Lista de Exercícios Resolvidos - Álgebra Linear - Transformações Lineares UFV

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Departamento de Matemática 5a Lista MAT 137 Introdução a Álgebra Linear PHT 1 Entre as funções dadas abaixo verifique quais sao transformacoes lineares a T IR2 IR2 T x y x2 y b T IR2 IR2 T x y x x 1 c T IR2 M2IR T x y 2y 3x y x y d T P3IR P2IR T ax3 bx2 cx d bx2 cx d 2 Considere a aplicacao T IR2 IR3 definida por T x y x ky x k y Verifique em que casos T e linear k x k 0 k 1 k y 3 Encontrar a imagem do quadrado de vertices P1 0 0 P2 1 0 P3 0 1 e P4 1 1 pela transformacao linear dada por T x y x 2y 2x y Esboce um desenho 4 Seja T U V transformacao linear tal que T u 3u e T v u v Calcular em funcao de u e v a T u v b T 3v c T 4u 5v 5 Seja T U V uma aplicacao linear entre espacos vetoriais reais Mostre que a Se T e transformacao linear entao T 0U 0V Transformacao linear leva vetor nulo em vetor nulo b T e transformacao linear se e somente se T αu βv αT u βT v para quaisquer u v U e α β IR 6 Seja T IR3 IR2 uma transformacao linear definida por T 1 1 1 1 2 T 1 1 0 2 3 e T 1 0 0 3 4 a Determine T x y z b Determine v IR3 tal que T v 3 2 c Determine v IR3 tal que T v 0 0 7 Encontrar a transformacao linear T IR2 IR2 que leva um ponto x y em a Sua reflexao em torno da reta y x b Sua reflexao atraves da origem c Sua projecao ortogonal sobre o eixo x 8 Achar a transformacao linear T IR3 IR3 que leva o ponto x y z em sua reflexao atraves do plano xy 9 Dadas as transformacoes lineares T IRn IRm determine para cada uma delas i Determinar o nucleo uma base para este subespaco e a sua dimensao T e injetora Justifique ii Determinar a imagem de T uma base para este subespaco e sua dimensao T e sobrejetora Justifique iii Quais dos seguintes vetores 1 1 1 0 0 0 3 3 3 pertencem ao nucleo de T na letra b a T x y x y x 2y b T x y z x y y z 10 Determine uma base e a dimensao do nucleo e da imagem da transformacao linear T M2IR M2IR definida por T X MX XM sendo M 1 2 0 1 11 Considere T IR3 IR3 dada por T x y z x y 0 Qual e o nucleo e a imagem da transformacao linear Neste caso o que representam estes conjuntos geometricamente Qual a relacao entre a dimensao da imagem a dimensao do nucleo e a dimensao do domınio da transformacao 12 Se T V W e uma transformacao linear mostre que ImT e NT sao subespacos vetoriais de W e V respectivamente 13 Seja L P3IR P3IR definida por Lat3 bt2 ct d a bt3 c dt a O vetor t3 t2 t 1 pertence a NL b O vetor 3t3 t pertence a ImL c Determine uma base para NL e dim NL d Determine uma base para ImL e dim ImL 14 Determine uma transformacao linear T IR3 IR2 cujo nucleo seja gerado pelos vetores e1 1 0 0 e e2 0 1 0 15 Determine uma transformacao linear T IR2 IR3 cuja imagem seja gerada pelos vetores v1 1 1 1 e v2 0 1 1 16 Seja F V IR5 uma transformacao linear a Se F e sobrejetora e dim NF 2 qual e a dim V b Se F e injetora e sobrejetora qual e a dimV 17 Sejam V e U espacos vetoriais e T V U uma transformacao linear Mostre que a Se os vetores v1 v2 vn geram V entao os vetores T v1 T v2 T vn U geram ImT b Se S v1 v2 vn e LI S V e T e injetora entao T v1 T v2 T vn e LI Mostre com um contraexemplo que o fato de T ser injetora e essencial para que T v1 T v2 T vn seja LI 18 Considere a aplicacao T M2IR IR dada por T A11 a12 a21 a22 a11 a22 a Mostre que T e uma transformacao linear b A matriz A 2 1 2 2 pertence ao nucleo de T c Encontre uma base e a dimensao do nucleo de T d Encontre uma base e