yp N Z 232 i x Ho i A o Estatistica de Teste z sn g9 a7z1 yas 915895 o Estatistica de Teste z 3225J180 1193 z 1193 o zcritico para 1 unicaudal superior 2326 Valor p 11652 o Como aestatistica de teste de 1193 é menor do que o valor critico de 2326 ndo estando assim na area de rejeigao nao Benes rejeitar Hy com 99 de confianga ou a 1 de significancia Valor p de 11652 nivel de significancia a de 0 o A 1 de significancia nao podemos concluir que o indice médio de aluguel de apartamentos agora ultrapasse o relatado em UNIFESP I os EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negécios Curso de Ciéncias Contabeis 1 sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipotese para a Média da Populacao a CONHECIDO Exercicios Ameédia de rendimento anual total dos fundos investimento em acées diversificadas US Diversified Equity Funds de 1999 a 2003 foi de 41 Business Week 26 de janeiro de 2004 Um pesquisador gostaria de realizar um teste de hipoteses para verificar se os rendimentos dos fundos de média capitalizagao midcap growth funds ao longo do mesmo periodo sao significativamente diferentes da média dos fundos de acoes Uma amostra de 40 fundos de investimento de média capitalizagao fornece uma media de retorno anual de 34 Suponha que se saiba em decorréncia dos estudos anteriores que o desvio padrao da populacao dos fundos de investimento de media capitalizacao seja de 2 considerando um nivel de significancia de 5 qual seria sua conclusao Regiao Critica o Ho u 41 ou Hp u41 0 Rejeigao de Hy o Hath 41 ou Hain 41 0 rola ear 1960 ope 7 7Ho 0 i o Estatistica de Teste z o Tk a2 25 4 95 a225 oye 3A41 o Estatistica de Teste z 3445 2214 z 2214 o zcritico para 5 bicaudal superior 1960 ou inferior 1960 Valor p 2686 o Como aestatistica de teste de 2214 é menor do que o valor critico de 1960 estando assim na area de rejeicao pogemos rejeitar Hy com 95 de confianga ou a 5 de significancia Valor p de 2686 nivel de significancia a de 0 o A5de significancia podemos concluir que a média dos retornos dos fundos de média capitalizagdo sdo diferentes da média dos retornos dos demais fundos UNIFESP TT EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negécios Curso de Ciéncias Contabeis 12 aoe Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipótese para a Média da População DESCONHECIDO Não se pode desenvolver uma estimativa do desvio padrão populacional antes de se fazer a amostragem Quando 𝜎 é desconhecido a distribuição amostral da estatística de teste tem uma variabilidade ligeiramente maior porque a amostra é usada para desenvolver estimativas tanto de 𝜇 média da população como de 𝜎 desvio padrão da população Distribuição t com n 1 graus de liberdade deve ser utilizada quando 𝜎 é desconhecido 44 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 𝟎 𝟎 𝒂 𝟎 Teste Unicaudal Teste Bicaudal Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 Região Crítica Rejeição de 𝑯𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝝁 𝝁𝟎 𝒕 𝒕𝜶 𝟐 𝒕 𝒕𝜶 𝟐 𝒕 𝒕𝜶 𝒕 𝒕𝜶 𝒐 Estatística de Teste t Média da Amostra Desvio padrão amostral Média Hipotética Tamanho da Amostra 𝒕𝜶 𝟐 𝒕𝜶 𝟐 𝒕𝜶 𝒕𝜶 n1 graus de liberdade Não Rejeita 𝑯𝟎 Não Rejeita 𝑯𝟎 Não Rejeita 𝑯𝟎 Média populacional 𝝁 é igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 Média populacional 𝝁 é menor ou igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 Média populacional 𝝁 é maior ou igual a um valor hipotético 𝝁𝟎 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Distribuição t A distribuição t possui características da distribuição normal o Formato de sino o Simetria o Média igual a zero A principal diferença é que a distribuição t acomoda erros extras para amostras pequenas O formato da distribuição t depende do tamanho da amostra e consequentemente de graus de liberdade quanto maior a amostra mais próxima da normal a distribuição t será o Com 30 ou mais observações a distribuição t é muito próxima da distribuição normal o