Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais-Resolução de Problemas

1 fx x3 π π fx a₀2 Σ n1 aₙ cosnπxπ bₙ sinnπxπ fx a₀2 Σn1 aₙ cosnx bₙ nx a₀ 1π from π to π x³ dx 0 FUNÇÃO ÍMPAR EM UM INTERVALO SIMÉTRICO aₙ 1π from π to π x³ cosnx dx 0 FUNÇÃO ÍMPAR EM UM INTERVALO SIMÉTRICO bₙ 1π from π to π x³ sinnx dx INTEGRANDO POR PARTES u x³ du 3x² dx sinnx dx dv cosn² 5n bₙ 1π x² cosnxn 3n x² cosnx dx 1 bₙ 1π n² cosnx 3n x² cosnx dx π to π bₙ 1π 2π³ 1n n 3n x² sinnx dx π to π Seja w x² dt cosnx dx dw 2x dx t sinnxn bₙ 1π 2π³ 1nn² 6n² x sinnx dx π to π u₁ x dv₁ sinnx dx du₁ dx v₁ cosnxn bₙ 1π 2π³ 1n n 6n² x cosnxn cosnxn dx π to π bₙ 1π 2π³ 1n n² 6n² π cosnπn π cosnπn sinnπn² bₙ 1π 2π³ 1n n 2π 1n n³ 1n π 12π n³ 2π³ n Resposta final fx x³ Σ n1 1n π 12πn³ 2π³n sinnx 1 Encontre a expansão em série de Fourier de fx x3 no intervalo π π 2 Resolva o problema de valor inicial e de fronteira usando o método de separação de variáveis ut ²ux² 2ux 0 x L t 0 u0t 0 uLt 0 t 0 ux0 fx 0 x L 3 Encontre a solução do problema de valor inicial e de fronteira dado ²ut² ²ux² 0 x 1 t 0 u0t 0 u1t 0 t 0 ux0 0 ut x0 1 0 x 1 4 Use a transformada de Fourier para resolver o problema de valor inicial dado ²ux² ut ux0 xex² 2 ut ²ux² 2ux 0 x 1 t 0 u0t 0 u1t 0 t 0 ux0 fx 0 x 1 Sindo uxt XxTt ut X T ²ux² X T ux X T Assim X T X T 2 X T TT XX 2 XX TT X 2 XX α Portanto T α T 0 X 2 X α X 0 Para α 0 α λ² X 2 X λ² X 0 Supondo Xx em x Xx m em x Xx m² em x em x m² 2 m λ² 0 m 2 4 4 1 λ² m 2 41 λ²2 1 1 λ² Solução Xx A₁ coshx 1 λ² B₁ sinhx 1 λ² ex Aplicando CC condições de contorno u0t0 X0 A₁ cosh0 B₁ sinh0 0 A₁0 Aplicando u1t0 X1 B₁ sinh1 1 λ² 0 B₁ 0 Para α0 X 2X 0 Supondo Xxem x em x m² 2m 0 mm20 m0 e m2 assim Xx A₂ B₂ e2 x Aplicando u0t0 X0 A₂ B₂ 0 A₂ B₂ Aplicando u1 t 0 X1 A₂ 1 e20 A₂0 A₂0 logo assim B₂0 Para α 0 α λ² X 2 X λ² X 0 Supondo Xx em x em x m² 2m λ² 0 m 2 4 41 λ²2 1 iλ² 1 Xx ex A₃ cosλ² 1 x B₃ senλ² 1 x Aplicando u0t0 X0 A₃ cos0 B₃ sen0 0 A₃0 Aplicando u1t0 X1 B₃ e1 sen1 λ² 10 L λ² 1 n π λ² 1 nπ λ² 1 n² π² L² λ² n² π² L² 1 λ π²l² 1l² Portanto a solução é Xnx B3 ex² sinnπxl Resolvendo T αT 0 dTT α dt lnT αt C1 Tt eαt C1 Tt C1 eαt