Mecânica dos Fluidos e Hidráulica: Caderno Pedagógico

ENSINO A DISTÂNCIA MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Copyright 2021 by Editora Faculdade Avantis Direitos de publicação reservados à Editora Faculdade Avantis e ao Centro Universitário Avantis UNIAVAN Av Marginal Leste 3600 Bloco 1 88339125 Balneário Camboriú SC editoraavantisedubr Depósito legal na Biblioteca Nacional conforme Lei nº 10994 de 14 de dezembro de 2010 Nenhuma parte pode ser reproduzida transmitida ou duplicada sem o consentimento da Editora por escrito O Código Penal brasileiro determina no art 184 dos crimes contra a propriedade intelectual Editoração Patrícia Fernandes Fraga Tayane Medeiros dOliveira Projeto gráfico e diagramação Ana Lúcia Dal Pizzol Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca do Centro Universitário Avantis UNIAVAN Maria Helena Mafioletti Sampaio CRB 14 276 CDD 21ª ed 620106 Mecânica e Hidráulica Freitas Larissa Steiger de F866m Mecânica dos fluídos e hidráulica EAD Caderno pedagógico Larissa Steiger de Freitas Balneário Camboriú Faculdade Avantis 2021 174 p il Inclui Índice ISBN 9786559011988 ISBNe 9786559011971 1 Mecânica dos fluídos 2 Hidráulica Fundamentos e aplicação 3 Dinâmica dos fluídos 4 Mecânica Ensino a Distância I Centro Universitário Avantis UNIAVAN II Título PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DA DISCIPLINA Conhecer os conceitos fundamentais relacionados ao estudo da mecânica dos fluidos Estudar as equações fundamentais da estática dos fluidos e saber utilizálas para resolver problemas Compreender as forças aplicadas sob fluidos em movimento Assimilar os conceitos fundamentais relacionados ao estudo da hidráulica Compreender situações com condutos equivalentes instalações de recalque e golpe de aríete Conhecer a classificação dos escoamentos em canais abertos e a geometria dos canais Entender o comportamento dos escoamentos permanente e uniforme e permanente gradualmente variado O PAPEL DA DISCIPLINA PARA A FORMAÇÃO DO ESTUDANTE Talvez você tenha chegado até este ponto de sua graduação sem entender completamente como será o seu futuro como engenheiro civil ou eletricista Fique tranquilo isso é muito comum Nos primeiros semestres dos cursos de engenharia somos bombardeados de disciplinas como cálculo física programação entre outras e muitas vezes não entendemos de fato a real aplicação delas no dia a dia de um engenheiro Fica aqui uma promessa em mecânica dos fluidos e hidráulica tudo começa a fazer sentido Você utilizará os conceitos que aprendeu em várias das disciplinas iniciais para resolver problemas reais de engenharia Lembra quando você aprendeu em cálculo vetorial a determinar se uma função era compressível e rotacional Pois bem agora você entenderá onde estas disciplinas se conectam É necessário conhecer o comportamento dos fluidos para descrever corretamente problemas encontrados no cotidiano de um engenheiro A mecânica dos fluidos e hidráulica está presente nas mais variadas áreas de interesse da engenharia como em projetos de canais aplicações pneumáticas e hidráulica industrial sistemas de refrigeração trocadores de calor aerodinâmica veicular e aeroespacial reatores nucleares entre várias outras aplicações Neste estudo mergulharemos no mundo dos fluidos e aprenderemos a utilizar tanto a estática quanto a dinâmica dos fluidos além de compreender os conceitos de hidráulica para resolver problemas habituais de engenharia APRESENTAÇÃO DA AUTORA LARISSA STEIGER DE FREITAS Possui graduação em Engenharia de Petróleo pela Universidade do Estado de Santa Catarina UDESC 2019 mestrado em Engenharia Mecânica pela Universidade do Estado de Santa Catarina UDESC 2021 na área de concentração de simulação numérica e linha de pesquisa de dinâmica de fluidos e transferência de calor É pesquisadora na área de simulação numérica de escoamentos bifásicos gás líquido transientes Atualmente é tutora do EAD no Centro Universitário Avantis UNIAVAN Lattes httplattescnpqbr0265645577939220 PROFESSOR SUMÁRIO UNIDADE 1 INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS 11 INTRODUÇÃO À UNIDADE 12 11 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 12 111 Definição de Fluido 12 112 Massa Específica e Peso Específico 15 113 Viscosidade e Tensão de Cisalhamento 16 114 Pressão 20 115 Classificação dos Fluidos 22 12 ESTÁTICA DOS FLUIDOS 25 121 Lei de Stevin 25 122 Lei de Pascal 28 123 Medidores de Pressão 31 124 Empuxo 37 13 FORÇAS SOBRE SUPERFÍCIES SUBMERSAS 41 131 Força em uma Parede Plana Submersa 42 132 Altura do Centro de Pressão em uma Parede Plana Submersa 44 CONSIDERAÇÕES FINAIS 47 EXERCÍCIO FINAL 48 REFERÊNCIAS 51 UNIDADE 2 DINÂMICA DOS FLUIDOS 53 INTRODUÇÃO À UNIDADE 54 21 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 54 211 Campo de Velocidades e Dimensão de um Escoamento 54 212 Linhas de Trajetória Linhas de Emissão e Linhas de Corrente 56 213 Escoamento Permanente e Transiente 58 214 Escoamento Laminar e Turbulento 61 215 Escoamento Compressível e Incompressível 65 216 Escoamento Rotacional e Irrotacional 68 22 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA DE FLUIDOS 72 221 Vazão e Velocidade Média 72 222 Equação da Continuidade em Regime Permanente 76 223 Fluidos Ideais Equação de Bernoulli 78 224 Equação de Bernoulli com Máquinas na Linha 85 225 Fluidos Reais Equação de Bernoulli com Perda de Carga 88 23 FORÇAS SOBRE SUPERFÍCIES SÓLIDAS 92 CONSIDERAÇÕES FINAIS 96 EXERCÍCIO FINAL 97 REFERÊNCIAS 99 UNIDADE 3 FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA 101 INTRODUÇÃO À UNIDADE 102 31 PERDA DE CARGA 102 311 Cálculo da Perda de Carga Distribuída 104 3111 Equação Universal DarcyWeisbach 104 3112 Equação de HazenWilliams 109 312 Cálculo da Perda de Carga Localizada 112 32 CONDUTOS EQUIVALENTES 114 321 Condutos Equivalentes em Série 115 322 Condutos Equivalentes em Paralelo 118 33 INSTALAÇÕES DE RECALQUE 120 331 Dimensionamento da Instalação de Recalque 122 3311 Diâmetro Econômico da Instalação de Recalque 122 3312 Potência do Sistema de Elevação 123 34 GOLPE DE ARÍETE 125 341 Tempo de Manobra 127 342 Cálculo da Sobrepressão 127 343 Mitigando os Efeitos do Golpe de Aríete 130 CONSIDERAÇÕES FINAIS 132 EXERCÍCIO FINAL 133 REFERÊNCIAS 135 UNIDADE 4 ESCOAMENTO EM CANAIS ABERTOS 137 INTRODUÇÃO À UNIDADE 138 41 ESCOAMENTO EM SUPERFÍCIES LIVRES138 411 Geometria dos Canais 139 412 Classificação dos Escoamentos 145 413 Profundidade Crítica em Canais Retangulares 148 42 ESCOAMENTO PERMANENTE E UNIFORME 150 421 Velocidade e Vazão de Escoamento em Canais 150 422 Canais Circulares 155 4221 Velocidade e Vazão Máxima 158 43 ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO 160 431 Remanso161 432 Curvas de Remanso 163 CONSIDERAÇÕES FINAIS 171 EXERCÍCIO FINAL 172 REFERÊNCIAS 174 1 UNIDADE INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS 12 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA INTRODUÇÃO À UNIDADE Seja bemvindo à primeira unidade da disciplina na qual vamos trabalhar com os conceitos fundamentais da mecânica dos fluidos e hidráulica Você aprenderá sobre a definição dos fluidos massa e peso específico pressão dentre muitos outros conteúdos Nesta unidade também serão estudados os fluidos em equilíbrio estático utilizando as Leis de Stevin e de Pascal e entenderemos como utilizar os principais medidores de pressão que são os manômetros e os barômetros para calcular a pressão na prática Além disso conheceremos outros princípios importantes como a Lei do Empuxo estabelecida pelo famoso Arquimedes de Siracusa Por fim desenvolverseá habilidade para calcular as forças que atuam sobre superfícies que estão submersas encontrando a altura do centro de pressão destas forças 11 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 111 Definição de Fluido O conceito mais básico que você aprenderá neste curso é a definição de um fluido Certamente você conhece alguns exemplos de fluidos mas talvez não saiba definir o que é de fato um fluido Podemos começar a construir seu raciocínio fazendo uma comparação com um sólido qualquer Quais são as principais diferenças visíveis entre eles A seguir a Figura 1 apresenta o comportamento de um sólido de um líquido e de um gás ao serem inseridos dentro de um recipiente 13 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 1 Comparação visual entre um sólido um líquido e um gás dentro de um recipiente Fonte Elaborada pela autora 2021 É possível verificar na figura acima que o sólido apresenta um formato próprio independente do recipiente no qual ele está inserido Por outro lado o líquido e o gás assumem o formato do reservatório e ainda diferem um do outro pelo fato de que o gás ocupa completamente o recipiente enquanto o líquido possui uma superfície livre Vamos simplificar a interpretação com situações do seu dia a dia Imagine que você está arrumando sua casa e decide guardar uma bola de futebol que estava jogada na sala dentro de uma caixa de brinquedos A bola não assume o formato da caixa não é mesmo Agora pense em um dia que está fazendo 37º C e você decide beber um copo de suco para se refrescar você vai até a geladeira pega a jarra e serve o suco em seu copo O suco antes no formato da jarra agora tem o formato do copo em que você o colocou Entendeu a ideia Por último vamos continuar imaginando um dia quente em que você liga o arcondicionado em poucos instantes o ar gelado ocupará toda a sala Tal comportamento característico dos líquidos e dos gases de assumirem o formato do recipiente no qual eles estão inseridos é uma das formas mais simples de se caracterizar os fluidos um fluido é uma substância que não possui uma forma própria e assume o formato do recipiente no qual está inserido Esta definição é suficiente para que se consiga distinguir um fluido de um sólido mas não é suficiente para o estudo da mecânica dos fluidos e hidráulica É possível definir os fluidos de uma outra forma levando em consideração a sua deformação ao sofrer uma força de cisalhamento Para facilitar o entendimento faremos novamente uma comparação com os sólidos A Figura 2 apresenta um sólido que está preso entre duas placas planas Ao aplicar uma força de cisalhamento na placa superior o sólido vai se deformar até atingir uma nova posição de equilíbrio estático 14 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 2 Deformação de um corpo sólido após a ação de uma força de cisalhamento Fonte Elaborada pela autora 2021 LEMBRETE A tensão de cisalhamento é definida como a razão entre a componente tan gencial da força e a área na qual ela é aplicada Sua unidade no SI Sistema Internacional de Medidas é Agora vamos aplicar a mesma força de cisalhamento sob um fluido que está preso entre as mesmas placas planas A Figura 3 ilustra esta situação sendo possível identificar um comportamento diferente do apresentado pelo sólido na Figura 2 Ao aplicar uma força cisalhante sob a placa superior observase que o fluido continua se deformando de forma contínua sem nunca atingir uma nova posição de equilíbrio estático Podemos então formalizar uma segunda definição mais robusta para os fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando submetidos à ação de uma força de cisalhamento contínua não importando a intensidade desta força Figura 3 Deformação de um fluido após a ação de uma força de cisalhamento Fonte Elaborada pela autora 2021 15 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Outro fenômeno muito importante pôde ser percebido pela Figura 3 o princípio de não deslizamento Ele estabelece que os pontos do fluido que estão em contato com uma superfície sólida qualquer obrigatoriamente devem ter a mesma velocidade da superfície Esta condição torna possível a resolução de vários problemas da mecânica dos fluidos e hidráulica pois serve como uma importante condição de contorno na resolução de problemas 112 Massa Específica e Peso Específico A massa específica de um fluido é definida como a razão entre a massa m e o volume deste fluido V A Equação 11 demonstra como obter o parâmetro 11 No SI a massa específica é medida em Um fluido cuja massa específica é constante em todos os pontos denominase incompressível PARA REFLETIR Você sabe por que um balão voa Após ser aquecido o ar tem a sua massa específica diminuída o ar quente é menos denso que o ar na temperatura ambiente logo é mais leve Essa diminui ção na massa específica provocada pelo aumento da temperatura é a responsável pelo balão subir ao céu 16 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Outro conceito fundamental da mecânica dos fluidos é o peso específico que representa o peso de um fluido Pmg por unidade de volume V A Equação 12 descreve esta relação 12 O peso específico é medido no SI em Outra maneira de encontrar esse parâmetro é apresentada pela Equação 13 13 113 Viscosidade e Tensão de Cisalhamento A viscosidade de um fluido é uma das definições mais fundamentais e importantes da mecânica dos fluidos e hidráulica Para entender este conceito imagine dois recipientes um preenchido com água e outro com mel Se você colocar uma colher de sopa dentro de cada um dos potes e removêla logo em seguida você entenderá na prática o que é viscosidade A colher que foi mergulhada no pote com água sairá praticamente limpa pois toda a água terá escoado rapidamente Por outro lado a colher inserida no recipiente com mel estará suja uma vez que o mel escoa muito devagar Isso acontece porque a viscosidade do mel é bem maior do que a da água Agora que já entendemos a ideia podemos introduzir o conceito formal de viscosidade é a resistência ao escoamento de um fluido que está submetido a uma determinada tensão Esta definição está associada à Lei de Newton da viscosidade a qual estabelece um critério para identificar um grupo de fluidos chamados de newtonianos Os fluidos newtonianos são aqueles que possuem viscosidade constante independente da tensão de cisalhamento que é aplicada sobre eles Estes fluidos obedecem à Equação 14 a seguir 14 17 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Onde é a tensão de cisalhamento é o coeficiente de viscosidade dinâmica do fluido e é a taxa de deformação PARA REFLETIR A maioria dos fluidos se comportam como newtonianos por exemplo água óleos mel ar entre outros Os fluidos não newtonianos são aqueles cuja visco sidade não é igual para qualquer valor de tensão de cisalhamento Alguns exemplos são os plásticos de Bingham os fluidos pseudoplásticos e os dilatantes A Lei de Newton da viscosidade pode ser simplificada para casos em que a espessura do fluido ε é muito pequena A Figura 4 ilustra este caso onde ε é tão pequeno que a variação da velocidade com a altura y apresenta um comportamento considerado linear Nesses casos a Equação 15 é válida 15 Figura 4 Variação Linear do Campo de Velocidades com a Altura Fonte Elaborada pela autora 2021 18 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Com relação à dimensão a viscosidade dinâmica é medida em sendo comum também utilizar a unidade poise ou o centipoise Podemos também definir a viscosidade cinemática como a razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica de um fluido Esta relação é exibida na Equação 16 16 No SI a viscosidade cinemática é medida em Cada fluido tem um valor próprio de viscosidade que pode variar de acordo com vários fatores A temperatura é a propriedade que mais influência no valor da viscosidade sendo que para líquidos e gases a viscosidade se comporta de forma diferente com variação de temperatura Nos líquidos a viscosidade diminui com a temperatura enquanto a viscosidade aumenta nos gases com o aumento da temperatura Exemplo 11 Uma placa paralela quadrada de área flutua sobre uma película de água com de espessura Figura 5 A placa passa a se mover à velocidade constante sobre a água sofrendo ação de uma força horizontal também constante Calcule a intensidade desta força sabendo que a viscosidade dinâmica da água na situação é cerca de Figura 5 Placa Quadrada do Exemplo 11 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Se a espessura da camada líquida é pequena comparada às dimensões da placa podemos usar a Equação 15 e aproximar 19 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA A força é dada pelo produto da tensão superficial pela área da placa Exemplo 12 Óleo escorre entre duas superfícies paralelas devido ao movimento da superfície superior com velocidade e a pressão do escoamento Sabendo que a distância entre as placas é de a viscosidade dinâmica do óleo é de e a velocidade do fluido entre as placas é descrita pela função determine a tensão superficial nas duas paredes A Figura 6 ilustra o problema Figura 6 Fluido do Exemplo 12 escoando entre duas superfícies paralelas Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Para determinar a tensão de cisalhamento partirmos da Equação 14 20 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Substituindo o valor da viscosidade e da coordenada das placas Tensão na superfície inferior Tensão na superfície superior 114 Pressão A pressão pode ser definida como a razão entre a força normal aplicada sobre um fluido e a área de contato A Equação 17 a seguir apresenta a relação 17 No SI a pressão é medida em Pa a força em N e a área em IMPORTANTE A pressão é diretamente proporcional à força aplicada sob a partícula fluida e inversamente proporcional à área de aplicação Isso significa que quanto menor for a área de contato maior será a pressão sobre o fluido A Figura 7 mostra uma força F sendo aplicada sobre uma área A Figura 7 Força F sendo aplicada sobre uma área A Fonte Elaborada pela autora 2021 21 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Exemplo 13 A Figura 8 apresenta uma força de sendo aplicada em dois pistões de áreas transversais diferentes a um com área de e outro b de Analise as alternativas abaixo I As