Slide Aulas Mecflu-2022 1

5.3Teorema de Buckingham Se um fenômeno é regido por n grandezas e cada uma delas tem expressão dimensional em termos de p grandezas fundamentais, então o fenômeno pode ser representado por (n - p) grupos adimensionais e independentes entre si, denominados grupos π. As n grandezas primárias (a) são representadas em termos de p grandezas fundamentais (d): ai = d1x1i d2x2i ... dkxki ... dpxpi sendo xki = expoente da k-ésima grandeza fundamental na expressão da i-ésima grandeza primária; Substituindo as dimensões na expressão implícita do Teorema de Bridgman C a1c1 a2c2 ... ancn = 1 resulta C (d1x11 ... dpxp1)c1 ... (d1x1n ... dpxpn)cn = d10 ... dp0 ou C d1x1c1+x1c2+...+x1cn ... dpxpc1+x2c2+...+xpncn = d10 ... dp0 e na forma de sistema de equações: se n > p o sistema é indeterminado e sabe-se que é possível representar p incógnitas ci em função das n - p restantes, se o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas xji for diferente de zero Então, além da representação em termos de f(a1,a2,...,an) ... podemos trabalhar com F(π1,π2,...,πn-p), o que, ... além de reduzir o número de incógnitas, permite a investigação experimental sobre grandezas adimensionais e independentes entre si, normalmente com significados físicos característicos. MECÂNICA DOS FLUIDOS / HIDRÁULICA – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 83 - As expressões dimensionais de cada grandeza são as seguintes: índice 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 gradeza p v l λ η ρ μ σ ε g M 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 L -1 1 1 1 -1 -3 -1 0 -1 1 T -2 -1 0 0 0 -1 -2 -2 -2 -2 onde tem-se um total de p = 3 grandezas fundamentais Pelo teorema de Buckingham, a representação do fenômeno f(p,v,l,λ,η,ρ,μ,σ,ε,g) pode ser obtida de n - p grupos adimensionais e independentes entre si na forma F(π1,π2,π3,π4,π5,π6,π7). A montagem dos grupos adimensionais é obtida na aplicação da forma implícita do teorema de Bridgman: C pc1 vc2 lc3 λc4 ηc5 ρc6 μc7 σc8 εc9 gc10 = 1, em que substituídas as dimensões resulta M c1+c6+c7+c8+c9 L–c1+c2+c3+c4+c5–3c6–c7–c9+c10 T–2c1–c2–c7–2c8–2c9–2c10 = M0L0T0, de onde obtém-se o sistema c1 + c6 + c7 + c8 + c9 = 0 -c1 + c2 + c3 + c4 + c5 - 3c6 - c7 - c9 + c10 = 0, indeterminado, com infinitas soluções. -2c1 - c2 - c7 - 2c8 - 2c9 - 2c10 = 0 No entanto, pode-se representar p = 3 incógnitas em função das n - p = 7 restantes, às quais serão atribuídos valores constantes em cada determinação. O sistema resultante será singular se o determinante dos coeficientes das incógnitas escolhidas resultar nulo: | 0 0 1 | | 1 1 -3 | = 3 ≠ 0 então o sistema é singular. |-1 0 0 | Escolhendo c2, c3 e c6 para serem calculadas, como Seja um campo de escoamento 𝑉̅, com linhas de corrente no instante t observadas a partir da referência; imerso no escoamento o sistema está representado nos instantes t e t+Δt; o volume que o sistema em t ocupa é um volume de controle, fixo em relação à referência, portanto, ... sistema(t) ≡ fluido contido no VC. Figura 4-1: Transporte de propriedade O que buscamos encontrar é a razão de variação de uma propriedade extensiva genérica N no instante t, ou seja, MECÂNICA DOS FLUIDOS / HIDRÁULICA – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 54 - A partir da expressão do TTR \(\frac{DN}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t}\int\int\int_{VC}\rho d\nu + \int\int_{SC}\eta (\rho \overrightarrow{V} \cdot d\overrightarrow{A})\) 4.3Conservação de massa: integral • lei básica: \(\frac{dm}{dt} = 0\) • propriedade extensiva \(N = M (massa\ do\ sistema)\) • propriedade intensiva: \(\eta = M / M = 1\) Assim, \(\frac{\partial}{\partial t}\int\int\int_{VC}\rho d\nu + \int\int_{SC} (\rho \overrightarrow{V} \cdot d\overrightarrow{A}) = 0\), ou \(\int\int_{SC} (\rho \overrightarrow{V} \cdot d\overrightarrow{A}) = -\frac{\partial}{\partial t}\int\int\int_{VC}\rho d\nu\) : equação da continuidade na forma integral ... ...que relaciona (saldo de massa através da \(SC) = (decréscimo de massa no VC)\). Para o escoamento permanente, em que as propriedades são invariantes com o tempo, \(\int\int_{SC} (\rho \overrightarrow{V} \cdot d\overrightarrow{A}) = 0\) Para o escoamento permanente de fluido incompressível, \(\int\int_{SC} (\overrightarrow{V} \cdot d\overrightarrow{A}) = 0\) MECÂNICA DOS FLUIDOS / HIDRÁULICA – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 55 - 4.3.1 Exemplo: escoamento permanente com perfis unidimensionais Entrada e saída através de tubos em escoamento permanente, com perfis de velocidade unidimensionais na entrada e saída do volume de controle; Figura 4-2: Conduto genérico Neste caso, a equação é \(\int\int_{SC} (\rho \overrightarrow{V} \cdot d\overrightarrow{A}) = 0\) que pode ser escrita \(\int\int_{A_1} (\rho \overrightarrow{V} \cdot d\overrightarrow{A}) + \int\int_{A_2} (\rho \overrightarrow{V} \cdot d\overrightarrow{A}) = 0\) Em (1) teremos \(dA (\leftarrow)\) e \(V (\rightarrow)\) e em (2) \(dA (\rightarrow)\) e \(V (\rightarrow)\), então \(\rho_1 V_1 A_1 = \rho_2 V_2 A_2\) expressão que já havia sido encontrada na cinemática dos fluidos. MECÂNICA DOS FLUIDOS / HIDRÁULICA – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 56 - 4.3.2 Exemplo: conservação de massa em formulação diferencial Figura 4-3: Volume de controle diferencial saldo através da \(SC =\) decréscimo de massa no \(VC\) \(\int\int_{SC} (\rho \overrightarrow{V} \cdot d\overrightarrow{A}) = -\frac{\partial}{\partial t}\int\int\int_{VC}\rho d\nu\) para