Slide - Equações de Navier-stokes Pt2 - 2023-2

IPH01107 – Mecânica dos Fluidos II Aula 7:Equações de Navier-Stokes – Soluções simplificadas Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. em Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental) 2 Equação diferencial da Continuidade (Conservação de Massa): Relembrando... 𝜕𝝆 𝜕𝒕 + 𝝏 𝝆𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏 𝝆𝑽𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏 𝝆𝑽𝒛 𝝏𝒛 = 𝟎 Forma geral 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒛 = 𝟎 Para fluidos incompressíveis 3 Equações de Navier-Stokes (Fluidos de Viscosidade Constante e Incompressíveis) 𝝆 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒕 + 𝑽𝒙 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝑽𝒚 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒚 + 𝑽𝒛 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒛 = 𝝆𝒈𝒙 − 𝝏𝑷 𝝏𝒙 + 𝝁 𝝏²𝑽𝒙 𝝏𝒙² + 𝝏²𝑽𝒙 𝝏𝒚² + 𝝏²𝑽𝒙 𝝏𝒛² 𝝆 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒕 + 𝑽𝒙 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒙 + 𝑽𝒚 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒚 + 𝑽𝒛 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒛 = 𝝆𝒈𝒚 − 𝝏𝑷 𝝏𝒚 + 𝝁 𝝏²𝑽𝒚 𝝏𝒙² + 𝝏²𝑽𝒚 𝝏𝒚² + 𝝏²𝑽𝒚 𝝏𝒛² 𝝆 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒕 + 𝑽𝒙 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒙 + 𝑽𝒚 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒚 + 𝑽𝒛 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒛 = 𝝆𝒈𝒛 − 𝝏𝑷 𝝏𝒛 + 𝝁 𝝏²𝑽𝒛 𝝏𝒙² + 𝝏²𝑽𝒛 𝝏𝒚² + 𝝏²𝑽𝒛 𝝏𝒛² Na direção x Na direção y Na direção z 4 As equações anteriores podem ser reescritas em termos das coordenadas cilíndricas, que podem ser bastante adequadas aos casos de escoamento em condutos circulares. a) Sistema de coordenadas cilíndricas 𝑽𝒓 – Componente radial da velocidade; 𝑽𝜽 – Componente tangencial da velocidade; 𝑽𝒛 – Componente axial da velocidade (normalmente corresponde à direção do fluxo). 5 Equação diferencial da Continuidade (Conservação de Massa): Equações governantes em coordenadas cilíndricas... 𝝏𝝆 𝝏𝒕 + 𝟏 𝒓 𝝏 𝒓𝝆𝑽𝒓 𝝏𝒓 + 𝟏 𝒓 𝝏 𝝆𝑽𝜽 𝝏𝜽 + 𝝏 𝝆𝑽𝒛 𝝏𝒛 = 𝟎 Forma geral 𝟏 𝒓 𝝏 𝒓𝑽𝒓 𝝏𝒓 + 𝟏 𝒓 𝝏𝑽𝜽 𝝏𝜽 + 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒛 = 𝟎 Para fluidos incompressíveis 6 Equações de Navier-Stokes (Fluidos de Viscosidade Constante e Incompressíveis) 𝝆 𝝏𝑽𝒓 𝝏𝒕 + 𝑽𝒓 𝝏𝑽𝒓 𝝏𝒓 + 𝑽𝜽 𝒓 𝝏𝑽𝒓 𝝏𝜽 − 𝑽𝜽 𝟐 𝒓 + 𝑽𝒛 𝝏𝑽𝒓 𝝏𝒛 = 𝝆𝒈𝒓 − 𝝏𝑷 𝝏𝒓 + 𝝁 𝟏 𝒓 𝝏 𝒓 𝝏𝑽𝒓 𝝏𝒓 𝝏𝒓 − 𝑽𝒓 𝒓𝟐 + 𝟏 𝒓𝟐 𝜕2𝑽𝒓 𝜕𝜽2 − 𝟐 𝒓2 𝝏𝑽𝜽 𝝏𝜽 + 𝝏²𝑽𝒓 𝝏𝒛² Na direção r Na direção 𝜽 Na direção z 𝝆 𝝏𝑽𝜽 𝝏𝒕 + 𝑽𝒓 𝝏𝑽𝜽 𝝏𝒓 + 𝑽𝜽 𝒓 𝝏𝑽𝜽 𝝏𝜽 + 𝑽𝒓𝑽𝜽 𝒓 + 𝑽𝒛 𝝏𝑽𝜽 𝝏𝒛 = 𝝆𝒈𝜽 − 𝟏 𝒓 𝝏𝑷 𝝏𝜽 + 𝝁 𝟏 𝒓 𝝏 𝒓 𝝏𝑽𝜽 𝝏𝒓 𝝏𝒓 − 𝑽𝜽 𝒓𝟐 + 𝟏 𝒓𝟐 𝜕2𝑽𝜽 𝜕𝜽2 + 𝟐 𝒓2 𝝏𝑽𝒓 𝝏𝜽 + 𝝏²𝑽𝜽 𝝏𝒛² 𝝆 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒕 + 𝑽𝒓 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒓 + 𝑽𝜽 𝒓 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝜽 + 𝑽𝒛 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒛 = 𝝆𝒈𝒛 − 𝝏𝑷 𝝏𝒛 + 𝝁 𝟏 𝒓 𝝏 𝒓 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒓 𝝏𝒓 + 𝟏 𝒓𝟐 𝜕2𝑽𝒛 𝜕𝜽2 + 𝝏²𝑽𝒛 𝝏𝒛² 7 Soluções simplificadas das Eqs. De Navier-Stokes (Casos particulares) a) Escoamento de Couette - Uma placa fixa e outra móvel; - h pequeno; - Regime laminar; - Placas de grandes dimensões; - Escoamento plenamente desenvolvido; - Escoamento plano. 8 Solução geral: 𝑽𝒙 = 𝑼 𝒚 𝒉 + 𝟏 𝟐𝝁 𝝏𝒑 𝝏𝒙 . 𝒚2 − 𝒉𝒚 Adimensionalizando o gradiente de pressão 𝜕𝑝 𝜕𝑥 da seguinte maneira: 𝑷 = − 𝒉² 𝟐𝝁𝑼 𝝏𝒑 𝝏𝒙 É possível concluir que: 𝝏𝒑 𝝏𝒙 > 𝟎 , desfavorece o escoamento (Gradiente adverso); 𝝏𝒑 𝝏𝒙 < 𝟎 , favorece o escoamento (Gradiente favorável). 9 b) Escoamento de Hagen-Poiseuille - Escoamento em conduto forçado circular; - Regime laminar; - Simetria axial; - Regime plenamente desenvolvido; - Conduto na horizontal; - Fluxo puramente axial. 10 Solução geral: 𝑽𝒛 = 𝟏 𝟒𝝁 𝝏𝒑 𝝏𝒛 𝒓2 − 𝑹² 𝑸 = 𝝅𝑹𝟒∆𝑷 𝟖𝝁𝑳 𝑽𝒎𝒂𝒙 = 𝟐. 𝑽𝒎é𝒅𝒊𝒂 IPH01107 – Mecânica dos Fluidos II Aula 7:Equações de Navier-Stokes – Soluções simplificadas Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas (Eng. Civil, Dr. em Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental)