Fascículo Geometria Básica II

FASCÍCULO GEOMETRIA BÁSICA II Este fascículo consiste de uma compilação do material didático elaborado com recursos de financiamento advindos do Sistema Universidade Aberta do Brasil pela Fundação Cecierj Consórcio Cederj FERREIRA Edson Luiz Cataldo FONTENELE NETO F X RIOS Isabel Lugão Geometria Básica v 2 3 ed Rio de Janeiro Fundação CECIERJ 2007 Ministério da Educação MEC Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Capes Diretoria de Educação a Distância DED Sistema Universidade Aberta do Brasil UAB Universidade Federal do Acre Ufac Núcleo de Interiorização e Educação a Distância Niead Reitora Profa Dra Margarida de Aquino Cunha PróReitora de Graduação Profa Dra Ednaceli Abreu Damasceno Diretor do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Prof Dr Macilon Araújo Costa Neto Coordenador do Núcleo de Interiorização e Educação a Distância Prof Dr Sandro Ricardo Pinto da Silva Coordenação Pedagógica do Núcleo de Interiorização e Educação a Distância Anna Carla da Paz e Paes Montysuma Rogeria Gadelha dos Santos da Silva Diagramação Esp Daniela Barivieri Pacheco Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática a Distância Prof Ms José Roberto Guimarães de Souza Fotografia capa Gustavo Ribeiro Unidade 1 SUMÁRIO 05 16 25 38 48 58 67 78 86 95 103 111 126 134 145 Unidade 1 Aula 18 Paralelismo no espaço Aula 19 Paralelismo entre planos Aula 20 Ângulos no espaço Parte I Aula 21 Ângulos no espaço Parte II Aula 22 O prisma Aula 23 A pirâmide Aula 24 O cilindro e o cone Aula 25 A esfera Aula 26 Poliedros Unidade 2 Aula 27 Introdução ao conceito de volume Aula 28 Volume de prismas e cilindros Aula 29 Volume de pirâmides cones e esferas Aula 30 Área de superfície Parte I Aula 31 Área de superfície Parte II Aula 32 Inscrições e circunscrição de sólidos 5 Paralelismo no espaco M ODULO 2 AULA 18 Aula 18 Paralelismo no espaco Objetivos Identificar paralelismo entre retas Identificar paralelismo entre reta e plano Introducao Neste modulo iniciaremos o estudo da Geometria Espacial O que fize mos ate aqui foi estudar as propriedades das figuras que estao contidas em um plano triˆangulos cırculos etc Vimos tambem como se relacionam as retas as semiretas e os segmentos de reta quando estao contidos em um mesmo plano A partir de agora veremos como as retas semiretas e segmentos podem estar dispostos no espaco Veremos tambem os solidos geometricos que sao as figuras espaciais e algumas de suas propriedades No inıcio do nosso estudo de Geometria Plana partimos de um conjunto de afirmacoes elementares os axiomas e a partir deles provamos outras propriedades menos elementares as proposicoes e os teoremas Aqueles axiomas das aulas iniciais tambem serao utilizados no estudo da Geometria Espacial que faremos aqui Alem deles utilizaremos quatro outros que sao Compare os axiomas do quadro com os axiomas de incidˆencia da aula 1 Por trˆes pontos nao colineares passa um unico plano Se dois planos distintos tˆem um ponto em comum entao a intersecao entre eles e uma reta Qualquer que seja o plano existem infinitos pontos nesse plano e infinitos pontos fora dele Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano entao essa reta esta contida nesse plano Por que as vezes temos que colocar calcos em mesas de quatro pernas e isso nunca e necessario em mesas de trˆes pernas Para melhor entender as ideias expressas nesses axiomas vocˆe pode utilizar materiais como capas de caderno ou folhas de isopor representando planos e lapis ou palitos de churrasco representando retas O desenho que ja nao servia antes para tirar conclusoes agora tem uma dificuldade adicional para desenhar objetos que nao sao planos temos que recorrer a tecnicas mais refinadas de desenho para dar a ideia da posicao dos elementos do desenho 63 CEDERJ no espaço A utilização de objetos como os citados poderá ser mais útil nesse primeiro momento Observe que um plano pode estar posicionado no espaço de várias maneiras Por exemplo imagine uma tábua representando um pedaço de plano Você pode colocála deitada no chão em pé inclinada de várias maneiras pode também arrastála para outros lugares Isso dá a ideia de que há infinitos planos no espaço como há infinitas retas em um plano Quando destacamos algum deles é porque estamos interessados em alguma propriedade especial Como uma primeira consequência dos novos axiomas mostramos que por duas retas concorrentes passa um único plano Sejam r e s retas concorrentes e seja A o seu ponto de interseção Tome um ponto B A em r e um ponto C A em s veja a Figura 181 Figura 181 Retas concorrentes Os pontos A B e C são não colineares e portanto existe um único plano que os contém Chamemos esse plano de α Como α contém dois pontos distintos de r A e B então a reta r está contida no plano α Da mesma forma como A e C pertencem a α temse s α Se houvesse um outro plano contendo as retas r e s ele também conteria os pontos A B e C mas só existe um plano contendo esses três pontos que é α veja a Figura 182 Provamos assim que Proposição 1 Por duas retas concorrentes passa um único plano Figura 182 Plano contendo r e s Quando uma coleção de retas de pontos de retas e pontos etc está contida em um mesmo plano dizemos que os objetos da coleção são coplanares Por exemplo duas retas concorrentes são coplanares como acabamos de ver e de acordo com o primeiro axioma desta aula três pontos são coplanares Observe que três pontos são coplanares mesmo que sejam colineares Nesse caso existem infinitos planos que os contêm Veremos também no exercício 3 que uma reta e um ponto são sempre coplanares As retas r e s por definição são paralelas Mostramos então que existe uma reta passando por P paralela a r quando esses objetos são considerados no espaço Será que existe no espaço outra reta com essa propriedade Sabemos que no plano α uma tal reta não existe pois o quinto postulado garante a unicidade del reta no plano Mostraremos que não existe também fora do plano outra reta paralela a r passando por P ou seja que o quinto postulado também vale no espaço Duas retas são reversas se não existe nenhum plano que contenha as duas A próxima proposição trata de paralelismo de retas Se duas retas distintas são paralelas a uma terceira então elas são paralelas entre si Note que os planos β e γ são distintos e têm o ponto B em comum Dois planos assim se intersectam em uma reta Gostaríamos de afirmar que essa reta e s mas ainda não sabemos Por enquanto vamos chamála de u a reta u está nos planos β e γ e contém o ponto B As retas r e s não se intersectam pois r α Como r e s estão contidas em β segue que r e s são paralelas Assim provamos a proposição a seguir Se r cortasse α em um ponto A esse ponto teria que estar na interseção de β e α pois r está em β Daí teríamos A s o que não pode acontecer pois r e s são paralelas Logo r e α não se intersectam 13 Paralelismo no espaco M ODULO 2 AULA 18 4 Se trˆes retas sao duas a duas concorrentes e nao passam pelo mesmo ponto prove que elas sao coplanares 5 Construa quatro pontos nao coplanares 6 Dada uma reta r mostre que existem infinitos planos contendo r 7 Diga se cada uma das afirmacoes a seguir e verdadeira ou falsa a Por trˆes pontos distintos passa um unico plano b Se trˆes retas passam pelo mesmo ponto entao essas retas sao coplanares c Por dois pontos distintos passam infinitos planos d Quatro pontos nao coplanares determinam quatro planos 8 Prove que existe um unico plano contendo duas retas paralelas 9 Construa trˆes retas duas a duas reversas 10 Diga se cada uma das afirmacoes a seguir e verdadeira ou falsa a trˆes retas duas a duas paralelas determinam trˆes planos b se uma reta corta uma de duas retas paralelas entao corta tambem a outra c se r e s sao reversas com t entao r e s sao reversas entre si d se uma reta e reversa com uma de duas retas paralelas entao e reversa tambem com a outra 11 Sejam r e s retas reversas e P um ponto que nao pertence a r nem a s Prove que existe no maximo uma reta que passa por P e corta r e s Podese garantir que sempre existe uma Justifique 12 Considere duas retas reversas r e s e pontos A r e B s Seja α o plano que contem r e B e seja β o plano que contem s e A Determine α β 13 Dada uma reta r mostre como obter um plano α paralelo a r 14 Sejam r e s retas reversas Prove que existe um unico plano contendo r e paralelo a s 71 CEDERJ 14 Paralelismo no espaco 15 A Figura 1813 mostra um quadrilatero ABCD em que os vertices A B C e D sao nao coplanares Chamamos um tal quadrilatero de reverso Prove que o quadrilatero determinado pelos pontos medios dos lados de ABCD e um paralelogramo A B C D Figura 1813 Exercıcio 15 16 Sejam r e s retas reversas e P um ponto que nao pertence a r nem a s Prove que existe no maximo um plano contendo P e paralelo as retas r e s Podese garantir que sempre existe um Justifique 17 Diga se cada uma das afirmacoes a seguir e verdadeira ou falsa a Se uma reta e paralela a um plano ela e paralela a qualquer reta do plano b Se uma reta corta um plano corta qualquer reta do plano c Se duas retas sao paralelas a um plano entao elas sao paralelas entre si d Por um ponto fora de um plano passa uma unica reta paralela ao plano e Por um ponto fora de uma reta passam infinitos planos paralelos a reta f Dados um ponto P e retas reversas r e s sempre existe uma reta que passa por P e corta r e s CEDERJ 72 15 Paralelismo no espaco M ODULO 2 AULA 18 18 O objetivo deste exercıcio e provar a proposicao 6 Se uma reta r e paralela a dois planos secantes α e β entao r e paralela a reta de intersecao entre α e β Isso sera feito da seguinte forma