o \(VC\) imerso no escoamento, a vazão através de (1) \(= - \rho\ v\ dx\ dz\) (entrada); e através de (2) \(= \left[\rho v + \frac{\partial}{\partial y} (\rho v) dy\right] dx\ dz\) Assim, o saldo na direção \(y\) resulta \(= \frac{\partial}{\partial y} (\rho v) d\nu\), onde \(d\nu = dx\ dy\ dz\ e\), o saldo global... \(= \left[\frac{\partial}{\partial x} (\rho u) + \frac{\partial}{\partial y} (\rho v) + \frac{\partial}{\partial z} (\rho w)\right] d\nu\) Por outro lado, o decréscimo de massa no \(VC\) \(=- \frac{\partial \rho}{\partial t} d\nu\) A igualdade entre os termos conduz à expressão da equação da continuidade na forma diferencial: \(\nabla \cdot (\rho \overrightarrow{V}) = - \frac{\partial \rho}{\partial t}\) 4.4 Conservação de quantidade de movimento linear: integral • lei básica: \( \frac{d\vec{P}}{dt} = \vec{F} \) • propriedade extensiva: \( N = \vec{P} \) (quantidade de movimento linear do sistema) • propriedade intensiva: \( \eta = \frac{\vec{P}}{M} = \vec{\bar{V}} \) Assim, \( \frac{\partial}{\partial t} \iiint_{V_C} \vec{\bar{V}} \rho \, dv + \iint_{S_C} \vec{\bar{V}} (\rho \vec{\bar{V}} \, \dot{\bar{dA}})= \vec{\bar{F}} \) \) Sendo o esforço resultante composto por parcelas relativas a: Forças de contato = \( \vec{\bar{F}}_S \) ; e Forças de campo = \( \iiint_{V_C} \vec{\bar{B}} \rho \, dv \) , sendo \( \vec{\bar{B}} = \) (força de campo) / (massa do sistema) obtém-se a equação da conservação de qml na forma integral, \( \frac{\partial}{\partial t} \iiint_{V_C} \vec{\bar{V}} \rho \, dv + \iint_{S_C} \vec{\bar{V}} (\rho \vec{\bar{V}} \, \dot{\bar{dA}})= \vec{\bar{F}}_S + \iiint_{V_C} \vec{\bar{B}} \rho \, dv \) \) que representa (variação temporal da qml no interior do VC) + (saldo de qml através da SC) = força. 4.4.1 Exemplo: visualização de grandezas Figura 4-4: Escoamento no redutor curvo Figura 4-5: Diagrama de corpo livre do redutor \( R_x = \rho_1 V_1 A_1 (V_2 \cos \theta - V_1) - p_1 A_1 + p_2 A_2 \cos \theta \) \( R_z = \rho_1 V_1 A_1 (V_2 \sin \theta) + p_2 A_2 \sin \theta + (peso) \) \( K_x = - R_x \quad \mathrm{e} \quad K_z = - R_z \) Tratando-se de escoamento permanente, o termo de variação temporal é nulo: \( \frac{\partial}{\partial t} \iiint_{V_C} \vec{\bar{V}} \rho \, dv = 0 \) Resolvendo o primeiro membro, com os termos de variação temporal (nulo neste caso) e de saldo... Na direção x: \( \iint_{S_C} u(\rho \vec{\bar{V}} \, \dot{\bar{dA}}) = \iiint_{A_1} u(\rho \vec{\bar{V}} \, \dot{\bar{dA}}) + \iiint_{A_2} u(\rho \vec{\bar{V}} \, \dot{\bar{dA}}) \) Como massa específica e velocidade são unidimensionais, a expressão anterior resulta \( = V_1(-\rho_1 V_1) \iint_{A_1} dA + V_2 \cos \theta (\rho_2 V_2) \iint_{A_2} dA \) \( = V_2 \cos \theta (\rho_2 V_2 A_2) - V_1 (\rho_1 V_1 A_1) \) Da continuidade (ver item 4.3.1) \( \rho_1 V_1 A_1 = \rho_2 V_2 A_2 \), então \( \iint_{S_C} u(\rho \vec{\bar{V}} \, \dot{\bar{dA}}) = \rho_1 V_1 A_1 (V_2 \cos \theta - V_1) \) Na direção z: \( \iint_{S_C} w(\rho \vec{\bar{V}} \, \dot{\bar{dA}}) = \rho_1 V_1 A_1 (V_2 \sin \theta) \), resolvido de maneira análoga. Resolvendo o segundo membro, com os termos dos esforços... Na direção x: \( F_s_x + \iiint_{V_C} B_x \rho \, dv = p_1 A_1 - p_2 A_2 \cos \theta + R_x \quad \mathrm{e} \) Na direção z: \( F_s_z + \iiint_{V_C} B_z \rho \, dv = -p_2 A_2 \sin \theta + R_z - (peso) \) Montando as igualdades entre primeiro e segundo membro, em cada direção e isolando os termos das reações obtém-se as componentes \( R_x \) e \( R_z \): \( R_x = \rho_1 V_1 A_1 (V_2 \cos \theta - V_1) - p_1 A_1 + p_2 A_2 \cos \theta \) \( R_z = \rho_1 V_1 A_1 (V_2 \sin \theta) + p_2 A_2 \sin \theta + (peso) \) As expressões de \( K_x = - R_x \) e \( K_z = - R_z \) fornecem a incógnita do problema, ou seja, o esforço que o tubo exerce sobre o fluido em seu interior. O resultado é encontrado através de uma abordagem integral que permitiu a solução apesar do desconhecimento dos perfis reais das tensões sobre as paredes laterais. Neste exemplo, os perfis de velocidade e massa específica foram adotados como unidimensionais, no entanto, é possível considerar os perfis "reais", caso estejam disponíveis. 4.4.2 \; \text{Exemplo: jato livre sobre anteparo curvo móvel} \ Considerando um jato livre com área da seção transversal \ A_j, velocidade \ V_j, incidindo sobre um anteparo curvo que se move com velocidade constante \ V_0, em relação à referência \alpha\beta\gamma... \boxed{\text{...determinar o esforço que o jato exerce sobre o anteparo, na}} \boxed{\text{direção do escoamento.}} \text{Figura 4-6: Jato livre sobre anteparo curvo} \text{Considerações:} \bullet \text{o volume de controle selecionado movimenta-se com o anteparo, quando visto a partir da referência } \alpha\beta\gamma. \text{ Portanto, para a aplicação do TTR ao caso proposto, é necessário trabalhar-se com a referência } xyz, \text{ fixa ao VC;} \bullet \text{o entorno do jato livre está submetido à pressão atmosférica cujos esforços resultantes anulam-se na direção considerada;} \bullet \text{devido às reduzidas dimensões do jato, serão desconsiderados os efeitos viscosos e de campo, resultando } V_j = V_1 = V_2 \text{ e } A_j = A_1 = A_2; \bullet \text{trabalhando com as hipóteses anteriores e escoamento permanente de fluido incompressível } (\rho_1 = \rho_2 =\rho_j) \text{ pode-se escrever ...