a dimensao da imagem de T 19 Considere os operadores lineares do IR3 definidos por T x y z x 3y 2z y 4z z e T x y z x x y 2x y z Verifique quais dos operadores lineares acima sao isomorfismos e os que forem determinar o isomorfismo inverso Caso negativo ache uma base para NT e ImT 20 Se a matriz de uma transformacao linear T IR2 IR3 e T CB 3 1 2 5 1 1 onde B 1 1 1 0 e C 1 1 1 2 1 0 1 1 0 sao as bases de IR2 e IR3 respectivamente a Encontre a expressao de T x y e a matriz da transformacao com respeito as bases canonicas de cada espaco b Qual a imagem do vetor 2 3 pela T c Se T v 2 4 2 encontre se possıvel o vetor v 21 Seja T IR3 IR3 um operador linear tal que T 1 0 1 1 1 0 T 0 1 0 1 0 1 e T 0 1 1 0 0 1 a Determine T x y z b Determine a matriz da transformacao com respeito a base canonica de IR3 c T e isomorfismo Se for calcule sua inversa 22 Sejam S IR2 IR2 dada por Sx y y x e T IR2 IR2 dada por T x y x y Geometricamente S e T produzem reflexoes em relacao as retas y x e x 0 respectivamente Determine a S1x y b T1x y c S T x y e interprete geometricamente d T Sx y e interprete geometricamente 23 Seja T IR2 IR2 a reflexao em torno da reta y 3x Encontre uma base B de IR2 tal que T B 1 0 0 1 24 Sejam u1 1 2 1 u2 a 0 1 e u3 1 b c e T um operador linear em IR3 tal que ImT u1 u2 u3 a Para que valores de a b e c o operador e um isomorfismo b Para que valores de a b e c o nucleo de T tera dimensao 1 c Para que valores de a b e c o nucleo de T tera dimensao 2 d A dimensao do nucleo de T pode ser 3 25 Seja T IR3 IR3 um operador linear tal que T x y z x y x 2y z y z a Encontre T BC sendo B 1 0 0 0 1 1 1 0 1 e C 1 0 1 0 1 1 0 0 1 b Se T vC 1 2 1 encontre v 26 Sejam os vetores v1 1 3 v2 1 4 e a matriz T B 1 3 2 5 onde B v1 v2 a Determine T v1B e T v2B b Encontre T v1 e T v2 c Encontre T x y 27 Determine a transformacao linear T IR2 IR3 tal que T BC 0 2 1 0 1 3 onde B 1 1 0 1 e C 0 3 0 1 0 0 0 1 1 28 Determine a transformação linear T P2IR P2IR tal que T1 x Tx 1 x2 e Tx2 2x Encontre NT e ImT 29 Sejam T1 IR2 IR2 e T2 IR2 IR3 dadas por T1 x y 3x y 3x y e T2 x y x y x 2y a Calcule T2 o T1 IR2 IR3 b Mostre que T2 o T1 é uma transformação linear c Calcule T1B T2C e T2 o T1C onde B e C são as bases canônicas do IR2 e IR3 respectivamente d Compare as matrizes T2C T1B e T2 o T1C O que você observa 30 Seja T IR2 IR2 uma transformação linear que dobra o comprimento do vetor u 2 1 e triplica o comprimento do vetor v 1 2 sem alterar as direções e nem inverter os sentidos a Determine Tx y b Qual é a matriz do operador T na base 2 1 1 2 exercício 31 31 Verifique se o vetor v dado é autovetor do correspondente operador linear a v 2 1 TC 2 2 1 3 e C base canônica de IR2 b v 1 1 2 TC 1 1 1 0 2 1 0 2 3 e C é a base canônica de IR3 32 Determine os autovalores e autovetores das seguintes transformações lineares a T IR2 IR2 Tx y x 2y x 4y b T IR2 IR2 Tx y 2x 2y x 3y c T IR3 IR3 Tx y z x y z 2y z 2y 3z d T IR3 IR3 Tx y z x 2x y 2x y 2z 33 Determine o operador linear T IR2 IR2 cujos autovalores são lambda1 3 e lambda2 2 associados aos autovetores v1 1 2 e v2 1 0 respectivamente 34 Suponha que o polinômio característico do operador linear T seja px xx 22x 23x 34 Responda justificando cada ítem a Qual a dimensão do domínio de T b T é inversível c Quantos autoespaços tem T d O que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de T e O que podemos dizer sobre as dimensões dos autoespaços de T se souber que T é diagonalizável f Seja v1 v2 v3 um conjunto