pressões em a e b são iguais II As pressões em a e b são diferentes sendo que a pressão em b é maior do que a pressão em a III A pressão em a é igual a 11 Ésão verdadeiras as afirmativas a Apenas II b II e III c I e II d Apenas III e I II e III Figura 8 Força F 55 N sendo aplicada sobre a uma área de e sobre b uma área de Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Podemos logo eliminar as alternativas I e II sem precisar fazer cálculos Como as áreas em a e b são diferentes é impossível que as pressões aplicadas nos pistões sejam iguais se a força normal em ambos os casos é a mesma Além disso apesar de as pressões em a e b serem diferentes a pressão é inversamente proporcional à área portanto a pressão em a será maior do que em b 22 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Agora devemos verificar se a alternativa III é verdadeira através da Equação 17 Pressão em a Assim a alternativa correta é d Apenas III 115 Classificação dos Fluidos Quando trabalhamos com fluidos reais os problemas de mecânica dos fluidos e hidráulica podem se tornar complexos Por isso para simplificar os cálculos o conceito de fluido ideal é utilizado um fluido ideal é aquele que possui uma viscosidade igual a zero ou seja não está sujeito a perdas de energia por atrito Como o nome mesmo já diz este é um conceito idealizado e na prática não existe nenhum fluido que tenha uma viscosidade nula Porém alguns fluidos possuem um valor de viscosidade muito pequeno e portanto podem ser aproximados a fluidos ideais sem que haja um grande erro associado Como você já sabe um fluido cuja massa específica é constante em todos os pontos é denominado incompressível Em outras palavras é um fluido que não apresenta variação em seu volume com a pressão Assim como o conceito de fluidos ideais os fluidos incompressíveis também não existem na prática pois sempre haverá uma variação do volume com a pressão mesmo que muito pequena No entanto a maioria dos líquidos pode ser considerada como incompressível enquanto os gases em geral têm um comportamento compressível Vamos deixar a definição um pouco mais clara através de um exemplo Antigamente os desodorantes aerossóis eram vendidos em grandes embalagens Hoje encontramos frascos muito menores e que contêm a mesma quantidade de produto que os frascos maiores Isso é possível devido ao comportamento compressível dos gases ou seja eles podem ser comprimidos de forma a caberem em embalagens menores Como a maioria dos gases não podem ser considerados incompressíveis é preciso 23 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA encontrar as variações em suas massas específicas conforme as mudanças de temperatura e pressão Neste curso todos os gases serão tratados como gases perfeitos e portanto obedecem à Equação 18 18 Onde P é a pressão medida em V é o volume medido em é o número de mols medido em R é a constante universal dos gases e equivale a T é a temperatura medida em O número de mols pode ser encontrado através da Equação 19 19 Assim m representa a massa e M é a massa molar Se substituirmos a Equação 11 e a Equação 19 na Equação 18 podemos encontrar uma relação para a massa específica em função da pressão P da temperatura T da massa molar M e da constante universal dos gases R Esta relação é descrita pela Equação 110 a seguir 110 Exemplo 14 Qual a pressão exercida por de gás oxigênio à temperatura de em um recipiente de A massa molar do gás oxigênio é de 24 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 9 Resolução A quantidade de mols de oxigênio no recipiente em mols é obtida através da Equação 19 Como podemos fazer a relação Finalmente aplicamos a lei dos gases ideais descrita na Equação 18 Exemplo 15 Quantos mols de um gás ideal ocupam uma sala de volume à temperatura de e pressão de 9 Resolução Para descobrir o volume da sala em litros basta multiplicar por 1000 Agora podemos aplicar a lei dos gases ideais descrita na Equação 18 25 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 12 ESTÁTICA DOS FLUIDOS 121 Lei de Stevin Um importante princípio da estática dos fluidos é a Lei de Stevin Ela é utilizada para encontrar a diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em equilíbrio estático A Lei estabelece que a diferença de pressão pode ser obtida através da multiplicação do peso específico do fluido pela diferença de altura h entre dois pontos Na Figura 9 os pontos A e B estão em repouso sendo possível aplicar a Lei de Stevin por meio da Equação 111 Figura 9 Ilustração da Lei de Stevin Fonte Elaborada pela autora 2021 111 É importante lembrar que representa a pressão manométrica de forma que para obter a pressão absoluta Equação 112 devese somar a pressão atmosférica 112 26 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA FÓRUM Você sabe a diferença entre pressão manométrica pressão atmosférica e pres são absoluta Faça uma pesquisa e depois poste as definições que você encon trou no fórum de discussão da disciplina Discuta com seus colegas e com o seu tutor a impor tância de cada uma delas na resolução de problemas de mecânica dos fluidos e hidráulica Algumas importantes consequências da Lei de Stevin são listadas abaixo a As pressões em dois ou mais pontos que estão no mesmo nível são iguais b Você pode verificar através da Figura 10 e da Equação 111 que a distância horizontal entre os pontos não afeta o cálculo da pressão c A Lei de Stevin é válida independentemente do formato do recipiente Para entender melhor o que foi dito acima observaremos a Figura 10 na qual os pontos A B e C estão no mesmo nível dentro de um recipiente de formato irregular Figura 10 Consequências da Lei de Stevin Fonte Elaborada pela autora 2021 De acordo com a Lei de Stevin a pressão nos pontos A B e C devem obrigatoriamente ser iguais já que eles estão no mesmo nível ou seja Note que o formato irregular do recipiente não impede a aplicação do teorema 27 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Exemplo 16 Em uma viagem você resolve fazer um mergulho guiado para conhecer os animais marinhos O instrutor alerta que quanto mais fundo você mergulhar maior será a pressão sobre você Qual será a pressão sobre sua cabeça quando entrar em repouso em 10 m de profundidade para tirar uma foto Considere a massa específica da água Figura 11 Ilustração do Exemplo 17 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Para resolver o exercício vamos aplicar a Lei de Stevin descrita pela Equação 111 A pressão absoluta é obtida através da Equação 112 lembrando que a pressão da atmosfera é igual a 28 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 122 Lei de Pascal Como vimos anteriormente a pressão é inversamente proporcional à área de aplicação de uma determinada força Na prática este conceito facilitou muito a vida das pessoas quando o francês Blaise Pascal estabeleceu a sua Lei Segundo a Lei de Pascal a pressão que é aplicada em um ponto de um fluido que se encontra em repouso é transmitida de forma integral para todos os pontos do fluido Você deve estar se perguntando como este princípio pode de alguma forma ter impactado o seu dia a dia não é mesmo Imagine que você está em viajando com seu carro quando um dos pneus fura Provavelmente trocará o pneu utilizando uma ferramenta chamada de macaco hidráulico Figura 12 Este dispositivo utiliza o princípio de Pascal em seu funcionamento um pistão de pequeno diâmetro aciona um pistão de grande diâmetro que faz o carro levantar Logo você precisa dispor de uma pequena força no pistão menor para gerar uma grande força no pistão maior já que de acordo com a Lei de Pascal a pressão gerada pela sua força será transmitida integralmente Figura 12 Macaco hidráulico dispositivo que funciona através da Lei de Pascal Fonte Envato 2021 Na Figura 13 vemos uma típica prensa hidráulica onde dois pistões estão conectados por um fluido incompressível em equilíbrio estático Ao realizar uma pequena força no pistão de menor diâmetro a pressão resultante será elevada já que a área de aplicação da 29 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA força é pequena A Lei de Pascal pode ser escrita matematicamente pela Equação 113 a seguir 113 Figura 13 Prensa Hidráulica Ilustração da Lei de Pascal Fonte Elaborada pela autora 2021 SUGESTÃO DE VÍDEO O elevador hidráulico também é um dispositivo que funciona através da Lei de Pascal Você pode aprender mais sobre este assunto através do experimento publicado pelo canal Física Universitária em 01062016 Acesse o link httpsyoutubevZLUzu6xmc Exemplo 17 Considere a prensa hidráulica da Figura 13 Supondo que os diâmetros dos pistões são iguais a e a Se você aplicar uma força de sob o menor pistão qual será a magnitude da força transmitida para o pistão de maior diâmetro 30 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 9 Resolução O primeiro passo é encontrar as áreas dos dois pistões para poder aplicar a Lei de Pascal Sabemos que a área da seção transversal de um cilindro é dada por Pistão 1 menor Então a área transversal do pistão 1 é Pistão 2 maior Então a área transversal do pistão 2 é Agora podemos aplicar a Lei de pascal para encontrar Exemplo 18 Considere a prensa hidráulica da Figura 13 Qual é a área que o pistão 1 deve ter para que a força transmitida ao pistão 2 seja 500 maior que a força aplicada no pistão 1 31 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 9 Resolução A força tem que ser 500 maior que a força aplicada no pistão 1 portanto Aplicando a Lei de Pascal 123 Medidores de Pressão Quando resolvemos problemas de mecânica dos fluidos envolvendo pressão é esperado que o enunciado da questão nos dê algumas informações como as áreas dos pistões as forças aplicadas ou a pressão Na prática podemos obter algumas destas incógnitas fazendo uso de instrumentos de medição Os aparelhos mais utilizados para medir a pressão são os piezômetros os manômetros com tubo em U os manômetros de Bourdon e os barômetros Os manômetros fazem a medição da diferença entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica ou seja a pressão manométrica motivo pelo qual eles recebem este nome Os piezômetros fazem parte da classe mais simples dos manômetros Eles são capazes de medir a pressão dos líquidos fazendo o uso da Lei de Stevin Tornamse vantajosos por serem instrumentos de medição relativamente simples Como você deve imaginar por se tratar de um instrumento simples ele também possui algumas desvantagens como por exemplo não é capaz de medir a pressão em gases também não serve para medir altas pressões e não mede pressão negativa A Figura 14 ilustra um piezômetro tradicional 32 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 14 Piezômetro Fonte Elaborada pela autora 2021 Os mais utilizados são com certeza os manômetros em U pois é possível medir pressões mais elevadas com eles Além disso se adicionado um fluido manométrico dentro do instrumento de medição pode também ser medida a pressão de gases o que torna os manômetros em U mais úteis que os piezômetros Os manômetros em U também utilizam a Lei de Stevin para calcular a pressão dos fluidos Na Figura 15 observamse dois manômetros desta classe um com apenas líquido e outro com um gás e um fluido manométrico adicionado para evitar que o gás escape do instrumento de medição Figura 15 Manômetros em U A apenas líquido e B gás e um fluido manométrico Fonte Elaborada pela autora 2021 33 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Como comentamos os manômetros em U utilizam a Lei de Stevin para obter a pressão em um determinado ponto A fim de entendermos melhor como este procedimento é feito na prática resolveremos um exemplo Exemplo 19 Seja o manômetro em U apresentado na Figura 16 Qual a pressão em A se os fluidos dentro do manômetro são água e mercúrio Considere o peso específico da água como 9800 Nm3 e o peso específico do mercúrio igual a 133280 N m3 Figura 16 Manômetro em U do Exemplo 19 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução A Lei de Stevin estabelece que fluidos os quais estão na mesma altura possuem obrigatoriamente a mesma pressão Por isso vamos cortar a figura na interface entre os fluidos para podermos obter mais informações Figura 17 34 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 17 Corte para Resolução do Exemplo 19 Fonte Elaborada pela autora 2021 Pela Lei de Stevin sabemos que Também que Então basta aplicar a definição nos pontos C e B para encontrar as pressões manométricas já que o manômetro mede justamente esta pressão Ponto B Como em B o fluido é mercúrio temos que considerar o peso específico do mercúrio e a altura da coluna de mercúrio A altura é a altura da coluna de mercúrio que está acima do ponto B ou seja Portanto a pressão no ponto B é 35 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Ponto C Como em C o fluido é água temos que considerar o peso específico da água e a altura da coluna de água mais a pressão no ponto A a qual queremos descobrir A altura é a altura da coluna de água que está acima do ponto C ou seja Logo a pressão no ponto C é Pela Lei de Stevin então sabemos que Basta igualar as equações que encontramos para e Os manômetros de Bourdon também conhecidos como manômetros metálicos funcionam de forma diferente dos apresentados até agora Eles utilizam a deformação de um tubo metálico para medir a pressão Quando ocorre uma variação na pressão o tubo de Bourdon se deforma e esta deformação é indicada através de um ponteiro o qual vai se mexer em uma escala A Figura 18 traz um manômetro de Bourdon ligado a uma tubulação industrial 36 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 18 Manômetro de Bourdon Fonte Envato 2021 Os barômetros também são dispositivos utilizados para medir a pressão Porém diferentemente dos manômetros eles medem a pressão atmosférica A medição direta da pressão atmosférica é de extrema importância para obter informações meteorológicas Os barômetros foram idealizados pelo físico italiano Torricelli e os modelos mais conhecidos são os barômetros de mercúrio e os barômetros aneroides SUGESTÃO DE VÍDEO Você pode aprender mais sobre os barômetros através do vídeo A história do barômetro e como ele funciona publicado pelo canal TEDed em 28072014 Acesse o link httpsyoutubeEkDhlzAlwI 37 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 124 Empuxo Para introduzir o conceito de empuxo tão importante à disciplina de Mecânica dos Fluidos e Hidráulica existe uma grande história por trás dele a história do rei Hierão de Siracusa e Arquimedes Diz a lenda que o rei Hierão de Siracusa mandou fazer uma coroa de ouro para simbolizar sua nobreza Quando recebeu a coroa o rei desconfiou de seu ourives pois existiam boatos de que ele não havia usado apenas ouro para confeccionála Por isso o rei chamou o cientista Arquimedes para investigar se sua coroa era genuinamente de ouro sem destruíla Arquimedes levou a coroa para casa e entrou com ela em uma banheira completamente cheia de água Parte do líquido caiu para fora da banheira o que o levou a fazer uma grande descoberta dois corpos não ocupam o mesmo lugar no espaço Arquimedes ficou tão feliz que saiu correndo pelas ruas de Siracusa gritando Eureka Tradução Descobri Ao colocar um objeto em um recipiente com água ou qualquer outro fluido o nível deste fluido subirá o correspondente ao volume do corpo que foi imerso Além disso dois corpos de mesma massa mas volumes diferentes deslocarão quantidades de fluido diferentes Esta afirmação ficou conhecida como Princípio de Arquimedes ou Princípio do Empuxo Enquanto imerso um corpo sofre uma força do fluido para cima proporcional ao volume do fluido deslocado a qual é denominada de empuxo e sua magnitude pode ser obtida pela Equação 114 a seguir 114 Onde é a massa específica do fluido Se a massa específica do corpo for maior que a do fluido no qual ele está imerso seu peso será maior que o empuxo e ele afundará Caso contrário o empuxo vence e o corpo flutuará Obs é a massa específica do corpo Figura 19 38 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 19 Força de Empuxo Fonte Elaborada pela autora 2021 Através da figura acima notamos que no caso em que o empuxo é maior que o peso e o corpo flutua ao chegar na superfície uma parte do corpo deixa de estar submersa por isso o empuxo diminui igualandose ao peso do objeto Logo temos duas situações de equilíbrio entre o peso e o empuxo na Figura 19 PARA REFLETIR Da nossa experiência sabemos que é mais fácil levantar um objeto dentro de um fluido ocorrido devido ao fenômeno de empuxo Dentro do fluido o objeto tem um peso chamado de peso aparente que é dado pela subtração entre o peso real do objeto e o empuxo Exemplo 110 O empuxo exercido pelo ar sobre um balão de aniversário é igual a 80 N Qual o volume ocupado pelo balão e qual força uma criança deve exercer sobre ele para que fique no chão Considere a massa do balão igual a e a densidade do ar igual a 39 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 9 Resolução O primeiro passo para resolver a questão é calcular o volume ocupado pelo balão o que pode ser feito através da Equação 114 Para que o balão fique no chão o empuxo deve ser vencido pela força peso e pela força que a criança deve exercer O sentido das forças é exibido na Figura 20 a seguir Figura 20 Exemplo 110 Fonte Elaborada pela autora 2021 Podemos montar a equação da seguinte forma Sendo que a força peso é 40 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Assim Exemplo 111 Um cilindro cujo volume é está flutuando em um recipiente que contém um fluido de massa específica igual a Se 70 do cilindro está submerso determine a A massa específica do cilindro b O empuxo 9 Resolução A Figura 21 ilustra o problema apresentado Figura 21 Exemplo 111 Fonte Elaborada pela autora 2021 a O primeiro passo para resolver esta questão é fazer uma regra