uxt Σ de n1 a Bn etl² π² 1l² x sinnπxl Aplicando ux0 fx ux0 Σ de n1 a Bn ex sinnπxl fx e assim Bn 2L de 0 a L fx ex sinnπxL dx 3 ²ut² 2²ux² 0 x 1 t 0 I u0t0 u1t 0 t 0 II ux00 utx0sx 0 x 1 III Seja uxt XxTt ux x T uxx x T ut x T utt x T Substituindo em I x T x T xx TT α Temos então 3 casos i α 0 ii α λ² iii α λ² Sabemos que x α x T α T x α x0 T α T0 a Resolvendo a 1ª equação do sistema a x α x 0 α 0 x 0 u assim a solução será dada por Xx A1 x B1 α λ² x λ² x 0 seja Xx eβx X β eβx X β² eβx Assim eβxβ² λ² 0 β λ² λ E então Xx A1 eλx B1 eλx seja coshx ex ex2 sinhx ex ex2 Logo Xx A2 coshλx B2 sinhλx α λ² X λ² x 0 Seja Xx eβx Logo eβxβ² λ² 0 β² λ² 2 β₁ iλ u então a solução para Xx será Xx A₂ eiλx B₂ eiλx ou então Xx A₃ cos λx B₃ sin λx Aplicando as condições iniciais I e II u0t 0 u1t x0 x1 Caso α 0 Xx A₁ x B X0 B₁ 0 X1 A₁ B₁ A₁ 0 Caso α λ² Xx A₂ cosh λx B₂ sinh λx X0 A₂ cosh 0 B₂ sinh0 0 A₂ cosh 0 0 A₂ 1 0 A₂ 0 X1 A₂ cosh λ B₂ sinh λ 0 B₂ sinh λ 0 B₂0 Caso α λ² Xx A₃ cos λx B₃ sin λx X0 A₃ cos 0 B₃ sin 0 0 A₃ 0 X1 A₃ cos λ B₃ sin λ 0 0 B₃ sin λ 0 mas sin λ 0 x x nπ x Logo Xₙx B₃ sin nπx onde λ nπ Resolvendo a 2a equação do sistema a T α T 0 Como uxt Xx Tt nos casos em que Xx 0 estamos olhando apenas α 1 λ² Assim α λ² Tt A₄ cos λt B₄ sin λt Temos então que uxt Xx Tt e assim uₙxt B₃ sin nπx A₄ cos nπt B₄ sin nπt onde n 1 2 3 Logo uxt Σn1 to Aₙ cos nπt Bₙ sin nπt sin nπx 4 Aplicando as condições de contorno III ux0 0 ut x0 1 ux0 Σn1 to Aₙ cos 0 Bₙ sin 0 sin nπx 0 ux0 Σn0 to Aₙ sin nπx 0 Aₙ 2 0 to 1 fx sin nπx dx mas fx 0 Aₙ 0 ut Σn1 to Aₙ nπ sin nπt Bₙ nπ cos nπt sin nπx ut t0 Σn1 to Aₙ nπ sin 0 Bₙ nπ cos 0 sin nπx Bₙ nπ 2 0 to 1 gx sin nπx dx mas gx 1 Bₙ 2nπ 0 to 1 sin nπx dx 5 Então Bn 2nπ 01 1 sen nπ x dx Bn 2nπ2 cos nπ x01 1n Bn 2nπ2 cos π cos 0 Bn 2nπ2 1 1n 4 ²ux² ut ux0 x ex² Transformada de Fourier t Fx uxt k² Fx uxt Fx ux0 Fx x ex² Chamando Fx uxt Ukt Assim Ut k²U Uk0 Fk 1U Ut k² lm U k² t c U ek² t c a ek² t onde a ec é a constante de integração Uk0 a ek0 Fk a logo Ukt Fx uxt Fk ek² t Calculando a inversa Fx1 ek² t 12 π ex²4t se Fx1 ek² t Fx eE k² 12 π 1t ex²4t Fx1 etk² 14 π t ex²4t uxt 14 π t fy exy²4t dy