faremos uma serie de afirmacoes e cabera a vocˆe justificalas Seja s α β e tome um ponto A s Seja γ o plano contendo r e o ponto A A intersecao entre γ e α e uma reta que chamaremos t1 A intersecao entre γ e β e uma reta que chamaremos t2 Temos rt1 e rt2 t1 t2 α β rα β 19 Suponha que uma reta r esteja contida em um plano α Se uma reta s corta α em um ponto P r prove que nao existe um plano que contem r e s 73 CEDERJ 16 Paralelismo entre planos M ODULO 2 AULA 19 Aula 19 Paralelismo entre planos Objetivo Identificar paralelismo entre planos Introducao Na aula anterior vimos os conceitos de paralelismo entre retas e pa ralelismo entre reta e plano no espaco Nesta aula veremos o conceito de paralelismo entre planos Definicao 1 Dois planos sao chamados paralelos se eles nao se intersectam Em geral o forro do teto e o piso de um quarto dao uma boa ideia do paralelismo entre planos mas nao em algumas casas que tˆem o forro inclinado Duas paredes opostas de um quarto tambem costumam dar uma ideia de planos paralelos a nao ser quando sao tortas ou conver gentes como alguns chamam Podemos imaginar o prolongamento dessas paredes infinitamente em todas as direcoes para nos convencer de que elas nao devem se encontrar em nenhum ponto A seguinte proposicao fornece um criterio para o paralelismo entre planos Proposicao 1 Se um plano e paralelo a duas retas concorrentes de outro plano entao esses planos sao paralelos Prova Suponha que o plano α seja paralelo as retas concorrentes r e s contidas no plano β Queremos provar que α e β sao paralelos Vamos provar isso por contradicao Suponha que α e β nao sejam paralelos Como α e β sao distintos por quˆe a intersecao entre α e β e uma reta que chamaremos t veja a Figura 191 Como r e s sao paralelas a α e t α temos que r t e s t Como r s e t estao em β segue que r e s sao paralelas a t Como r e s tˆem um ponto em comum pois sao concorrentes ha duas retas paralelas a t passando por um mesmo ponto o que e um absurdo Portanto α e β sao paralelos QED 75 CEDERJ Considere um plano α e um ponto P fora dele Tome duas retas concorrentes r e s em α Já sabemos que existe uma única reta r paralela a r passando por P e uma única reta s paralela a s passando por P As retas r e s são concorrentes no ponto P Seja β o plano que contém r e s veja a Figura 193 A reta r é paralela a r α logo r α Do mesmo modo s α Pela última proposição que provamos podemos concluir que α β Resta agora provar que não existem outros planos paralelos a α passando por P Vamos fazer a prova disso por contradição Suponhamos que exista outro plano β paralelo a α passando por P Como β e β são distintos e têm o ponto P em comum a interseção entre os dois é uma reta que chamaremos de t Sejam u γ β e u γ β Temos que as retas u e u não intersectam o plano α pois estão contidas em planos paralelos a α Logo u e u também não intersectam c porque c α Como u e c estão no plano γ e não se intersectam temos u c Do mesmo modo u c e como u e u passam por P temos duas retas distintas paralelas a c passando pelo ponto P o que é um absurdo Então não podem existir dois planos paralelos a α passando por P QED Proposição 3 Se uma reta corta um de dois planos paralelos então também corta o outro A proposição a seguir também é consequência dos resultados anteriores e sua prova será deixada como exercício Proposição 4 Se um plano corta uma de duas retas paralelas então também corta a outra Nosso objetivo agora é mostrar que duas retas reversas estão contidas em planos paralelos Proposição 5 Se r e s são retas reversas existem planos paralelos α e β tais que r α e s β Prova Sejam r e s retas reversas e escolha quaisquer pontos A r e B s Seja r a reta que passa por A e é paralela a s e seja s a reta que passa por B e é paralela a r Chame de α o plano contendo r e r e de β o plano contendo s e s Figura 196 Como r é paralela à reta s do plano β e r não está contida em β pois r e s são reversas temse rβ Em particular temse que A β e que r não está contida em β Como r é paralela à reta s do plano β temse rβ Assim β é paralelo às retas concorrentes r e r contidas em α de onde se conclui que α e β são paralelos Considere agora dois planos paralelos α e β e uma reta r que os corta Tome dois pontos quaisquer A e B em α e trace por eles retas paralelas a r Chame de A e B os pontos em que essas retas cortam β e trace os segmentos AB e AB como na Figura 197 Como AA e BB são paralelos por construção o quadrilátero ABBA é plano Como α β temse que as retas ĀB e AB são paralelas estão contidas no plano do quadrilátero e não se intersectam Temos então que os lados opostos do quadrilátero ABB A são paralelos ou seja ABB A é um paralelogramo Em consequência disso seus lados opostos são congruentes o que nos dá AA BB Está provada então a seguinte proposição Proposição 6 Os segmentos de retas paralelas localizados entre planos paralelos são congruentes Note que provamos também que AB AB ou seja a distância entre dois pontos de α é igual à distância entre os pontos correspondentes em β Essa propriedade é muito importante e pode ser utilizada para mostrar que uma figura contida em α é congruente à figura correspondente em β Em termos mais precisos temos as seguintes proposições Sejam α e β planos paralelos e r uma reta que os corta Seja P A1A2 An um polígono convexo contido em α e sejam A1 A2 An os pontos em que as retas paralelas a r passando respectivamente pelos pontos A1 A2 An cortam β Então P A1A2 An é congruente a P A1A2 An A Figura 198 ilustra um caso em que P é um pentágono Prova Para facilitar o entendimento faremos a prova para o caso particular em que P é um pentágono ilustrado na Figura 198 O caso geral é análogo Trace as diagonais A1A3 A1A4 A1A3 e A1A4 dividindo cada pentágono em triângulos Como a distância entre dois pontos de α é igual à distância entre os pontos correspondentes em β temos que A1A2 A1A2 A2A3 A2A3 e A1A3 A1A3 Segue que os triângulos A1A2A3 e A1A2A3 são congruentes caso LLL Da mesma forma provase que A1A3A4 A1A3A4 e A1A4A5 A1A4A5 Consequentemente os lados e ângulos internos de P são congruentes aos lados e ângulos internos correspondentes de P Logo P e P são congruentes QED 23 Paralelismo entre planos Proposicao 8 Sejam α e β planos paralelos e r uma reta que os corta Seja Γ um cırculo contido em α Por cada ponto A Γ passe uma reta paralela a r e seja A o ponto em que essa reta corta β Chamemos de Γ o conjunto de todos os pontos determinados dessa forma Temse que Γ e um cırculo de mesmo raio que Γ veja a Figura 199 Figura 199 Γ e a figura de β correspondente a Γ Resumo Nesta aula vocˆe aprendeu Criterios para identificar se dois planos sao paralelos Resultados envolvendo paralelismo entre planos Exercıcios 1 Prove que se dois planos sao paralelos entao todo plano que corta um deles corta tambem o outro 2 Sejam α e β planos paralelos e r uma reta paralela a α Prove que r β ou rβ 3 Transitividade do paralelismo de planos Prove que se dois pla nos distintos sao paralelos a um terceiro entao eles sao paralelos entre si CEDERJ 82 24 Paralelismo entre planos M ODULO 2 AULA 19 4 Seja r uma reta que corta um plano α e seja P um ponto que nao pertence a α nem a r Quantas retas paralelas ao plano α passam por P e intersectam r Justifique sua resposta 5 Diga se cada uma das afirmacoes a seguir e verdadeira ou falsa Se dois planos sao paralelos existe uma reta de um deles que e paralela a qualquer reta do outro Se dois planos sao paralelos existe uma reta de um deles que nao e paralela a nenhuma reta do outro Se r e s sao reversas e P e um ponto que nao pertence a r nem a s entao existe um unico plano que passa por P e e paralelo a r e a s Se uma reta e paralela a dois planos distintos entao esses planos sao paralelos Se duas retas de um plano sao respectivamente paralelas a duas retas concorrentes de outro plano entao esses planos sao paralelos 6 Sejam α1 α2 e α3 trˆes planos paralelos e r e s retas que os cortam Chame de R1 R2 e R3 os pontos em que r corta α1 α2 e α3 res pectivamente e de S1 S2 e S3 os pontos em que s corta α1 α2 e α3 respectivamente Prove que mR1R2 mS1S2 mR1R3 mS1S3 mR2R3 mS2S3 7 Sejam r e s retas reversas Prove que o conjunto dos pontos medios de todos os segmentos que tˆem um extremo em r e o outro em s e um plano 8 Prove a proposicao 4 Se um plano corta uma de duas retas paralelas entao corta tambem a outra 9 Prove a proposicao 8 Sejam α e β planos paralelos e r uma reta que os corta Seja Γ um cırculo contido em α Por cada ponto A Γ passe uma reta paralela a r e seja A o ponto em que essa reta corta β Chamemos de Γ o conjunto de todos os pontos determinados dessa forma Temse que Γ e um cırculo de mesmo raio que Γ 83 CEDERJ Aula 20 Ângulos no espaço parte I Objetivos Entender o significado de ângulo entre duas retas no espaço Identificar quando duas retas são perpendiculares no espaço Identificar quando uma reta é perpendicular a um plano Introdução Nesta aula veremos o conceito de ângulo entre duas retas para retas no espaço concorrentes paralelas ou reversas Veremos também o conceito de perpendicularismo entre reta e plano Na próxima aula continuaremos nossa abordagem do conceito de ângulos no espaço estudando o ângulo entre planos o perpendicularismo entre planos e o ângulo entre reta e plano Dedicaremos duas aulas a esse assunto porque a ideia de ângulo entre objetos no espaço é um pouco mais elaborada que no plano 26 ˆAngulos no espaco parte I Sejam r e s retas reversas e P um ponto qualquer Por P trace as retas r e s paralelas a r e s respectivamente O ˆangulo entre r e s e definido como o ˆangulo entre as retas concorrentes r e s