Aula 1: Introdução à Mecânica dos Fluidos

Aula 1 INTRODUÇÃO Prof Alex Machado DSc Disciplina obrigatória Carga horária 90 Hs 6 horas aulas semanais Período 030612 à 23092013 Horário segunda quarta e sextafeira 1300 hs às 1500h Ementa da disciplina 102221 Mecânica dos Fluidos Cr 06 CH 90 PEL 4020 Prérequisito 105133 e 105136 Ementa Conceitos definições e unidades Estática dos Fluidos Ementa Conceitos definições e unidades Estática dos Fluidos Fundamentos da análise de escoamento Equações conservacionais balanço de massa quantidade de movimento e energia para um fluido em escoamento Equações da dinâmica de fluidos Análise dimensional e similaridade Escoamento laminar e escoamento turbulento Teoria da camadalimite Sistemas de tubulação Máquinas de fluxo Escoamento compressível Livros textos Mecânicas dos Fluidos Fundamentos e aplicações Yunus A Çengel e John M Cimbala 1 edição 1 edição Introdução a Mecânica dos Fluidos Fox Macdonald Pritichard 6 edição Transport Processes and Unit Operations Christie J Geankoplis 3 edição Avaliações 1 prova composta por questões teóricas e de cálculos Data a definir 2 prova composta por questões teóricas e de cálculos Data a definir 3 prova composta por questões teóricas e de cálculos Data a definir Gas Liquids Statics Dynamics Fluido Mecânica Visão geral da Fluido mecânica Air He N2 O2 etc Water Oils Alcohols etc 0 iF ViscousInviscid SteadyUnsteady Compressible Incompressible 0 iF Laminar Turbulent Flows Compressibility Viscosity Vapor Pressure Density Pressure Buoyancy Stability Surface Tension Conceitos e fundamentos É definida como a ciência que trata do comportamento dos fluidos em repouso ou em movimento e da interação entre fluidos e sólidos ou outros fluidos nas fronteiras Divisões da mecânica dos fluidos Estática dos fluidos dinâmica dos fluidos Conceitos e fundamentos Definição de fluido Capacidade de uma determinada substância resistir a uma força tangencial tensão de cisalhamento aplicada que tende a mudar sua forma Estrutura molecular das substâncias Gás ou estado líquido Espaçamento molecular grande quando comparado a um sólido Forças intermoleculares coesivas fracas Características de um Fluido Não é possível resistir a uma tensão de cisalhamento em um estado estacionário Irá assumir a forma do seu recipiente Geralmente considerado um continuo Viscosidade distingue os diferentes tipos de fluidos Conceitos e fundamentos Tensão de cisalhamento componente tangencial da força que atua sobre uma superfície por unidade de área σ FndA τ FtdA Aplicaçőes da Mecânica dos Fluidos Aplicaçőes da Mecânica dos Fluidos Condições de não deslizamento Importância de compreender como a presença de superfícies sólidas afeta o escoamento escoamento Efeito da viscosidade no escoamento na condição de não deslizamento A região de escoamento adjacente à parede na qual efeitos viscosos são significativos é chamada de camada limite Condições de não deslizamento Observação Quando o fluido é forçado a movimentarse sobre uma superfície curva como a face externa de um cilindro com velocidade suficientemente alta a camada limite não pode velocidade suficientemente alta a camada limite não pode permanecer mais presa na superfície e em algum ponto separase da superfície processo chamado de separação de escoamento Classificação dos Escoamentos Escoamento viscoso versus não viscoso Os escoamentos em que os efeitos do atrito são significativos chamamse escoamentos viscosos Em muitos escoamentos de interesse práticos há regiões onde as Em muitos escoamentos de interesse práticos há regiões onde as forças viscosas podem ser desprezadas quando comparadas as forças inerciais e de pressão Esse procedimento simplifica bastante a análise sem muita perda de precisão Escoamento interno versus externo Denominase de escoamento interno aquele que estiver inteiramente limitado por uma superfície sólida exemplo clássico escoamento em tubulações Obs influência da viscosidade em todo o campo de escoamento escoamento Escoamento interno versus externo Denominase de escoamento externo aquele tipo de escoamento que não existe limitação em algum ponto da superfície sólida exemplo clássico escoamento em canais abertos Obs efeitos viscosos estão restritos às camadas limites e Obs efeitos viscosos estão restritos às camadas limites e próximas das superfícies sólidas e às regiões de esteira a jusante dos corpos Escoamento compressível versus incompressível Ma 1 subsônico Ma 1 sônico Ma 1 supersônico Regime laminar Fluxo relugar Apenas numa direção fluxo previsível Faixa de transição Regime turbulento Fluxo sem definição Fluxo caótico Movimentos das moléculas na transversal fluxo imprevisível fluxo mais comum Experimento de corante feito por O Reynolds em 1883 Regime laminar Regime laminar Regime turbulento Escoramento Laminar vs