Graus de liberdade n 1 número de informações independentes utilizadas para computar o desvio padrão amostral o Quanto maior for o grau de liberdade menor será a dispersão o Conforme os graus de liberdade aumentam a diferença entre a distribuição t e a distribuição normal padrão vai ficando cada vez menor o Para mais de 100 graus de liberdade o valor normal padrão z provê uma boa estimativa do valor t 45 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Distribuição t 46 Distribuição Normal Padrão Distribuição t distribution 20 graus de Liberdade Distribuição t 10 graus de liberdade 0 z t Teste de Hipotese para a Média da Populacao a DESCONHECIDO Intervalo de Confianca Quando nado temos uma boa estimativa do desvio padrdo da populacao precisamos utilizar os dados amostrais para estimaro ueoo Quando s desvio padrao amostral é utilizado para estimar 0 o desvio padrao populacional a margem de erro e a estimacao por intervalo de confianga da media populacional baseiamse um uma distribuigdo de probabilidade conhecida como distribuigdo t Adistribuigdo t depende de um pardmetro conhecido como grau de liberdade Amedida em que o numero de graus de liberdade aumenta a diferenca entra a distribuicdo t e a normal padrdo se torna cada vez menor Grau de Confianca 1a Margem de Erro Probabilidade de Ocorréncia 8 a p I ta2 INV11 9p rr tq2 fi a Ca2 Ca2 TINV1 D Qa 2 a 2 a 2 alu i nl inn Wann nnn elie oS ee xt RY Ss n1 graus de x a e od TT In liberdade rs oe S n Intervalo de Confianca l Rejeitar Hy se lp estiver fora do Intervalo de Confianca UNIFESP wath EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis a ee Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipotese para a Média da Populacao 0 DESCONHECIDO Teste Bicaudal Teste Unicaudal Superior Teste Unicaudal Inferior Hipéteses Ho H Ho Ho S Mo Ho Ho Ha Mo re ae eS Média populacional é igual Média populacional 4 é menor ou Média populacional ja é maior ou aum valor hipotético 9 igual a um valor hipotético Mo igual a um valor hipotético Uo eect sete an Regido Critica Regiao Critica a Rejeigao de Hy Rejeiao de Hy n1 graus de te2 ta2 ta bq liberdade 4 4 ag NaoRejeitaHy Nao Rejeita Ho NaoRejeitaHg H Ho H Mo H Mo H Ho t ta2 t ta2 C ly t ty f e oa x x n Estatistica de Teste t a X Ho ea ac ea AL AL AL Regra de Rejeiao Rejeitar Hy se Rejeitar Hg se Rejeitar Hy se Critério do Valor p Valorpa Valorpa Valorpa Regra de Rejeiao Rejeitar Hy se Rejeitar Hg se Rejeitar Hy se Critério do Valor Critico t ty 0ut ty tt Valor t ty Regra de Rejeido Rejeitar Ho se ly estiver fora Rejeitar Hg se lo estiver fora Rejeitar Ho se lo estiver fora Intervalo de Confianga do Intervalo de Confianga do Intervalo de Confianga do Intervalo de Confianga UNIFESP I os EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negécios Curso de Ciéncias Contabeis Ag sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipotese para a Média da Populacao a DESCONHECIDO Exercicios A Employment and Training Administration divulgou que a media dos beneficios de seguro desemprego nos Estados Unidos era de 238 por semana The World Almanac 2003 Um pesduisador de Virginia previu que dados amostrais comprovariam que amediados eneficios de segurodesemprego na Virginia estava abaixo do nivel nacional Em relacao a uma amostra de 100 individuos a média amostral dos beneficios de seguro desemprego semanais foi de 231 comum desvio padrao amostral de 80 Com nivel de significancia de 5 qual é a Sua conclusao o Hom 238 Regiao Critica Rejeigao de Hy o Haip 238 hy Ne 1660 ye 7Ho a ps o Estatistica de Teste t sJm as 95 fae 231238 o Estatistica de Testet Je0vieo 0875 t 0875 Valor p 19185 o tcritico para 5 unicaudal inferior com 99 graus de liberdade 1660 o Como a estatistica de teste de 0875 é menor do que o valor critico de 1660 ndo estando assim na area de rejeicao rejeitamos Hy com 95 de confiana ou a 5 de significancia Valor p de 19185 nivel de significancia a de 5 o A5 de significancia ndo