de três a fim de descobrir o volume submerso 41 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Agora vamos encontrar a massa do cilindro através da Equação 11 Então a massa específica do cilindro é dada por b Como o cilindro está flutuando e parte dele não está submersa o empuxo é igual ao peso 13 FORÇAS SOBRE SUPERFÍCIES SUBMERSAS Agora que você já aprendeu os principais conceitos e os fundamentos da estática dos fluidos podemos falar sobre as forças que agem em superfícies submersas Essas forças são oriundas das pressões nos fluidos e podem ser obtidas através da integração da distribuição de pressões sobre a superfície que está submersa Parece simples mas determinar as forças sobre superfícies submersas é um problema frequente na estática dos fluidos 42 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 131 Força em uma Parede Plana Submersa Para construir o pensamento acerca das forças que atuam em uma parede plana submersa imagine uma piscina e depois apenas metade dela conforme está ilustrado na Figura 22 O corte é feito pois é mais fácil analisar metade da estrutura já que o que vale para um lado também valerá para o outro Figura 22 Força sobre uma Placa Plana Submersa Fonte Elaborada pela autora 2021 Como estudamos anteriormente quanto maior a altura H da piscina maior é a pressão no fundo O fluido que está na piscina faz uma força sobre as paredes e para descobrir esta força vamos analisar microscopicamente a estrutura da parede tomando uma área infinitesimal uma altura como observamos na Figura 23 Figura 23 Análise Infinitesimal de uma Placa Plana Submersa Fonte Elaborada pela autora 2021 43 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Assim podemos descobrir a força que atua no elemento infinitesimal através da Equação 115 115 Vamos usar a integral para somar todas os outros elementos infinitesimais da parede da piscina e descobrir a força que atua na parede inteira utilizando a Equação 116 116 A parede da piscina é um retângulo e por isso sua área é dada pela multiplicação entre a base e a altura de acordo com a Equação 117 117 A pressão é dada pela Lei de Stevin e substituindo na Equação 116 temos a Equação 118 118 Considerando o fluido como incompressível temos que a gravidade g e a largura L da parede também são constantes e pelas propriedades da integral podem ser retiradas da integral resultando na Equação 119 119 Por fim resolvendo a integral chegamos à relação para a força aplicada em uma placa plana submersa representada pela Equação 120 120 44 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 132 Altura do Centro de Pressão em uma Parede Plana Submersa Além da força que age em uma superfície que está submersa é preciso conhecer a altura do ponto em que se concentra a força resultante Figura 24 Figura 24 Altura do Centro de Pressão em uma Placa Plana Submersa Fonte Elaborada pela autora 2021 Para descobrir a altura do centro de pressão analisaremos os momentos em relação ao ponto A conforme as Equações 121 e 122 121 121 Substituindo a Lei de Stevin e a Equação 117 na Equação 121 e tirando as constantes da integral na Equação 121 temos a Equação 122 122 Por fim resolvendo a integral temos a Equação 123 123 45 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Caso você ache que a Equação 123 ficou complicada de aplicar ela pode ser simplificada através da Equação 120 que encontramos para a força Se substituirmos a Equação 123 na Equação 120 ficamos com a Equação 124 que é a relação utilizada para encontrar a altura do centro de pressão em uma placa plana submersa 124 Exemplo 112 Uma barragem que pode ser aproximada por uma placa plana possui uma altura de e largura de Você como engenheiro deve ser capaz de calcular qual é a força que atua sobre as paredes da barragem e qual é a altura do ponto onde está concentrada a força resultante Considere que a barragem está contendo água 9 Resolução Vamos aplicar os dados na Equação 120 para encontrar a força que a água faz nas paredes da barragem Para encontrar a altura de aplicação da força utilizamos a Equação 124 46 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA SUGESTÃO DE LIVRO Para ampliar o seu conhecimento em mecâ nica dos fluidos o que você acha de uma leitura complementar Uma obra muito legal e que reforça os concei tos estudados aqui é o livro Mecânica dos Fluidos escrito por Franco Brunetti 47 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA CONSIDERAÇÕES FINAIS Chegamos ao final da primeira unidade desta disciplina ao longo da qual vimos os conceitos fundamentais da Mecânica dos Fluidos e Hidráulica Aprendemos a definir os fluidos formalmente utilizando o conceito de tensão de cisalhamento além de termos estudado sobre a massa e o peso específico dos fluidos e conceitos importantíssimos como da pressão A partir desta unidade você será capaz de trabalhar com fluidos em equilíbrio estático utilizando as Leis de Stevin e de Pascal Também foram vistos os principais modelos de medidores de pressão e como utilizálos para calcular a pressão na prática Você conheceu a história de Arquimedes de Siracusa e por isso sabe utilizar a Lei do Empuxo Por fim aprendemos a calcular as forças as quais atuam sobre superfícies que estão submersas e como encontrar a altura do centro de pressão destas forças 48 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA EXERCÍCIO FINAL 01 A figura a seguir apresenta um recipiente irregular que contém água em seu interior Sabendo que a massa específica da água é e baseado nos seus conhecimentos de estática dos fluidos analise as alternativas abaixo I As pressões em A e B são iguais entre si e diferentes da pressão em C II Se a altura h for igual a então a pressão hidrostática manométrica no ponto A é igual a 152 kPa III As pressões em A B e C são iguais IV Se a altura h for igual a então a pressão hidrostática manométrica no ponto B é igual a 686 kPa Ésão verdadeiras as afirmativas a Apenas II b II e III c I e II d Apenas III e III e IV 02 Três líquidos que não se misturam estão em contato dispostos como o esquema da figura abaixo O primeiro que está no recipiente maior tem massa específica de O segundo em contato com o primeiro tem massa específica de e o terceiro Sabendo que 49 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA e assinale a alternativa que representa corretamente os valores da pressão manométrica e da pressão total na ponta do tubo respectivamente a e b e c e d e e e 03 A figura a seguir ilustra um aquário de de altura A espessura do vidro é de Sabendo que a massa específica da água é assinale a alternativa que representa corretamente a força que atua sobre as paredes do aquário e a altura do ponto em que está concentrada a força resultante respectivamente 50 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA a e b e c e d e e e 51 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA REFERÊNCIAS BISTAFA Sylvio R Mecânica dos Fluidos Noções e Aplicações São Paulo Blucher 2010 BRUNETTI Franco Mecânica dos Fluidos 2ª ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2008 ÇENGEL Y A e CIMBALA J M Mecânica dos Fluidos 1ª Edição McGraw Hill Artmed 2007 FOX Robert W Pritchard Philip J Mc Donald Alan T Introdução à Mecânica dos Fluidos 8ª ed Rio de Janeiro RJ LTC 2014 MUNSON Bruce R OKIISHI Theodore H YOUNG Donald F Fundamentos da mecânica dos fluidos 4ª ed São Paulo Blucher 2004 POST Scott Mecânica dos Fluídos aplicada à computacional Editora LTC 2013 POTTER Merle Mecânica dos Fluídos São Paulo Cengage Learning 2015 YOUNG Donald F MUNSON Bruce R OKIISHI Theodore H Uma introdução concisa à mecânica dos fluídos 4ª ed São Paulo Blucher 2005 52 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 54 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA INTRODUÇÃO À UNIDADE Na segunda unidade serão trabalhados conceitos mais aprofundados da Mecânica dos Fluidos e Hidráulica Estudaremos importantes conceitos como o campo de velocidades e as linhas de trajetória de emissão e de corrente além da caracterização de um escoamento como permanente ou transiente através da dependência temporal do seu campo de velocidades Nesta unidade você determinará se um escoamento é laminar ou turbulento baseado no número adimensional de Reynolds Também aprofundará os conceitos de escoamento compressível e incompressível vistos na Unidade 1 além de aprender a calcular o rotacional de um campo de velocidades Por fim falaremos sobre as equações fundamentais da dinâmica dos fluidos como a equação da vazão e da continuidade em regime permanente e a famosa Equação de Bernoulli assim como compreenderemos as forças que os fluidos exercem sobre superfícies sólidas 21 CONCEITOS FUNDAMENTAIS 211 Campo de Velocidades e Dimensão de um Escoamento Depois de conhecer os conceitos básicos da estática e da dinâmica dos fluidos na primeira unidade você está pronto para aprender um conceito mais elaborado e que é baseado em cálculos vetoriais o campo de velocidades Um campo de velocidades é um campo vetorial o que é capaz de descrever o escoamento em todos os pontos em um determinado instante Para cada coordenada xyz e tempo t é retornado um vetor que corresponde à velocidade naquele ponto e instante e assim é possível descrever um escoamento completo 55 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Matematicamente o campo de velocidades é dado pela Equação 21 a seguir 21 Como a velocidade é uma grandeza vetorial ela exige um módulo uma direção e um sentido O vetor velocidade pode ainda ser escrito em termos de suas componentes escalares conforme a Equação 22 a seguir 22 De uma forma geral as componentes escalares e são funções das coordenadas xyz e do tempo t Agora que você entendeu o conceito de campo de velocidades podemos falar sobre a dimensão de um escoamento Um escoamento pode ser classificado com unidimensional bidimensional ou tridimensional a depender do número de coordenadas espaciais que são necessárias para descrever o seu campo de velocidades Exemplo 21 Determine a dimensão dos escoamentos a seguir dados os campos de velocidades A B C Resposta A É possível identificar duas componentes escalares do campo de velocidades e Portanto o escoamento descrito pelo campo de velocidades A é bidimensional 56 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA B É possível identificar apenas uma componente escalar do campo de velocidades Portanto o escoamento descrito pelo campo de velocidades B é unidimensional C É possível identificar as três componentes escalares do campo de velocidades Portanto o escoamento descrito pelo campo de velocidades C é tridimensional 212 Linhas de Trajetória Linhas de Emissão e Linhas de Corrente Existem alguns conceitos importantes que o ajudarão a entender e descrever melhor o movimento das partículas dos fluidos São eles as linhas trajetória as linhas de emissão e as linhas de corrente As linhas de trajetória representam o caminho real percorrido por uma determinada partícula do fluido ou seja é uma linha que junta todos os pontos pelos quais uma partícula passou no decorrer do escoamento Uma linha de trajetória está ilustrada na Figura 25 a seguir 57 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 25 Linha de Trajetória Fonte Elaborada pela autora 2021 As linhas de emissão representam a linha que é formada por todas as partículas de fluido que passaram por um determinado ponto fixo no espaço Imagine o ponto fixo demonstrado pela Figura 26 Todas as partículas que passam por este ponto são pintadas e a partir daí formam uma linha de emissão Figura 26 Linha de Emissão Fonte Elaborada pela autora 2021 Por último podemos também descrever o movimento das partículas do fluido através das linhas de corrente As linhas de corrente são uma forma de representar o campo de velocidades de modo que elas são sempre tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo como mostra a figura a seguir 58 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 27 Linha de Corrente Fonte Elaborada pela autora 2021 213 Escoamento Permanente e Transiente Uma importante classificação de um escoamento é quanto à variação de suas propriedades com o tempo Um escoamento é dito permanente ou estacionário se o seu perfil de velocidades e de pressão em um determinado ponto de análise não variam com o tempo Em outras palavras se você olhar para um campo de velocidades ou de pressões agora ou daqui a 10 horas tudo deve estar exatamente da mesma forma no mesmo ponto IMPORTANTE É interessante observar que a velocidade e a pressão podem variar de um ponto para outro no escoamento pois elas são funções das coordenadas do ponto em que elas estão mas não dependem do tempo 59 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Ficou confuso Para melhor entendimento analisaremos a Figura 28 abaixo que traz um escoamento em regime permanente Imagine que você quer descobrir se as propriedades do escoamento estão variando com o tempo Para isso você tirou uma foto do escoamento em um determinado tempo Figura 28 a e depois de um intervalo de tempo Figura 28 b foi tirada uma nova foto analisando o mesmo ponto Como não houve alterações nas propriedades do escoamento e ele está idêntico em e em você pode concluir que se trata de um escoamento em regime permanente Agora ficou fácil não é mesmo Figura 28 Escoamento em Regime Permanente Fonte Elaborada pela autora 2021 Por outro lado podemos também classificar um escoamento como transiente ou não permanente se o seu perfil de velocidades e de pressão variam com o tempo Imaginemos a mesma situação anterior você tira uma foto do escoamento em um tempo Figura 29 a e depois de um intervalo de tempo Figura 29 b repete a foto no mesmo ponto Como o escoamento está visivelmente diferente em e em podemos concluir que se trata de um escoamento em regime transiente 60 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 29 Escoamento em Regime Transiente Fonte Elaborada pela autora 2021 Também podemos avaliar matematicamente se um escoamento está em regime permanente ou transiente através de uma análise do seu campo de velocidades Não estando o campo em função do tempo podemos dizer que se trata de um regime permanente do contrário o escoamento é classificado como transiente Exemplo 22 Classifique os escoamentos abaixo como permanente ou transiente Resposta A Observe que as componentes escalares do campo estão em função do tempo portanto o escoamento descrito pelo campo de velocidades A está em regime transiente B Note que a componente escalar do campo está em função do tempo por isso o 61 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA escoamento descrito pelo campo de velocidades B está em regime transiente C Observe que nenhuma das componentes escalares do campo de velocidades está em função do tempo portanto o escoamento descrito pelo campo de velocidades C está em regime permanente 214 Escoamento Laminar e Turbulento Outra forma de classificar os escoamentos é quanto ao movimento das partículas do fluido Em 1883 um físico e engenheiro britânico chamado Osborne Reynolds fez um experimento para visualizar a geometria de um escoamento Ele utilizou um tubo de vidro transparente e aplicou um corante no fluido que passava pela tubulação Como resultado descobriu que existem dois tipos de escoamentos o escoamento laminar e o escoamento turbulento O escoamento laminar é caracterizado pelo movimento suave das partículas fluidas em forma de camadas ou lâminas daí o seu nome Neste tipo de escoamento não há mistura macroscópica das camadas de fluido adjacentes ou seja as camadas ou lâminas não se cruzam Por outro lado o escoamento turbulento é caótico e as partículas do fluido se movimentam de forma aleatória e tridimensional podendo se sobrepor ao movimento da corrente Normalmente ocorre em velocidades mais elevadas quando comparadas ao escoamento laminar As diferenças visíveis entre os escoamentos laminar turbulento e a transição entre eles podem ser observadas através da Figura 30 a seguir na qual um tanque de tinta está ligado a uma tubulação A tinta colore as partículas do fluido de forma que seja possível analisar as diferenças entre os escoamentos 62 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 30 Diferenças visuais entre os Escoamentos Laminar Turbulento e a Transição entre eles Fonte Elaborada pela autora 2021 SUGESTÃO DE VÍDEO Você pode visualizar um experimento real sobre os escoamentos laminares e turbulentos através do vídeo publicado em 01052008 Acesse o link httpsyoutubeXOLl2KeDiOg Agora que já estudamos as principais diferenças visuais entre esses escoamentos é preciso entender como determinar matematicamente se um escoamento será laminar ou turbulento Na prática a maioria das tubulações não são feitas de materiais transparentes então fica difícil utilizar o fator visual para classificar o escoamento Todavia graças a Osborne Reynolds podemos fazer a classificação de forma muito fácil através do Número de Reynolds Em escoamentos internos ou seja que ocorrem dentro de tubulações ou paredes limitantes o Número de Reynolds Re é dado pela Equação 23 a seguir 23 63 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Onde é a massa específica do fluido é a velocidade é o diâmetro hidráulico e representa a viscosidade Podemos dar um significado físico para o Número de Reynolds Re ele representa a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas Quando as forças de inércia são controladas pelas forças viscosas o escoamento tende a ser laminar Por outro lado quando as forças de inércia são muito elevadas as forças viscosas são vencidas e o escoamento será turbulento É importante notar que o Número de Reynolds Re é adimensional Após calculá lo é possível classificar o escoamento em laminar transicional ou turbulento conforme ilustrado pela Tabela 1 para o exemplo de um escoamento