Turbulento Escoamento em regime permanente versus regime não permanente Regime permanente não há mudanças das propriedades do sistema com o passar do tempo Ex turbinas compressores condensadores etc Ex turbinas compressores condensadores etc Regime não permanente ocorre mudanças ao longo do tempo em alguma propriedade do sistema Ex motores de movimento alternado compressores ou motores de ciclos pulsativos Escoamento em regime permanente versus regime não permanente Importante para se obter propriedades gerais do campo de escoamento uma descrição media do campo de escoamento uma descrição media temporal já é suficiente para analisar o sistema caso contrário uma análise mais detalhada do regime não permanente será necessária Escoamento Uni Bi e Tridimensionais Exemplo uma tubulação acoplada a um grande reservatório Região de entrada Variação nas coordenadas r e z Bidirecional Perfil de velocidade desenvolvido Variação apenas na coordenada radial Unidirecional Sistema Quantidade fixa e definida de massa fluida Os limites do sistema podem ser fixos ou móveis mas não se verifica transporte de massa através deles Método de análise Sistema aberto ou volume de Controle Volume arbitrário do espaço através do qual o fluido escoa O contorno geométrico do volume de controle é denominado Superfície de Controle SC A superfície de controle pode ser real ou imaginária e pode estar em Método de análise controle pode ser real ou imaginária e pode estar em repouso ou em movimento Sistema e volume de controle Propriedades intensivas são as propriedades de um sistema que não dependem de seu tamanho ou da quantidade de material que ele contém Ex temperatura densidade viscosidade etc viscosidade etc Propriedades extensivas são as propriedades de um sistema que dependem de seu tamanho ou da quantidade de material que ele contém Ex massa volume entropia etc Exemplo de exercício abordando sistema Fechado 1 Lei Sistema e volume de controle Dados 095 kg de O2 Dados 095 kg de O2 Temperatura inicial de 27C Pressão de 150KPa absoluta Temperatura final 627C Q add 1 2 Derivadas do sistema e a formulação para superfície de controle As leis da Mecânica são escritas para um sistema Elas estabelecem o que ocorre quando há uma interação entre o sistema e suas vizinhanças No entanto em muitos problemas de sistema e suas vizinhanças No entanto em muitos problemas de Mecânica dos Fluidos é mais comum a análise dos problemas utilizandose a formulação de volume de controle O teorema de Transporte de Reynolds permite que as leis da Mecânica sejam escritas para um volume de controle Se N for uma propriedade extensiva arbitrária qualquer temos Derivadas do sistema e a formulação para superfície de controle O Teorema de Transporte de Reynolds estabelece que Onde é a taxa de variação total de qualquer propriedade extensiva Onde qualquer propriedade extensiva arbitrária do sistema é a taxa de variação com o tempo da propriedade extensiva arbitrária Ndentro do superfície de controle é a taxa de variação com o tempo da propriedade extensiva arbitrária Ndentro do volume de controle Método de Lagrange exemplo queda livre de objetos Consiste no acompanhamento das partículas individuais em seu movimento ao longo de suas trajetórias Para acompanhar o escoamento tem que acompanhar cada partícula Temse o seguinte problema Conhecido x1 y1 z1 P1 e ρ1 de uma partícula líquida no instante t1 determinar x y z P ρ em t Método de Euler escoamento de um fluido numa junção de canos Estuda as grandezas físicas do fluido no decorrer do tempo em um dado volume de controle fixo no espaço Relata como varia as propriedades do fluido no volume de Relata como varia as propriedades do fluido no volume de controleTemse o seguinte problema Conhecido u1 v1 w1 P1 e ρ1 no instante t1 em um dado ponto xyz determinar u v w P ρ neste mesmo ponto no tempo t Pela simplicidade é preferível adotar Euler Aplicação da abordagem do método de Lagrange y y0 FD mg Dados Massa esfera 200 gr FD 2x104 v2 Altura 500 m V x y V da VVt Resolução no quadro Para utilizar o método de Lagrange para analisar um escoamento devese considerar o fluido como um composto de um grande número de partículas cujo movimento devem ser descritos Porém essa prática torna a resolução do problema muito mais complexo em comparação ao método de Euler que analisa o escoamento através de um determinado volume de controle Mecânica dos Fluidos Aula 2 Propriedades dos Fluidos e conceitos fundamentais Prof Dr Alex Machado Fluido como um contínuo O Conceito de contínuo é a base da mecânicas do fluidos clássica Validade da hipótese do contínuo sob condições normais Falha da hipótese trajetória média livre grandeza da menor dimensão significativa do problema ex escoamento de gás rarefeito 𝜌 lim 𝛿𝑉𝛿𝑉 𝛿𝑚 𝛿𝑉 ρ ρxyzt Campo distribuição contínua de