} \frac{\partial}{\partial t} \iiint_{VC} \overline{V} \rho d\nu + \iint_{SC} \overline{V} (\rho \overline{V} \cdot d\overline{A}) = \overline{F}_s + \iiint_{VC} \overline{B} \rho d\nu F_{s_x} = \iint_{SC} u(\rho \overline{V} \cdot d\overline{A}) \text{ ou } R_x = \iint_{A_1} u(\rho \overline{V} \cdot d\overline{A}) + \iint_{A_2} u(\rho \overline{V} \cdot d\overline{A}) = (V_j-V_0)[-\rho(V_j-V_0)A_j]+(V_j-V_0)\cos\theta\rho(V_j-V_0)A_j Finalmente, R_x = -\rho(V_j-V_0)^2A_j(1-\cos\theta), \text{ ou ainda} \boxed{K_x = \rho(V_j-V_0)^2A_j(1-\cos\theta)} \text{ que é a ação do fluido sobre o anteparo.} \boxed{K_x = \rho(V_j-V_0)^2A_j(1-\cos\theta)} = \text{ação do fluido sobre o anteparo.} OBSERVAÇÕES: Se \ V_0 \ \text{fosse variável (aceleração } \neq 0) \ o \ equacionamento \ apresentado \ não \ seria \ válido, \ pois \ aplica-se \ somente \ para \ referência \ inercial; O valor máximo de \ K_x \ é \ obtido \ para \ \theta = 180^\circ; \boxed{\text{Neste exemplo,... ...o movimento de fluido não ...faz surgir uma ...desenvolvida ao longo ...durante um = Potência}} \boxed{\text{...confinado desviado... ...força de propulsão... ...de uma trajetória... ...intervalo de tempo.}} Este processo ilustra o princípio de funcionamento das turbo-máquinas que, em geral, com a transformação entre formas de energia geram propulsão, resultando um conjugado sobre um rotor que permite o acionamento de outras máquinas. As turbo-máquinas que empregam o direcionamento do fluxo com pás fixas a eixos e que: \boxed{\text{através do trabalho externo ...fornecem energia ao fluido são as bombas;}} \boxed{\text{extraem trabalho da energia do fluido são as turbinas.}} Turbina Pelton Turbina Francis Turbina Kaplan Distribuidor Rotor Difusor A razão de variação de N para um sistema no instante t = variação de N no VC que tem a mesma forma do sistema em t + saldo de N através da SC do sistema (VC em t) 4.6 Conservação de quantidade de movimento linear: forma diferencial Na determinação das características de um escoamento, sob o ponto de vista diferencial, normalmente Ṽ̅, p, ρ são incógnitas relacionadas através de conservação de massa, lei dos gases ideais e conservação da quantidade de movimento linear. Esta última será apresentada a seguir, na forma das equações de Euler e equação de Navier-Stokes, empregadas conforme a aplicação em questão. Suas determinações podem ser feitas a partir da montagem de equações de equilíbrio de forças F̅ = mȧ sobre elementos de fluido em movimento: Figura 4-9: Elemento de fluido em movimento 4.6.1 Equação de Euler Trabalhando com a hipótese de viscosidade do fluido nula, em F̅ = mȧ: (força de campo)/(massa) em x: ρ Bₓ dx dy dz em y: ρ Bᵧ dx dy dz em z: ρ B𝓏 dx dy dz (força de contato)/(massa), devida exclusivamente às variações de tensões normais (p) pois μₕᵢₚ = 0 e, portanto, τᵢ,ⱼ = 0 em x: p(dy dz) − (p + ∂p/∂x dx) dy dz = −∂p/∂x dx dy dz em y: p(dx dz) − (p + ∂p/∂y dy) dx dz = −∂p/∂y dx dy dz em z: p(dx dy) − (p + ∂p/∂z dz) dx dy = −∂p/∂z dx dy dz (força de inércia)/(massa) em x: ρ du/dt dx dy dz em y: ρ dv/dt dx dy dz em z: ρ dw/dt dx dy dz F̅ = mȧ No equilíbrio em x: ρBₓ − ∂p/∂x = ρ (∂u/∂x dx/dt + ∂u/∂y dy/dt + ∂u/∂z dz/dt + ∂u/∂t dt/dt), ou ainda em x: ρBₓ − ∂p/∂x = ρ (∂u/∂x u + ∂u/∂y v + ∂u/∂z w + ∂u/∂t) em y: ρBᵧ − ∂p/∂y = ρ (∂v/∂x u + ∂v/∂y v + ∂v/∂z w + ∂v/∂t) em z: ρB𝓏 − ∂p/∂z = ρ (∂w/∂x u + ∂w/∂y v + ∂w/∂z w + ∂w/∂t) Como os termos entre parênteses representam a derivada material da velocidade (a aceleração) pode-se escrever... ρB̅ − ∇̅p = ρ DṼ̅/Dt ...que é a equação fundamental do equilíbrio dinâmico ou equação de Euler. 4.6.2 Equação de Navier-Stokes Na obtenção da equação de Euler trabalhamos com a restrição μ=0 ao escoamento. Se considerarmos os esforços tangenciais, devidos à ação da viscosidade, ...teremos estabelecida a ligação entre [hidrodinâmica clássica] X [escoamentos viscosos]. Consideração da viscosidade através de τ = μ \frac{∂V}{∂n} , ... representando com V as componentes da velocidade e com n as direções do escoamento ... a força (F) resultante sobre uma superfície de área (A) será F = μA \frac{ΔV}{Δn} em termos de diferenças. Retornando à Figura 4-9, considerando a direção x, teremos: face (abcd) face (efgh) resultado −μ dy dz \frac{∂u}{∂x} +μ dy dz \left(\frac{∂u}{∂x} + \frac{∂^2u}{∂x^2}dx\right) = μ dx dy dz \frac{∂^2u}{∂x^2} (o sinal negativo indica sentido oposto ao movimento do fluido) faces (bdfh) e (aceg): = μ dx dy dz \frac{∂^2u}{∂y^2} faces (abef) e (cdgh): = μ dx dy dz \frac{∂^2u}{∂z^2} O resultado parcial em x será: = μ dx dy dz \nabla^2u De maneira análoga teremos, na direção y: = μ dx dy dz \nabla^2v e na direção z = μ dx dy dz \nabla^2w Considerando a resultante do esforço devido à viscosidade obtém-se: = μ dv \nabla^2\bar{V} Considerando a resultante do esforço devido à viscosidade obtém-se: = μ dv \nabla^2\bar{V} Dividindo este resultado pelo volume unitário dv ... e incluindo na equação de Euler, anteriormente obtida, esta nova parcela de força de contato, ... resulta a expressão final... ρ \bar{B} - \bar{∇}p + μ \nabla^2\bar{V} = ρ \frac{D\bar{V}}{Dt} ...que é a equação do equilíbrio hidrodinâmico, para fluido viscoso / compressível, em escoamento não permanente ou equação de Navier-Stokes. 