interno a um tubo cilíndrico Tabela 1 Valores do Número de Reynolds para a classificação de escoamentos internos em tubos cilíndricos Escoamento Laminar Transição Escoamento Turbulento Fonte Elaborada pela autora 2021 Os escoamentos podem ocorrer também fora de tubulações ou paredes limitantes sendo caracterizados como escoamentos externos Para um escoamento externo que ocorre em uma placa plana o Número de Reynolds pode ser obtido pela Equação 24 a seguir 24 Onde x representa a distância do início da placa plana Para um escoamento externo é possível classificar os escoamentos como laminar ou turbulento conforme a Tabela 2 a seguir 64 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Tabela 2 Valores do Número de Reynolds para a Classificação dos Escoamentos Externos a uma Placa Plana Escoamento Laminar Escoamento Turbulento Fonte Elaborada pela autora 2021 Exemplo 23 Considere um escoamento interno com um fluido de massa específica igual a e viscosidade de Se o diâmetro da tubulação é igual a e a velocidade do escoamento qual é o Número de Reynolds associado ao escoamento Este escoamento é laminar ou turbulento Resolução Como o escoamento é interno vamos utilizar a Equação 23 Já que 2000 o escoamento é laminar Exemplo 24 Dentro de uma tubulação circular escoa um fluido com massa específica de e viscosidade de A velocidade do escoamento é de A partir de qual diâmetro da tubulação o escoamento pode ser classificado como turbulento 9 Resolução Como o escoamento é interno vamos utilizar a Equação 23 Para um escoamento interno se tornar turbulento é preciso que o Número de Reynolds seja maior ou igual à 2300 Portanto a partir de Re 2300 o escoamento será turbulento 65 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Exemplo 25 Um fluido de viscosidade de e massa específica igual a escoa sobre uma placa plana com velocidade de A partir de qual posição da placa o escoamento será turbulento 9 Resolução Como o escoamento é externo vamos utilizar a Equação 24 Para um escoamento externo se tornar turbulento é preciso que o Número de Reynolds seja maior ou igual a Portanto a partir de Re o escoamento será turbulento 215 Escoamento Compressível e Incompressível Na Unidade 1 aprendemos que um fluido o qual possui massa específica constante em todos os pontos é denominado incompressível ou seja na prática significa que não ocorre variação no volume destes fluidos com a pressão Em contrapartida os fluidos 66 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA que apresentam uma variação na massa específica são chamados de compressíveis Na Unidade 2 vamos aprender a quantificar tais variações e determinar se um escoamento é compressível ou incompressível através de seu campo de velocidades e com o auxílio do operador nabla Este operador é um velho conhecido seu e está descrito pela Equação 25 25 Para descobrirmos se o escoamento será compressível ou incompressível é necessário fazer o produto escalar entre o operador nabla e o campo de velocidades conforme a Equação 26 26 A Equação 26 também pode ser escrita como a Equação 27 27 Após resolver o produto escalar entre operador nabla e o campo de velocidades é possível classificar os fluidos como compressíveis ou incompressíveis Tabela 3 Tabela 3 Classificação quanto à Compressibilidade dos Fluidos Incompressível Compressível Fonte Elaborada pela autora 2021 Exemplo 26 O escoamento de um fluido é representado pelo seguinte campo de velocidades Determine se esse fluido é compressível ou incompressível 67 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 9 Resolução O primeiro passo é determinar as velocidades e lembrando que a velocidade é a componente que multiplica a velocidade multiplica e a velocidade multiplica Agora precisamos encontrar as derivadas parciais e Da Equação 27 Como o escoamento é compressível Exemplo 27 O escoamento de um fluido é representado pelo seguinte campo de velocidades Determine se este fluido é compressível ou incompressível 9 Resolução O primeiro passo é determinar as velocidades e lembrando que a velocidade é a componente que multiplica a velocidade multiplica e a velocidade multiplica 68 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Então é necessário encontrar as derivadas parciais e Da Equação 27 Como o escoamento é incompressível 216 Escoamento Rotacional e Irrotacional Apesar de você ter visto várias formas de classificar os escoamentos até aqui existe ainda uma outra maneira de classificálos como rotacionais ou irrotacionais Como o nome mesmo sugere esta classificação diz respeito ao movimento de rotação das partículas fluidas em torno de seus próprios centros de massa Um escoamento rotacional é aquele que apresenta tensões cisalhantes as quais provocam um movimento de rotação das suas partículas Já um escoamento irrotacional é aquele que não possui rotação Mas como descobrir se um escoamento é rotacional ou irrotacional Para isso utilizaremos novamente o operador nabla descrito pela Equação 25 Porém em vez de fazer o produto escalar entre este operador e o campo de velocidades usaremos outra ferramenta conhecida o produto vetorial conforme a Equação 28 69 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 28 A Equação 28 também pode ser escrita segundo a Equação 29 29 Após resolver o produto vetorial entre operador nabla e o campo de velocidades é possível classificar os fluidos como irrotacionais ou rotacionais como observamos na Tabela 4 abaixo Tabela 4 Classificação quanto à Rotação dos Fluidos Irrotacional Rotacional Fonte Elaborada pela autora 2021 Exemplo 27 O escoamento de um fluido é representado pelo seguinte campo de velocidades Determine se esse escoamento é rotacional ou irrotacional Resolução O primeiro passo é determinar as velocidades e 70 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Agora precisamos encontrar as derivadas parciais exigidas na Equação 29 Sendo a Equação 29 Substituindo as derivadas parciais encontradas temos Como o escoamento é rotacional Exemplo 28 O escoamento de um fluido é representado pelo seguinte campo de velocidades Determine se esse escoamento é rotacional ou irrotacional 9 Resolução Neste caso o escoamento é bidimensional portanto só vão existir as componentes e Além disso as derivadas parciais em relação a z na Equação 29 também serão nulas então só precisamos calcular as derivadas parciais em relação a x e y 71 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Sendo a Equação 29 Substituindo as derivadas parciais encontradas temos Como o escoamento é irrotacional FÓRUM Você foi contratado por uma empresa como engenheiro para realizar a carac terização de um escoamento que ocorre dentro de uma tubulação Seu chefe pede que você preencha os itens da ficha a seguir Escoamento Dentro da Tubulação Alfa COMPRESSÍVEL INCOMPRESSÍVEL TURBULENTO LAMINAR PERMANENTE TRANSIENTE Como você faria para determinar se o escoamento no interior da tubulação alfa é compres sível ou incompressível turbulento ou laminar permanente ou transiente Discuta com seus colegas e com o seu tutor através de um Fórum da disciplina 72 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 22 EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA DINÂMICA DE FLUIDOS 221 Vazão e Velocidade Média Com certeza você já deve ter ouvido falar na palavra vazão Mas sabe o que é e como calcular a vazão de um escoamento A vazão volumétrica Q nada mais é do que a razão entre o volume de fluido que atravessa uma determinada seção do escoamento e o tempo t Matematicamente a vazão pode ser encontrada pela Equação 210 210 No sistema internacional de medidas a vazão é dada em mas também é comum utilizar Ls Para entender melhor este conceito vamos pensar em uma situação do seu dia a dia resolvendo o exemplo a seguir Exemplo 29 Imagine que você esteja enchendo um balde para lavar o seu carro e deseje saber a vazão de água na torneira O que é preciso para fazer este cálculo A Figura 31 traz um desenho esquemático da torneira e do balde que se deseja encher Figura 31 Exemplo 29 Fonte Elaborada pela autora 2021 73 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 9 Resolução Para calcular a vazão de água que sai da torneira é necessário um cronômetro com o qual se calcula o tempo exato que ela levará para encher o seu balde Ah e você também precisará saber o volume do balde utilizado Para resolver esta situação hipotética vamos supor que o seu balde seja de e você utilizou o cronômetro do seu celular marcando um tempo de para encher completamente o balde Aplicando a Equação 210 você consegue encontrar a vazão de água na torneira Existe outra forma de definir a vazão de um escoamento Na Figura 32A uma tubulação horizontal é apresentada em um instante inicial e o termo indica a área da seção transversal do tubo Já na Figura 32B após um intervalo de tempo uma porção do fluido deslocase a uma distância através da área É possível dizer que o volume de fluido que atravessa a seção de área A no tempo t é dado pela Equação 211 211 Figura 32 Relação entre a Vazão de um Escoamento e a Velocidade Fonte Elaborada pela autora 2021 Podemos substituir a Equação 211 na Equação da vazão 210 dando origem à Equação 212 74 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 212 A velocidade de uma partícula de fluido é dada pela razão entre a distância percorrida e o tempo necessário para percorrer esta distância neste caso conforme a Equação 213 a seguir 213 Então podemos escrever a vazão como uma função da velocidade como consta na Equação 214 214 No entanto a Equação 214 não pode ser utilizada uma vez que em um escoamento real a velocidade não é a mesma ao longo da seção Assim é necessário substituir a velocidade por uma velocidade média conforme disposto na Equação 215 215 A velocidade média na seção pode ser obtida através da Equação 216 a seguir 216 Exemplo 210 Considere o perfil de velocidades exposto na figura a seguir Qual é a vazão volumétrica que atravessa a seção transversal indicada na tubulação 75 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 33 Exemplo 210 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Para encontrar a vazão volumétrica que passa pela seção indicada na Figura 33 substituiremos a Equação 216 na Equação 215 Analisando a Figura 9 podemos identificar o elemento de área como Outra importante informação que você pode tirar da figura é que o perfil de velocidades é linear e portanto sua equação será a equação de uma reta As condições de contorno também estão na figura 76 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Substituindo as condições de contorno Então 222 Equação da Continuidade em Regime Permanente Na seção 213 desta unidade vimos o conceito de regime permanente ou estacionário Vale lembrar que para um escoamento estar em regime permanente as propriedades do fluido não podem variar com o tempo Imagine a tubulação na qual temos duas seções transversais com áreas distintas e Figura 34 Figura 34 Equação da Continuidade Fonte Elaborada pela autora 2021 77 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA A Equação da continuidade em regime permanente estabelece que as vazões de entrada e de saída são necessariamente iguais conforme descrito pela Equação 217 217 Podemos também escrever a Equação 217 em termos das massas específicas das velocidades e das áreas conforme a Equação 218 218 Na Unidade 1 e na seção 215 desta unidade vimos que um fluido é considerado incompressível quando a massa específica é constante em todos os pontos do escoamento Dessa forma se você estiver trabalhando com um fluido incompressível a Equação 218 pode ser simplificada dando origem à Equação 219 que representa a Equação da continuidade em regime permanente e para fluidos incompressíveis 219 Exemplo 211 No cano ilustrado na Figura 35 abaixo as velocidades de entrada são respectivamente e Se os diâmetros são iguais a e qual é a vazão na saída Considere o escoamento em regime permanente e o fluido incompressível Figura 35 Exemplo 211 Fonte Elaborada pela autora 2021 78 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 9 Resolução Pela equação da continuidade 217 Vimos que para um escoamento em regime permanente e incompressível podemos utilizar a Equação 219 Substituindo os valores 223 Fluidos Ideais Equação de Bernoulli Antes de iniciarmos nossa conversa acerca da famosa Equação de Bernoulli precisamos entender os tipos de energia que podem estar associados aos fluidos Na disciplina de Física I você aprendeu conceitos importantes que serão revisados aqui como a energia cinética a energia potencial o trabalho e a energia mecânica total A energia cinética está associada ao movimento de um corpo Ela é uma função da velocidade e da massa deste corpo conforme descrito pela Equação 220 220 Já a energia potencial gravitacional é um tipo de energia que um determinado corpo possui por conta da atração gravitacional da Terra Este tipo de energia é função da 79 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA posição e da massa do corpo bem como da aceleração da gravidade conforme a Equação 221 221 O trabalho é uma forma de transferência de energia através da aplicação de uma força Quando um trabalho é realizado sobre um corpo qualquer ocorre uma variação na energia cinética deste corpo Assim o trabalho é uma função da força aplicada e da distância percorrida pelo corpo conforme consta na Equação 222 a seguir 222 Aqui será mais conveniente escrever o trabalho como na Equação 223 em função da pressão e de um elemento de volume 223 Por fim a energia mecânica total associada a um fluido será dada pelo somatório entre a energia cinética a energia potencial e a energia de pressão trabalho como consta na Equação 224 224 A Equação de Bernoulli foi descrita em 1738 pelo matemático suíço Daniel Bernoulli É uma equação muito famosa e amplamente utilizada na mecânica dos fluidos e hidráulica pois é capaz de descrever o comportamento dos fluidos dentro de tubulações fazendo uma relação entre a altura a pressão e a velocidade dos fluidos Começaremos nosso estudo analisando o caso mais simples da Equação de Bernoulli o qual apresenta uma série de limitações de uso Dentre as hipóteses simplificadoras neste primeiro momento estão Fluido ideal Sem máquinas na linha Sem perdas de carga Regime permanente Sem trocas de calor 80 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Para deduzir a Equação imagine a tubulação da Figura 36 Após um instante de tempo uma massa infinitesimal atravessa a seção 1 e entra na seção 12 do tubo de forma que a energia no ponto 1 possa ser escrita como a Equação 225 Figura 36 Dedução da Equação de Bernoulli Fonte Elaborada pela autora 2021 225 Na seção 2 uma massa infinitesimal que estava na seção 12 escoa para fora do tubo após o intervalo de tempo dt de forma que a energia no ponto 2 possa ser escrita como a Equação 226 226 Devido às hipóteses assumidas em a b c d e e não há variação de energia do fluido e portanto Igualando as Equações 225 e 226 temos a Equação 227 227 Se você lembrar que a massa específica é a razão entre a massa e o volume de um fluido podemos trocar o elemento de volume da Equação 227 por um elemento de massa sobre a massa específica conforme disposto na Equação 228 81 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 228 Como o fluido é incompressível a sua massa específica será constante em todos os pontos portanto Além disso foi assumido que o regime é permanente então Fazendo estas simplificações finalmente chegamos à Equação de Bernoulli 229 229 Na Unidade 1 você aprendeu o conceito de peso específico Ele pode ser útil para deixar a Equação de Bernoulli com uma cara mais amigável Como podemos escrever a Equação 230 a seguir 230 Em termos de carga ou energia por unidade de peso a Equação de Bernoulli pode ser escrita conforme em 231 231 Onde SUGESTÃO DE VÍDEO Você pode aprender mais sobre a Equação de Bernoulli e algumas aplicações práticas através do vídeo publicado pelo canal O Físico em 260920 Acesse o link httpsyoutube4QjbYd4aqI 82 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Exemplo 212 Qual é a velocidade do jato de líquido no orifício do tanque de grandes dimensões da Figura 37 O fluido que está dentro do tanque pode ser considerado como ideal Figura 37 Exemplo 212 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Partindo da Equação 230 Como o enunciado diz que o reservatório tem grandes dimensões o nível de água no ponto 1 vai diminuir muito devagar e a velocidade pode ser aproximada para zero Além disso o tanque está aberto para a atmosfera de forma que a pressão que incide sobre o ponto 1 e sobre o ponto 2 é justamente a pressão atmosférica Como estamos falando de pressão manométrica podemos dizer que elas são iguais a zero 83 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA O ponto 1 está a 5 m do chão enquanto o ponto 2 está em cima da referência ou seja a altura do ponto 2 é igual a zero Após estas considerações a Equação de Bernoulli fica Isolando a velocidade no ponto 2 Exemplo 213 A água se move com uma velocidade de em uma tubulação com seção transversal de 1 A água desce gradualmente m enquanto a seção transversal aumenta para 25 Desprezando as perdas de carga encontre A A velocidade depois da descida B Se a pressão antes da descida ponto 1 é qual é a pressão depois da descida ponto 2 Obs Considere o peso específico da água Figura 38 Exemplo 213 Fonte Elaborada pela autora 2021 84 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 9 Resolução Podemos encontrar a velocidade depois da descida através da Equação 219 que é a equação da continuidade em regime permanente e para fluidos incompressíveis B Para encontrar a pressão na descida ponto 2 vamos utilizar a Equação de Bernoulli 230 O ponto 1 está a 7 m da linha de referência enquanto o ponto 2 está em cima