uma grandeza descrita por funções contínuas das coordenadas espaciais e do tempo x y z t temperatura v v x y z t Velocidade x y z t fluxo de momento pode ser desdobrado em 9 componentes Campo de velocidade A velocidade assim como outras propriedades é uma propriedade vetorial e exige uma magnitude e direção para uma completa descrição Campo de velocidade Considerando um campo de escoamento em que suas propriedades em cada ponto não varia com o tempo temos matematicamente 𝑛 𝑡0 Escoamento em regime permanente Isto significa que as propriedades dos fluidos permanecem constantes e expressões podem ser geradas 𝜌 𝑡 0 ou ρ ρxyz 𝑉 𝑡 0 ou v vxyz Escoamento uni di e tridimensionais ur ur x r x 𝑢 𝑢𝑚𝑎𝑥 1 𝑟 𝑅 2 Escoamento interno viscoso e incompressível Linhas de corrente e trajetórias em um fluido Linhas de tempo são o lugar geométrico em um determinado instante de um conjunto de partículas que formava uma linha num dado instante passado Trajetórias mostram o trajeto percorrido por uma partícula individual ao longo do tempo Linhas de emissão são o lugar geométrico em um determinado instante de todas as partículas que passaram por um dado ponto no espaço em um dado instante passado Linhas de corrente são uma família de curvas tangentes à velocidade do fluxo em um determinado instante O conjunto de todas as linhas de corrente é chamado um tubo de corrente Campos de tensão Importância de se entender as forças que agem sobre um fluido Forças de superfície atrito ou pressão e forças de campo gravidade ou eletromagnética Forças de superfície geram tensões no fluido Campos de tensão Campos de tensão Planos referentes ao elemento de volume infinitesimal Convenções de sinais Exemplo de uma tensão no sentido τyx5 lbfin2 Uma tensão é negativa quando atua no sentido oposto ao sinal do plano que atua Para que possamos entender o valor desta lei partimos da observação de Newton na experiência das duas placas onde ele observou que após um intervalo de tempo elementar dt a velocidade da placa superior era constante isto implica que a resultante na mesma é zero portanto o fluido em contato com a placa superior origina uma força de mesma direção mesma intensidade porém sentido contrário a força responsável pelo movimento Esta força é denominada de força de resistência viscosa F Acontato F Onde é a tensão de cisalhamento que será determinada pela lei de Newton da viscosidade Lei de Newton da Viscosidade Viscosidade σAy área de contato entre fluido e placa σFx força aplicada à placa Num intervalo de tempo σt MNOP MNOP Distância σl entre M e M Para ângulos pequenos Igualando as expressões Limite 0 Fluido Newtoniano Unidade de μ SI kgms ou Pas Britânico lbfsft2 Nos líquidos a viscosidade é diretamente proporcional à força de atração entre as moléculas portanto a viscosidade diminui com o aumento da temperatura Nos gases a viscosidade é diretamente proporcional a energia cinética das moléculas portanto a viscosidade aumenta com o aumento da temperatura v v constante V0 y Considerar v fy sendo representado por uma parábola Onde v variável dependente y variável independente a b e c são as incógnitas que devem ser determinadas pelas condições de contorno v ay2 by c Para y 0 temse v 0 portanto c 0 Para y temse v v que é constante portanto v a 2 b I Quando 0 temse o gradiente de velocidade nulo 0 2a b portanto b 2a Substituindo em I temse v a 2 portanto a v 2 e b 2v v v constante V0 y v ay2 by c Considerando a figura a seguir podese escrever que no vértice se tem tg 9090 tg 0 0 dv dy 90 dy dv tg 90 2v y v y v 2 2 Equação do gradiente de velocidade seria Equação da parábola 2v v y 2 dy dv 2 Sabendose que a figura a seguir é a representação de uma parábola que apresenta o vértice para y 30 cm pedese aA equação que representa a função v fy bA equação que representa a função do gradiente de velocidade em relação ao y cA tensão de cisalhamento para y 01 02 e 03 m 030 m y 4 ms a Determinação da função da velocidade Para y 0 temse v 0 portanto c 0 Para y 03 m temse v 4ms portanto 4 009a 03b I Para y 03 m temse o gradiente de velocidade nulo ou seja 0 06a b portanto b 06a que sendo considerada em I resulta 4 009a 018a Portanto a 4009 e b 803 e y em m s y com v em m 30 8 y 009 4 v 2 b Para a determinação do gradiente de velocidade simplesmente derivase a função da v fy 03 8 y 009 8 dy dv 0 y 03 m se tem para 09 8 y 02 m se tem para 09 16 y 01 m se tem para 03 8 0 se tem y para 03 8 y 009 8 dy dy onde dv dv c Para o cálculo da tensão de cisalhamento usase a lei de Newton da viscosidade ou seja Esta simplificação ocorre quando consideramos a espessura do fluido entre as placas experiência das duas placas o suficientemente pequena para que a função representada por uma parábola seja substituída por uma função linear V ay b y v cte Quando o perfil é linear a tensão