4.5 Conservação de energia aplicada A expressão da 1ª lei da termodinâmica apresentada na introdução do item 4 \[ \frac{dE}{dt} = \frac{dC}{dt} - \frac{dW}{dt} \] representa a igualdade entre energia associada à massa do sistema (1º membro) e energias em transição (2º membro). Restringindo sua aplicação com hipóteses simplificativas de caráter prático, na expressão do TTR \[ \frac{DN}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{V_C} \eta \rho \, dv + \oint_{S_C} \eta (\rho \vec{v} \cdot d\vec{A}) \] temos o seguinte: - N = E energia associada à massa do sistema; \( \eta = e = gz + \frac{V^2}{2} + u \) (energia potencial) (energia cinética) (energia interna) representadas em unidades de energia/massa \[ \frac{DE}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{V_C} (gz + \frac{V^2}{2} + u) \rho \, dv + \oint_{S_C} (gz + \frac{V^2}{2} + u) (\rho \vec{v} \cdot d\vec{A}) = \frac{dC}{dt} - \frac{dW}{dt} \] - \( \frac{dC}{dt} \) calor adicionado (com máquina de calor ou através das paredes do conduto); e - \( \frac{dW}{dt} \) trabalho retirado (com máquina hidráulica ou através do trabalho de parede). Então, partindo de \[ \frac{DE}{Dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{V_C} (gz + \frac{V^2}{2} + u) \rho \, dv + \oint (gz + \frac{V^2}{2} + u) (\rho \vec{v} \cdot d\vec{A}) = \frac{dC}{dt} - \frac{dW}{dt} \] - para escoamento permanente: \[ \frac{\partial}{\partial t} \int_{V_C} (gz + \frac{V^2}{2} + u) (\rho \, dv) = 0, \] - considerando os perfis de velocidade (V) e de massa específica (ρ) unidimensionais nas seções transversais (1) e (2), quaisquer, de um conduto genérico, - sendo \( dW = dW_{parede} + dW_{eixo} \) e \( dW_{parede} = (p \vec{v} \cdot dm) \) sendo dm a massa diferencial e adotando g = constante, ... entre as duas posições(1 e 2) referidas do conduto temos \[ \left[ gz_2 + \frac{V_2^2}{2} + u_2 - (gz_1 + \frac{V_1^2}{2} + u_1) \right]_{in} = \frac{dC}{dt} - \left[ (p_2 v_2 - p_1 v_1) \cdot dm + dW_{eixo} \right] \frac{1}{dt} \] ou \[ gz_2 + \frac{V_2^2}{2} + u_2 - (gz_1 + \frac{V_1^2}{2} + u_1) = \frac{dC}{dm} - \left[ (p_2 v_2 - p_1 v_1) + \frac{dW_{eixo}}{dm} \right] \] ... que representa uma equação de balanço de energia, restrita às hipóteses anteriormente mencionadas. Adaptando a expressão do balanço de energia obtida \[ gz_2 + \frac{V_2^2}{2} + u_2 - (gz_1 + \frac{V_1^2}{2} + u_1) = \frac{dC}{dm} - \left[ (p_2 v_2 - p_1 v_1) + \frac{dW_{eixo}}{dm} \right] \] para a resolução de problemas simples que tratam com fluidos compressíveis (normalmente os gases em altas velocidades): \[ gz_1 + (p_1 v_1 + u_1) + \frac{V_1^2}{2} + \frac{dC}{dm} = gz_2 + (p_2 v_2 + u_2) + \frac{V_2^2}{2} + \frac{dW_{eixo}}{dm} \] onde o produto \( pv + u = h \) é entalpia do sistema; \( h_1 - h_2 = c_p (T_1 - T_2) = \frac{k}{k-1} R(T_1-T_2) \) com k=1.4; \( \frac{dC}{dm} = \) calor adicionado por trocador de calor ou pelas paredes do conduto; e \( \frac{dW_{eixo}}{dm} = \) trabalho retirado por turbina (+) ou fornecido por bomba (-) (máquinas). Por outro lado, adaptando a expressão do balanço de energia para a resolução de problemas simples que tratam com fluidos incompressíveis sem trocador de calor (\( v_1 = v_2 = \frac{k}{\rho} = v = \frac{p}{\gamma} \), normalmente os líquidos em geral e gases a baixas velocidades) e dividindo a expressão resultante por g: \[ z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} = z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + \frac{dW_{eixo}}{gdm} + \left[ \frac{u_2 - u_1}{g} - \frac{dC}{gdm} \right] = h_{f_1,2} \] onde \[ \frac{dW_{eixo}}{gdm} = (E_{Turbina} - E_{Bomba}) \] e \( \frac{u_2 - u_1}{g} - \frac{dC}{gdm} = h_{f_1,2} \) sendo \( h_{f_1,2} \) = perda de energia devido ao efeito viscoso (calor perdido através das paredes do sistema). 4.5.1 Exemplo: balanço de energia Considerando o sistema esquematizado a seguir, e adotando: elevações z1 = 2,0 m z2 = 8,0 m e diâmetros D1 = 50 mm D2 = 100 mm. Figura 4-7: Sistema para balanço de energia Caso de fluido compressível: escoamento de ar, sem máquinas hidráulicas. Qual o calor absorvido pelas paredes do sistema? gz1 + (p1v1 + u1) + V1^2 / 2 + dC/dm = gz2 + (p2v2 + u2) + V2^2 / 2 + dWeixo/dm V = m / p π D^2 / 4 V1 = 0,85 / 2,378 (π (50 × 10^−3)^2) = 182,044 m/s V2 = 0,85 / 3,948 (π (100 × 10^−3)^2) = 24,413 m/s Então dC/dm = (gz2 − gz1) + (h2 − h1) + V2^2 / 2 − V1^2 / 2 = 58,8 + 60240 − 16194 = 44105 J/kg > 0 o resultado positivo indica que o calor deve, efetivamente, ser adicionado ao sistema. Tratando-se das dimensões das grandezas pode-se converter o resultado em potência adicionada: energia/massa × massa/tempo = energia/tempo = potência, ou seja dC/dm ⋅ ṁ = 44105 ⋅ 0,85 = 37,5 kW (≅ 50 HP) ṁ = 0,85 kg/s = p V A ti = 20 ºC ➔ T1 = 293 K t2 = 80 ºC ➔ T2 = 353 K cp (ar) = 1004 (N m) / (kg K) h1 − h2 = cp (T1 − T2) h1 − h2 = 1004 (293 − 353) = − 60240 N m / kg p1 (abs) = 200 kPa p2 (abs) = 400 kPa Rar = 287 (N m) / (kg K) p = ρ ⋅ R ⋅ T ρ1 = 200000 / (287 ⋅ 293) = 2,378 kg/m^3 ρ2 = 400000 / (287 ⋅ 353) = 3,948 kg/m^3 4.5.1 Exemplo: balanço de energia Considerando o sistema esquematizado a seguir, e adotando: elevações z1 = 2,0 m z2 = 8,0 m e diâmetros D1 = 50 mm D2 = 100 mm. Figura 4-8: Sistema para balanço de energia Caso de fluido incompressível: escoamento de água, com uma bomba de 373 W e sem trocador de calor. Qual a perda de energia do sistema? z1 + p1/γ + V1^2/2g = z2 + p2/γ + V2^2/2g + dWeixo/gdm + [(u2−u1)/g − dC/gdm] Q = 1,7 l/s = V A V1 = 1,7 / 1000 π(50.10−3)^2 / 4 = 0,866 m/s V2 = 1,7 / 1000 π(100.10−3)^2 / 4 = 0,216 m/s Convertendo a potência da bomba: potência = energia/peso × peso/tempo = EB ⋅ (Q ⋅ γ) Q ⋅ γ = 1,7 ⋅ 10.³ ⋅ 9800 = 16,66 N/s EB = 373 / 16,66 = 22,389 m p1 (rel) = 30 kPa p2 (rel) = 50 kPa Então hf1,2 = (z1 − z2) + (p1 − p2)/γ + (V1^2 − V2^2)/2g + EB = −6,0 − 0,041 + 0,036 + 22,389 ≅ 14,4 m Além das hipóteses propostas para a conservação de energia, supondo o caso: const. 