dessa linha ou seja a altura do ponto 2 é igual a zero Após essa consideração a Equação de Bernoulli fica Temos todas as informações necessárias para encontrar então só precisamos substituílas na equação 85 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 224 Equação de Bernoulli com Máquinas na Linha No subitem anterior estudamos o caso mais simples possível da Equação de Bernoulli As hipóteses simplificadoras são tantas que a sua aplicação prática se torna muito limitada Um engenheiro deve compreender sistemas hidráulicos completos os quais possuam máquinas em sua tubulação Portanto devemos aprender uma forma de adicionálas à Equação de Bernoulli Para fazer isso primeiro você deve entender o que é uma máquina As máquinas são todos os dispositivos capazes de fornecer ou retirar energia na forma de trabalho a um escoamento A Figura 39 demonstra uma tubulação com uma máquina na linha Figura 39 Modificações na Dedução da Equação de Bernoulli devido à Presença de Máquinas Fonte Elaborada pela autora 2021 O primeiro tipo de máquina que aprenderemos são as bombas Uma bomba hidráulica é utilizada quando é necessário adicionar energia ao escoamento pois ela retira energia mecânica de um eixo e transfere para o fluido na forma de trabalho Essa transmissão de energia pode causar um aumento de pressão um aumento de velocidade ou até mesmo um aumento de elevação Como a bomba adiciona energia ao fluido podemos dizer que a carga de uma bomba é sempre positiva Existem também as turbinas as quais são empregadas sempre que um sistema possui bastante energia hidráulica Isso ocorre porque as turbinas retiram a energia do 86 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA escoamento fazendo uma transformação da energia hidráulica em energia mecânica na forma de torque A geometria das turbinas costuma apresentar um rotor com pás e um eixo Como a turbina retira energia do fluido podemos dizer que a carga de uma turbina é sempre negativa Para incluir as máquinas na tubulação vamos modificar a Equação 231 adicionando o termo referente à carga da máquina conforme disposto pela Equação 232 a seguir 232 Se a máquina na linha for uma bomba a Equação 232 ficará conforme a Equação 233 233 Por outro lado caso a máquina na linha seja uma turbina a Equação 232 ficará conforme a Equação 234 234 Sempre que estamos trabalhando com uma máquina será importante determinar a sua potência A potência de uma bomba é descrita pela Equação 235 enquanto a potência de uma turbina pode ser obtida através da Equação 236 a seguir 235 236 Exemplo 214 O reservatório de grandes dimensões da Figura 40 fornece água para um tanque a uma vazão de Identifique se a máquina no sistema hidráulico é uma bomba ou uma turbina e determine a sua potência sabendo que seu rendimento é de Considere que o fluido do escoamento é água e a área dos tubos é igual a 87 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 40 Exemplo 214 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Já que não sabemos se a máquina é uma bomba ou uma turbina vamos partir da Equação 232 Abrindo os termos Como o enunciado diz que o reservatório do ponto 1 tem grandes dimensões o nível de água em 1 vai diminuir muito devagar e a velocidade pode ser aproximada para zero Além disso o tanque está aberto para a atmosfera e a pressão que incide sobre o ponto 1 é justamente a pressão atmosférica Note que o ponto 2 também descarrega para atmosfera Como estamos falando de pressão manométrica podemos dizer que elas são iguais a zero 88 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Após as considerações a Equação de Bernoulli fica Para encontrar a velocidade no ponto 2 vamos utilizar a Equação 214 da vazão Agora podemos encontrar a carga da máquina e determinar se é uma bomba ou uma turbina Como a carga da máquina é positiva a máquina presente neste sistema hidráulico é uma bomba Conforme vimos anteriormente a potência de uma bomba pode ser obtida através da Equação 235 225 Fluidos Reais Equação de Bernoulli com Perda de Carga Até agora estávamos considerando o fluido como sendo ideal ou seja partimos do princípio de que não existiam perdas de energia ao longo do escoamento devido às forças viscosas Em situações reais os fluidos não apresentam este comportamento Portanto retiraremos tal consideração de modo que possamos modelar o problema o mais próximo da realidade quanto possível Na Figura 41 existe uma tubulação na qual ocorre perda de carga 89 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 41 Modificações na Dedução da Equação de Bernoulli devido à Perda de Carga Fonte Elaborada pela autora 2021 Para incluir os efeitos da perda de energia devido às forças viscosas na Equação de Bernoulli modificaremos a Equação 232 adicionando o termo referente à perda de carga entre as seções 1 e 2 conforme disposto pela Equação 237 a seguir 237 Exemplo 215 Quando a bomba da Figura 42 bombeia de água do reservatório de grandes dimensões a perda de carga total por atrito é de O escoamento é descarregado através de um bocal para a atmosfera Calcule a potência da bomba em entregue para a água sabendo que a eficiência desta bomba é de Considere o peso específico da água como 90 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 42 Exemplo 215 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Inicialmente converteremos a vazão para Depois encontramos a área da tubulação já que o problema nos forneceu o diâmetro Através da Equação 214 vamos encontrar a velocidade no ponto 2 Aplicamos a Equação de Bernoulli na sua versão mais completa visto que temos uma máquina na linha e temos também perda de carga 91 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Abrindo os termos Assim como no Exemplo 214 podemos aproximar a velocidade no ponto 1 para zero e as pressões nos pontos 1 e 2 também serão nulas Além disso aqui a altura também será zero pois o ponto 1 está em cima da linha de referência Após essas considerações a Equação de Bernoulli fica Substituindo os valores Desta forma a potência de uma bomba pode ser obtida através da Equação 235 92 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 23 FORÇAS SOBRE SUPERFÍCIES SÓLIDAS Nas seções anteriores avaliamos a energia dos escoamentos A partir de agora analisaremos outros conceitos importantes no dia a dia de um engenheiro a força e a quantidade de movimento Em algumas situações pode ser importante determinar qual é a força que um fluido exerce sobre um sólido Como você já sabe a segunda Lei de Newton estabelece que o somatório das forças é igual à massa de um corpo multiplicada por sua aceleração conforme consta na Equação 238 a seguir 238 A Equação 238 também pode ser enunciada como a variação temporal da quantidade de movimento uma vez que você aprendeu em Física I que a quantidade de movimento é Imagine o tubo de corrente da Figura 43 a seguir Em um instante de tempo uma massa infinitesimal com velocidade atravessa a seção 1 e aumenta a quantidade de movimento no fluido entre as seções 1 e 2 Neste mesmo intervalo de tempo uma massa infinitesimal com velocidade deixa o tubo diminuindo assim a quantidade de movimento entre as seções 1 e 2 Figura 43 Forças sobre Superfícies Sólidas Fonte Elaborada pela autora 2021 93 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Então é necessário fazer um balanço considerando o que está entrando no tubo de corrente e o que está saindo conforme a Equação 239 239 Assim a força resultante que age no fluido entre 1 e 2 será igual à Equação 240 240 Note que a variação da massa com o tempo representa a vazão mássica do escoamento então podemos substituir este termo por resultado na Equação 241 241 Para um regime permanente as vazões mássicas devem ser iguais em todos os pontos do escoamento portanto o que leva à Equação 242 a seguir 242 Agora você precisa analisar quais são as componentes da força resultante ou seja quais forças estão agindo no tubo de corrente Através da Figura 43 percebemos que existe uma força resultante das pressões e das forças de cisalhamento as forças de pressão nas seções 1 e 2 e o peso do fluido Assim pode ser encontrado pela Equação 243 243 Igualando as Equações 242 e 243 e isolando a força temos finalmente a Equação 244 que representa a força resultante da superfície sólida no fluido 244 Como queremos encontrar na verdade a força que o fluido faz sobre a superfície sólida utilizamos a Lei da ação e reação Vamos também desprezar o peso do fluido para facilitar os cálculos o que nos leva à Equação 245 94 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 245 Exemplo 216 Um fluido ideal de densidade entra em uma tubulação por um bocal de área com velocidade A tubulação faz uma curva de na horizontal de modo que o fluido sai do tubo com velocidade Figura 44 Desprezando efeitos da perda de carga determine a área e a força média do fluido sobre a tubulação durante a curva Figura 44 Exemplo 216 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Para determinar a área podemos utilizar a equação da continuidade Já para calcular a força sobre a tubulação o peso do fluido não entra no cálculo pois a curva é realizada na horizontal e podemos utilizar a equação 245 95 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA O ponto 2 está na saída do tubo Então a pressão manométrica neste ponto é nula ou seja Para calcular a pressão manométrica no ponto 1 utilizamos a equação de Bernoulli sem o termo de máquinas e o de perda de carga Como a curva é na horizontal e o termo da altura pode ser simplificado Isolando O último passo é lembrar que e substituir os valores Finalmente para calcular a força sobre a tubulação substituímos e todos os valores numéricos na equação 245 SUGESTÃO DE LEITURA Para ampliar o seu conhecimento em mecânica dos flui dos o que você acha de mais uma leitura complementar Uma obra interessante e que aborda os conceitos que vimos até aqui de uma forma um pouco mais complexa é o livro Introdução à Mecânica dos Fluidos escrito por Fox McDonald e Pritchard 96 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA CONSIDERAÇÕES FINAIS Na segunda unidade vimos conceitos bem mais aprofundados quando comparados à Unidade 1 A partir dela você será capaz de caracterizar um escoamento como permanente ou transiente laminar ou turbulento compressível ou incompressível rotacional ou irrotacional Também aprendemos a trabalhar com algumas das principais equações da dinâmica dos fluidos como a equação da vazão e da continuidade em regime permanente Além disso entendemos como utilizar a Equação de Bernoulli com máquinas na linha e com perdas de carga Por fim você descobriu que é possível calcular as forças que fluidos exercem sobre superfícies sólidas 97 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA EXERCÍCIO FINAL 01 Um cano de de diâmetro é responsável por conduzir água para todas as torneiras do banheiro de um restaurante O banheiro tem cinco torneiras com cada e a velocidade máxima da água no cano maior é de Assinale a alternativa que representa corretamente a velocidade de saída da água das torneiras quando todas ficarem abertas Considere a água um fluido ideal a b c d e 02 Água escoa em uma grande tubulação de seção transversal O fluido passa por uma bomba que lhe fornece uma carga de Em seguida a tubulação faz uma curva de 45 para cima e se estreita para uma seção transversal conforme ilustrado pela figura a seguir Nesta parte do escoamento o fluido sofre uma perda de carga de e sobe até sair da tubulação com velocidade Assinale a alternativa que representa corretamente a pressão manométrica antes de o fluido entrar na bomba Considere o peso específico da água como sendo 98 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA a b c d e 03 Considere o esquema e os dados do Exercício 02 acima Desprezando a parte correspondente à reação ao peso do fluido assinale a alternativa que representa corretamente a intensidade da força que o fluido sofre do ponto em que ele sai da bomba até o seu final a N b N c N d N e N 99 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA REFERÊNCIAS BISTAFA Sylvio R Mecânica dos Fluidos Noções e Aplicações São Paulo Blucher 2010 BRUNETTI Franco Mecânica dos Fluidos 2ª ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2008 ÇENGEL Y A e CIMBALA J M Mecânica dos Fluidos 1ª ed McGraw Hill Artmed 2007 FOX Robert W Pritchard Philip J Mc Donald Alan T Introdução à Mecânica dos Fluidos 8ª ed Rio de Janeiro RJ LTC 2014 MUNSON Bruce R OKIISHI Theodore H YOUNG Donald F Fundamentos da mecânica dos fluidos 4ª ed São Paulo Blucher 2004 POST Scott Mecânica dos Fluídos aplicada à computacional Editora LTC 2013 POTTER Merle Mecânica dos Fluídos São Paulo Cengage Learning 2015 YOUNG Donald F MUNSON Bruce R OKIISHI Theodore H Uma introdução concisa à mecânica dos fluídos 4ª ed São Paulo Blucher 2005 100 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 102 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA INTRODUÇÃO À UNIDADE Seja bemvindo à terceira unidade na qual trabalharemos com os conceitos mais fundamentais de hidráulica Aprenderemos de forma mais detalhada o conceito de perda de carga visto na Unidade 2 a fim de distinguirmos as perdas de carga distribuídas das perdas localizadas em uma tubulação Nesta unidade conheceremos como encontrar condutos equivalentes em série e em paralelo de forma a facilitar um projeto hidráulico que seja muito complexo e com muitas ramificações Veremos também o conceito e as aplicações de uma instalação de recalque além de dimensionar de forma econômica o diâmetro destas instalações e a potência do sistema necessários para fazer a elevação Por fim compreenderemos o Golpe de Aríete que pode ocorrer nas tubulações quando há perturbações no escoamento e aprenderemos a calcular a sobrepressão gerada por este Golpe e algumas formas de mitigar os seus efeitos 31 PERDA DE CARGA Na Unidade 2 vimos que fluidos reais perdem energia por atrito ao longo de uma tubulação A esta perda de energia foi atribuído o nome de perda de carga Fizemos importantes modificações na Equação de Bernoulli para considerar os efeitos da perda de carga Mas você parou para pensar que ainda não aprendeu a calcular a perda de carga propriamente dita Em todos os problemas que resolvemos na Unidade 2 o termo era fornecido e você simplesmente deveria adicionálo à Equação de Bernoulli para considerar as perdas Nesta unidade vamos aprender a calcular a perda de carga mas antes você precisa entender que existem dois tipos de perdas em uma tubulação as perdas de carga distribuídas e as perdas de carga localizadas As perdas de carga distribuídas também chamadas de primárias são as perdas de pressão que ocorrem ao longo da tubulação Neste caso a pressão diminui de 103 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA forma gradual à medida que o fluido escoa nas seções retas do tubo O tipo de material e as condições do tubo novo ou velho influenciam de forma direta na perda de carga distribuída As perdas de carga localizadas também chamadas de secundárias ocorrem devido à presença de acessórios no tubo como por exemplo válvulas medidores emendas curvas cotovelos conexões difusores entre outros Nesse caso a pressão é alterada de uma forma muito mais brusca quando comparada às perdas de carga distribuídas Agora que você sabe distinguir as perdas de cargas distribuídas das localizadas podemos aprender a calculálas Para encontrar a perda de carga total em uma tubulação devemos somar as parcelas das perdas distribuídas e localizadas conforme a Equação 31 a seguir 31 Na unidade anterior também vimos as definições de escoamento laminar e turbulento É importante que você tenha compreendido estes conceitos pois eles são importantíssimos na análise da perda de carga distribuída de um duto Você deve lembrar que fisicamente o número de Reynolds representa a razão entre as forças de inércia e as forças viscosas Quando as forças de inércia são controladas pelas forças viscosas o escoamento tende a ser laminar Por outro lado quando as forças de inércia são muito elevadas as forças viscosas são vencidas e o escoamento será turbulento Em um escoamento laminar a perda de carga distribuída ocorre apenas devido à viscosidade do fluido ou seja pelo atrito com as paredes da tubulação Já em um escoamento turbulento as forças de inércia são elevadas fazendo com que a rugosidade do tubo tenha uma grande contribuição na perda de carga A rugosidade do tubo representa o quanto ele é áspero e depende fortemente do material no qual ele é fabricado do seu desgaste e envelhecimento É ainda mais comum utilizar a rugosidade relativa para fazer os cálculos de perda de carga distribuída A rugosidade relativa é a razão entre a rugosidade absoluta e o diâmetro da tubulação 104 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 311 Cálculo da Perda de Carga Distribuída 3111 Equação Universal DarcyWeisbach A primeira maneira de calcular a perda de carga distribuída em uma tubulação que será apresentada aqui é através da Equação de DarcyWeisbach a qual também é conhecida como equação universal devido à sua ampla aplicabilidade Ela pode ser utilizada para qualquer escoamento seja ele laminar ou turbulento e é válida para qualquer fluido não tendo restrições de temperatura A Equação 32 a seguir demonstra esta relação 32 Onde é o coeficiente de atrito adimensional é o comprimento do tubo medido em é o diâmetro do tubo medido em é a velocidade média do fluido medida em é a aceleração da gravidade medida em Como você deve ter notado o primeiro passo para encontrar a perda de carga é obter o coeficiente de atrito adimensional Este coeficiente vai depender do Número de Reynolds e da rugosidade relativa da tubulação Se o escoamento for laminar ou seja você deve utilizar a Equação de Poiseuille 1840 33 para encontrar o coeficiente