Análise Vetorial - Lista de Exercícios Resolvidos sobre Movimento de Partículas e Forças Centrais

120 ANÁLISE VETORIAL 3 Calcular A d²Adt² dt Temos que ddt A dAdt A d²Adt² dAdt dAdt A d²Adt² Logo A d²Adt² dt ddt A dAdt dt A dAdt c 4 A equação do movimento de uma partícula P de massa m é dada por m d²rdt² fr r onde r é o vetor posição de P em relação a uma origem O r₁ é o vetor unitário da direção de r e fr é uma função da distância de P a O a Mostrar que r drdt c onde c é um vetor constante b Interpretar fisicamente os casos em que fr 0 e fr 0 c Interpretar geometricamente o resultado do item a d Descrever como se aplicam os resultados obtidos ao movimento dos planetas de nosso sistema solar a Multipliquemos ambos os membros da equação dada por r Logo teremos m r d²rdt² fr r r₁ 0 porquanto r e r₁ são colineares e portanto r r₁ 0 Então r d²rdt² 0 ou ddt r drdt 0 Integrando temos r drdt c onde c é um vetor constante Compare com o Problema 3 b Se fr 0 a aceleração d²rdt² tem sentido oposto a r₁ por conseguinte u força é dirigida para O e a partícula está sempre sendo atraída para O Se fr 0 a força se afasta de O e a partícula está sob a influência de uma força repulsiva em O Uma força dirigida sempre para um ponto fixo O no sentido dele ou dele se afastando e tendo um valor absoluto que depende somente da distância r de O chamase uma força central c Num tempo t a partícula se move de M a N veja a figura ao lado A área varrida pelo vetor posição nesse tempo é aproximadamente a metade da área de um paralelogramo cujos lados são r e r ou ½ r r INTEGRAÇÃO DE VETORES 121 Logo a área varrida pelo raio vetor na unidade de tempo é ½ r rt por conseguinte a taxa de variação instantânea da área é lim t0 ½ r rt ½ r drdt ½ r v onde v é o vetor velocidade instantânea da partícula A grandeza H ½ r drdt ½ r v é dita velocidade de área tiramos Velocidade de área H ½ r drdt constante Como r H 0 o movimento se realiza num plano que tomamos como sendo o plano xy na figura da página anterior d Um planeta é atraído pelo sol de acordo com a lei da gravitação universal de Newton que estabelece que dois corpos quaisquer de massas m e M respectivamente se atraem com uma força cuja grandeza é F GMmr² onde r é a distância entre ele e G é uma constante universal Sejam m e M as massas de um planeta e do sol respectivamente e tomemos um sistema de eixos coordenados com a origem O no sol Portanto a equação do movimento do planeta é m d²rdt² GMmr² r₁ ou d²rdt² GMr² r₁ considerando desprezível a influência dos outros planetas De acordo com o item c um planeta movese em torno do sol de tal modo que seu vetor posição varre áreas iguais em tempos iguais Esta afirmação e a do Problema 5 são duas das três famosas leis de Kepler que Ele deduziu empiricamente aproveitando os dados compilados pelo astrônomo Tycho Brahe Essas leis possibilitaram a Newton a formulação das suas leis da gravitação Veja a 3ª lei de Kepler no Problema 36 5 Mostrar que a trajetória de um planeta em torno do sol é uma elipse ocupando o sol um dos focos Dos Problemas 4 c e 4 d temos 1 dvdt GMr² r₁ 2 r v 2H h Mas r r r₁ drdt