cisalhante é constante usado para cilindros concêntricos e pequeno constante v dy dv constante v dy v y e dv v portanto v v portanto a y se tem v para 0 0 portantob 0 se tem v y para v 0 Fluidos newtonianos são aqueles que obedecem a lei de Newton da viscosidade Ex gases solventes em geral soluções Fluidos não newtonianos são aqueles que não obedecem a lei de Newton da viscosidade Ex algumas tintas emulsões soluções pastosas soluções com sólidos em suspensão yx dvx dy D Existe uma proporcionalidade entre a taxa de deformação e a tensão newtoniana Fluidos Newtonianos vesus não Newtonianos Sólido Hookeano Tinta latex Amido de milho Creme dental Viscosidade Newtoniano vs não Newtoniano n 1 pseudoplásticos n 1 dilatante n1 newtoniano Tensão superficial Tensão superficial Estiramento da lâmina líquida com de bom arame em forma de U 𝛿𝑠 𝐹 2𝑏 Força de equilíbrio F 2b𝛿𝑠 para b05 F 𝛿𝑠 Outra forma de expressar a tensão superficial 𝛿𝑠 𝑊 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑥 𝐷𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 W F x x 2b 𝛿𝑠x 𝛿𝑠 A Este resultado pode ser interpretado como a energia superficial da lâmina é aumentada de uma quantidade 𝛿𝑠 A durante o processo de estiramento semelhante a E potencial elástica Tensão superficial Realizando um balanço de forças dado pelo diagrama de corpo livre de uma gotícula ou bolha temos Gotícula Bolhas Efeito capilar em tubos Ascensão capilar Observções 0 o líquido molha a superfície ex água 0 o líquido não molha a superfície ex mercúrio Inversamente proporcional ao R do tubo e a densidade do líquido Secção transversal do tubo constante Pressão de vapor e cavitação Interesse da pressão de vapor nos sistemas de escoamentos As propriedades temperaturas e pressão das substâncias puras estão intimamente relacionadas durante a mudança de fases Temperatura de mudança de fases T sat Pressão relacionada a mudança de fases Psat Pressão de vapor é a pressão exercida pelo vapor de uma determinada substância pura em equilíbrio com seu líquido numa dada temperatura de pressão parcial Pressão parcial é a pressão de um gás ou vapor numa mistura de gases Taxa de evaporação de corpos de água é controlada pela diferença entre Pv e a pressão parcial Psist Pvap Aula 3 PRESSÃO E ESTÁTICA DOS FLUIDOS Prof Dr Alex Machado Pressão DefiniçãoI Força por unidade de área Força F grandeza vetorial Área A grandeza escalar Pressão P grandeza escalar não apresenta direção nem sentido É a variável mais comumente medida em plantas de processo A pressão reflete entre outras a força motriz para a transferência dos fluidos a sua eventual mudança de fase Também utilizada para medir a vazão de fluidos 𝑃 𝐹 𝐴 Pressão Definição II É exercida igualmente num fluido estáticoem todas as direções Denominada pressão estática Num fluido em movimento a pressão estática é exercida em qualquer plano paralelo à direção do fluxo A pressão em planos normais ao fluxo é maior que a pressão estática sendo proporcional à energia cinética do fluido Pman Pabs Patm Pvác Patm Pabs Pressão absoluta é a pressão real em determinada posição e medida em relação ao vácuo absoluto Pressão manométrica a maioria dos medidores de pressão medem a diferença entre a pressão absoluta e a atmosférica local dando origem a pressão manométrica Pressão de vácuo é toda pressão medida abaixo da pressão atmosférica Sistemas de unidades Unidades básicas do SI Sistemas de unidades Unidades derivadas Sistemas de unidades Unidades derivadas com nomes especiais no SI Sistemas de unidades Tabelas de conversão de unidades Unidades de Pressão A pressão é expressa como forçaárea No Sistema Internacional de Unidades a pressão é expressa em Nm2 ou Pascal A pressão padrão de 1 atm está expressa abaixo utilizando vários sistemas de unidades 1 atmosfera 101325 Nm2 101325 Pa 1 bar 100000 Pa 10 34 m H2O 760 mm Hg 760 torr 14696 psi 14696 lbfin2 Unidades de Pressão atm atmosfera mmHg milímetro de mercúrio kgfcm² quilograma força por centímetro ao quadrado bar nomenclatura usual para pressão barométrica psi libra por polegada ao quadrado mca metro de coluna dágua Na prática industrial muitas unidades para a especificação da pressão também são utilizadas essas unidades são comuns nos mostradores dos manômetros industriais e as mais comuns são atm mmHg kgfcm² bar psi e mca A especificação de cada uma dessas unidades está apresentada a seguir Pressão em um ponto e variação com a profundidade Fx max 0 Fz maz 0 P1ΔzP3lsenθ0 P2ΔxP3lcos θ 12ρgΔxΔz0 Relações trigonométricas Δxlcos θ Δz lsen θ e divide por Δx e Δz temos P1P30 P2P312ρg Δz Δz 0 P1P2P3 Concluíse que a pressão em um ponto de um fluido tem a mesma intensidade em todas as direções Pressão com variação de profundidade Elemento de volume de controle Δx e Δz onde w mg ρg ΔxΔz na vertical temos Fz maz 0 P2 Δx