2g V p z 2 =  + + Soma de Bernoulli para fluidos incompressíveis z =  = p 2g = V2 Observações: • A expressão dimensional de cada termo da equação é o comprimento • Os termos representam, portanto, parcelas de energia/peso do escoamento: energia de posição (potencial) energia de velocidade (cinética) energia de pressão peso energia F FL L = = Partindo da equação da conservação de energia para o escoamento permanente de fluido incompressível, entre 2 seções transversais de um conduto resulta ao longo de linhas de corrente do escoamento sem a presença de máquinas e escoamento invíscuo Para a maioria dos casos práticos, a energia mecânica do conjunto de linhas de corrente é, aproximadamente, igual. Sendo assim, entre posições 1, 2,..., n de um escoamento, é possível escrever: • O somatório das parcelas de energia potencial, de pressão e cinética equivale à energia mecânica total. Portanto, verifica-se que, a energia mecânica total é constante, ao longo de uma linha de corrente, para as condições estabelecidas na obtenção da Equação de Bernoulli. const. 2g V p z ... 2g V p z 2g V p z 2 n n n 2 2 2 2 2 1 1 1 = +  + = = +  + =  + + Equação de Bernoulli efeitos viscosos importantes Camada limite / esteira OBSERVAÇÃO: As regiões do escoamento com efeitos viscosos importantes, presença de turbo-máquinas e máquinas de calor ou dissipação/absorção de calor através dos contornos dos condutos não podem ser consideradas válidas para a aplicação da equação de Bernoulli. Por exemplo: const. 1 const. 2 Trabalho extraído/fornecido Turbo-máquinas const. 2 calor fornecido/retirado const. 1 Fornecimento/retirada de calor z =  = p 2g = V2 Equação de Bernoulli entre duas seções de um conduto: z é considerada a elevação do eixo do conduto acima de um plano horizontal de referência. energia de posição (potencial) energia de velocidade (cinética) energia de pressão z1 + p1 γ + V1 2 2g = z2 + p2 γ + V2 2 2g plano horizontal de referência z1 z2 eixo do conduto p é considerada a tensão normal à direção do escoamento, a que seria medida com o uso de um manômetro, denominada pressão estática. V é considerada a velocidade média (V=Q/A) na seção transversal. Abordagem usual nas soluções: ? p ,1 2 =  30° mm 100 mm 150 Z  2 1 m 0,5 Z =  10 Z sen 30  =   547 m s ,2 4 . π 0,1 ,0 020 V 2 2 = = 132 m s ,1 4 . π 0,15 ,0 020 V 2 1 = = ( )       − + − =  − g . 2 V V Z Z p p 2 1 2 2 1 2 2 1       − + =  − 9,8 . 2 ,1 132 ,2 547 0,5 p p 2 2 2 1 ,0 266 0,5 p p 2 1 + =  − m 5,266 p p 2 1 =  − Exemplo: Em uma tubulação sem máquinas e com perda de energia desconsiderável, por onde escoa uma vazão de 20 l/s determinar a diferença de pressão entre a entrada e a saída? 2g V p z 2g V p z 2 2 2 2 2 1 1 1 +  + = +  + Para a mesma tubulação do exercício anterior, agora com eixo horizontal e, novamente, sem máquinas e com perda de energia desconsiderável, por onde escoa uma vazão de 20 l/s, determinar a diferença de pressão entre a entrada (D1=150 mm) e a saída (D2=100 mm)? Exercício ( )       − + − =  − g . 2 V V Z Z p p 2 1 2 2 1 2 2 1 𝐩𝟏 − 𝐩𝟐 𝛄 = 𝟎, 𝟎 + 𝟐, 𝟓𝟒𝟕𝟐 − 𝟏, 𝟏𝟑𝟐𝟐 𝟐 . 9,8 𝐩𝟏 − 𝐩𝟐 𝛄 = 𝟎, 𝟎 + 𝟎, 𝟐𝟔𝟔 = 𝟎, 𝟐𝟔𝟔 2g V p z 2g V p z 2 2 2 2 2 1 1 1 +  + =  + + V2 > V1 p2 < p1  p2  1 p 1 2 ,0 266m p 2 ,1 =  horizontal Encontrar uma relação entre a velocidade de saída no bocal (Vb) e a altura da superfície livre do reservatório (h), adotando a hipótese de escoamento invíscuo. Exercício que substituído na expressão anterior resulta Da conservação de massa para fluidos incompressíveis Q1 = Q2 ou A1V1 = A2V2 ou seja 2 1 2 1 A V A V = 2 1 2 2 A A 1 2gh V       − = Vb=? h 1 2 patm patm As posições 1 (na superfície do reservatório) e 2 (na seção de saída do bocal) são selecionadas de maneira que estejam disponíveis um máximo de informações e / ou sejam de interesse no cálculo efetuado. Assim, entre 1 e 2 2g V p z 2g V p z 2 2 2 2 2 1 1 1 +  + =  + + e como ( ) 2gh z 2g z V V 2 1 2 1 2 2 = − = − resta atm 2 1 p p p = = No caso em que A1 >> A2, é possível escrever b 2 V 2gh V = = expressão de Torricelli (1644). Para o caso do escoamento viscoso (real), a velocidade é obtida com o emprego de um coeficiente de descarga CQ, na forma sendo CQ < 1, obtido experimentalmente. 2gh C V Q b = Considerando a representação esquemática apresentada a seguir, de um reservatório de grande área superficial esvaziando com velocidade V, por intermédio de um conduto com seção transversal de diâmetro constante, determinar os valores das pressões nos pontos B e C e a altura até onde o líquido sobe no PIEZÔMETRO = tubo 1 (perpendicular ao eixo do conduto de esvaziamento) e no TUBO DE PITOT = tubo 2 (em forma de "L" com um extremo voltado contra o escoamento). Considerar como válidas as hipóteses de aplicação da equação de Bernoulli. H A B C V = velocidade de esvaziamento ? Tubo 1 Tubo 2 z=0 reservatório com área da superfície muito grande conduto de diâmetro constante ? Exercício Adotando a hipótese de perfil unidimensional de velocidades ao longo do conduto de esvaziamento, a pressão no ponto B é representativa da seção transversal em que se encontra; esta pressão é, também, a responsável pela realização do trabalho de elevação da coluna de líquido estático no interior do tubo 1, o piezômetro. Comparando os somatórios de energia entre os pontos A e B e trabalhando em escala relativa de pressão: com resta, então ( ) 2g V H 2g V z z p 2 B 2 B B A B − = − − =  = altura de pressão ou altura piezométrica. 