veja a Figura 202 P r r s s Figura 202 ˆAngulo entre retas Provase veja exercıcio 12 desta aula que o ˆangulo encontrado e sem pre o mesmo nao dependendo do ponto P escolhido na construcao Po derıamos inclusive escolher P em r ou em s tomando nesse caso r r respectivamente s s Dizemos que duas retas concorrentes ou reversas sao perpendiculares se o ˆangulo entre elas for 90o Proposicao 1 Se r e perpendicular a s e s e paralela a t entao r e perpendicular a t Prova Tome um ponto qualquer A t e por ele trace a reta r paralela a r Figura 203 r s r t A Figura 203 r paralela a r Como r e s sao perpendiculares segue da definicao de ˆangulo entre retas que r e perpendicular a t Novamente pela definicao de ˆangulo entre retas temse que o ˆangulo entre r e t e igual ao ˆangulo entre r e t Logo r e perpendicular a t QED CEDERJ 86 Figura 204 Reta perpendicular e reta oblíqua a α O seguinte resultado é bastante usado para se provar que uma reta é perpendicular a um plano Proposição 2 Se uma reta r é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano então ela é perpendicular ao plano Prova Suponha que uma reta r seja perpendicular a duas retas concorrentes s e t contidas em um plano α Queremos provar que rα ou seja que r é perpendicular a qualquer reta de α Seja A o ponto de encontro entre s e t Temos dois casos a considerar quando r contém o ponto A e quando r não contém o ponto A 1º caso A reta r contém o ponto A Nesse caso considere dois pontos B e C sobre r em lados opostos de A tais que AB AC Tome um ponto D A em s e pontos E e F em t localizados em lados opostos de A Figura 205 Perpendicularismo entre reta e plano Dizemos que uma reta é perpendicular a um plano se ela for perpendicular a todas as retas contidas nesse plano Caso contrário dizemos que ela é oblíqua ao plano Na Figura 204 r é perpendicular a α e s é oblíqua a α Usaremos o símbolo para indicar o perpendicularismo entre retas entre reta e plano e mais à frente entre planos Por exemplo na Figura 204 temos rα Provamos então que r é perpendicular a qualquer reta de α passando por A Se m é uma reta de α que não passa por A consideremos a reta m paralela a m passando por A como na Figura 207 Como foi provado r m e já que mm segue da proposição anterior que r m 2º caso A reta r não contém o ponto A Nesse caso chame de r a reta paralela a r passando por A Como r s e r t segue da proposição anterior que r s e r t Figura 208 Pelo 1º caso já provado temse que r é perpendicular a todas as retas de α Como rr segue que r também é perpendicular a todas as retas de α QED Apresentamos a seguir quatro proposições cujas provas serão colocadas nos exercícios desta aula Proposição 3 Se uma reta r é perpendicular a um plano α e paralela a uma reta s então s é perpendicular a α Proposição 4 Se uma reta r é perpendicular a um plano α e α é paralelo a um plano β então r é perpendicular a β Proposição 5 Se duas retas distintas r e s são perpendiculares a um plano α então r é paralelo a s Proposição 6 Se dois planos distintos α e β são perpendiculares a uma reta r então α é paralelo a β Terminaremos esta aula com dois resultados que falam de perpendicularismo existe um único plano perpendicular a uma reta dada passando por um ponto dado e existe uma única reta perpendicular a um plano dado passando por um ponto dado Proposição 7 Dados uma reta r e um ponto P existe um único plano passando por P e perpendicular a r Prova Temos que provar duas coisas A primeira é que existe um plano passando por P e perpendicular a r Chamamos isso de prova da existência A segunda é que esse plano é o único com essas propriedades Chamamos isso de prova da unicidade Para provar a existência considere dois planos distintos α e β contendo r e tome um ponto A r Seja s a reta de α passando por A e perpendicular a r note que no plano já provamos a existência e a unicidade de perpendicular passando por um ponto e seja t a reta de β passando por A e perpendicular a r Chame de γ ao plano contendo s e t Figura 209 A reta r é perpendicular a duas retas concorrentes de γ portanto r γ Se o ponto P estiver em γ a demonstração está concluída Se não chame de γ o único plano paralelo a γ passando por P Pela proposição 4 desta aula concluímos que r γ e fica provada a existência Para provar a unicidade suponha que existam dois planos distintos γ1 e γ2 passando por P e perpendiculares a r A proposição 6 garante que γ1γ2 ou seja γ1 γ2 Mas isso é uma contradição pois ambos os planos passam pelo ponto P Portanto existe um único plano passando por P e perpendicular a r QED Proposição 8 Dados um plano α e um ponto P existe uma única reta passando por P e perpendicular a α Prova Provaremos primeiro a existência Tome uma reta r α e um ponto A r Chame de s a reta de α passando por A e perpendicular a r Sejam β o plano passando por A e perpendicular a r e γ o plano passando por A e perpendicular a s Chame de t a interseção entre β e γ Figura 2010 Note que as provas das duas proposições anteriores são muito parecidas Na verdade muitas das propostas têm enunciados parecidos trocando retas por planos Ao reler esta aula faça uma lista relacionando cada enunciado com outros que sejam semelhantes Recorde também os enunciados semelhantes da parte de geometria plana Aula 5 Vamos concluir esta aula com uma definição Definição 1 Dados um plano α e um ponto P fora de α seja Q o ponto em que a perpendicular a α passando por P intersecta α O ponto Q é chamado de pé da perpendicular baixada de P ao plano α O ponto R da reta PQ tal que Q está entre P e R e PQ QR é chamado de reflexo de P relativo ao plano α Figura 2011 Provase que Q é o ponto de α mais próximo de P veja o exercício 9 desta aula Resumo Nesta aula você aprendeu Conceito de ângulo entre retas Perpendicularidade entre reta e reta e entre reta e plano Exercícios 1 Diga se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa Se r e s são perpendiculares a t então r e s são paralelas Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano então ela é perpendicular ao plano Se duas retas reversas são paralelas a um plano então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano Se duas retas paralelas entre si são paralelas a um plano então toda reta perpendicular a elas é perpendicular ao plano Dadas duas retas reversas sempre existe um plano perpendicular a ambas Se rs αr e βs então αβ 2 Se r é perpendicular a um plano α e s é perpendicular a r prove que s α ou s é paralela a α 3 Dois triângulos ABC e DBC são isósceles de base BC e estão situados em planos distintos Prove que as retas AD e BC são ortogonais 4 Na Figura 2012 r é perpendicular a α e AC é perpendicular a s Prove que s é perpendicular a t Figura 2012 Exercício 4 5 Prove a proposição 3 6 Prove a proposição 4 7 Prova da proposição 5 Suponha que duas retas distintas r e s sejam perpendiculares a um plano α Se r e s não são paralelas então r e s são concorrentes ou reversas Se r e s são concorrentes digamos em um ponto A chame de γ o plano contendo r e s Prove que α γ é uma reta Seja t α γ veja a Figura 2013 Figura 2013 a A não pertence a α b A pertence a α Prove que r e s são perpendiculares a t O plano γ contém assim duas retas perpendiculares a t e passando por A o que é um absurdo justifique Esse absurdo prova que r e s não podem ser concorrentes Se r e s são reversas tome um ponto P r e seja s a reta paralela a s passando por P Prove que r e s são concorrentes e que s é perpendicular a α Mas já provamos na primeira parte que duas retas concorrentes não podem ser ambas perpendiculares a α Isso prova que r e s também não podem ser reversas Portanto r e s são paralelas 8 Prova da proposição 6 Suponha que dois planos distintos α e β sejam perpendiculares a uma reta r Vamos provar por contradição que α e β são paralelos Suponha que α e β não sejam paralelos e seja t a reta de interseção entre eles Há duas possibilidades 1ª possibilidade r não intersecta t 2ª possibilidade r intersecta t Se r não intersectar t tome um ponto P t e chame de γ o plano que contém r e P Se r intersectar t tome um ponto Q t sobre α e chame de γ o plano que contém r e Q veja as duas possibilidades na Figura 2014 Em qualquer uma das possibilidades prove que α γ α e β γ β são retas concorrentes Prove também que rα e rβ Mas isso é uma contradição justifique Portanto α e β são paralelos 9 Sejam α um plano P α e Q α o pé da perpendicular baixada de P a α Prove que Q é o ponto de α mais próximo de P Mais precisamente prove que mPA mPQ para todo A Q em α Planos paralelos são equidistantes Sejam α e β planos paralelos e sejam A e B dois pontos do α Prove que mAA mBB sendo A e B os pés das perpendiculares baixadas de respectivamente A e B ao plano β Se r e s são retas reversas e sejam P e Q pontos distintos Denote por r e s as retas que passam por P e são paralelas a respectivamente r e s Denote por r e s as retas que passam por Q e são paralelas a respectivamente r e s Prove que o ângulo entre r e s é igual ao ângulo entre r e s 37 ˆAngulos no espaco parte I M ODULO 2 AULA 20 13 Sejam α um plano e r uma reta oblıqua a α Chame de A o ponto em que r intersecta α Prove que existe uma unica reta contida em α passando por A que e perpendicular a r 97 CEDERJ Aula 21 Ângulos no espaço parte II Objetivos Identificar ângulos entre planos e entre retas e planos Determinar distâncias no espaço Introdução Nesta aula dando continuidade ao nosso estudo de ângulos veremos como se definem o ângulo entre dois planos e o ângulo entre uma reta e um plano no espaço Veremos também como calcular a distância entre um ponto e uma reta e entre um ponto e um plano O ângulo