P1 Δx ρg Δx Δz Dividindo por Δx ΔP P2 P1 ρg Δz γs Δz PPatm ρgh ou Pman ρgh Para casos que há variação de densidade ρ ΔPP2P1 ρgdz P1 P2 Lei de Pascal P1 P2 𝐹1 𝐴1 𝐹2 𝐴2 𝐹2 𝐹1 𝐴2 𝐴1 A conseqüência da pressão de um fluido permanecer constante na direção horizontal refletiu no surgimento da Lei de Pascal A pressão aplicada a um fluido confinado aumenta a pressão em todo o fluido na mesma intensidade Chamada de ganho mecânico Manômetro P1 P2 Patm ρgh A2A1 10 Podemos levantar um peso de 1000 kg com apenas 100kgf Dispositivo que pode medir ΔzΔPρg Exercícios de aplicação manômetro simples e de vários fluidos Dados h 36 cm Líquido mercúrio ρ 13579 gcm3 Pressão atm 95 kPa P tanque PPatm ρgh Conversão Precisará Conversão 1N1kgms2 1kPa1000Nm 2 R 9979 KPa P1 Patm ρ1gh1 ρ2gh2 ρ3gh3 P1 ρ1ga h ρ2gh ρ1ga P2 P1 P2 ρ2 ρ1 gh ρ1 ρ2 P1 P2 ρ2gh Exercícios de aplicação manômetro de vários fluidos Dados Patm 856kPa H1 01m H2 02m H3 035m ρH2O 1000kgm3 ρoleo850kgm3 ρHg13600kgm3 Qual a Pressão no recipiente gasoso Manômetro de vários fluidos Comece pela pressão numa extremidade qualquer do manômetro e vá somando todas as colunas ao descer e subtraindo todas as colunas ao subir igualando à pressão da outra extremidade Exercícios de aplicação manômetro fechado e com diferentes fluidos Dados H1 25 cm H2 80 cm H3 100 cm H4 10 cm ρH2O 1gcm3 ρóleo 08gcm3 ρHg136gcm3 Determine a diferença de pressão entre A e B em kPa Outros dispositivos de medir pressão Tubos de Bourdon Transdutores de pressão Manométricos utilizam a pressão atmosférica como referência e acusam uma saída de sinal zero a pressão atm independente da altitude Absolutos são calibrados para ter uma saída de sinal zero no vácuo absoluto Diferenciais medem diretamente a diferença de pressão entre dois locais ao invés de usar dois transdutores Estática dos Fluidos Nos fluidos em repouso a força de pressão é perpendicular à superfície Como a pressão é constante e uniformemente distribuída ao longo da superfície então a força resultante atua no centróide da área A pressão varia linearmente aumentando com a profundidade h Estática dos Fluidos Força hidrostática agindo sobre uma superfície plana submersa onde yc 1 𝐴 𝐴 𝑦𝑑𝐴 PcPmed A equação nos diz que a magnitude de FR é igual à pressão Pcno centróide multiplicada pela área A integral em destaque nesta equação é o momento estático primeiro momento da área em relação ao eixo y e pode ser expresso por onde ycé a coordenada y do centróide da área A medida a partir do eixo dos z Ou onde Estática dos Fluidos Estática dos Fluidos Determinação da linha de ação da força resultante FR Acontece que FR não atua no centróide da área De fato ela atua no Centro de Pressão CP que fica um pouco mais abaixo Onde P ou onde yp é a distância do centro de pressão ao ponto O da figura e Ixx0 é o segundo momento de área com relação ao x porém o momento que interessa nesse caso é o Ixxc que passa pelo centroide e é dado pelo teorema do eixo paralelo Estática dos Fluidos Determinação da linha de ação da força resultante FR continuação Expressão dada pelo teorema do eixo paralelo Substituindo as equações da força resultante e o segundo momento da área que passa através do centróide do problema temos Para P0 0 que em geral é quando a Patm é ignorada a expressão fica O teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos é um teorema que permite calcular o momento de inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto O quando são conhecidos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massa do sólido e a distância entre os eixos Estática dos Fluidos Valores para algumas áreas comuns e de simetria encontradas em livros Estática dos Fluidos Casos especiais Placa retangular submersa A força age a uma distância vertical de hp yp sen θ da superfície livre diretamente abaixo do centróide da placa Mecânica dos Fluidos Mecânica dos Fluidos Mecânica dos Fluidos Mecânica dos Fluidos Mecânica dos Fluidos Mecânica dos Fluidos Mecânica dos Fluidos CINEMÁTICA DOS FLUIDOS Prof Dr Alex Machado Descrição Lagrangiana Lagrangiana semelhante a descrição feita por Newton que analisa cada partícula independente identificando o vetor posição e velocidade de uma partícula num dado instante t xa xb e va e vb Dificuldades dessa descrição Fluido como contínuo interações entre as partículas não são fáceis de descrever e o fluido se deforma continuamente Visão geral das descrições Euleriana baseiase num volume finito denominado de domínio de escoamento ou volume de controle onde existe um movimento de entrada e saída de partículas facilitando a analise do escoamento Vantagens não é preciso acompanhar a posição e velocidade de uma massa de fluido e sim definise variáveis de campo Ex campo de pressão e campo escalar Descrição Euleriana Campos de pressão Campos de aceleração Campos de