de atrito 33 Para encontrar o coeficiente de atrito em escoamentos turbulentos existe uma série de correlações na literatura Porém elas são complexas e muitas vezes não são explícitas resultando em métodos iterativos Devido à dificuldade de calcular o coeficiente de atrito explicitamente por meio de equações surgiu em 1944 o Diagrama 105 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA de Moody Este diagrama apresenta um método gráfico de encontrar o coeficiente de atrito sendo necessário conhecer o Número de Reynolds Re e a rugosidade relativa da tubulação A Tabela 5 mostra algumas rugosidades absolutas de tubos de diferentes materiais propostas por Azevedo Netto 1998 e a Figura 45 ilustra o diagrama de Moody Tabela 5 Valores de Rugosidade Absoluta Material Tubo Novo Tubo Velho Aço Galvanizado 015 a 020 46 Aço Rebitado 1 a 3 6 Aço Revestido 04 05 a 12 Aço Soldado 004 a 006 24 Chumbo liso liso CimentoAmianto 0025 Cobre ou Latão 03 a 1 Liso Concreto Bemacabado 03 a 1 Concreto Ordinário 1 a 2 Ferro Forjado 004 a 006 24 Ferro Fundido 025 a 050 3 a 5 Ferro Fundido Asfáltico 012 a 21 21 Madeira em Aduelas 02 a 1 Manilhas Cerâmicas 06 3 Vidro Liso Liso Plástico Liso Liso Para tubos lisos 001 Fonte Adaptada pela autora 2021 a partir de Azevedo Netto et al 1998 106 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 45 Diagrama de Moody Fonte Elaborada pela autora com os dados de Moody 1944 Exemplo 31 Considere um escoamento interno em um tubo de com um fluido de massa específica igual a 𝜌 800 e viscosidade de 𝜇 082 Se o diâmetro da tubulação é igual a 025 𝑚 e a velocidade do escoamento é 7 qual é a perda de carga distribuída ao longo desta tubulação 9 Resolução Como o escoamento é interno utilizaremos a Equação 23 Já que 2000 o escoamento é laminar então encontraremos o coeficiente de atrito através da Equação de Poiseuille 33 107 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Tendo todos os dados necessários aplicamos na Equação 32 de DarcyWeisbach e obteremos a perda de carga distribuída na tubulação Exemplo 32 Considere um escoamento interno em um tubo recémfabricado de aço revestido com de comprimento O fluido tem massa específica igual a 750 e viscosidade de 075 Se o diâmetro da tubulação é igual a e a velocidade do escoamento é qual é a perda de carga distribuída ao longo desta tubulação 9 Resolução Como o escoamento é interno vamos utilizar a Equação 23 Visto que o escoamento é turbulento então encontraremos o coeficiente de atrito através do diagrama de Moody Figura 45 Para utilizar o diagrama precisamos encontrar a rugosidade relativa do tubo Pela Tabela 5 encontramos que o valor da rugosidade absoluta para tubos novos de aço revestido é igual a Para encontrar a rugosidade relativa precisamos dividir a rugosidade absoluta pelo diâmetro do tubo lembrando de converter as unidades antes 108 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA A análise do diagrama deve ser feita conforme a Figura 46 a seguir primeiro é localizada a curva da rugosidade relativa curva 00001 Depois devese traçar uma reta sobre o Número de Reynolds encontrado até que ele encontre com a curva da rugosidade relativa No ponto em que a curva e a reta se cruzam você traçará uma reta na horizontal e assim encontrará o fator de atrito Figura 46 Diagrama de Moody Exemplo 32 Fonte Elaborada pela autora 2021 com os dados de Moody 1944 Após análise gráfica podemos concluir que o coeficiente de atrito é Agora temos todos os dados necessários para aplicar na Equação 32 DarcyWeisbach e obter a perda de carga distribuída na tubulação 109 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA SAIBA MAIS É importante que você saiba analisar o diagrama de Moody Se quiser conferir os seus resultados após aprender a fazer a análise gráfica pode utilizar o site httpmaleyengineeringprojectsweeblycommoodychartcalculatorhtml Mas lembrese de que na prova não terá acesso a esta calculadora ok 3112 Equação de HazenWilliams Criada por Allen Hazen e Gardner Williams a Equação de HazenWilliams 34 é uma forma alternativa de encontrar a perda de carga distribuída em tubulações Diferente da Equação universal ela possui algumas limitações de uso é válida apenas para escoamentos turbulentos e para diâmetros maiores que Para que a equação possa ser aplicada o líquido no interior do tubo precisa ser água a 20º C 34 Onde é o coeficiente de rugosidade que depende do material da tubulação e de seu estado de conservação Na Tabela 6 observamos alguns valores para o coeficiente em diferentes materiais Tabela 6 Valores para o coeficiente Material Tubo Novo Tubo Usado 10 Anos Tubo Usado 20 Anos Aço Corrugado 60 Aço Galvanizado 125 100 Aço Rebitado 110 90 80 Chumbo 130 120 120 Cimento Amianto 140 130 120 Cobre 130 135 130 110 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Concreto Bemacabado 130 Concreto Ordinário 130 120 110 Ferro Fundido Epoxi 140 130 120 Ferro Fundido Cimento 130 120 105 Latão 130 130 130 Madeira em Aduelas 120 120 110 Tijolos 100 95 90 Vidro 140 Plástico 140 135 135 Fonte Elaborada pela autora 2021 a partir dos dados de HazenWilliams Exemplo 33 Água escoa a uma vazão de 01 com temperatura ambiente em um tubo de plástico de diâmetro igual a 70 mm Sabendo que o tubo tem 6 m de comprimento calcule a perda de carga distribuída na tubulação pela Equação de Hazen Williams 9 Resolução O primeiro passo é verificar se o escoamento é turbulento pois só podemos aplicar a Equação de HazenWilliams para escoamentos turbulentos Para isso vamos utilizar a Equação 23 lembrando que como o fluido no interior do tubo é água então e Precisamos encontrar a velocidade para poder calcular o Número de Reynolds o que faremos através da Equação 214 Mas para encontrar a velocidade é necessário primeiro encontrar a área do tubo 111 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Substituindo na Equação da velocidade Finalmente o Número de Reynolds pode ser calculado Como o escoamento é turbulento e portanto podemos aplicar a Equação 34 de HazenWilliams Isso porque o fluido na tubulação é água em temperatura ambiente e o diâmetro do tubo é maior que Pela Tabela 6 o coeficiente C para tubos novos de plástico é igual a 140 então FÓRUM Refaça o Exemplo 33 acima pela Equação universal e poste sua reposta no Fórum de discussão da disciplina Discuta com seus colegas e com o seu tutor a semelhança entre os resultados encontrados através da Equação de HazenWilliams e da Equação Universal 112 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 312 Cálculo da Perda de Carga Localizada Para encontrar a perda de carga localizada em uma tubulação devemos utilizar a Equação 35 a seguir 35 Onde é o coeficiente adimensional de perda de carga singular Para encontrar o total devemos somar os de todos os elementos presentes na tubulação A Tabela 7 apresenta alguns valores do coeficiente singular para diferentes acessórios Na prática é importante priorizar os valores fornecidos pelo fabricante das peças Tabela 7 Coeficiente Adimensional de Perda de Carga Singular Acessório Acessório Cotovelo de 90º Raio Curto 09 Válvula Gaveta Aberta 02 Cotovelo de 90º Raio Longo 06 Válvula de Ângulo Aberta 50 Cotovelo de 45º 04 Válvula Globo Aberta 10 Curva de 45º 02 Válvula com Pé de Crivo 10 Tê de Passagem Direta 09 Válvula de Retenção 30 Tê de Passagem Lateral 20 Válvula de Boia 60 Captação em Reserva tório 05 Descarga em Reserva tório Turbulento 1 Fonte Adaptada pela autora 20210 a partir de Porto 2006 113 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Exemplo 34 Qual é a perda de carga total em uma tubulação recémfabricada de cobre com 1000 m de comprimento e 45 cm de diâmetro Sabendo que a água escoa com temperatura ambiente e em regime turbulento a uma vazão de 04 e que a tubulação possui 6 válvulas de gaveta abertas 1 válvula globo aberta 2 cotovelos de 45º e 3 cotovelos de 90º raio curto 9 Resolução Como o exercício pede a perda de carga total precisamos encontrar as perdas distribuídas e localizadas e somálas Primeiro vamos encontrar a perda de carga distribuída O escoamento é turbulento o diâmetro é maior que o fluido é água e a temperatura é ambiente Então podemos usar a Equação 34 de HazenWilliams Pela Tabela 6 observamos que o coeficiente de rugosidade de tubos de cobre recémfabricados é logo O primeiro passo para obter a perda de carga localizada é procurar na Tabela 7 os valores dos coeficientes adimensionais de perda singular para os acessórios presentes nesta tubulação que são a válvula de gaveta aberta 02 a válvula globo aberta 10 o cotovelo de 45º 04 e o cotovelo de 90º de raio curto 09 Com os valores encontrados você deve multiplicar cada coeficiente pelo número de peças que existem no tubo a fim de encontrar o total Agora você utilizará a Equação 35 para encontrar a perda de carga localizada 114 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA A velocidade pode ser encontrada pela Equação 214 Porém para encontrar a velocidade precisamos primeiro encontrar a área do tubo Então Assim a perda de carga localizada é Finalmente a perda de carga total pode ser encontrada através da Equação 31 32 CONDUTOS EQUIVALENTES Duas ou mais tubulações são ditas equivalentes quando transportam a mesma quantidade de fluido com a mesma perda de carga Este conceito é extremamente importante para aplicações práticas da engenharia como por exemplo fazer um projeto 115 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA hidráulico de abastecimento de uma cidade É natural você pensar que o projeto será complexo com diversas ramificações e diferentes tubos rugosidades e diâmetros variados Para facilitar esse tipo de projeto você pode empregar a equivalência dos condutos e transformar um trecho complexo e ramificado em um trecho equivalente reto e mais simples Neste estudo você aprenderá a analisar os condutos equivalentes em série e em paralelo 321 Condutos Equivalentes em Série Condutos em série são tubulações conectadas que possuem diferentes diâmetros e neste caso as vazões em cada trecho de diâmetro diferente são iguais Para entender melhor o conceito observe a Figura 47 Em alguns casos pode ser favorável substituir os condutos em série por um trecho de apenas um diâmetro desde que a nova tubulação tenha a mesma perda de carga distribuída dos trechos anteriores conforme a Equação 36 Figura 47 Condutos em Série Fonte Elaborada pela autora 36 116 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Se aplicarmos a Equação Universal 32 na Equação 36 teremos a Equação 37 37 A velocidade pode ser obtida pela Equação 214 e substituindo a fórmula da área da seção transversal de um cilindro você encontrará a Equação 38 a seguir 38 Substituindo 38 em 37 temos a Equação 39 39 Abrindo os termos chegamos a 310 310 Por fim organizando a Equação 310 é possível chegar à Equação 311 a qual pode ser usada para realizar problemas de condutos equivalentes em série 311 Você pode fazer o mesmo procedimento partindo da Equação de HazenWilliams 34 Após fazer as devidas simplificações encontrará a Equação 312 312 Exemplo 35 Uma tubulação é formada por três tubos novos de PVC O primeiro tem de diâmetro e de comprimento o segundo de diâmetro e de comprimento e o terceiro de diâmetro e de comprimento A água escoa em regime turbulento em temperatura ambiente com uma vazão de a Qual o diâmetro do conduto equivalente se o comprimento permanece a mesmo b Qual a perda de carga distribuída nesta tubulação 117 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 9 Resolução a Para resolver o exercício podemos utilizar a Equação 312 Como os três tubos são feitos do mesmo material PVC podemos cortar o coeficiente Se o comprimento permanece o mesmo Substituindo todos os valores b Para encontrar a perda de carga aplicaremos a Equação de HazenWilliams 34 118 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 322 Condutos Equivalentes em Paralelo Nos casos em que o escoamento ocorre por tubulações que são paralelas Figura 48 podemos substituir estes condutos por uma tubulação única e equivalente a qual possui perda de carga constante Nos condutos em paralelo a vazão do conduto equivalente é dada pela soma das vazões de cada tubo conforme a Equação 313 a seguir Figura 48 Condutos em Paralelo Fonte Elaborada pela autora 313 Partindo da Equação Universal 32 é possível encontrar a Equação 314 para aplicar em condutos paralelos 314 Partindo da Equação de HazenWilliams 34 temse a Equação 315 a seguir 315 Exemplo 36 Na Figura 49 há uma instalação hidráulica com condutos em paralelo Qual é a perda de carga distribuída considerando que todos os tubos são feitos do mesmo material com 119 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 49 Condutos em Paralelo do Exemplo 36 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Como foi dado o coeficiente de atrito f vamos utilizar a Equação 314 O enunciado diz que todas as tubulações são feitas do mesmo material portanto Devemos fixar um valor para D ou para L Vamos fixar um valor para L assumindo que é o comprimento do maior tubo 120 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Agora utilizaremos a Equação universal 32 para encontrar a perda de carga distribuída no conduto equivalente Mas antes precisamos encontrar a velocidade através da Equação 214 Então 33 INSTALAÇÕES DE RECALQUE Transportar fluidos de um ponto para outro em um sistema hidráulico nem sempre é uma tarefa simples Se deseja deslocar os fluidos em um sentido descendente a gravidade o ajudará e você aproveitará a energia potencial do próprio fluido para fazer este transporte Por outro lado se o sentido do deslocamento que você deseja fazer for ascendente a gravidade estará contrária ao movimento e provavelmente será necessário colocar uma máquina que forneça energia para o sistema Conforme estudamos na Unidade 2 as máquinas que fornecem energia ao escoamento são as bombas O novo conceito a ser visto diz respeito às instalações de recalque as quais consistem em sistemas que transportam fluidos de um ponto inferior para um ponto superior através de uma bomba hidráulica É possível dividir a instalação de recalque em três componentes principais a tubulação de sucção a tubulação de 121 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA recalque e o conjunto motorbomba A tubulação de sucção é toda a instalação que está antes da bomba ligando o ponto inferior até à máquina A tubulação de recalque consiste em toda instalação que está após a bomba fazendo a ligação com o ponto superior Por fim o conjunto motor bomba são as bombas presentes no sistema responsáveis por fornecer a energia ao escoamento A figura abaixo exemplifica uma instalação de recalque Figura 50 Instalação de Recalque Fonte Elaborada pela autora 2021 FÓRUM Existem diversos tipos de bombas as bombas centrífugas as rotativas as de fluxo misto as axiais as alternativas entre outras Peça para seu tutor dividir a turma em grupos e cada grupo ficará responsável por pesquisar sobre um tipo de bomba Ao final da pesquisa o grupo deverá postar e discutir sobre as informações encontradas no Fórum da disciplina 122 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 331 Dimensionamento da Instalação de Recalque Para realizar um projeto de uma instalação de recalque como engenheiro precisa se preocupar com dois aspectos o diâmetro da tubulação de recalque e a potência do sistema de elevação Veremos estes conceitos nas subseções que seguem 3311 Diâmetro Econômico da Instalação de Recalque Um bom projeto de engenharia é aquele que além de ter materiais de qualidade apresenta um orçamento econômico e viável ao cliente Para dimensionar o diâmetro da instalação de recalque é necessário levar em conta os fatores econômicos Caso você utilize um diâmetro muito pequeno de tubo a perda de carga no sistema será elevada e consequentemente vai requerer uma maior potência do conjunto motor bomba Assim você economizará com o material da tubulação porém gastará mais com energia Por outro lado se optar por um diâmetro maior as despesas de implantação serão maiores porém a perda de carga na instalação será menor Isso exigirá uma menor potência do sistema de elevação o que gera uma economia de energia Você deve estar se perguntando Como fazer a escolha ideal Para encontrar um diâmetro econômico utilizaremos a fórmula de Bresse enunciada pela Equação 316 a seguir 316 Onde é o diâmetro da tubulação de recalque é a vazão recalcada e é o fator de Bresse O fator é uma função dos custos envolvidos para implementar a tubulação de recalque e o sistema de elevação Como o fator de Bresse considera os custos ele pode oscilar de acordo com a região porém é comum utilizar Em sistemas nos quais o funcionamento da bomba não é contínuo recomenda se o uso da Fórmula de Forschheimmer demosntrada pela Equação 317 a seguir 123 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 317 Onde é o tempo em horas que a bomba fica ligada por dia Dificilmente o valor do diâmetro calculado coincidirá com a tabela de diâmetros comerciais por isso você deve escolher o que mais se aproxima do valor encontrado para a instalação de recalque Para a tubulação de sucção selecionase o diâmetro comercial imediatamente superior ao valor do diâmetro da instalação de recalque A Tabela 8 apresenta alguns valores de diâmetros comerciais e tem finalidade puramente didática Para selecionar o diâmetro comercial na prática você deve verificar a tabela de diâmetros oferecida por cada fornecedor Tabela 8 Diâmetros Comerciais Diâmetro Comercial mm Diâmetro Interno mm 20 17 25 216 32 278 40 352 50 44 60 534 75 666 85 756 110 978 Fonte Elaborada pela autora 2021 3312 Potência do Sistema de Elevação A Potência do Sistema de Elevação é calculada da mesma forma que foi exposta na Unidade 2 Por conveniência traremos a fórmula novamente nesta seção através