entre os planos α e β é definido como o ângulo entre as retas s e t Provase veja exercício 16 que o valor do ângulo não depende do ponto A escolhido como está ilustrado na Figura 212 Em primeiro lugar r s pois r é perpendicular a α e s α Como s é perpendicular a γ por construção do plano γ segue do exercício 2 da Aula 20 que r é paralela a γ Isso implica que r e t não se intersectam Como r e t são coplanares ambas pertencem a β concluise que r e t são paralelas A seguinte proposição decorre diretamente das anteriores e será deixada como exercício ao fim desta aula Proposição 3 Se dois planos secantes são perpendiculares a um plano então a reta de interseção entre eles é perpendicular a esse plano Como β contém a reta PQ que é perpendicular a α segue que βα Além disso β contém r pois contém os pontos P e A pertencentes a r Está provado então que existe um plano perpendicular a α que contém r Para provar a unicidade considere um plano γ contendo r e perpendicular a α Como PQ é perpendicular a α obtémse da proposição 2 que PQ γ ou PQγ Não podemos ter o segundo caso pois P r γ A conclusão é que PQ está contida em γ de onde se conclui que γ contém os pontos P Q e A Mas esses pontos determinam o plano β o que mostra que γ β Concluímos então que só existe um plano perpendicular a α contendo r Provamos então a proposição a seguir Proposição 4 Se uma reta é oblíqua a um dado plano existe um único plano contendo a reta e perpendicular a esse plano Podemos agora definir o ângulo entre uma reta e um plano Definição 1 Se uma reta é perpendicular a um plano dizemos que eles formam um ângulo de 90 Se r é uma reta oblíqua a um plano α e β é o plano contendo r e perpendicular a α definimos o ângulo entre r e α como sendo o ângulo entre r e s Figura 217 Distâncias no espaço Como você deve se lembrar a distância entre dois pontos no plano é o comprimento do segmento de reta que une os dois pontos Essa mesma forma de calcular a distância entre dois pontos também é usada para pontos no espaço Vamos agora definir a distância entre ponto e reta e entre ponto e plano Definição 2 Considere um ponto P e uma reta r Se P r a distância de P a r é zero Se P r seja α o plano que contém r e P e seja s a única reta de α que passa por P e é perpendicular a r Seja Q r s A distância de P a r é definida como a medida do segmento PQ Figura 218 Observe que Q é o ponto de r mais próximo de P Em outras palavras temse mPR mPQ para qualquer outro ponto R na reta r Definição 3 Considere um ponto P e um plano α Se P α a distância de P a α é zero Se P α seja Q o pé da perpendicular baixada de P a α A distância de P a α é definida como a medida do segmento PQ veja a Figura 219 Definição 4 Considere uma reta r e um plano α Se r intersecta α a distância entre r e α é zero Se r não corta α ou seja rα segue pelo exercício 11 da Aula 20 que para quaisquer pontos A e B em r a distância de A a α é igual à distância de B a α Definimos a distância de r a α como sendo a distância de qualquer ponto de r a α Veja a Figura 2110 Definição 5 Considere dois planos α e β Se α intersectar β a distância de α a β é zero Se α é paralelo a β segue do exercício 10 da Aula 20 que dados dois pontos A e B quaisquer do plano α a distância de A a β é igual à distância de B a β ou seja esse valor não depende do ponto escolhido A distância de α a β é definida como a distância de um ponto qualquer de α a β ou viceversa Suponha agora que r e s sejam retas reversas Sabemos da proposição 19 da aula 19 que existem planos paralelos α e β tais que r α e s β Tome um ponto A r e seja B o pé da perpendicular baixa de A ao plano β Seja r a reta paralela a r passando por B A reta r corta s por quê em um ponto que chamaremos C Veja a Figura 2112 Trace a reta paralela a AB passando por C Essa reta corta r por quê em um ponto que chamaremos D também indicado na Figura 2112 Temos que a reta CD é perpendicular aos planos paralelos α e β pois CD é paralela a AB Podemos provar veja exercício 13 desta aula que o segmento CD é o único dentre aqueles que ligam um ponto de r a um ponto de s que é perpendicular a r e s ao mesmo tempo Além disso ele é o de menor comprimento ou seja mCD mCD para quaisquer pontos C s e D r veja o exercício 14 Isso motiva a seguinte definição Se r e s são retas reversas a distância de r a s é a medida do único segmento com extremos em r e s que é perpendicular a r e a s Resumo Nesta aula você aprendeu Como calcular ângulos entre planos Como calcular ângulos entre retas e planos Como calcular distâncias entre ponto e reta entre ponto e plano entre reta e plano entre planos e entre retas 46 ˆAngulos no espaco parte II M ODULO 2 AULA 21 Exercıcios 1 Diga se cada uma das afirmacoes a seguir e verdadeira ou falsa Se dois planos sao perpendiculares entao toda reta de um deles e perpendicular ao outro Se dois planos sao perpendiculares a um terceiro entao eles sao perpendiculares entre si Se uma reta e um plano sao paralelos entao todo plano perpen dicular ao plano dado e perpendicular a reta Se uma reta e oblıqua a um de dois planos paralelos entao ela e oblıqua ao outro Nao existem quatro retas perpendiculares duas a duas 2 Se um plano γ e perpendicular a dois planos secantes α e β mostre que γ e perpendicular a reta de intersecao entre α e β 3 Dados um plano α e uma reta r perpendicular a α mostre que existem infinitos planos contendo r 4 Se uma reta r esta contida em um plano α e s e perpendicular a α mostre que existe um unico plano contendo s e perpendicular a r 5 Se dois planos sao paralelos prove que todo plano perpendicular a um deles e perpendicular ao outro 6 Se uma reta r e paralela a um plano α prove que todo plano perpen dicular a r e perpendicular a α 7 Se uma reta r e paralela a um plano α prove que existe um unico plano contendo r e perpendicular a α 8 Prove que o ˆangulo entre uma reta e um plano e igual ao ˆangulo entre essa reta e qualquer plano paralelo ao plano dado 9 Se A e B sao pontos distintos prove que o conjunto de pontos do espaco que sao equidistantes de A e B e um plano Alem disso esse plano passa pelo ponto medio do segmento AB e e perpendicular a AB 10 Seja ABC um triˆangulo que nao intersecta um plano α e sejam a b e c as distˆancias de respectivamente A B e C ao plano α Prove que a distˆancia do baricentro de ABC ao plano α e dada por a b c 3 107 CEDERJ 47 ˆAngulos no espaco parte II 11 Seja r uma reta que corta um plano α e seja s uma reta contida em α Prove que o ˆangulo entre r e s e maior ou igual ao ˆangulo entre r e α 12 Prove que retas paralelas sao equidistantes Mais precisamente se r e s sao retas paralelas prove que a distˆancia de A a s e igual a distˆancia de B a s quaisquer que sejam A e B pertencentes a r 13 Se r e s sao retas reversas prove que existe somente um segmento com extremos em r e em s que e perpendicular a r e a s 14 Sejam r e s retas reversas e seja CD C A e D r o unico segmento com extremos em r e em s que e perpendicular a r e a s Prove que mCD mC D quaisquer que sejam C s e D r 15 Prove a proposicao 3 desta aula 16 Sejam α e β planos que se cortam e seja r a reta de intersecao entre eles Tome pontos A e A em r e sejam γ e γ os planos perpendiculares a r e que passam por A e A respectivamente Sejam s γ α t γ β s γ α e t γ β veja a Figura 2112 Prove que o ˆangulo entre s e t e igual ao ˆangulo entre s e t Sugestao Prove que ss e tt Inspirese no exercıcio 12 da Aula 20 17 UFF1996 Considere dois planos α e β secantes e naoperpendiculares e um ponto P nao pertencente a α nem a β Podese afirmar que a Toda reta que passa por P e e paralela a α tambem e paralela a β b Toda reta que passa por P e intersecta α tambem intersecta β c Se um plano contem P e intersecta α entao ele intersecta β d Existe um plano que contem P e e perpendicular a α e a β e Existe um plano que contem P e e paralelo a α e a β CEDERJ 108 Aula 22 O prisma Objetivos Identificar e classificar prismas Conhecer propriedades de prismas Introdução A partir desta aula estaremos estudando alguns dos principais sólidos geométricos prismas pirâmides cilindros cones e esferas Veremos os principais elementos desses sólidos e algumas de suas propriedades Definição 1 Sejam α e α dois planos paralelos e r uma reta que os corta Seja P A1A2 An um polígono convexo contido em α Por todo ponto X pertencente ao polígono ou ao seu interior trace a reta paralela a r passando por X e seja X o ponto em que essa reta corta o plano α A figura formada pela união dos segmentos XX é chamada de prisma Veja na Figura 221 o caso particular em que o polígono P é um pentágono Os polígonos P A1A2 An e P A1A2 An unidos com seus interiores são chamados bases do prisma enquanto os quadriláteros A1A2A2A1 A2A3A3A2 AnA1A1An unidos com seus interiores são chamados faces laterais do prisma Chamamos de fronteira do prisma a união de suas bases e suas faces laterais De acordo com a Aula 21 P é congruente a P e as faces laterais do prisma são paralelogramos Os pontos A1 A2 An A1A2 An são chamados vértices e os segmentos A1A1 A2A2 AnAn são chamados arestas laterais Como as faces laterais de um prisma são paralelogramos temse que as arestas laterais são todas congruentes Um prisma é chamado reto se as arestas laterais são perpendiculares aos planos das bases Caso contrário o prisma é chamado oblíquo veja a Figura 222 As faces laterais de um prisma reto são retângulos A altura de um prisma é a distância entre os planos das bases Temse que a altura de um prisma reto é a medida de cada uma de suas arestas laterais A área lateral de um prisma é definida como a soma das áreas de suas faces laterais A área total de um