velocidade Descrição Euleriana Combinando as variáveis de campo temse o campo de escoamento Para o campo de velocidade a equação pode ser expandida através de coordenadas cartesianas por Todas as variáveis de campos são definidas no volume de controle e em qualquer instante de tempo t Modo simplista de distinguir as duas descrições Exemplo do observador as margens de um rio medindo suas propriedades Campos de aceleração Considerando a 2 lei de Newton aplicada a descrição de uma única partícula Por definição a aceleração é dada por Entretanto a velocidade da partícula é igual ao valor local do campo de velocidade da partícula uma vez que a partícula acompanha o movimento do fluido Campos de aceleração Para obter a equação da aceleração da para um determinado campo de escoamento devemos usar a regra da cadeia uma vez que a variável dependente V é função de outras quatros variáveis independentes Onde é o operador da derivada parcial e d é o operador da derivada total Campos de aceleração Até agora estamos definindo a equação da aceleração baseada na descrição da partícula Lagrange Porém sabemos que dxdt u dydt v dzdt w Onde u v e w são os componentes do vetor velocidade definidos pela equação Campos de aceleração Também sabemos que em qualquer instante de tempo considerado o vetor posição da partícula de um fluido é igual ao vetor posição na descrição Euleriana portanto Finalmente para transformar do sistema Lagrangiano para o sistema Euleriano o campo de aceleração em qualquer tempo t deve ser igual a aceleração da partícula do fluido que por sua vez está acelerando juntamente com o fluido Onde é o operador vetorial gradiente e quando representado em coordenadas cartesianas fica Campos de aceleração Em coordenadas cartesianas as componentes do vetor aceleração são Aceleração local 0 para regime não permanente Aceleração advectiva ou convectiva Exemplo de Campos de aceleração por Euler e Lagrange Escoamento em regime permanente segundo um observador fixo adotando o sistema de referência Euleriano Escoamento em regime não permanente segundo sistema de referência Lagrangiana Derivada material O operador diferencial ddt equação da aceleração recebe um nome especial de derivada material derivada total de partícula lagrangiana euleriana e substancial Essa derivada é obtida a partir do acompanhamento da particula de fluido à medida que ela se movimenta através do campo de escoamento Onde a aceleração dada por essa derivada é chamada de aceleração material Pode ser aplicada a outras propriedades dos fluidos Exercício Um campo de velocidade é dado pelas seguintes componentes do plano xy u 11 28x 065y e v 098 21x 28y Calcule o campo de aceleração e encontre expressões para componentes da aceleração ax e ay e as acelerações no ponto xy23 Sistemas e volumes de controles Superfícies de controles Propriedades extensivas Leis Básicas para um Sistema Conservação de Massa De acordo com a definição de sistema quantidade fixa de matéria e constituído da mesma quantidade de matéria em todos os instantes t temos Onde Quantidade de movimento linear Segunda lei de Newton Estabelece que a soma de todas as forças externas agindo sobre um sistema é igual à taxa de variação da quantidade de movimento linear do sistema Onde P Conservação de energia Primeira lei da termodinâmica Que pode ser escrita na forma de taxa de variação como Portanto a energia total do sistema é dado por e Obs Q é quando Q é add ao sist W é quando W é realizado sobre o sist e sua vizinhança Relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de controle Na definição das equações para as propriedades extensivas dos sistemas chegouse em equações que relacionam uma taxa da propriedade em relação ao tempo massa Quantidade de movimento linear Energia Equações para o sistema Converter em equações equivalentes para volume de controle Para isso usaremos N como uma propriedade extensiva genérica Dedução de uma descrição para um volume de controle a partir da descrição de um sistema Selecionar uma porção arbitrária de um fluido em escoamento em algum instante t0 Volume de controle fixo referente às coordenadas xyz Após um Δt o sistema terá se movimentado Aplicase a essa porção de fluido as leis discutidas anteriormente ex mcte Examinar a geometria do sistemavolume de controle em tto e em t to Δt Dedução de uma descrição para um volume de controle a partir da descrição de um sistema Derivação Identificação das três regiões distintas I II III ou seja em t0 e tΔt Relacionar a taxa de variação de uma propriedade extensiva qualquer N do sistema associada com o volume de controle Definição de derivada Ns toΔt NII NIIIt0 Δt Nvc NI NIIIt0 Δt e Nst0 Nvcto Da geometria da Fig Substituindo na equação de derivada temos Sabendo que o limite da soma é igual a soma dos limites a equação fica 