r dr₁dt r dr₁dt drdt r₁ Logo 3 h r v r r₁ r dr₁dt drdt r₁ r² r₁ dr₁dt PROBLEMAS RESOLVIDOS 1 Sendo Ru u u²i 2u³j 3k achar ai Ru du b 2 Rri du a Ru du u u²i 2u³j 3k du i u u² du j 2 u³ du k 3 du i u²2 u³3 c₁ j u⁴2 c₂ k 3u c₃ u²2 u³3 i u⁴2 j 3u k c₁ i c₂ j c₃ k u²2 u³3 i u⁴2 j 3u k c onde c é o vetor constante c₁ i c₂ j c₃ k b Dr a ₁² Ru du u²2 u³3 i u⁴2 j 3u k c ² ₁ 2²2 2³3 i 2⁴2 j 3 2 k c 1²2 1³3 i 1⁴2 j 3 1 k c 56 i 152 j 3k Outro Método ₁² Ru du i ₁² u u² du j ₁² 2u³ du k ₁² 3 u du i u²2 u³3 ₁² j u⁴2 ₁² k 3u₁² 56 i 152 j 3k 2 A aceleração de uma partícula num tempo t 0 qualquer é dada por a dvdt 12 cos 2t i 8 sen 2t j 16t k Se a velocidade v e o deslocamento r são nulos para t 0 achar v e r num tempo qualquer Integrando v i 12 cos 2t dt j 8 sen 2t dt k 16t dt i sen 2t i 4 cos 2t j 8t² k c₁ Fazendo v 0 quando t 0 encontramos 0 0i 4j 0k c₁ e c₁ 4j Logo v 6 sen 2t i 4 cos 2t 4 j 8t² k donde drdt 6 sen 2t i 4 cos 2t 4 j 8t² k Integrando r i 6 sen 2t dt j 4 cos 2t 4 dt k 8 t² dt 3 cos 2t i 2 sen 2t 4t j 83 t³ k c₂ 15 Seja F um campo de força conservativo tal que F φ Suponhamos que uma partícula de massa m constante se move nesse campo Se A e B forem dois pontos quaisquer no espaço provar que φA 12 mvA2 φB 12 mvB2 onde vA e vB são os módulos dos vetores velocidade da partícula em A e B respectivamente F ma m d2rdt2 Logo F drdt m drdt d2rdt2 m2 ddt drdt2 Integrando vem AB F dr m2 v2 BA 12 mvB2 12 mvA2 Se F φ AB F dr AB φ dr AB dφ φA φB Donde φA φB 12 mvB2 12 mvA2 da qual tiramos a relação pedida φA é chamada de energia potencial em A e 12 m vA2 é a energia cinética em A A relação estabelece que a energia total em A é igual à energia total em B conservação de energia Notese o emprego do sinal menos em F φ 16 Sendo φ 2xyz2 F xy i zj x2 k e C a curva 2t zt3 de t0 até t1 calcular as integrais de linha a C φ dr C F dr a Ao longo de C temos φ 2xyz2 2t22tt32 4t9 r x i y j z k t2 i 2t j t3 k e dr 2t i 2 j 3t2 k dt Logo C φ dr 01 4t9 2t i 2 j 3t2 k dt i 01 8t10 dt j 01 8t9 dt k 01 12t11 dt 811 i 45 j k b Ao longo de C F xy i zj x2 k 2t3 i t3 j t4 k Logo F dr 2t3 i t3 j t4 k 2t i 2 j 3t2 k dt i j k 2t3 t3 t4 2t 2 3t2 dt 3t5 2t4 i 2t5 6t5 j 4t3 2t4 k dt e C F dr i 01 3t5 2t4 dt j 01 4t5 dt k 01 4t3 2t4 dt 910 i 23 j 75 k Integrais de superficie 17 Dar a definição de S A n dS sobre uma superficie S como o limite de uma soma Dividamos a área S em M elementos de área ΔSp onde p 1 2 3 M Tomemos qualquer ponto Pp dentro de ΔSp cujas coordenadas são xp yp zp Seja Ap Axp yp zp E seja np o unitário positivo normal a ΔSp em Pp Fagamos agora a soma Σp1M Ap np Sp onde Ap np é a componente normal de Ap em Pp Em seguida tomemos o limite dessa soma quando M de modo que a maior dimensão de cada ΔSp tenda para zero Este limite se existe chamase a integral de superficie da componente normal de A sobre S e é designada por S A n dS 18 Supondo que a projeção da superfície S sobre o plano xy seja R veja a figura do Problema 17 Mostrar que S A n dS R A n dx dy n k 22 Se F y i x 2xz j xy k calcular S F n dS onde S é a superficie da esfera x2 y2 z2 a2 acima do plano xy F i j k x y z y x 2xz