da Equação 318 124 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 318 Onde é o peso específico é a vazão é a carga da bomba e é o rendimento Exemplo 37 Uma instalação de recalque eleva de água de um reservatório de grandes dimensões com cota de 25 m para outro reservatório de grandes dimensões com cota de 62 m Os dois reservatórios são abertos para a atmosfera e o rendimento da bomba que está nesta instalação é de 75 Sabendo que a bomba opera diariamente por encontre a Os diâmetros de recalque e de sucção b A potência da bomba 9 Resolução a Como o funcionamento da bomba não é contínuo utilizaremos a Equação 317 O diâmetro da tubulação de recalque é o que mais se aproxima do valor encontrado Analisando a Tabela 8 o diâmetro interno mais próximo é que corresponde a um diâmetro comercial de Já o diâmetro da tubulação de sucção é o diâmetro comercial imediatamente superior ao da tubulação de recalque portanto vale b Pela Equação de Bernoulli 230 125 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Como os dois reservatórios são de grandes dimensões e estão abertos para a atmosfera pressão manométrica Tendo em vista que o fluido é água o peso específico é pela Equação 318 34 GOLPE DE ARÍETE O Golpe de Aríete consiste em uma sobrepressão dentro de uma tubulação devido a uma perturbação capaz de alterar a velocidade do escoamento Esta perturbação normalmente ocorre com o fechamento ou abertura de válvulas e acionamento ou desligamento de bombas hidráulicas Para compreender melhor o fenômeno descrito acima observe a Figura 51 O fluido escoa com uma determinada velocidade até que a válvula é fechada em um intervalo de tempo muito pequeno O fechamento da válvula gera uma força no fluido que pode ser descrita pela Segunda Lei de Newton exposta na Equação 238 da segunda unidade e que por conveniência será agora reescrita através da Equação 319 126 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 51 Golpe de Aríete Fonte Elaborada pela autora 2021 319 Quando o tempo de fechamento da válvula é muito pequeno podemos dizer que ele tende a zero Se o denominador da Equação 319 tender a zero então a força tenderá a infinito juntamente com a pressão É por esse motivo que o fechamento repentino de uma válvula gera uma sobrepressão no escoamento A velocidade de propagação das ondas de pressão na tubulação é conhecida como celeridade e ela pode ser obtida por meio da fórmula de Allievi transcrita abaixo pela Equação 320 320 Onde é o coeficiente de elasticidade que depende do material da tubulação é o diâmetro do tubo e é a espessura do duto 127 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA SUGESTÃO DE VÍDEO Você pode visualizar um experimento real do Golpe de Aríete no vídeo indicado a seguir Acesse o link httpsyoutubeX9UbzcanuDk 341 Tempo de Manobra Conforme vimos anteriormente o tempo de abertura ou fechamento de uma válvula interfere diretamente na força resultante e consequentemente na pressão do escoamento e intensidade do Golpe de Aríete Podemos definir o período como sendo o tempo necessário para a onda de pressão percorrer a tubulação inteira e voltar O período é calculado através da Equação 321 a seguir 321 Onde é o comprimento do tubo e é a celeridade Sendo t o tempo de manobra e T o período é possível classificar as manobras como Manobra Rápida Brusca Manobra Lenta 342 Cálculo da Sobrepressão Para calcular a sobrepressão criada em um Golpe de Aríete primeiramente precisamos identificar o tempo de manobra ou seja se se trata de uma manobra rápida 128 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA ou lenta Para uma manobra rápida a sobrepressão é calculada por meio da Equação 322 a seguir 322 Em uma manobra lenta a sobrepressão pode ser encontrada pela Equação 323 323 Exemplo 38 Qual é a sobrepressão criada com um Golpe de Aríete em um conduto de ferro fundido que possui uma vazão de água de 009 de comprimento de diâmetro e de espessura O tempo necessário para realizar a manobra é de 9 Resolução O primeiro passo para resolver o exercício é encontrar a celeridade através da Equação 320 Agora vamos encontrar o período pela Equação 321 Como o tempo de manobra é menor que o período encontrado a manobra é considerada rápida e devemos utilizar a Equação 322 para obter a sobrepressão 129 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA A velocidade pode ser encontrada pela 214 Então a sobrepressão é dada por Exemplo 39 Calcule a sobrepressão gerada por um Golpe de Aríete em uma tubulação de cimentoamianto A vazão de água é o diâmetro da tubulação é o comprimento é e espessura de O tempo de manobra é de 9 Resolução O primeiro passo para resolver o exercício é encontrar a celeridade através da Equação 320 Depois encontrase o período pela Equação 321 130 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Como o tempo de manobra é maior que o período encontrado a manobra é considerada lenta e devemos utilizar a Equação 323 para obter a sobrepressão A velocidade pode ser encontrada pela 214 Assim a sobrepressão é dada por 343 Mitigando os Efeitos do Golpe de Aríete Se você analisar os resultados obtidos nos Exemplos 38 e 39 verá uma grande diferença nas sobrepressões encontradas É fato que os dados dos problemas são diferentes o que interfere na resposta No entanto o fechamento lento das válvulas em uma instalação hidráulica resultará em uma manobra lenta o que diminuirá a sobrepressão causada pelo Golpe de Aríete Outra forma de amenizar os efeitos do Golpe de Aríete nos condutos é a instalação de válvulas de alívio e a limitação da velocidade do escoamento uma vez que a sobrepressão é função da velocidade 131 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA SUGESTÃO DE LEITURA Para ampliar o seu conhecimento em hidráu lica temos a sugestão de uma leitura comple mentar Uma obra interessante e que aborda os conceitos que vimos até aqui é o livro Hidráulica Básica escrito por Rodrigo de Melo Porto Boa leitura 132 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA CONSIDERAÇÕES FINAIS Na terceira unidade de nosso estudo vimos os conceitos mais fundamentais de hidráulica Agora você é capaz de distinguir as perdas de carga distribuídas das perdas de carga localizadas que ocorrem em uma tubulação Aprendemos a simplificar sistemas hidráulicos complexos e com ramificações através do método dos condutos equivalentes e também a dimensionar economicamente o diâmetro e a potência de uma instalação de recalque Por fim você descobriu os efeitos do Golpe de Aríete nas tubulações e é capaz de calcular a sobrepressão gerada por este Golpe Até a próxima e última unidade 133 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA EXERCÍCIO FINAL 01 Considere a instalação hidráulica representada pela figura abaixo Sabendo que a vazão de água é de 10 Ls e que o diâmetro da tubulação de latão recém fabricada é de assinale a alternativa que representa corretamente a perda de carga total na instalação Obs1 A tabela apresenta os acessórios presentes nesta instalação Obs2 A água escoa em regime turbulento e em temperatura ambiente Acessório Quantidade Captação em Reservatório 1 Cotovelo 90º Raio Curto 2 Cotovelo 45º 2 Válvula Gaveta Aberta 3 Descarga em Reservatório 1 a b c d e 02 A água escoa paralelamente em dois tubos conforme ilustra a figura Sabendo que todos os tubos são feitos do mesmo material o qual possui assinale a alternativa que representa corretamente a perda de carga distribuída na instalação 134 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA a b c d e 03 Quando uma válvula é fechada criase uma sobrepressão causada pelo Golpe de Aríete em um tubo de aço O duto possui uma vazão de água de 005 de comprimento de diâmetro e de espessura Sabendo que o tempo necessário para realizar a manobra é de assinale a alternativa que representa corretamente a sobrepressão gerada pelo Golpe a b c d e 135 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA REFERÊNCIAS AZEVEDO NETTO J M FERNANDEZ M F ARAUJO R ITO E A Manual de hidráulica 8ed São Paulo Edgard Blücher 1998 669p BAPTISTA Márcio Benedito CIRILO José Almir COELHO Márcia Maria Lara Pinto MASCARENHAS Flávio César Borba Hidráulica aplicada 2ª Ed ABRH Porto Alegre 2014 BRUNETTI Franco Mecânica dos Fluidos 2ª ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2008 MOODY Lewis F Friction factors for pipe flow Trans Asme v 66 p 671684 1944 PORTO Rodrigo de Melo Hidráulica básica 4ª ed EESCUSP São Carlos 2006 ZANINI José Renato Hidráulica Teoria e Exercícios Jaboticabal Universidade Estadual Paulista 2016 136 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA UNIDADE4 ESCOAMENTO EM CANAIS ABERTOS 138 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA INTRODUÇÃO À UNIDADE Seja bemvindo à última unidade desta disciplina Nela estudaremos os escoamentos em superfícies livres as principais geometrias dos canais abertos e aprenderemos a classificar os escoamentos considerando o tempo a posição espacial e o Número de Froude Na Unidade 4 você conhecerá como dimensionar a velocidade e a vazão de canais em regime permanente e uniforme além de ver o conceito de velocidade e vazão máxima em canais circulares Por fim seremos instruídos a dimensionar o remanso que ocorre em canais em regime permanente e variado e também veremos as principais curvas de remanso e as suas aplicações 41 ESCOAMENTO EM SUPERFÍCIES LIVRES Os escoamentos em superfícies livres ou em condutos livres são aqueles cuja pressão atuante é a pressão atmosférica Podemos ainda classificar estes condutos como naturais ou artificiais sendo os primeiros os rios os córregos os riachos entre outros condutos de formação natural Por outro lado os condutos artificiais são obras do homem como calhas sistemas de esgoto aquedutos etc Na unidade anterior trabalhamos com condutos internos Nesta unidade compreenderemos que é mais complexo dimensionar um conduto livre de formação natural Isso ocorre principalmente porque a rugosidade dos condutos internos é um valor bem definido o qual vem da produção industrial dada pelos fornecedores A rugosidade dos canais depende do solo e não passa pelo crivo industrial 139 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 411 Geometria dos Canais Os canais podem assumir diferentes geometrias retangulares circulares triangulares trapezoidais e em U Para descrever completamente a seção transversal de um canal é necessário conhecer alguns parâmetros A figura abaixo ilustra estes conceitos Figura 52 Geometria Transversal de um Canal Fonte Elaborada pela autora 2021 Onde é a largura superficial é a largura da base é a área molhada é o perímetro molhado é o ângulo de inclinação das paredes do canal é a profundidade hidráulica dada pela Equação 41 41 é o talude dado pela Equação 42 42 140 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Também é importante compreender os elementos geométricos longitudinais de um canal Figura 53 Geometria Longitudinal de um Canal Fonte Elaborada pela autora 2021 Onde é a inclinação de fundo do canal dada pela Equação 43 e J é a inclinação de superfície do canal dada pela Equação 44 43 44 Dentre todos os parâmetros geométricos de um canal talvez o mais relevante seja o raio hidráulico o qual relaciona a área preenchida e o perímetro molhado pela água Sua fórmula geral é apresentada pela Equação 45 a seguir 45 Exemplo 41 Qual é o raio hidráulico dos canais a e b na Figura 54 141 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 54 Exemplo 41 Fonte Elaborada pela autora 9 Resolução a Em a temos um canal circular a área da seção transversal do círculo é dada por O perímetro da circunferência é dado por Substituindo a área A e o perímetro molhado P na Equação 45 do raio hidráulico b Em b temos um canal retangular a área do retângulo é dada por O perímetro molhado do retângulo é dado pela soma de todos os seus lados 142 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Substituindo a área A e o perímetro molhado P na Equação 45 do raio hidráulico Exemplo 42 Qual é o raio hidráulico do canal trapezoidal livre ilustrado pela Figura 55 sabendo que e o ângulo de inclinação é Figura 55 Canal Trapezoidal Livre Exemplo 42 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Para resolver este exercício vamos dividir o trapézio em três partes dois triângulos e um retângulo Figura 56 Figura 56 Trapézio Exemplo 42 Fonte Elaborada pela autora 2021 143 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA A princípio analisaremos o triângulo 3 ilustrado na Figura 57 Figura 57 Triângulo Exemplo 42 Fonte Elaborada pela autora 2021 Para descobrir o cateto oposto ao ângulo podemos aplicar a seguinte relação trigonométrica Onde o cateto adjacente ao ângulo é igual a Agora que possuímos todos os lados do triângulo podemos encontrar a área A área do triângulo 1 será a mesma do triângulo 3 então podemos partir para a análise do retângulo conforme a Figura 58 Figura 58 Retângulo Exemplo 42 Fonte Elaborada pela autora 2021 144 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA A área de um retângulo é dada por Então a área total será dada pela soma da área dos triângulos 1 e 3 e do retângulo 2 Para encontrar o raio hidráulico do canal ainda precisamos do perímetro molhado Analisaremos novamente o triângulo 3 Figura 59 Figura 59 Triângulo Exemplo 42 Fonte Elaborada pela autora 2021 Para encontrar a hipotenusa podemos aplicar a seguinte relação trigonométrica Assim pela Figura 56 o perímetro molhado será dado por Por fim o raio hidráulico pode ser obtido pela Equação 45 145 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA SUGESTÃO DE VÍDEO Os canais livres podem assumir diferentes formas geométricas Você lembra como calcular a área e o perímetro de todas as figuras geométricas básicas Talvez não né Faz tanto tempo mas tudo bem Para refrescar a sua memória que tal assistir ao vídeo publicado em 13102017 pelo canal Descomplica httpsyoutubeVxNj6Nuhq1o 412 Classificação dos Escoamentos Os escoamentos em canais abertos podem ser classificados em relação ao tempo ao espaço ou ainda ao Número de Froude Em relação ao tempo os escoamentos podem ser classificados como permanentes ou estacionários ou transientes ou não permanentes No primeiro caso o escoamento mantém a vazão a velocidade a pressão e a massa específica constantes ao longo do tempo Já no caso dos escoamentos transientes todas essas características variam com o passar do tempo em um ponto de análise Quanto ao espaço os escoamentos em canais abertos podem ser classificados como uniformes ou variados Nos escoamentos uniformes a velocidade média é constante em todos os pontos ao longo do escoamento em um determinado instante de análise e não há variação na linha dágua Por outro lado nos escoamentos variados a velocidade média e a linha dágua variam no escoamento em um mesmo instante de tempo Os escoamentos variados ainda podem ser subdivididos como gradualmente 146 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA variados ou rapidamente variados subclassificação que depende se a mudança na velocidade média ocorre de forma suave ou brusca Caso essas alterações sejam repentinas os escoamentos são ditos rapidamente variados por exemplo os ressaltos hidráulicos Já os escoamentos gradualmente variados aparecem quando a modificação na geometria da linha dágua e da velocidade ocorrem de maneira progressiva como por exemplo os remansos A Figura 60 traz um breve esquema sobre a classificação dos escoamentos em canais discutidos até aqui Figura 60 Classificação dos Escoamentos em Canais Fonte Elaborada pela autora 2021 Para entender a classificação dos escoamentos em relação ao Número de Froude é necessário primeiramente compreender o seu significado físico O Número de Froude recebe este nome em homenagem ao engenheiro naval William Froude que foi o responsável por seu desenvolvimento O Número de Froude é um adimensional que expressa a relação entre a inércia do fluxo e o campo externo sendo escrito conforme consta na Equação 46 46 A tabela a seguir apresenta a caracterização do escoamento quanto ao Número de Froude 147 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Tabela 9 Classificação dos escoamentos quanto ao Número de Froude Crítico Supercrítico Subcrítico Nº de Froude Profundidade Velocidade Inclinação O subíndice c representa os parâmetros críticos Fonte Elaborada pela autora 2021 Normalmente a transição entre um regime supercrítico para um regime subcrítico não é suave uma vez que cada um destes tipos de escoamento possui características bem distintas de velocidades e de profundidades É comum que ocorra um ressalto hidráulico entre a transição de um escoamento supercrítico para um subcrítico como observamos na Figura 61 Figura 61 Ressalto Hidráulico Fonte Elaborada pela autora 2021 Exemplo 43 Um canal retangular tem de largura e de altura A água escoa pelo canal a uma vazão de Este escoamento é crítico supercrítico ou subcrítico 148 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 9 Resolução Para determinar se escoamento é crítico supercrítico ou subcrítico precisamos analisar o Número de Froude descrito pela Equação 46 Para encontrar a velocidade utilizaremos a Equação 214 Então substituindo a profundidade hidráulica na Equação 46 Como o escoamento neste canal retangular é subcrítico 413 Profundidade Crítica em Canais Retangulares Como vimos anteriormente um escoamento crítico é aquele em que o Número de Froude é igual a um conforme a Equação 47 Partindo desta hipótese podemos encontrar alguns parâmetros importantes para o dimensionamento de canais como por exemplo a profundidade crítica 47 Isolando a velocidade podemos chegar à Equação 48 48 149 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Pela Equação 214 podemos substituir a velocidade pela vazão sobre a área resultando na Equação 49 49 Isolando a