1 3 2 Avaliação dos 3 termos da equação Termo 1 Termo 2 Para analisar o termo 2 teremos que desenvolver uma expressão avaliando a subregião III para NIIIto Δt dNIIIto Δt n dm n ρ dV to Δt Sabendo que o volume de um cilindro é seu comprimento pela área superficial temos dVΔl dA cosα onde α0 e portanto cos α 1 Com isso dV Termo 2 Agora podemos integrar a equação sobre a região III e obter o termo 2 da equação geral Termo 3 O mesmo procedimento é realizado para a subregião I Substituindo os termos 1 2 e 3 na equação temos 1 3 2 Substituindo os termos 1 2 e 3 na equação temos Onde as integrais referentes as superfícies de controle podem ser combinadas pois constituem a superfície de controle inteira Teorema de Transporte de Reynolds TTR Conservação de massa O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a relação entre as formulações de sistema e volume de controle é o princípio da conservação de massa A massa de um sistema permanece constante Em linguagem matemática Partindo do Teorema do Transporte de Reynolds Para deduzir a formulação para volume de controle da conservação de massa fazemos SC VC Sistema V dA d t dt dN 1 m m m N m massa N 1 m N Conservação de massa Significado dos termos da equação SC VC Sistema V dA d t dt dN Conservação de massa É a taxa de variação de qualquer propriedade extensiva do sistema É a taxa de variação com o tempo da propriedade extensiva dentro do VC n é a propriedade intensiva correspondente a N nNm por unidade de massa É o elemento de massa contido no volume de controle É a quantidade total da propriedade extensiva N contida no VC É a taxa liquida de fluxo da propriedade extensiva através da SC É o fluxo de massa através do elemento de area dA VC d d VC d t dt dNSistema Vd A SC V dA Que substituídos na equação genérica do TTR fornece Da conservação da massa do sistema 0 dt dNSistema SC VC Sistema V dA d t dt dm Conservação de massa para a propriedade extensiva massa m SC VC Sistema V dA d t dt dN 0 ˆ SC VC V ndA d t Balanço Geral para a conservação da massa em um volume de controle Ou Equação da continuidade Taxa de aumento de massa no VC Fluxos de entrada e saída na SC Conservação de massa Cuidado ao Avaliar o produto escalar VdAcos V d A Positivo απ2 Negativo απ2 Zero απ2 Caso especiais Escoamento de fluido incompressível onde a massa especifica ρ permanece constante 0 SC VC V dA d t A integral de dV sobre todo o volume de controle é o próprio volume de controle 0 SC V dA t E para um volume de controle não deformável de forma e tamanho fixos V cte 0 SC V dA unidade L3t A V dA Q A A V dA A Q V 1 Caso especiais Regime permanente 0 SC VC V dA d t 0 0 SC V dA Ou seja lembrando que esse termo da equação é a combinação de dois termos entrada e saída do volume de controle a equação para escoamento em regime permanente fica V A dA V SC Exemplos de exercícios Equação da quantidade de movimento para um volume de controle Para a equação básica referente a um sistema movendo de acordo com coordenadas inerciais e aplicando a segunda lei de Newton temos Onde P é a quantidade de movimento linear e é dado por E a resultante da força inclui todas as forças de campo velocidade aceleração momento etc e de superfície Pressão De modo matemático b s F F F F Dedução da equação de Bernoulli Equação da quantidade de movimento para um volume de controle Aplicando a equação que combina a descrição de sistema e volume de controle de maneira geral SC VC Sistema V ndA nd t dt dN ˆ ˆ Porém a propriedade extensiva nesse caso é momento Linear P SC VC Sistema V V dA V d t dt dP sistema Sistema F dt dP Onde Rearranjando os termos SC VC B S V V dA V d t F F F Equação da quantidade de movimento para um volume de controle O sinal é determinado de acordo com o escoamento para fora e para dentro do volume de controle O sinal dos componentes de velocidade u v e w deve ser cuidadosamente avaliado com base no esquema de VC e na escolha das coordenadas V d A Exemplos de aplicação da equação da quantidade de movimento a partir da descrição de volume de controle Dedução de uma das formas da equação de Bernoulli Considerações Escoamento permanente Não há escoamento através das linhas de corrente Escoamento incompressivel Expandindo e simplificando os termos Desprezando dA dVs temos Partindo da equação da continuidade Balanço de massa Componente da equação da quantidade de movimento na direção da linha de corrente Equação básica Consideração Não existe atrito portanto FSb é devido somente as forças de pressão Determinação de FSs 1 3 2 São as forças de pressão atuando sobre as faces das extremidades da SC É a força FSb atuando na direção de s sobre a superfície do tubo de corrente Determinação da componente FBs onde sen θ ds dz O fluxo de quantidade de movimento é dado por Pelo balanço de massa verifica que não há fluxo