xy x i y j 2z k Um vetor normal a x2 y2 z2 a2 é x2 y2 z2 2x i 2y j 2z k Logo o unitário normal n da figura acima é dado por n 2x i 2y j 2z k4x2 4y2 4z2 x i y j z ka pois x2 y2 z2 a2 A projeção de S sobre o plano xy é a região R limitada pela circunferência x2 y2 a2 z 0 veja a figura acima Logo S F n dS R F n dx dy n k R x i y j 2z k x i y j z ka dx dy za xaa ya2x2a2x2 3x2 y2 2a2 a2 x2 y2 dy dx INTEGRAÇÃO DE VETORES 141 Nota Fisicamente esse resultado pode ser interpretado como sendo a massa de um corpo que ocupa a região V e cuja densidade varia segundo a fórmula φ 45 x² y 26 Seja F 2xz i x j y² k Calcular F dV onde V é a região limitada pelas superfícies x 0 y 0 y 6 z x² z 4 Podemos cobrir toda a região V a conservando x e y constantes e integrando de z x² até z 4 de uma extremidade a outra da coluna PQ b em seguida conservando x constante e integrando de y 0 até y 6 de R a S da lâmina c e finalmente integrando de x 0 até x 2 onde z x² intercepta z 4 Então a integral pedida é 0² 0⁶ x²⁴ 2xz i x j y² k dz dy dx i 0² 0⁶ x²⁴ 2xz dz dy dx j 0² 0⁶ x²⁴ x dz dy dx k 0² 0⁶ x²⁴ y² dz dy dx 128 i 24 j 384 k 142 ANÁLISE VETORIAL 27 Achar o volume da região comum aos cilindros x² y² a² e x² z² a² Volume pedido 8 vezes o volume da região indicado na figura acima 8 0a 0a²x² 0a²x² dz dy dx 8 0a 0a²x² a² x² dy dx 8 0a a² x² dx 16a³3 PROBLEMAS PROPOSTOS 28 Se Rt 3 t² t i 2 6 t j 4 t k achar a Rt dt e b ⁴₂ Rt t d Resp a t³ t²2 i 2t 3t² j 2t² k c b 50 i 32 j 24 k 29 Calcular ₀π2 3 sen u i 2 cos u j du Resp 3 i 2 j 30 Se At t i t² j t 1 k e Bt 2 t² i 6 t k calcular a ₀² A B dt b ₀² A x B dt Resp a 12 b 24 i 403 j 645 k INTEGRAÇÃO DE VETORES 145 45 Se A y 2x i 3x 2y j calcular a circulação de A em torno de uma circunferência C no plano xy de centro na origem e raio igual a 2 sendo C percorrida no sentido positivo Resp 8 π 46 a Se A 4xy 3x²z² i 2x² j 2x²z k provar que C A dr independe da curva C que liga dois pontos dados b Mostrar que há uma função derivável φ tal que A φ e achar essa função Resp b φ 2x²y x²z² constante 47 a Provar que F y² cos x z² i 2y sen x 4 j 3xz² 2 k é uma força conservativa b Achar o potencial escalar de F c Achar o trabalho realizado ao se deslocar um corpo no campo dessa força de 0 1 1 a π2 1 2 Resp b φ y² sen x xz² 4y 2z constante c 15 4 π 48 Provar que F r² é conservativa e achar o potencial escalar Resp φ r⁴4 constante 49 Verificar se o campo de força F 2xz i x² y j 2z x² k é conservativo ou não Resp Não 50 Mostrar que o trabalho realizado sobre uma partícula que se desloca de A até B é igual à variação da energia cinética quer seja o campo de força conservativo ou não 51 Calcular C A dr ao longo da curva x² y² 1 z 1 de 0 1 1 até 1 0 1 no sentido positivo sendo A y 2x i zx j xy 2z k Resp 1 52 a Se E πr haverá uma função φ tal que E φ Se houver achála b Calcular C E dr se C é uma curva simples fechada qualquer Resp a φ r³3 constante b 0 53 Mostrar que 2x cos y z sen y dx xz cos y x² sen y dy x sen y dz é uma diferencial exata E daí resolver a equação diferencial 2x cos y z sen y dx xz cos y x² sen y dy x sen y dz 0 Resp x² cos y xz sen y constante