prisma é a soma da área lateral com as áreas de suas bases A área lateral de um prisma reto é facilmente calculada Suponha que o prisma reto tenha altura h e base P A1A2 An Como as faces laterais do prisma reto são retângulos temos Área lateral ÁreaA1A2A2A1 ÁreaAnA1A1An mA1A2h mAnA1h mA1A2 mAnA1 h perímetro de Ph 50 O prisma M ODULO 2 AULA 22 Assim A area lateral de um prisma reto e o produto do perımetro da base pela altura Veremos agora um tipo especial de prisma o paralelepıpedo O paralelepıpedo Definicao 2 Um prisma cujas bases sao paralelogramos e chamado paralelepıpedo Como ja sabemos que as faces laterais de qualquer prisma sao paralelo gramos segue que todas as faces de um paralelepıpedo sao paralelogramos Um paralelepıpedo reto e dito retangular ou retˆangulo se suas bases sao retˆangulos Como ja sabemos que as faces laterais de qualquer prisma reto sao retˆangulos resulta que todas as faces de um paralelepıpedo retˆangulo sao retˆangulos veja a Figura 223 Um cubo e um paralelepıpedo retangular que tem todas as arestas congruentes a b c Figura 223 Tipos de paralelepıpedo a Oblıquo b reto c retangular Chamase diagonal de um paralelepıpedo a um segmento ligando dois vertices nao pertencentes a uma mesma face Um paralelogramo possui qua tro diagonais representadas na Figura 224 A 1 2 3 4 A A A A1 A2 A3 A4 Figura 224 Diagonais de um paralelepıpedo 111 CEDERJ 51 O prisma Duas faces de um paralelepıpedo sao chamadas opostas se elas nao pos suem nenhum vertice em comum Assim sao opostas as faces A2A3A 3A 2 e A1A4A 4A 1 na Figura 224 assim como os seguintes pares de faces A1A2A 2A 1 e A4A3A 3A 4 A1A2A3A4 e A 1A 2A 3A 4 bases A Figura 224 parece sugerir que as diagonais de um paralelepıpedo sao concorrentes ou seja passam por um mesmo ponto A proposicao a seguir diz que de fato isso sempre ocorre Proposicao 1 As diagonais de um paralelepıpedo cortamse em um ponto e esse ponto divide cada uma delas ao meio Prova Considere as diagonais A4A 2 e A1A 3 mostradas na Figura 225 Como todas as faces de um paralelepıpedo sao paralelogramos e os lados opostos de um paralelogramo sao congruentes concluise que A 2A 3 A2A3 A2A3 A1A4 A 2A 3 A2A3 e A2A3 A1A4 Segue que A 2A 3 A1A4 e que A1A4 A 2A 3 Logo os pontos A1 A4 A 2 e A 3 sao coplanares e o quadrilatero A1A4A 3A 2 possui um par de lados opostos paralelos e congruentes A1A4 e A 2A 3 Pela proposicao 13 da Aula 6 podemos afirmar que A1A4A 3A 2 e um paralelogramo Suas diagonais A4A 2 e A1A 3 veja o exercıcio 5 da aula 6 portanto se cortam em um ponto T que as divide ao meio veja a Figura 225 A 1 2 3 4 A A A A1 A2 A3 A4 Figura 225 Encontro das diagonais A1A 3 e A4A 2 Considere agora as diagonais A1A 3 e A2A 4 De maneira analoga ao que fizemos anteriormente provase que os pontos A1 A2 A 3 e A 4 sao coplana res e sao os vertices de um paralelogramo Chamemos de R ao ponto em que as diagonais do paralelogramo A1A2A 3A 4 se cortam ponto medio das diagonais Veja a Figura 226 CEDERJ 112 52 O prisma M ODULO 2 AULA 22 A 1 2 3 4 A A A A1 A2 A3 A4 R Figura 226 Encontro das diagonais A1A 3 e A2A 4 Temos que tanto o ponto T quanto o ponto R dividem o segmento A1A 3 ao meio Logo T R e portanto as trˆes diagonais A1A 3 A4A 2 e A2A 4 passam por T Alem disso o ponto T divide essas diagonais ao meio Da mesma forma considerando as diagonais A1A 3 e A3A 1 concluise que A3A 1 tambem passa por T e que o ponto T divide A3A 1 ao meio QED Para paralelepıpedos vale tambem o seguinte resultado Proposicao 2 As faces opostas de um paralelepıpedo sao paralelas e congruentes Prova Considere um paralelepıpedo como na Figura 224 Provaremos que os planos das faces A1A2A 2A 1 e A4A3A 3A 4 sao paralelos e que essas faces sao congruentes Para os outros pares de faces opostas a demonstracao e idˆentica Como todas as faces de um paralelepıpedo sao paralelogramos temse A4A 4 A1A 1 e A4A3 A1A2 Segue que a reta A1A 1 e paralela ao plano que contem A4A3A 3A 4 pois nao esta contida em tal plano e e paralela a uma reta dele a reta A4A 4 Do mesmo modo A1A2 e paralela ao plano de A4A3A 3A 4 pois nao esta contida nele e e paralela a A4A3 estamos usando a proposicao 13 da Aula 18 Entao o plano de A4A3A 3A 4 e paralelo ao plano de A1A2A 2A 1 pois e paralelo a duas retas concorrentes dele Resta agora verificar que as faces A1A2A 2A 1 e A4A3A 3A 4 sao congru entes Para isso trace os segmentos A 1A2 e A 4A3 veja a Figura 227 Como os lados opostos de um paralelogramo sao congruentes segue que A1A 1 A4A 4 A1A 1 A2A 2 e A2A 2 A3A 3 Da mesma forma os segmen tos A1A2 A4A3 A 4A 3 e A 1A 2 sao congruentes A 1 2 3 4 A A A A1 A2 A3 A4 Figura 227 Prova da proposicao 28 113 CEDERJ 53 O prisma Como A 1A 4 A1A4 e A1A4 A2A3 temse A 1A 4 A2A3 o que implica que A2 A3 A 1 e A 4 sao coplanares Alem disso A 1A 4 A 2A 3 A2A3 Os lados opostos A 1A 4 e A2A3 do quadrilatero A2A3A 4A 1 sao assim paralelos e congruentes ou seja A2A3A 4A 1 e um paralelogramo Daı A3A 4 A2A 1 e segue de LLL que A 1A1A2 A 4A4A3 e A 1A 2A2 A 4A 3A3 Logo A1A2A 2A 1 e A4A3A 3A 4 sao congruentes QED Considere um paralelepıpedo A1A2A3A4A 1A 2A 3A 4 e sejam a mA1A2 b mA1A4 e c mA1A 1 Pelos argumentos utilizados anteriormente temse mA1A2 mA4A3 mA 4A 3 mA 1A 2 a mA1A4 mA2A3 mA 2A 3 mA 1A 4 b e mA1A 1 mA2A 2 mA3A 3 mA4A 4 c Chamamos os numeros a b e c de medidas do paralelepıpedo Em paralele pıpedos retˆangulos temos o seguinte resultado Proposicao 3 Se as medidas de um paralelepıpedo retˆangulo sao a b e c entao as suas diagonais medem a2 b2 c2 Prova Considere um paralelepıpedo retangular A1A2A3A4A 1A 2A 3A 4 com me didas a b e c Trace a diagonal A2A 4 e o segmento A2A4 como na Fi gura 228 A 1 2 3 4 A A A A1 A2 A3 A4 a b c Figura 228 Medida da diagonal do paralelepıpedo retˆangulo Lembrese de que em um paralelepıpedo retangular as bases sao retˆangulos e as arestas laterais sao perpendiculares aos planos das bases Isso implica que os triˆangulos A1A4A2 e A4A 4A2 sao triˆangulos retˆangulos com hipote nusas A4A2 e A 4A2 respectivamente Pelo Teorema de Pitagoras temos mA4A22 mA1A42 mA1A22 a2 b2 e mA 4A22 mA4A22 mA4A 42 a2 b2 c2 Logo mA 4A2 a2 b2 c2 A prova para as outras diagonais e inteiramente analoga QED CEDERJ 114 54 O prisma M ODULO 2 AULA 22 Resumo Nessa aula vocˆe aprendeu A definicao de prisma Um caso particular importante de prisma o paralelepıpedo Como calcular a area lateral de um prisma reto Que as diagonais de um paralelepıpedo se encontram em um ponto que as divide ao meio Exercıcios 1 Determine a natureza de um prisma isto e se o prisma e triangular quadrangular etc sabendo que a soma dos ˆangulos de todas as suas faces vale 2880o 2 Determine a area do triˆangulo A1A 2A 4 da Figura 229 sabendo que o lado do cubo mede 10 cm A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 Figura 229 Exercıcio 2 3 Determine a area do triˆangulo A2A3A 1 do cubo da Figura 2210 sabendo que o lado do cubo mede 10 cm A1 A2 A3 A 4 A1 A2 A3 A4 Figura 2210 Exercıcio 3 115 CEDERJ Determine a área do triângulo A1A2A5 no prisma reto da Figura 2211 sabendo que a base é um pentágono regular de 1 m de lado e que as arestas laterais medem 2 m 56 O prisma M ODULO 2 AULA 22 10 A Figura 2213 mostra um paralelepıpedo retangular de medidas 3 2 e 1 Determine a distˆancia do ponto G ao plano determinado pelos pontos C E e H A B C D E F G H 3 2 1 Figura 2213 Exercıcio 10 11 FATEC 1987 Na Figura 2214 temse um prisma reto cuja diagonal principal mede 3a 2 x x 2x Figura 2214 Exercıcio 11 A area total desse prisma e a 30 a2 b 24 a2 c 18 a2 d 12 a2 e 6 a2 12 UF VICOSA 1990 A Figura 2215 mostra um paralelepıpedo de base quadrada Sabese que um plano intersecta esse paralelepıpedo Dessa intersecao resulta o quadrilatero MNOP cujos lados ON e OP formam ˆangulos de 30o com a face ABCD A B C D E F G H M N O P Figura 2215 Exercıcio 12 Se a area da base do paralelepıpedo vale 3 entao o perımetro de MNOP vale a 8 b 4 c 6 d 10 e 12 117 CEDERJ 57 O prisma 13 FUVESTFGV 1991 Na Figura 2216 I e J sao os centros das faces BCGF e EFGH do cubo ABCDEFGH de aresta a A B C D E F G H I J Figura 2216 Exercıcio 13 Os comprimentos dos segmentos AI e IJ sao respectivamente a a 6 2 a 2 b a 6 2 a 2 2 c a 6 a 2 2 d a 6 a 2 e 2a a 2 14 UFF Em um cubo de aresta ℓ a distˆancia entre o ponto de encontro de suas diagonais e qualquer de suas arestas e a ℓ 3 b ℓ 2 c ℓ 3 2 d ℓ 2 2 e ℓ 2 CEDERJ 118 58 A pirˆamide M ODULO 2 AULA 23 Aula 23 A pirˆamide Objetivos Identificar e classificar pirˆamides Conhecer propriedades de pirˆamides Introducao Continuando o nosso estudo dos principais solidos geometricos veremos nesta aula a definicao de pirˆamide seus elementos e suas partes Ao ouvirmos a palavra pirˆamide logo nos vem a mente a imagem das trˆes enormes construcoes localizadas no planalto de Gize as quais formam provavelmente o mais decantado grupo de monumentos em todo o mundo Entretanto os arqueologos ja encontraram mais de 80 pirˆamides espalhadas por todo o Egito Qual era sua finalidade e principalmente como foram construıdas sao duas das mais intrigantes perguntas de toda a historia da humanidade e que talvez nunca venham a ser respondidas ou por outro lado talvez venham a ter centenas de respostas conflitantes conforme o ponto de vista de cada um de nos Considere um polıgono convexo P A1A2 An contido em um plano α e um ponto A fora de α Para todo ponto X pertencente a P ou ao seu interior trace o segmento AX A figura formada pela uniao dos segmentos AX e chamada de pirˆamide veja na Figura 231 um caso particular em que P e um hexagono Figura 231 Pirˆamide hexagonal O ponto A e o vertice da pirˆamide e o polıgono P unido com o seu interior e