2g V z 2g V z 2 B P B 2 A P A B A +  + =  + + ; 0 p p atm A =  =  0 0 e z 2g V B 2 A =  H A B C V = velocidade de esvaziamento VB2/(2g) Piezômetro Tubo de Pitot z=0 reservatório com área da superfície muito grande conduto de diâmetro constante H Comparando os somatórios de energia entre os pontos A e C e trabalhando em escala relativa de pressão: com pois C é ponto de estagnação resta, então = altura total de energia. 0 0; z 2g 0; V p p C 2 A atm A =  =  =  e ( ) H z z p C A C = − =  0 2g V2 C = 2g V p z 2g V p z 2 C C C 2 A A A +  + = +  + A representação gráfica das alturas totais de energia, a partir de uma linha unindo as posições atingidas pela altura de líquido no interior de tubos de Pitot, em diferentes seções transversais ao longo de um conduto genérico, é denominada de Linha de Energia Total e, por definição e com base nas hipóteses aqui assumidas, dista de [p/ + V2/(2g)], em elevação, do eixo do conduto. Representação Gráfica da Energia A energia de posição ou potencial (z), referida a um plano horizontal fixo, é representada graficamente pelo traçado do eixo do conduto genérico, em elevação. A representação gráfica das alturas piezométricas, a partir de uma linha unindo as posições atingidas pela altura de líquido no interior de tubos piezométricos, em diferentes seções transversais ao longo de um conduto genérico, é denominada de Linha Piezométrica e, por definição e com base nas hipóteses aqui assumidas, dista de p/, em elevação, do eixo do conduto. plano horizontal de referência eixo do conduto linha piezométrica linha de energia total 𝐳 𝐩 𝛄 𝐕𝟐 𝟐𝐠 Representação Gráfica da Energia Considerando válidas as hipóteses de aplicação da equação de Bernoulli, a Linha de Energia Total (teórica) aparece como uma horizontal (paralela ao plano de referência), pois não há transferência de energia do escoamento. Observações: Para o caso abordado no item sobre Conservação de energia aplicada, em que a transferência de energia é considerada, a Linha de Energia Total (real) sofre um decaimento, no sentido do escoamento, distante de hf da linha teórica e pode sofrer descontinuidades relativas à existência de máquinas hidráulicas, ao longo do conduto, com elevação da linha de energia no caso de uma bomba (EB) ou rebaixamento da linha de energia no caso de uma turbina (ET). plano horizontal de referência eixo do conduto linha piezométrica linha de energia total (teórica) 𝐳 𝐩 𝛄 𝐕𝟐 𝟐𝐠 linha de energia total (real) hf 1) h.(d p p FM 2 1 − =   − V 1) h(d .g.2 V FM 2 = −  =  − =    = = 2 1 2 2 1 2 1 p p 2g V 0 V Z Z Exemplo – sonda de Pitot-Prandtl 2B B 2 h. p p =  − 1A A 1 h. p p =  − ) h .(h p p p p 1A 2B B A 1 2 − =  − + − − . h . h) ( p p FM 1 2 =    +  − ) h.( p p FM 2 1 −   =  − 1) h.(d p p FM 2 1 − =   − (caso o fluido seja a água padrão) g 2 V p Z g 2 V p Z 2 2 2 2 2 1 1 1  + + =  + +  − =    = = 2 1 2 2 1 2 1 p p 2g V 0 V Z Z 1 = ponto de estagnação >> por construção : V 1 2 A B h  2 Determinar a velocidade V (unidimensional) do escoamento, medida pela sonda de Pitot-Prandtl, a partir do desnível ∆h do manômetro. 2 2 1 1 V A V A = 2 1 2 1 A V A V = 1) h(d g 2 V A A V FM 2 2 2 1 2 2 2 −  =       − 2 1 2 FM 2 A A 1 1) h(d .g.2 V       − −  = V2A2 Q =  − = − 2 1 2 1 2 2 p p g 2 V V 1) h.(d p p FM 2 1 − =   − 2B B 2 h. p p =  − 1A A 1 h. p p =  − ) h .(h p p p p 1A 2B B A 1 2 − =  − + − . h . h) ( p p FM 1 2 =    +  − 1) h.(d p p FM 2 1 − =   − 2g V p Z 2g V p Z 2 2 2 2 2 1 1 1 +  + =  + +  − = − 2 1 2 1 2 2 p p g 2 V V − ) h.( p p FM 2 1 −   =  − (caso o fluido seja a água padrão) Exemplo – medidor Venturi A B h  2 1 Q Determinar a vazão Q que escoa pelo medidor Venturi, a partir do desnível ∆h do manômetro e geometria do tubo. 5 Análise Dimensional e semelhança Além dos métodos de projeto para previsão do comportamento de sistemas que estão baseados em: • emprego de expressão analítica que representa uma lei física geral; e • emprego do próprio sistema para inter / extrapolação de resultados em caráter empírico ... ..., é, também, empregado o método de previsão por Semelhança ... ... que utiliza um sistema semelhante (Modelo) ao que está sendo estudado (Protótipo)... ... para avaliação de grandezas ... ... e que tem como base a Análise Dimensional. A análise dimensional aparece: • na previsão da relação entre grandezas intervenientes em um dado fenômeno físico; e • no estabelecimento de condições de semelhança para a exploração de modelos físicos; através de: • teorema de Bridgman; • teorema de Buckingham; e • experimentos racionais. DEFINIÇÃO: dimensão de uma grandeza em relação a grandezas fundamentais (massa ou força, comprimento e tempo) é o expoente com que a grandeza fundamental aparece na expressão dimensional da grandeza analisada. 5.1 Leis fundamentais da análise dimensional 1ª) somente pode ser estabelecido um estado de igualdade entre grandezas que possuam as mesmas dimensões; e 2ª) a razão entre grandezas independe do sistema de unidades em que estão representadas, desde que seja empregado o mesmo sistema para todas. 5.2 Teorema de Bridgman Toda a grandeza secundária pode ser representada por um produto de potências de grandezas primárias, ou seja, sendo α = grandeza secundária (a que é representada pelas primárias); e a1, a2, ..., an = conjunto de n grandezas primárias (as que representam a secundária); tal que α = f(a1, a2, ..., an); e ainda C = constante adimensional; e c1, c2, ..., cn = conjunto de n expoentes dos quais α = C a1^c1 a2^c2 ... an^cn ... é a forma explícita do Teorema de Bridgman. Se uma das grandezas primárias for tomada como secundária, a expressão torna-se 1 = C a1^c1 a2^c2 ... an^cn ... que é a forma implícita do Teorema de Bridgman. 