LI de autovetores de T todos associados ao mesmo autovalor O que podemos dizer sobre este autovalor 35 Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta a Toda transformação linear sobrejetora tem obrigatoriamente núcleo de dimensão zero b Se T V W é uma transformação linear e dimV dimW então T não pode ser sobrejetora c Seja T V V uma transformacao linear Se dimV n entao uma condicao suficiente para que T seja diagonalizavel e que T tenha n autovalores distintos 36 Sejam T V V e S W W operadores lineares onde TB 1 2 1 0 5 2 1 3 2 e SC 1 2 3 4 0 1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 para determinadas bases B e C de V e W respectivamente Procure observar neste exercıcio as seguintes propriedades a Se um operador admite λ 0 como autovalor entao T nao e inversıvel b Se ao inves das matrizes acima tivessemos a sua transposta os autovalores permaneceriam os mesmos c Os autovalores de uma transformacao liner cuja matriz com respeito a uma base e triangular os auto valores sao os elementos da diagonal principal 37 Seja T um operador linear em IR3 e a matriz de T com respeito a base canˆonica e dada por TC 2 0 1 0 3 1 0 0 3 a Encontre o polinˆomio caracterıstico de T os autovalores e autovetores correspondentes b Ache TB onde B 0 1 1 0 1 1 1 0 1 O que vocˆe observou 38 Verifique se a transformacao linear T IR3 IR3 dada por Tx y z x y x 3y 2z e diagonalizavel Caso a resposta seja positiva indique a matriz diagonal de T e a base em relacao a qual T e diagonalizavel 39 Suponha que λ1 e λ2 sejam autovalores distintos e diferentes de zero de T IR2 IR2 Mostre que a Os autovetores v1 e v2 correspondentes sao LI b Tv1 e Tv2 sao LI 40 Seja T um operador linear em IR2 Sabendo que T duplica o vetor 1 1 e triplica o vetor 0 1 sem alterar o sentido deles determine Tx y A transformacao linear T e diagonalizavel Justifique sua resposta Se for dˆe a base do IR2 com relacao a qual a matriz de T e diagonal e escreva a matriz de T com relacao a esta base 41 Dˆe exemplos de a Um operador linear em IR2 que nao possui autovalores reais b Um operador linear em IR3 que satisfaca todas as condicoes abaixo i T e diagonalizavel ii T nao e injetora iii Tv v para qualquer vetor nao nulo iv λ 2 e autovalor de T v v0 1 0 1 e autovetor de T vi Tv0 v0 vii 0 0 2 ImT 42 Verifique se as afirmacoes sao verdadeiras ou falsas e justifique sua resposta a Se Tv λv para algum escalar naonulo λ entao v e autovetor de T 5 b Se lambda é um autovalor do operador linear T então lambda I TBX 0 só tem a solução trivial c Se v1 v2 e v3 são vetores de autoespaços distintos então é impossível escrever v3 como combinação linear de v1 e v2 43 Seja T um operador linear sobre um espaço vetorial de dimensão n a Defina autovalor de T b Se lambda é autovalor de T então 2 lambda é autovalor de 2T c Se lambda é autovalor de T mostre que lambda2 é autovalor de T2 T o T 44 O Teorema de CayleyHamilton afirma que uma matriz quadrada A é uma raíz de seu polinômio característico isto é se px a0 a1 x an xn é o polinômio característico de A então a0 I a1 A a2 A2 an An 0 matriz nula a Verifique este resultado para 3 6 1 2 e 0 1 0 0 0 1 1 3 3 b Este teorema proporciona um método para calcular a inversa e potências n de uma matriz tendo conhecimento de potências inferiores Verifique que isto é verdade tomando por exemplo uma matriz 2 x 2 com polinômio característico c0 c1 x c2 x2 c Calcule agora A2 e A3 sendo A 3 6 1 2 e calcule a inversa da matriz B 0 1 0 0 0 1 1 3 3