a base da pirˆamide Os segmentos AA1 AA2 AAn sao chama dos arestas laterais e os triˆangulos AA1A2 AA2A3 AAnA1 unidos com seus interiores sao as faces laterais A distˆancia do vertice A ao plano da base e chamada altura da pirˆamide Se a base tem trˆes lados a pirˆamide e chamada triangular se tem quatro lados quadrangular e assim por diante A pirˆamide triangular tambem recebe o nome de tetraedro Uma pirˆamide e chamada regular se sua base e um polıgono regular e se o pe da perpendicular baixada do vertice ao plano da base coincide com o centro da base 119 CEDERJ 59 A pirˆamide Falando de outra forma uma pirˆamide e regular se sua base e um polıgono regular e se sua altura for a medida do segmento que une o vertice da pirˆamide ao centro da base Lembrese de que o centro de um polıgono regular e o centro da circunferˆencia inscrita ou circunscrita Para alguns polıgonos regulares o centro e facilmente obtido Por exemplo para triˆangulos o centro e simplesmente o seu baricentro para hexagonos o centro e a intersecao entre duas das maiores diagonais como A2A5 e A3A6 na Figura 232a 0 A A A 1 2 3 4 5 6 A A A A h a A1 h A3 A2 0 b A A1 A2 A A 3 0 h 0 c Figura 232 Pirˆamides regulares e nao regulares As pirˆamides a e b da Figura 232 sao regulares pois suas bases sao polıgonos regulares e a altura de cada uma delas e a medida do segmento AO A pirˆamide c nao e regular pois sua altura e diferente da medida de AO Um tipo especial de pirˆamide regular e o tetraedro regular que e uma pirˆamide regular de base triangular com todas as arestas congruentes Para pirˆamides regulares vale a proposicao a seguir Proposicao 1 As faces laterais de uma pirˆamide regular sao triˆangulos isosceles congruentes Prova Considere uma pirˆamide regular com vertice A e cuja base e um polıgono regular P A1A2 An Queremos mostrar que os triˆangulos AA1A2 AA2A3 AAnA1 sao isosceles e congruentes entre si Para isso seja O o centro de P e chame de d o valor da distˆancia de O a cada um dos vertices de P Trace o segmento OA1 acompanhe na Figura 233 que ilustra o caso onde P e um hexagono CEDERJ 120 60 A pirˆamide M ODULO 2 AULA 23 Como a pirˆamide e regular sua altura h e a medida de AO e o triˆangulo AA1O e retˆangulo de hipotenusa AA1 Pelo Teorema de Pitagoras mAA12 mAO2 mOA12 h2 d2 de onde se conclui que mAA1 h2 d2 Da mesma forma provase que os segmentos AA2 AA3 AAn tambem medem h2 d2 Daı se conclui imediatamente que todas as faces laterais sao triˆangulos isosceles As bases desses triˆangulos sao os lados do polıgono P Como P e regular concluise que os triˆangulos AA1A2 AA2A3 AAnA1 tˆem as mesmas medidas Por LLL segue que sao todos congruentes entre si QED 0 A A A 1 2 3 4 5 6 A A A A h d Figura 233 Pirˆamide regular Segue dessa proposicao que os segmentos ligando os vertices de uma pirˆamide regular aos pontos medios dos lados da base sao todos congruentes Esses segmentos sao chamados de apotemas da pirˆamide e sao precisamente as alturas relativas as bases de suas faces laterais veja a Figura 234 Tambem chamamos de apotema a medida desses segmentos 0 A A A 1 2 3 4 5 6 A A A A B 1 Figura 234 AB1 e apotema da pirˆamide 121 CEDERJ A área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas de suas faces laterais A área total é a soma da área lateral com a área da base 62 A pirˆamide M ODULO 2 AULA 23 Uma pirˆamide truncada obtida a partir de uma pirˆamide regular e chamada pirˆamide truncada regular As faces laterais de tal pirˆamide sao trapezios isosceles congruentes veja exercıcio 17 desta aula As alturas desses trapezios sao chamadas apotemas da pirˆamide truncada A area lateral de uma pirˆamide truncada regular e dada pela proposicao a seguir Proposicao 3 A area lateral de uma pirˆamide truncada regular e o produto do apotema pela media aritmetica dos perımetros das bases Para a pirˆamide truncada regular mostrada na Figura 236 a pro posicao 3 diz que a sua area lateral e app 2 onde a e o apotema e p e p sao os perımetros dos polıgonos ABCDEF e ABCDEF respectivamente A prova da proposicao sera deixada como exercıcio veja exercıcio 18 desta aula A B C D E F A B C D E F a Figura 236 a e apotema da pirˆamide truncada regular Resumo Nesta aula vocˆe aprendeu A definicao de pirˆamide e de seus principais elementos A calcular a area lateral de uma pirˆamide regular A calcular a area lateral de um tronco de pirˆamide 123 CEDERJ 63 A pirˆamide Exercıcios 1 Determine a natureza de uma pirˆamide isto e se a pirˆamide e trian gular quadrangular etc sabendo que a soma dos ˆangulos das faces e 2160o 2 Determine a altura de uma pirˆamide regular de base pentagonal sa bendo que todas as suas arestas medem 10 cm 3 E possıvel construir uma pirˆamide regular de base hexagonal de modo que todas as arestas tenham o mesmo comprimento 4 A Figura 237 mostra uma pirˆamide regular de altura igual a 2 m e base pentagonal de lado medindo 1 m Determine a area do triˆangulo AFC Figura 237 Exercıcio 4 5 Determine a area total de um tetraedro regular de 1 m de aresta 6 Determine a altura de um tetraedro regular de 1 m de aresta 7 Determine a medida da aresta de um tetraedro regular sabendo que aumentada em 4 m sua area aumenta em 40 3 m2 8 Em uma pirˆamide regular de base triangular a medida de seu apotema e igual a medida do lado da base Se sua area total vale 10 m2 deter mine sua altura 9 Determine a relacao entre a medida de uma aresta lateral e a medida de uma aresta da base de uma pirˆamide regular de base triangular para que a area lateral seja 4 5 da area total CEDERJ 124 64 A pirˆamide M ODULO 2 AULA 23 10 Uma pirˆamide regular de base triangular de lado medindo 10 cm tem suas faces laterais formando um ˆangulo de 60o com o plano da base Determine a altura da pirˆamide 11 Determine o ˆangulo que as faces laterais de uma pirˆamide regular de base hexagonal formam com o plano da base sabendo que as arestas laterais medem 2 5 cm e que as arestas da base medem 4 cm 12 Na Figura 238 ABCD e um tetraedro regular e M e o ponto medio de AD A B C D M Figura 238 Exercıcio 12 a Prove que o plano que contem BC e M e perpendicular a AD b Se a aresta de ABCD mede a determine a distˆancia entre as aresta AD e BC 13 CESGRANRIO1987 Seja V ABC um tetraedro regular O cosseno do ˆangulo α que a aresta V A faz com o plano ABC e a 3 3 b 3 2 c 2 2 d 1 2 e 2 3 14 ESCOLA NAVAL1988 Em uma pirˆamide triangular V ABC a base ABC e um triˆangulo equilatero e as arestas V A V B e V C formam ˆangulos retos A tangente do ˆangulo formado por uma face lateral e a base e igual a a 3 3 b 3 2 c 1 d 2 e 3 125 CEDERJ O ângulo AVD formado por duas arestas laterais opostas mede 66 A pirˆamide M ODULO 2 AULA 23 18 UFF2000 No tetraedro regular representado na Figura 2311 R e S sao respectivamente os pontos medios de NP e OM P O N M R S Figura 2311 Exercıcio 18 A razao mRS mMN e igual a a 3 b 3 2 c 2 d 2 2 e 3 2 19 Prove que as faces laterais de uma pirˆamide truncada regular sao trapezios isosceles congruentes 20 Prove a proposicao 3 127 CEDERJ 67 O cilindro e o cone M ODULO 2 AULA 24 Aula 24 O cilindro e o cone Objetivo Identificar e classificar cilindros e cones Cilindro Sejam α e α dois planos paralelos e Γ um cırculo contido em α Seja r uma reta que corta α e α Por cada ponto X pertencente a Γ ou ao seu interior trace a reta paralela a r e seja X o ponto em que essa reta intersecta α A uniao de todos os segmentos XX e chamada de cilindro circular veja a Figura 241 Figura 241 Cilindro circular A intersecao do cilindro com o plano α e um cırculo Γ de mesmo raio que Γ veja a proposicao 22 e o exercıcio 9 da aula 19 Os cırculos Γ e Γ sao as bases do cilindro e cada segmento XX quando X Γ e chamado geratriz do cilindro A uniao das geratrizes de um cilindro e chamada de superfıcie lateral Se O e O sao os centros de Γ e Γ respectivamente a reta OO e chamada de eixo do cilindro Um cilindro e chamado reto se o seu eixo for perpendicular as bases Caso contrario o cilindro e chamado oblıquo veja a Figura 242 129 CEDERJ 68 O cilindro e o cone Figura 242 Cilindro circular reto e oblıquo A altura de um cilindro e definida como a distˆancia entre os planos das bases Se o cilindro for reto sua altura e exatamente a medida do segmento OO que liga os centros das bases Chamamos de secao meridiana de um cilindro a intersecao do cilindro com um plano que contem o seu eixo As secoes meridianas de um cilindro sao paralelogramos retˆangulos ou nao Justifique Para um cilindro circular reto as secoes meridianas sao retˆangulos com medidas h altura e 2r diˆametro da base veja a Figura 243 Vocˆe pode imaginar um cilindro oblıquo com uma secao meridiana retangular Figura 243 Secoes meridianas de cilindros oblıquos e retos Um cilindro e chamado equilatero se ele for reto e se sua secao meridiana for um quadrado veja a Figura 244 CEDERJ 130 69 O cilindro e o cone M ODULO 2 AULA 24 Figura 244 Cilindro equilatero Plano tangente a um cilindro Seja C um cilindro cujas bases sao cırculos Γ e Γ de centros O e O respectivamente Sejam α e α os planos das bases e AA uma geratriz de C Chame de r a reta tangente a Γ em A e seja γ o plano que contem AA e r Figura 245 Figura 245 Plano tangente Podemos mostrar que a intersecao entre γ e o cilindro e exatamente o segmento AA veja exercıcio 8 Um plano cuja intersecao com um cilindro e uma geratiz e chamado de plano tangente Com relacao a Figura 245 qualquer outro plano que contem AA intersecta o cilindro segundo um paralelogramo veja a Figura 246 131 CEDERJ 70 O cilindro e o cone Figura 246 Plano nao tangente contendo uma geratriz Prisma inscrito em um cilindro e circunscrito a um cilindro Dizemos que