se pode concluir que a média dos beneficios semanais em Virginia 6 menor que a média nacional UNIFESP I os EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 49 aoe Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipotese para a Média da Populacao a DESCONHECIDO Exercicios A National Association of Professional Baseball Leagues divulgou que o publico presente nos jogos das 176 equipes de beisebol da minor league atingiu niveis sem precedentes durante a temporada de 2001 New York Times 28 de julho de 2002 Por jogo a média de publico nos jogos de beisebol da minor league foi de 3530 Na metade da temporada de 2002 o presidente da associaao solicitou um relatorio de presena do publico que esperancosamente mostrasse que a média de publico em 2002 ultrapassou o nivel de 2001 Suponha que uma amostra de 92 jogos de beisebol da minor league disputados durante a primeira metade da temporada de 2002 apresente uma média de publico de 3740 pessoas por jogo com um desvio padrao amostral igual a 810 Com 1 de significancia qual sua conclusao Horn 3530 Regiao Critica 0 MON S 9 2 Rejeicdo de Hy 0 Hg 3530 a tg 2368 XUo A o Estatistica de Teste t sn g9 a1 o Estatistica de Testet 37407 3530 2487 810V92 t 2487 o tcritico para 1 unicaudal superior com 91 graus de liberdade 2368 Valor p 0736 o Como aestatistica de teste de 2487 é maior do que o valor critico de 2368 estando assim na area de rejeicao podemos rejeitar Hy com 99 de confianga ou a 1 de significancia Valor p de 0736 nivel de significancia a de 1 o A1de significancia podemos concluir que a média de publico nos jogos de beisebol da minor league na metade da temporada de 2002 ultrapassou o nivel de 2001 UNIFESP I os EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negécios Curso de Ciéncias Contabeis 50 aoe Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipotese para a Média da Populacao a DESCONHECIDO Exercicios ACNN foi durante muito tempo a lider de audiéncia em jornalismo da televisdo a cabo norte americana A Nielsen Media Research indicou que a média de telespectadores da CNN foi de 600 mil pessoas por dia durante 2002 The Wall Street Journal 10 de marco de 2003 Suponha que para uma amostra de 40 dias durante o primeiro semestre de 2003 o publico medio tenha sido 612 mil telespectadores com um desvio padrao de 65 mil pessoas Com um nivel de significancia de 5 qual a sua conclusao Regio Critica o Hou 600 mil pessoas Relelsso de Ho o Hg 600 mil pessoas ta2 20 5 ta2 2023 My a225 4 95 a225 o Estatistica de Teste t 7 Ji ei at ae 612 mil pessoas 600 mil pessoas t 1168 o Estatistica de Teste t mil pessoasV40 1168 Valor p 25005 o tcritico para 5 bicaudal com 39 graus de liberdade superior 2023 ou inferior 2023 o Como aestatistica de teste de 1168 é menor do que o valor critico de 2023 nado estando assim na area de rejeicao nado podemos rejeitar Hy com 95 de confianga ou a 5 de significancia Valor p de 25005 nivel de significancia a de 5 o A5de significancla nao podemos concluir que a média de audiéncia da CNN durante o primeiro semestre de 2003 é diferente de 600 mil telespectadores por dia UNIFESP TT EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 51 aoe Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipotese para a Média da Populacao PROPORCAO DA POPULACAO Teste Bicaudal Teste Unicaudal Superior Teste Unicaudal Inferior Hipéteses Ho Pp Po HoP Po HoP Po Hq Pp Do HqP Po Ha P Po Propordo populacional é Propordo populacional é maior Propordo populacional é menor diferente de valor hipotético do que um valor hipotético do que um valor hipotético eect sete an Regido Critica Regiao Critica Rejeigo de Hy Rejei3o de Hy aa NaoRejeitaHyp idl lo Rejeita Ho Nao Rejeita Ho LH Mo H Mo H Ho H Ho ZZa2 ZZqa2 ZZq ZZq d z ze P Po z mn 2 Ze P Po Estatistica de Teste z 7 PoA a Po Po1 nm Po Ae a Po n N n n Regra de Rejeiao Rejeitar Hy se Rejeitar Hg se Rejeitar Hy se Critério do Valor p Valorpa Valorpa Valorpa Regra de Rejeiao