de massa na superf do tudo de corrente portanto Fluxo de movimento Equação da quantidade de movimento na direção da linha de corrente Substituir as parcelas definidas anteriormente Dividindo por ρA e notando que os termos com produtos diferenciais são desprezíveis em relação aos demais Equação de Bernoulli Balanço de energia mecânica Primeira lei da Termodinâmica Onde a energia total do sistema é dado por Conservação de energia e SC VC Sistema V dA d t dt dN Usando o TTR SC VC Sistema e V dA e d t dt dE Balanço de energia mecânica SC VC dA V gz V pv u d gz V pv u t W Q 2 2 2 2 Onde W é o somatório do trabalho de eixo Ws trabalho da pressão Wp trabalho viscoso Wv trabalhos de outras fontes Woutros E u ρv é a energia interna do fluido mais o que é comumente chamado de trabalho de fluxo e pode ser substituído pela entalpia h Definição dos tipos de trabalho Ws é o trabalho transferido para fora da SC como exemplos podese citar o trabalho produzido por uma turbina a vapor ou o requerido para acionar um compressor Balanço de energia mecânica Wp é o trabalho realizado pelas forças normais atuando no fluido neste caso o trabalho será resultante de uma força atuando perpendicularmente num elemento de área da da superfície de controle Wv é o trabalho proveniente da tensão de cisalhamento aplicada tangencialmente a superfície de controle quando o fluido está se deslocando Woutros Energia elétrica pode ser adicionada ao volume de controle assim como energia eletromagnética Obs de forma geral em muitos processos apenas o trabalho de eixo é significativo durante o balanço de energia mecânica desprezando os outros trabalhos porém depende do caso em questão Medidores de vazões A taxa de fluxo mássico no escoamento de líquidos dMdt 0 é praticamente determinada pela velocidade do fluído A velocidade do fluído depende do diferencial de pressão que se aplica para forçálo a escoar por um tubo Equação da continuidade 2 2 1 1 A V A V Equação de Bernoulli Como a velocidade do fluido é afetada pela viscosidade pela densidade pelo atrito com a parede Medidores de vazões o desempenho dos medidores de vazão é influenciado pelo número de Reynolds Re vD Classificação dos medidores de vazões de acordo acordo com o método de medição Métodos diretos Está é a maneira mais obvia de medir a vazão Procedimento Simplesmente medir a quantidade de fluido que se acumula num recipiente durante um intervalo de tempo fixo Cuidado Para medições de gases o fator de compressibilidade deve ser considerado pois os gases possuem massa especifica com valores pequenos Aplicações especializadas para uso ou registro remoto de vazão Medidores de deslocamento positivo Diferença da pressão perda de carga É o modelo mais usado Vantagens baixo custo e simplicidade Princípio de operação Os medidores de vazão baseados na perda de carga são descritos pela equação de Bernoulli derivada do balanço de energia mecânica BEM aplicada ao escoamento de um fluido passando por um estreitamento em um tubo tubo de Pitot placa de orifício e Venturi Tipos de Pitot Equacionamento para o tubo de Pitot Partindo da equação de Bernoulli Onde 1 2 Condição de estagnação V1 0 VV2 Fórmula de Pitot A sonda estática é um dispositivo simples acessível e altamente confiável uma vez que não tem partes móveis Obs Alinhamento ao escoamento deve ser adequado A velocidade de escoamento em gases deve ser suficientemente alta para que os erros não sejam significativos Medidores de vazão de restrição para escoamento internos Placas de orifício Medidor de bocal Medidor de Venturi Equacionamento para os medidores de vazão por restrição Considere um escoamento em regime permanente Aplicações das equações de balanço de massa e Bernoulli Massa Bernoulli Seguindo uma linha de corrente z1z2 Combinando as equações Onde É a razão entre os diâmetros Portanto a vazão pode ser determinada por 2 2 2 2 4 V d A V Q Medidores de vazões por restrição Uma análise simples mostra que a vazão pode ser calculada por uma restrição do escoamento A queda de pressão pode ser facilmente quantificada através de um medidor de pressão transdutor diferencial ou manômetro São amplamente usados para medir vazões na industria Equação baseada na velocidade máxima portanto Vreal Vmax Sem perda de carga O fluido continua se contraindo após a obstrução Correção da equação Surge então um fator de correção chamado de coeficiente de descarga cujo valor é menor do que 1 Medidores de vazões por restrição Medidor de vazão por restrição Onde A0 A2 Lembrando que o Cd depende da relação entre os diâmetros β e do numero de Re ρvDμ Vale lembrar também que existem correlações entre os diagramas e os ajustes de curvas para o Cd para diferentes tipos de medidores Os mais usados são os três citados anteriormente orifício bocal e Venturi Medidores por restrição