um prisma esta inscrito em um cilindro se os planos de suas bases coincidem com os planos das bases do cilindro e se suas arestas laterais sao geratrizes do cilindro Figura 247a Figura 247 a Prisma inscrito b Prisma circunscrito Dizemos que um prisma esta circunscrito a um cilindro se os planos de suas bases coincidem com os planos das bases do cilindro e se os planos de suas faces laterais sao tangentes ao cilindro Figura 247b As linhas tracejadas na Figura 247b indicam as geratrizes ao longo das quais as faces laterais do prisma tangenciam o cilindro CEDERJ 132 71 O cilindro e o cone M ODULO 2 AULA 24 Cone Considere um cırculo Γ contido em um plano α e seja A um ponto fora de α Para cada ponto X pertencente a Γ ou ao seu interior trace o segmento AX A uniao dos segmentos AX e chamada de cone veja a Figura 248 Figura 248 Cone A uniao do cırculo Γ com seu interior e chamado base do cone e o ponto A vertice do cone Uma geratriz do cone e um segmento ligando o vertice a um ponto de Γ Na Figura 248 AB e uma geratriz A reta contendo o vertice e o centro O de Γ e chamada de eixo do cone e a uniao das geratrizes do cone e chamada superfıcie lateral Um cone e chamado reto se o seu eixo for perpendicular ao plano da base Caso contrario o cone e chamado oblıquo Veja a Figura 249 Figura 249 a Cone reto b Cone oblıquo 133 CEDERJ 72 O cilindro e o cone Chamamos de altura do cone a distˆancia do vertice ao plano da base Para cones retos a altura e dada pela medida do segmento ligando o vertice ao centro da base A intersecao do cone com um plano que contem o seu eixo e cha mada secao meridiana As secoes meridianas de um cone reto sao triˆangulos isosceles congruentes veja a Figura 2410 Figura 2410 Secoes meridianas dos cones oblıquo e reto Um cone e chamado equilatero se ele for reto e sua secao meridiana for um triˆangulo equilatero veja a Figura 2411 Figura 2411 Cone equilatero Considere um cone de vertice A e base Γ e sejam AB uma geratriz e r a reta tangente a Γ em B Chame de γ o plano que contem as retas AB e r Podese mostrar veja exercıcio 17 que a intersecao de γ com o cone e exatamente a geratriz AB Um plano que intersecta o cone segundo uma geratriz e chamado de plano tangente Veja a Figura 2412 CEDERJ 134 73 O cilindro e o cone M ODULO 2 AULA 24 Figura 2412 Plano tangente Com relacao a Figura 2412 qualquer outro plano que contem AB contem outra geratriz do cone e sua intersecao com o cone e um triˆangulo veja a Figura 2413 Figura 2413 Plano nao tangente contendo AB Pirˆamide inscrita em um cone e circunscrita a um cone Dizemos que uma pirˆamide esta inscrita em um cone se o seu vertice coincide com o vertice do cone e se sua base for um polıgono inscrito na base do cone veja Figura 2414a Nesse caso as arestas laterais da pirˆamide sao geratrizes do cone 135 CEDERJ 74 O cilindro e o cone Figura 2414 a Pirˆamide inscrita b Pirˆamide circunscrita Dizemos que uma pirˆamide esta circunscrita a um cone se o seu vertice coincide com o vertice do cone e se sua base for um polıgono circunscrito a base do cone Figura 2414b Nesse caso as faces laterais da pirˆamide sao tangentes ao cone As linhas tracejadas da Figura 2414b indicam as geratrizes segundo as quais as faces laterais da pirˆamide tangenciam o cone Resumo Nesta aula vocˆe aprendeu As definicoes de cilindro e de cone Sobre os elementos de um cilindro e de um cone Sobre prisma inscrito em um cilindro e circunscrito a um cilindro Sobre pirˆamide inscrita em um cone e circunscrita a um cone Exercıcios 1 Determine a altura de um cilindro sabendo que as geratrizes medem 20 cm e que formam um ˆangulo de 60o com o plano da base 2 Um cilindro reto com 10 cm de altura e raio da base igual a 13 cm e cortado por um plano paralelo ao eixo e distante 5 cm desse eixo Determine a area da secao plana determinada por esse plano CEDERJ 136 75 O cilindro e o cone M ODULO 2 AULA 24 3 Um cilindro reto com 12 cm de altura e raio da base igual a 4 cm e cortado por um plano paralelo ao eixo de modo que a secao plana determinada tem area igual a area da base Determine a distˆancia desse plano ao eixo 4 Um plano secciona um cilindro reto paralelamente ao eixo e forma um arco de 60o com a base do cilindro Se a altura do cilindro e 20 cm e a distˆancia do plano ao eixo e de 4 cm determine a area da secao 5 A Figura 2415 mostra um cilindro reto de 1 m de altura e raio da base igual a 40 cm inclinado de 45o Figura 2415 Exercıcio 5 Determine a altura do ponto mais alto do cilindro 6 Considere a afirmativa se cortarmos um cilindro reto por um plano inclinado em relacao ao plano da base a secao plana e um cırculo veja a Figura 2416 A afirmativa e verdadeira ou falsa Justifique Figura 2416 Exercıcio 6 137 CEDERJ 76 O cilindro e o cone 7 Na Figura 2417 ABCD e um tetraedro regular de 1 m de aresta e α e um plano paralelo ao plano de BCD Seja BCD a secao deter minada por α Se a distˆancia de α ao plano de BCD e metade da altura do tetraedro determine a altura e o raio da base do cilindro reto que tem uma base no plano de BCD e a outra base esta inscrita no triˆangulo BCD Figura 2417 Exercıcio 7 8 Seja AA uma geratriz de um cilindro e seja r a reta tangente a Γ em A sendo Γ a base que contem A Se γ e o plano que contem AA e r prove que a intersecao entre γ e o cilindro e exatamente o segmento AA 9 Determine o diˆametro da base de um cone reto de 24 cm de altura sabendo que sua geratriz mede 25 cm 10 Um dado cone tem uma geratriz perpendicular ao plano da base me dindo 15 cm Se o diˆametro da base mede 8 cm determine a medida da maior geratriz do cone 11 Determine a altura de um cone reto cujo raio da base mede 3 cm sabendo que a area da secao meridiana e igual a area da base 12 Um cone reto de 10 cm de altura e raio da base medindo 4 cm e cortado por um plano perpendicular ao plano da base e distando 1 cm do eixo do cone Determine a maior distˆancia entre um ponto da secao e o plano da base CEDERJ 138 77 O cilindro e o cone M ODULO 2 AULA 24 13 Um cilindro reto tem 4 cm de altura e raio da base igual a 1 cm Con sidere um cone cuja base coincide com uma base do cilindro e cujo vertice e o centro da outra base Um plano paralelo as bases intersecta os solidos de modo que a regiao exterior ao cone e interior ao cilindro tem area igual a metade da area da base do cilindro Determine a distˆancia desse plano ao plano da base do cone 14 Em um cone reto de 4 cm de altura esta inscrita uma pirˆamide hexa gonal regular cujo apotema mede 5 cm Determine a area da secao meridiana do cone 15 Um pedaco de papel na forma de um setor circular de 72o e raio igual a 5 cm e dobrado como na Figura 2418 ate ser obtido um cone Figura 2418 Exercıcio 15 Determine a altura do cone 16 Se o raio da base a altura e a geratriz de um cone reto constituem nessa ordem uma progressao aritmetica de razao igual a 1 determine a altura do cone 17 Considere um cone de vertice A e base Γ e seja B um ponto pertencente a Γ Seja r a reta tangente a Γ em B e chame de γ o plano que contem r e AB Prove que a intersecao entre γ e o cone e exatamente a geratriz AB Informacoes sobre a proxima aula Na proxima aula estudaremos um solido cuja superfıcie nao contem segmentos de reta 139 CEDERJ 78 A esfera M ODULO 2 AULA 25 Aula 25 A esfera Objetivos Identificar a esfera e seus elementos Estudar posicoes relativas entre esferas e entre planos e esferas Introducao Sejam O um ponto e r um numero real positivo Chamamos de esfera de centro O e raio r ao conjunto de pontos do espaco cuja distˆancia ao ponto O e r veja a Figura 251 Figura 251 Esfera de centro O e raio r Tambem chamamos raio a todo segmento ligando O a um ponto da esfera Se A e B sao pontos da esfera tais que o segmento AB contem O dizemos que AB e um diˆametro e que A e B sao diametralmente opostos A regiao limitada pela esfera e o conjunto de pontos cuja distˆancia ao ponto O e menor ou igual a r Secoes planas de uma esfera Considere a intersecao de uma esfera de centro O e raio r com um plano α cuja distˆancia ao centro da esfera seja um numero d menor que r e considere um ponto A nessa intersecao O plano α e dito secante a esfera Seja O o pe da perpendicular ao plano α tracada a partir de O e trace os segmentos OO OA e OA veja a Figura 252 Como OO e perpendicular a α e OA α temse que o triˆangulo OOA e retˆangulo de hipotenusa OA 141 CEDERJ 79 A esfera Figura 252 Secao plana de uma esfera Pelo Teorema de Pitagoras temos r2 mOA2 mOO2 mOA2 d2 mOA2 o que implica que mOA r2 d2 Assim a distˆancia ao ponto O de todo ponto da intersecao entre α e a esfera vale r2 d2 o que mostra que essa intersecao e o cırculo contido em α de centro O e raio r r2 d2 Quanto menor for d maior sera o valor de r Se d 0 ou seja se o plano α passar pela origem temse r r o que significa que a intersecao da esfera com um plano que passa pelo centro e um cırculo de mesmo raio que a esfera Chamamos tal cırculo de cırculo maximo Na Figura 253 a intersecao de α com a esfera e um cırculo maximo Figura 253 Secoes de uma esfera Provamos assim a seguinte proposicao Proposicao 1 A intersecao de um plano com uma esfera e um cırculo cujo centro e o pe da perpendicular ao plano tracada a partir do centro da esfera Se dois planos equidistam do centro da esfera as secoes planas que eles determinam sao cırculos de mesmo raio CEDERJ 142 80 A esfera M ODULO 2 AULA 25 Se A e B sao pontos diametralmente opostos de uma esfera B e o ponto da esfera mais distante de A ou seja para qualquer outro ponto C temse mAB mAC Para ver isso basta observar que o triˆangulo ABC e retˆangulo de hi potenusa AB veja Figura 254 Figura 254 B e o ponto mais distante