profundidade crítica temos a Equação 410 410 Em canais retangulares a área da seção transversal é dada pela base multiplicada pela altura Substituindo a relação para a área e fazendo algumas operações algébricas é possível chegar à Equação 411 utilizada para encontrar a profundidade crítica 411 Vale lembrar que a Equação 411 acima só é valida para canais retangulares ok Exemplo 44 Qual é a profundidade crítica de um canal retangular que possui a largura da base igual a sabendo que a água escoa por ele a uma vazão de 9 Resolução Comodeduzimos a Equação 411 para encontrar a profundidade crítica em canais retangulares basta aplicar os dados na fórmula 150 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 42 ESCOAMENTO PERMANENTE E UNIFORME Uma vez que você já sabe classificar um escoamento nesta seção trabalharemos com algumas equações válidas apenas para o dimensionamento de escoamentos que são permanentes e uniformes 421 Velocidade e Vazão de Escoamento em Canais Uma importante equação para o dimensionamento de canais abertos é a Fórmula de Manning 412 Esta relação foi proposta em 1889 e até hoje ainda é amplamente utilizada para fazer o cálculo da velocidade e da vazão de escoamentos livres os quais ocorrem em regime permanente e uniforme 412 Onde é o raio hidráulico é a inclinação de fundo do canal é o coeficiente empírico de Manning A Fórmula de Manning também pode ser escrita em termos da vazão do escoamento conforme descrito pela Equação 413 a seguir 413 O coeficiente de Manning é tabelado e varia de acordo com a rugosidade do canal Em geral quando a rugosidade é muito alta os valores do coeficiente tendem a ser elevados Por outro lado se as paredes dos canais forem mais lisas os valores para os coeficientes de Manning serão mais baixos o que pode ser observado na tabela a seguir 151 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA demonstrando alguns valores para o coeficiente de Manning Tabela 10 Valores para o Coeficiente de Manning Condição das Paredes do Canal Material Excelente Boa Regular Ruim Ferro Fundido Sem Revestimento 0012 0013 0014 0015 Ferro Galvanizado 0013 0014 0015 0017 Bronze ou Vidro 0009 0010 0011 0013 Barro Vitrificado 0011 0013 0015 0017 Tijolos Com Arga massa 0012 0013 0015 0017 Cimento Alisado 0010 0011 0012 0013 Aduelas de Madeira 0010 0011 0012 0013 Canais de terra Retilí neos e Uniformes 0017 0020 0023 0025 Canais em Rochas Irregulares 0035 0040 0045 Canais Curvilíneos e Lamosos 0023 0025 0028 0030 Fonte Adaptada pela autora 2021 a partir de Porto 2006 FÓRUM Que tal interagir com os seus colegas no Fórum de discussão da disciplina Os canais podem ser fabricados de diversos materiais e a Tabela 10 enfatizou isso Mas você sabia que muitos canais são pontos turísticos É o caso dos arcos da Lapa do aque duto dos milagres do arco do triunfo dentre muitos outros Faça uma pesquisa na internet sobre os canais e aquedutos que viraram pontos turísticos mundiais e poste no Fórum da disciplina para gerar uma discussão 152 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Exemplo 45 A Figura 62 a seguir possui um canal trapezoidal construído com paredes de barro vitrificado em bom estado Sabendo que a inclinação do fundo do canal é 000058 qual é a velocidade e a vazão do escoamento Figura 62 Canal Trapezoidal Exemplo 45 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução O primeiro passo para resolver o exercício é encontrar o raio hidráulico Para encontrar a área precisamos dividir a Figura 62 em três partes como expõe a Figura 63 Figura 63 Divisão Exemplo 45 Fonte Elaborada pela autora 2021 Inicialmente analisaremos o triângulo 3 conforme ilustrado na Figura 64 153 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 64 Triângulo Exemplo 45 Fonte Elaborada pela autora 2021 A área de um triângulo é dada por A área do triângulo 1 será a mesma do triângulo 3 então podemos partir para a análise do retângulo Figura 65 Retângulo Exemplo 45 Fonte Elaborada pela autora 2021 A área de um retângulo é dada por Então a área total será dada pela soma da área dos triângulos 1 e 3 e do retângulo 2 154 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Para encontrar o raio hidráulico do canal ainda precisamos do perímetro molhado Analisaremos novamente o triângulo 3 Figura 66 Triângulo 3 Exemplo 45 Fonte Elaborada pela autora 2021 Para encontrar a hipotenusa podemos utilizar um velho conhecido seu o Teorema de Pitágoras Então pela Figura 62 o perímetro molhado será dado por O raio hidráulico pode ser obtido pela Equação 45 Agora finalmente podemos encontrar a velocidade através da Fórmula de Manning 412 155 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA As paredes do tubo são feitas de barro vitrificado e estão em um bom estado de conservação De acordo com a Tabela 10 o coeficiente de Manning neste caso é Substituindo os valores Para encontrar a vazão basta multiplicar a velocidade encontrada pela área conforme a Equação 214 422 Canais Circulares Os canais circulares merecem um pouco mais de atenção pois a forma de calcular a sua área molhada e o seu raio hidráulico é mais complexa A Figura 67 ilustra a lâmina dágua de um canal circular Figura 67 Lâmina dágua de um Canal Circular Fonte Elaborada pela autora 2021 156 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Você deve ter percebido pela figura acima que a lâmina dagua em um canal circular é a soma do raio do canal com o parâmetro de altura Isso pode ser expresso matematicamente pela Equação 414 414 Se dermos um zoom na figura anterior podemos analisar o ângulo de preenchimento do canal Figura 68 Figura 68 Ângulo de preenchimento de um Canal Circular Fonte Elaborada pela autora 2021 Para determinar o ângulo basta aplicar a simples relação trigonométrica da Equação 415 415 Organizando os termos da equação acima é possível isolar o ângulo e encontrar a Equação 416 a seguir 416 Esse ângulo é extremamente importante para o cálculo tanto da área preenchida quanto do perímetro molhado em um canal circular pois indica o nível da lâmina dágua Uma vez que sabemos encontrar o ângulo de preenchimento podemos obter a área preenchida de um canal circular através da Equação 417 e o perímetro molhado por meio da Equação 418 417 157 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 418 Exemplo 46 Um canal circular de tijolos com argamassa em excelente estado possui um diâmetro de e uma inclinação de fundo de Sabendo que a lâmina dágua deste canal é de determine a velocidade em que a água está escoando no canal 9 Resolução O primeiro passo para resolver o problema é encontrar o parâmetro de altura Podemos fazer isso através da Equação 414 Depois podemos encontrar o ângulo de preenchimento através da Equação 416 Com o ângulo é possível encontrar a área preenchida por meio da Equação 417 O perímetro molhado é dado pela Equação 418 Com a área preenchida e o perímetro molhado encontrase o raio hidráulico pela Equação 45 158 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Finalmente podemos descobrir a velocidade através da Fórmula de Manning 412 As paredes do tubo são feitas de tijolos com argamassa e estão em um estado excelente de conservação Segundo a Tabela 10 o coeficiente de Manning neste caso é Substituindo os valores 4221 Velocidade e Vazão Máxima É possível ainda estabelecer quando a velocidade e vazão serão máximas em um canal circular pela porcentagem de preenchimento do duto A velocidade máxima ocorre quando o canal está 81 preenchido A Equação 419 apresenta a relação matemática para a lâmina dágua que resultará na velocidade máxima do canal 419 Já a vazão máxima acontece quando o canal circular está 95 preenchido A Equação 420 apresenta a relação matemática para a lâmina dágua que resultará na vazão máxima do canal 420 159 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Exemplo 47 Um canal circular de de diâmetro foi instalado para abastecer um bairro de uma pequena cidade Sabendo as paredes do canal são feitas de bronze e que elas se encontram em um estado regular de conservação qual é a velocidade máxima que a água poderá atingir se a inclinação de fundo é aproximadamente 9 Resolução O primeiro passo para resolver este problema é encontrar a lâmina dágua para qual a velocidade da água será máxima Podemos fazer isso através da Equação 419 Agora vamos encontrar o parâmetro de altura pela Equação 414 Podemos encontrar o ângulo de preenchimento através da Equação 416 Com o ângulo é possível encontrar a área preenchida por meio da Equação 417 O perímetro molhado é dado pela Equação 418 160 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Com a área preenchida e o perímetro molhado podemos encontrar o raio hidráulico através da Equação 45 Finalmente podemos encontrar a velocidade máxima através da Fórmula de Manning 412 As paredes do tubo são feitas bronze e estão em um estado regular de conservação De acordo com a Tabela 10 o coeficiente de Manning neste caso é Substituindo os valores 43 ESCOAMENTO GRADUALMENTE VARIADO Aprendemos a calcular os parâmetros associados aos escoamentos permanentes e uniformes aqueles em que não existe alteração na velocidade e nem na linha dágua Conforme discutimos anteriormente além dos escoamentos uniformes é possível ainda existir em um canal os escoamentos variados aqueles em que existe uma alteração na velocidade e na linha dágua do escoamento Nesta seção trabalharemos apenas com os escoamentos gradualmente variados 161 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA SUGESTÃO DE VÍDEO Para entender na prática o que é um escoamento gradualmente variado assista ao vídeo experimental publicado em 09052014 Acesse httpsyoutubeun8rl5xU0I 431 Remanso O remanso é um importante fenômeno hidráulico caracterizado como gradualmente variado Ele aparece quando existe uma perturbação no escoamento como por exemplo a instalação de uma barragem Devido à presença da barragem no escoamento o nível de água se eleva gradualmente o que faz com que o regime de fluxo deixe de ser uniforme e passe a ser variado A Figura 69 demonstra um remanso decorrente da instalação de uma barragem Figura 69 Remanso Fonte Elaborada pela autora 2021 162 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Matematicamente o remanso pode ser obtido através da Equação 421 a seguir 421 Onde é a energia no ponto 1 é a energia no ponto 2 é a inclinação do fundo no canal é a inclinação da superfície do canal Como os escoamentos em canais livres são por definição aqueles em que a pressão atuante é a pressão atmosférica as cargas nos pontos 1 e 2 podem ser encontradas através da Equação 422 422 Já a inclinação da superfície do canal pode ser obtida por meio da Equação 423 em função da vazão do escoamento ou pela Equação 424 em função da velocidade 423 424 CUIDADO O traço em cima do raio hidráulico da área e da velocidade indica um valor médio entre dois pontos 163 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 432 Curvas de Remanso O remanso hidráulico em um canal pode ser classificado de acordo com as suas curvas de inclinação Existem as curvas do tipo M S C H e A 9 Curvas M São as curvas de remanso que se formam em canais de inclinação muito suave ou seja a inclinação do canal é menor que a inclinação crítica Dentro do grupo de curvas M ainda é possível fazer a subdivisão que é exposta pela Tabela 11 Tabela 11 Curvas de remanso do tipo M Curva Profundidade Escoamento M1 Subcrítico M2 Subcrítico M3 Supercrítico representa a altura nominal e a altura crítica Fonte Elaborada pela autora 2021 Figura 70 Curvas de Remanso do Tipo M Fonte Elaborada pela autora 2021 164 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA 9 Curvas S São as curvas de remanso formadas em canais de inclinação severa ou seja a inclinação do canal é maior do que a inclinação crítica Dentro do grupo de curvas S também é possível fazer uma subdivisão Tabela 12 Tabela 12 Curvas de Remanso do Tipo S Curva Profundidade Escoamento S1 Subcrítico S2 Subcrítico S3 Supercrítico Fonte Elaborada pela autora 2021 Figura 71 Curvas de Remanso do Tipo S Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Curvas C São as curvas de remanso que se formam em canais de inclinação crítica ou seja a inclinação do canal é igual à inclinação crítica Dentro do grupo de curvas C existem as subdivisões descritas pela Tabela 13 165 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Tabela 13 Curvas de Remanso do Tipo C Curva Profundidade Escoamento C1 Subcrítico C3 Supercrítico Fonte Elaborado pela autora 2021 Figura 72 Curvas de Remanso do Tipo C Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Curvas H São as curvas de remanso que se formam em canais de inclinação nula ou seja canais horizontais Dentro do grupo de curvas H existem as subdivisões apresentadas pela Tabela 14 Tabela 14 Curvas de Remanso do Tipo H Curva Profundidade Escoamento H2 Subcrítico H3 Supercrítico Fonte Elaborado pela autora 2021 166 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 73 Curvas de Remanso do Tipo H Fonte Elaborada pela autora 2021 Existem ainda as curvas tipo A que são as curvas de remanso formadas em canais com declividade adversa ou seja menores do que zero as quais não serão discutidas neste estudo Exemplo 48 A Figura 74 expõe um canal retangular feito de cimento alisado em excelente estado que possui uma inclinação de fundo de e largura de O canal está em regime uniforme e tem uma profundidade nominal de Qual é o remanso causado por uma barragem de de altura Figura 74 Canal Retangular Exemplo 48 Fonte Elaborada pela autora 2021 9 Resolução Iniciaremos selecionando dois pontos no canal Figura 75 167 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Figura 75 Pontos no Canal Exemplo 48 Fonte Elaborada pela autora 2021 Primeiramente analisaremos o ponto 2 onde o escoamento é uniforme A área do canal no ponto 2 é dada por O perímetro molhado no ponto 2 é dado por Então o raio hidráulico pode ser obtido pela Equação 45 Vamos encontrar a vazão do canal pela Equação 413 As paredes do tubo são feitas de cimento alisado e estão em um estado excelente de conservação De acordo com a Tabela 10 o coeficiente de Manning neste caso é Substituindo os valores 168 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Para começar a analisar o ponto 1 é necessário encontrar a profundidade crítica através da Equação 411 A área do canal no ponto 1 é dada por O perímetro molhado no ponto 1 é dado por Logo o raio hidráulico pode ser obtido pela Equação 45 Agora que temos o raio hidráulico nos dois pontos podemos encontrar o raio hidráulico médio 169 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Como possuímos a vazão no canal e as áreas encontraremos as velocidades nos pontos 1 e 2 Então a média das velocidades será dada por Tendo todos os valores necessários para encontrar a inclinação de superfície do canal através da Equação 424 O remanso é dado pela Equação 421 a seguir Ainda precisamos encontrar as cargas nos pontos 1 e 2 Como os canais são livres portanto abertos para atmosfera a carga dos pontos 1 e 2 é dada por 170 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA Finalmente o remanso será IMPORTANTE O valor negativo encontrado para o remanso no Exemplo 48 indica que o valor foi calculado ao contrário 171 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA CONSIDERAÇÕES FINAIS Nesta quarta e última unidade da disciplina de Mecânica dos Fluidos e Hidráulica vimos os principais conceitos associados aos escoamentos em superfícies livres Compreendemos os parâmetros geométricos dos canais e classificamos os escoamentos em relação ao tempo à posição e ao Número de Froude Você aprendeu a dimensionar a velocidade e a vazão de canais em regime permanente e uniforme e viu importantes conceitos como a velocidade e a vazão máxima de canais circulares Além disso estudamos como dimensionar o remanso ocorrido em canais em regime permanente e variado e as principais curvas de remanso e as suas aplicações Durante as quatro unidades deste caderno você mergulhou no mundo da Mecânica dos Fluidos e Hidráulica e com todos os conhecimentos aqui adquiridos você está um passo mais próximo de sua formatura 172 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA EXERCÍCIO FINAL 01 A figura a seguir apresenta um canal trapezoidal construído com paredes de ferro galvanizado em bom estado Sabendo que a inclinação do fundo do canal é 000024 𝑚𝑚 assinale a alternativa que representa corretamente a velocidade e a vazão do escoamento respectivamente a e b e c e d e e e 02 Considere um canal circular de 𝑚 de diâmetro construído em ferro fundido sem revestimento Sabendo que as paredes deste canal se encontram em um estado ruim de conservação assinale a alternativa que representa corretamente a velocidade máxima a qual a água poderá atingir se a inclinação de fundo é aproximadamente 00075 𝑚𝑚 a b 173 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA c d e 03 A figura apresenta um canal retangular feito de barro vitrificado em excelente estado que possui uma inclinação de fundo de 000031 𝑚𝑚 e largura de 3 𝑚 O canal está em regime uniforme e tem uma profundidade nominal de 17 𝑚 Assinale a alternativa que representa corretamente o remanso causado por uma barragem de 12 𝑚 de altura a b c d e 174 MECÂNICA DOS FLUIDOS E HIDRÁULICA REFERÊNCIAS BAPTISTA Márcio Benedito CIRILO José Almir COELHO Márcia Maria Lara Pinto MASCARENHAS Flávio César Borba Hidráulica aplicada 2ª Ed ABRH Porto Alegre 2014 BRUNETTI Franco Mecânica dos Fluidos 2ª ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2008 PORTO Rodrigo de Melo Hidráulica básica 4ª ed EESCUSP São Carlos 2006 ZANINI José Renato Hidráulica Teoria e Exercícios Jaboticabal Universidade Estadual Paulista 2016 GUEDES Hugo Alexandre Soares Hidráulica Pelotas Universidade Federal de Pelotas 2018