5.2.1 Exemplo: relação entre grandezas Determinar a relação que existe entre a energia cinética (E) de uma esfera e sua massa (m), velocidade de deslocamento (v) e diâmetro (d). SOLUÇÃO: grandeza secundária α ⇒ energia cinética = E grandezas primárias a1 ⇒ massa = m a2 ⇒ velocidade = v a3 ⇒ diâmetro = d Considerando a hipótese do Teorema de Bridgman temos α = C a1^c1 a2^c2 ... an^cn ou E = C m^c1 v^c2 d^c3 Considerando a 1ª lei fundamental da análise dimensional temos [E] = [C m^c1 v^c2 d^c3] = [C][m]^c1 [v]^c2 [d]^c3 As expressões dimensionais das grandezas envolvidas são: grandeza E C m v d M 1 0 1 0 0 L 2 0 0 1 1 T -2 0 0 -1 0 Substituindo as dimensões na expressão anterior obtém-se: (M^1L^2T^-2) = (M^0L^0T^0)^{c1} (M^1L^0T^0)^{c2} (M^0L^1T^-1)^{c2} (M^0L^1T^0)^{c3}, ou M^1L^2T^-2 = M^c1L^c2T^c3 A solução dessa equação vem do sistema montado pela igualdade de expoentes de mesmas bases: c1 = 1 c2 + c3 = 2, ou seja, E = C m^1 v^2 d^0 ou E = C m v^2 c3 = 0 A representação implícita tem a forma ... 1 = C (mv^2/E) ... onde o termo entre parênteses representa um número adimensional que relaciona as grandezas intervenientes no fenômeno estudado. Observações: - o valor numérico do coeficiente C é determinado através de experimentos racionais (sabe-se que, para o caso desse exemplo, o valor do coeficiente é 1/2); - o expoente de uma grandeza primária que resulta nulo indica que não há dependência com essa grandeza (sabe-se que, para o caso desse exemplo, o diâmetro não está presente na determinação da energia cinética de uma esfera); - no caso de deixar-se de incluir alguma grandeza na análise, que de fato devesse ser considerada, o sistema de equações formado não resulta solução satisfatória. Então, a 1ª etapa na determinação de relações entre grandezas que descrevem um determinado fenômeno é a correta identificação das grandezas intervenientes, que é, justamente, a etapa mais difícil do projeto (pois deve-se considerar que esse método será aplicado na investigação de fenômenos de natureza não totalmente conhecida do pesquisador); e - o número de incógnitas do sistema corresponde ao número de grandezas primárias e o número de equações do sistema corresponde ao número de grandezas fundamentais presentes nas expressões dimensionais das grandezas intervenientes que são: para fenômenos cinemáticos (L, T) = 2 para fenômenos mecânicos (M, L, T) = 3 para fenômenos termo - eletro - mecânicos (θ, q, M, L, T) = 5. No caso em que o número de incógnitas supera o número de equações, ... ... trabalha-se com o teorema de Bridgman na montagem dos grupos adimensionais e ... ... com o teorema de Buckingham na determinação do número de grupos existente. MECÂNICA DOS FLUIDOS / HIDRÁULICA – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 81 - 5.3 Teorema de Buckingham Se um fenômeno é regido por n grandezas e cada uma delas tem expressão dimensional em termos de p grandezas fundamentais, então o fenômeno pode ser representado por (n - p) grupos adimensionais e independentes entre si, denominados grupos π. As n grandezas primárias (a) são representadas em termos de p grandezas fundamentais (d): pi ki 2i i1 x p x k x 2 x 1 i ... d ... d d a = d sendo xki = expoente da k-ésima grandeza fundamental na expressão da i-ésima grandeza primária; Substituindo as dimensões na expressão implícita do Teorema de Bridgman 1 ... a a C a n 2 1 c n c 2 1c = resulta ( ) ( ) 0 p 0 1 c x p x 1 c x p 1x ... d d ... d ... d ... d C d n pn 1n 1 p1 11 = ou 0 p 0 1 c ... x c x c x p c ... x c x c 1x ... d d ... d C d n pn p2 2 p1 1 n 1n 12 2 11 1 = + + + + + + e na forma de sistema de equações: 0 c x ... c x c x ... 0 c x ... c x c x 0 c x ... c x c x pn n p2 2 1 1 p 2n n 22 2 1 21 1n n 12 2 1 11 = + + + = + + + = + + + se n > p o sistema é indeterminado e sabe-se que é possível representar p incógnitas ci em função das n - p restantes, se o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas xji for diferente de zero Então, além da representação em termos de ( n ) 2 1 ,...,a a, f a , ... ... podemos trabalhar com ( n p ) 2 1 ,..., , F π − π π , o que, ... ... além de reduzir o número de incógnitas, permite a investigação experimental sobre grandezas adimensionais e independentes entre si, normalmente com significados físicos característicos. MECÂNICA DOS FLUIDOS / HIDRÁULICA – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 82 - Teorema de Bridgman: Toda a grandeza secundária pode ser representada por um produto de potências de grandezas primárias  ( n ) 2 1 ,...,a a, f a = 1 Teorema de Buckingham: Se um fenômeno é regido por n grandezas e cada uma delas tem expressão dimensional em termos de p grandezas fundamentais, então o fenômeno pode ser representado por (n - p) grupos adimensionais e independentes entre si, denominados grupos π.  ( n p ) 2 1 ,..., , F π − π π = 1 5.3.1 Exemplo: números adimensionais na hidráulica Determinar as relações entre grandezas intervenientes no caso geral do escoamento, tendo somente a gravidade como força motriz. SOLUÇÃO: Adotando as grandezas do quadro abaixo como as intervenientes na descrição completa do fenômeno, Representação Grandeza Símbolo dinâmica do escoamento pressão p velocidade V aceleração da gravidade g geometria do escoamento característica geométrica longitudinal l característica geométrica transversal λ característica geométrica das irregularidades das fronteiras do escoamento η natureza do fluido massa específica ρ coeficiente de viscosidade dinâmico µ coeficiente de tensão superficial σ módulo de compressibilidade volumétrica ε tem-se um total de n = 10 grandezas. MECÂNICA DOS FLUIDOS / HIDRÁULICA – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 84 - Sistema de equações: 0 2c 2c 2c c c 2c 0 c c c 3c c c c c c 0 c c c c c 10 9 8 7 2 1 10 9 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 1 = − − − − − − = + − − − + + + + − = + + + + Escolhendo c2, c3 e c6 para serem calculadas  obtenção do 1° grupo adimensional: adotando c7 = –1 e c1=c4=c5=c8=c9=c10=0, o sistema de equações torna-se 0 1 c 0 1 3c c c 0 1 c 2 6 3 2 6 + = − + = − + − = cuja solução é c2 = 1 ; c3 = 1 e c6 = 1 ; apenas a 1ª das infinitas soluções matemáticas e a 1ª das 7 soluções adimensionais e independentes que é ... Re V l 1 = µ π = ρ denominado número de Reynolds, ... ...representativo da razão entre forças INÉRCIA/VISCOSIDADE OBSERVAÇÃO: outros valores adotados para c7, permanecendo nulas as demais incógnitas, resultam em outras das infinitas soluções do sistema de equações, no entanto, não serão soluções independentes dessa primeira. Os demais grupos são obtidos seguindo procedimento análogo.  obtenção do 2° grupo adimensional: adotando c10 = –1/2 e c1=c4=c5=c7=c8=c9=0, obtém-se c2 = 1 ; c3 = -1/2 e c6 = 0, que substituídos ... Fr g l V 2 = = π denominado número de Froude, ... ...representativo da razão entre forças INÉRCIA/GRAVITACIONAIS NOTA: l g = velocidade de uma onda gravitacional. MECÂNICA DOS FLUIDOS / HIDRÁULICA – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 85 - Sistema de equações: 0 2c 2c 2c c c 2c 0 c c c 3c c c c c c 0 c c c c c 10 9 8 7 2 1 10 9 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 1 = − − − − − − = + − − − + + + + − = + + + + Escolhendo c2, c3 e c6 para serem calculadas  obtenção do 3° grupo adimensional: adotando c9 = –1/2 e c1=c4=c5=c7=c8=c10=0, obtém-se c2 = 1 ; c3 = 0 e c6 = 1/2, que substituídos ... Ma V 3 = = π ερ denominado número de Mach, ... ...representativo da razão entre forças INÉRCIA/ELÁSTICAS NOTA: ερ = velocidade de uma onda mecânica em um meio material.  obtenção do 4° grupo adimensional: adotando c1 = 1 e c4=c5=c7=c8=c9=c10=0, obtém-se c2 = -2 ; c3 = 0 e c6 = -1, que substituídos ... Eu V p 2 4 = ρ π = denominado número de Euler, ... ...representativo da razão entre forças PRESSÃO/INÉRCIA.  obtenção do 5° grupo adimensional: adotando c8 = -1 e c1=c4=c5=c7=c9=c10=0, obtém-se c2 = 2 ; c3 = 1 e c6 = 1, que substituídos ... We l V2 5 = σ π = ρ denominado número de Weber, ... ...representativo da razão entre forças INÉRCIA/TENSÃO SUPERFICIAL. MECÂNICA DOS FLUIDOS / HIDRÁULICA – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 86 - Sistema de equações: 0 2c 2c 2c c c 2c 0 c c c 3c c c c c c 0 c c c c c 10 9 8 7 2 1 10 9 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 1 = − − − − − − = + − − − + + + + − = + + + + Escolhendo c2, c3 e c6 para serem calculadas  obtenção do 6° grupo adimensional: adotando c4 = 1 e c1=c5=c7=c8=c9=c10=0, obtém-se c2 = 0 ; c3 = -1 e c6 = 0, que substituídos ... l 6 π = λ representativo da relação entre dimensões transversais e longitudinais.  obtenção do 7° grupo adimensional: adotando c5 = 1 e c1=c4=c7=c8=c9=c10=0, obtém-se c2 = 0 ; c3 = -1 e c6 = 0, que substituídos ... l 7 π = η representativo da relação entre dimensões das irregularidades das fronteiras e longitudinais. OBSERVAÇÕES: • Pelo Teorema de Buckingham, nenhum outro grupo adimensional pode ser formado, sem que resulte de combinações com os aqui apresentados. A função ... ... ( 7 ) 6 5 4 3 2 1 , , , , , , F π π π π π π π é representada por ( F Re,Fr,Ma,We,Eu, l , l ) η λ e, ... ...embora a correlação completa não seja possível de determinar, tem-se o estudo via experimentos racionais bastante mais organizado e fornecendo respostas mais rápidas e a menor custo. • No emprego de modelação física, dependendo das características de cada problema investigado, certos efeitos podem ser desconsiderados em presença de outros, que sejam preponderantes, simplificando o procedimento dos experimentos racionais. • Isto significa que apenas alguns números adimensionais serão considerados, simultaneamente, durante as análises. MECÂNICA DOS FLUIDOS / HIDRÁULICA – IPH/UFRGS Luiz Augusto Magalhães Endres - 90 - 5.4 Noções sobre teoria de modelos reduzidos É parte da Teoria da Semelhança onde ... ... dois sistemas (MODELO & PROTÓTIPO) possuem comportamento semelhante quando: 1°) aspecto qualitativo: o mesmo fenômeno, envolvendo as mesmas grandezas, ocorre nos dois sistemas; e 2°) aspecto quantitativo: para cada grupo de grandezas, existem relações constantes e independentes nos dois sistemas. A utilização da teoria da semelhança consiste em obedecer determinados princípios para: • exploração de modelos físicos; • estabelecimento do tipo de relação entre grandezas intervenientes em um fenômeno; e • estabelecimento das relações de transferência das grandezas entre modelo e protótipo. Os problemas em que a modelagem física se aplica: • onde a equação de previsão tem condições de contorno de difícil expressão para a modelação matemática; e • onde a equação de previsão é desconhecida. Nos problemas de modelagem reduzida ... ... a escala de uma grandeza é a razão entre os valores por ela assumidos ... ... no modelo (m) e no protótipo (p): para uma grandeza genérica α = α α α ) p m , é a escala de α As relações existentes entre as escalas envolvidas em determinado estudo, ... ... são as condições de semelhança = igualdade entre as relações de forças (os números adimensionais) entre modelo e protótipo.