Rejeitar Hy se Rejeitar Hg se Rejeitar Hy se Critério do Valor Critico z7z 2 UZ Zq2 ZZq Valor z Zq Regra de Rejeido Rejeitar Ho se lo estiver fora Rejeitar Ho se Uo estiver fora Rejeitar Ho se lp estiver fora Intervalo de Confianga do Intervalo de Confianga do Intervalo de Confianga do Intervalo de Confianga UNIFESP I os EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 59 sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipotese para a Média da Populagao PROPORCAO DA POPULACAO Exercicios No decorrer do ano passado 20 dos jogadores do curso de golfe Pine Creek eram mulheres Em um esforo para aumentar a proporcao de mulheres jogadoras o Pine Creek implementou uma promocao especial idealizada para atrair mulheres golfistas Um més depois quea promocao foi implementada oO gerente do curso solicitou um estudo estatistico para determinar se a proporao de mulheres goltistas no Pine Creek havia aumentado Suponha que uma amostra aleatoria de 400 jogadores tenha sido selecionada e que 100 desses jogadores eram mulheres Com um nivel de significancia de 1 qual a sua conclusao 0 Hop S 20 Regiao Critica o Hgp 20 Rejeigao de Hy o Estatistica de Teste z ott Zq 232 PoPo n 4 025020 tt 99 apt o Estatistica de Teste z Tessas 2500 Ia00 z 2500 sas Valor p 0621 zcritico para 1 unicaudal superior 2326 anor o Como a estatistica de teste de 2500 é menor do que o valor critico de 2326 estando assim na area de rejeiao Benes rejeitar Hy com 99 de confianga ou a 1 de significancia Valor p de 11652 nivel de signiticancia a de 0 o A1de significancia podemos concluir que a promocado especial aumentou a proporcdo de mulheres golfistas 20 UNIFESP I os EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negécios Curso de Ciéncias Contabeis 53 sao Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Teste de Hipotese para a Média da Populacao PROPORCAO DA POPULACAO Exercicios Um estudo realizado pela Consumer Reports mostrou que 64 das pessoas que fazem compras em supermercados acreditam que as marcas dos proprios supermercados sao tao boas quanto as marcas de renome nacional Para investigar se esse resultado se aplica ao seu proprio produto o fabricante de uma marca de ketchup reconhecida nacionalmente perguntou a uma amostra de compradores se eles acreditavam que o ketchup de supermercado era tao bom quanto aquele de renome nacional Se uma amostra de 100 compradores revelasse 52 pessoas que declaram que a marca de supermercado era tao boa quanto a marca nacional considerando um nivel de significancia de 5 qual seria sua conclusao o Hop 64 Regido Critica Rejeigao de Hy 0 Haip 64 o Estatistica de Teste z ae Za2 1960 Za2 1960 PoUPo 0 ree a225 95 a225 ae o Estatistica de Teste z 32 04 2500 ean z 2500 ne Valor p 1242 o zcritico para 5 bicaudal superior 1960 ou inferior 1960 o Como a estatistica de teste de 2500 é menor do que o valor critico de 1960 estando assim na area de rejeiao pogemos rejeitar Hy com 95 de confianga ou a 5 de significancia Valor p de 1242 nivel de significancia a de 0 o A5de significancia podemos concluir que a proporsao de individuos que acha que a marca de supermercado é tao boa quanto a marca de renome nacional nado é igual a 64 UNIFESP ati 7 TT EPPEN Escola Paulista de Politica Economia e Negocios Curso de Ciéncias Contabeis 54 aoe Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior Resumo Teste de Hipóteses 1 Determinar as hipóteses 2 Especificar o nível de significância α 1 5 ou 10 3 Definir se o desviopadrão populacional é conhecido 4 Estimar o valor crítico 5 Calcular a estatística de teste 6 Comparar a estatística de teste com o valor crítico 7 Calcular o Valor p a partir da estatística de teste 8 Comparar o Valor p com a Significância α 9 Rejeitar ou Não Rejeitar 55 EPPEN Escola Paulista de Política Economia e Negócios Curso de Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Aplicados Prof Dr José Marcos Carrera Junior josecarreraunifespbr 56 Obrigado Dúvidas