de A Vimos anteriormente que se um plano secciona uma esfera ele o faz segundo um cırculo Veremos agora uma outra possibilidade Considere uma esfera de centro O e raio r e tome um ponto A sobre ela Chame de α o plano que passa por A e e perpendicular a OA veja Figura 255 A B O Figura 255 OAα Para todo ponto B A e pertencente a α temse que OA e perpen dicular a AB pois AB α e OA e perpendicular a α Logo o triˆangulo OAB e retˆangulo com ˆangulo reto em A e portanto mOB mOA r Assim qualquer ponto de α diferente do ponto A esta fora da esfera Con sequentemente A e o unico ponto na intersecao de α com a esfera Quando ocorre de um plano intersectar uma esfera em apenas um ponto dizemos que esse plano e tangente a esfera 143 CEDERJ 81 A esfera Provamos entao a seguinte proposicao Proposicao 2 Se um plano e perpendicular a um raio de uma esfera em sua extremidade entao ele e tangente a esfera Analogamente ao que ocorre na tangˆencia entre uma reta e um cırculo a recıproca da proposicao anterior e tambem verdadeira Proposicao 3 Se um plano e tangente a uma esfera entao ele e perpendicular ao raio com extremidade no ponto de tangˆencia Deixaremos a prova da proposicao anterior como exercıcio veja o exercıcio 6 desta aula Ha uma terceira possibilidade para a posicao relativa entre uma esfera e um plano Se a distˆancia entre o centro da esfera e o plano for maior que o raio da esfera entao eles nao se intersectam e o plano e chamado de exterior Veja na Figura 256 as posicoes relativas entre um plano e uma esfera Figura 256 Posicoes relativas entre um plano e uma esfera a plano secante b plano tangente e c plano exterior Posicoes relativas entre esferas As posicoes relativas entre duas esferas sao bastante parecidas com as posicoes relativas entre dois cırculos Duas esferas sao ditas disjuntas quando nao tˆem nenhum ponto em comum Quanto possuem exatamente um ponto em comum elas sao chamadas tangentes Quando elas se intersectam em mais de um ponto sao chamadas secantes No caso de esferas tangentes podese mostrar veja exercıcio 11 que a reta que liga os seus centros contem o ponto de intersecao chamado ponto de tangˆencia Na Figura 257 temos exemplos de esferas disjuntas a e b tangentes interiormente c tangentes exteriormente d e secantes e CEDERJ 144 Vamos determinar agora a interseção entre esferas secantes Figura 257e Para isso considere duas esferas S₁ e S₂ centradas em O₁ e O₂ respectivamente e seja A um ponto nessa interseção Chame de α o plano passando por A e perpendicular à reta O₁O₂ e seja O α O₁O₂ Vamos estudar o caso em que O pertence ao interior do segmento O₁O₂ Figura 258 O estudo dos outros casos é análogo e será deixado como exercício Vamos mostrar inicialmente que S₁ S₂ está contido em α Com esse objetivo considere qualquer outro ponto B pertencente a S₁ S₂ e trace os segmentos O₁B O₂B O₁A O₂A OBE OA Temos O₁A O₁B pois A e B pertencem a S₁ e O₂A O₂B pois A e B pertencem a S₂ Como O₁O₂ é comum segue de LAL que O₁AO₂ O₁BO₂ Portanto A₀O₁ B₀O₁O₂ Agora compare os triângulos AO₁O₂ e BO₁O₂ Temos O₁A O₁B e AO₁O BO₁O provado anteriormente Como O₁O é comum segue de LAL que A₀O₁ B₀O₁ Como AO₁ é reto pois OA c e O₁O₁L obtemos que BO₀O₁ é reto e portanto B α Como OB OA temse que B pertence à esfera de centro O e raio OA Concluímos que S₁ S₂ está contido em α e na esfera de centro O e raio OA Como já sabemos que a interseção entre um plano e uma esfera é um círculo segue que S₁ S₂ está contido no círculo de centro O e raio OA contido no plano α Deixamos como exercício a prova de que todo ponto desse círculo pertence a S₁ S₂ Está provada a seguinte proposição A definição de esfera 85 A esfera 13 UFF1994 Considere duas retas perpendiculars r e s e um segmento de reta MN contido em r Podese afirmar quanto a existˆencia de esferas de centros na reta s que passam por M e N que a existem duas unicas b existem no maximo trˆes c existe uma infinidade d nao existe nenhuma e se existir uma existira uma infinidade CEDERJ 148 Unidade 2 95 Introducao ao conceito de volume M ODULO 2 AULA 27 Aula 27 Introducao ao conceito de volume Objetivos Introduzir o conceito de volume Calcular o volume de um paralelepıpedo Introducao Considere dois recipientes um cubico e outro de forma qualquer veja a Figura 271 Suponha que se utilizem n litros de lıquido para encher o primeiro recipiente e m litros de lıquido para encher o segundo Figura 271 a Recipiente cubico b Recipiente de forma qualquer O numero m n e uma medida de quanto o segundo recipiente e maior ou menor que o primeiro Podemos dizer que o espaco ocupado pelo segundo recipiente e m n vezes o espaco ocupado pelo primeiro Por exemplo uma garrafa de 3 litros dagua ocupa 32 mais espaco que uma garrafa de 2 litros A nocao de volume de um solido esta relacionada ao espaco por ele ocupado Com relacao ao nosso exemplo se adotarmos o primeiro recipiente como unidade de volume dizemos que o volume do segundo recipiente e m n O volume do primeiro recipiente e 1 Assim para se determinar o volume de um recipiente e so enchˆelo e verificar a quantidade de lıquido utilizada Esse metodo empırico para se determinar volume contudo pode ser indesejavel imagine um recipiente do tamanho de um estadio de futebol ou mesmo impraticavel qual o volume da terra Alem disso desejase na pratica fazer o caminho inverso desejase saber a priori a quantidade de lıquido necessaria para se encher um determinado recipiente ou quais de vem ser as dimensoes de uma caixa dagua para que sua capacidade seja de 157 CEDERJ 96 Introducao ao conceito de volume 1000 litros Para que isso seja possıvel devemos ser capazes de determinar o volume dos solidos utilizando apenas o raciocınio logico e algumas pro priedades Para isso escolhese como unidade de volume um cubo de lado 1 Dizemos que esse cubo tem volume igual a 1 Se a aresta do cubo medir 1 cm o volume do cubo sera 1 cm3 lˆese um centımetro cubico se a aresta medir 1 m o volume sera 1 m3 um metro cubico e assim por diante A determinacao do volume dos solidos sera feita com base nas trˆes propriedades a seguir P1 A todo solido no espaco esta associado um numero real positivo cha mado seu volume P2 Solidos congruentes tˆem o mesmo volume por exemplo duas esfe ras de mesmo raio ou dois cilindros retos de mesmo raio da base e mesma altura P3 Se um solido S e dividido em dois solidos S1 e S2 entao o volume de S e a soma dos volumes de S1 e S2 Volume do paralelepıpedo Vejamos como utilizar as propriedades P1 P2 e P3 para determinar o volume dos principais solidos Primeiramente considere o cubo escolhido como unidade de volume e divida cada uma de suas arestas em n partes iguais obtendo n3 cubinhos justapostos todos de aresta medindo 1 n veja na Figura 272 um caso par ticular em que n 3 Figura 272 Cubo dividido em 27 cubos menores de aresta medindo 1 3 CEDERJ 158 97 Introducao ao conceito de volume M ODULO 2 AULA 27 Pela propriedade P2 todos os n3 cubinhos tˆem o mesmo volume Alem disso pela propriedade P3 o volume do cubo original e a soma dos volumes dos n3 cubinhos Segue que o volume de cada cubinho e 1 n3 Compare com os resultados da aula 13 sobre area de figuras planas Nosso objetivo agora e determinar o volume de um paralelepıpedo retangular ABCDEFGH cujas arestas medem a b e c O argumento que utilizaremos e analogo ao utilizado para o calculo da area de um retˆangulo Tome um vertice qualquer do paralelepıpedo e considere as semiretas que partem desse vertice e contˆem arestas do paralelepıpedo Sobre essas semi retas marque segmentos de medidas 1 n veja a Figura 273 A B C D E F G H Figura 273 Divisao do paralelepıpedo para calculo do volume Para facilitar a discussao admita que tenhamos mAB a mAD b e mAE c Sejam p o numero de segmentos de medida 1 n que cabem em AB q o numero desses segmentos que cabem em AD e s o numero desses segmentos que cabem em AE a Figura 273 ilustra um caso particular em que p 9 q 4 e s 2 Temos p 1 n a p 1 1 n q 1 n b q 1 1 n e s 1 n c s 1 1 n donde se conclui que I pqs 1 n3 abc p 1q 1s 1 1 n3 159 CEDERJ Por outro lado o paralelepípedo retangular cujas arestas medem fracpn fracqn e fracsn está inteiramente contido em nosso paralelepípedo ABCDEFGH e é formado por pqs cubinhos de aresta frac1n Como já sabemos que o volume de cada um desses cubinhos é frac1n3 segue que o volume de ABCDEFGH satisfaz V geq psqfrac1n3 Além disso o paralelepípedo retangular cujas arestas medem fracq 1n e fracs 1n contém ABCDEFGH e é formado por p 1q 1s 1 cubinhos de aresta frac1n Então V p 1q 1s 1frac1n3 Juntando II e III obtemos fracpqsn3 leq V p 1q 1s 1frac1n3 De I e IV concluiuse que V abc p 1q 1s 1frac1n3 fracpqsn3 frac1n fracpqn2 fracpsn2 fracqsn2 fracpn2 fracqn2 fracsn2 frac1n2 Como fracpn leq a fracqn leq b fracsn leq c resulta que V abc frac1n ab ac bc fracan fracbn fraccn frac1n frac1nab ac bc a b c 1 A desigualdade acima é válida para qualquer inteiro positivo n Note que o lado direito da desigualdade fica tão pequeno quanto desejarmos bastando para isso tomar n bastante grande Isso mostra que V abc qualquer número real positivo o que só é possível se V abc 0 Assim V abc Notando que ac é a área do retângulo ABFE e b é a altura do paralelepípedo provamos então que 99 Introducao ao conceito de volume M ODULO 2 AULA 27 Lembramos que um paralelepıpedo retangular tem como base um retˆangulo e suas arestas laterais sao perpendiculares aos planos das bases Nosso objetivo agora e determinar o volume de um paralelepıpedo ABCDEFGH qualquer Para isso consideraremos ABCD e EFGH como bases No plano da base EFGH trace perpendiculares a reta FG a partir dos pontos E e H obtendo pontos F1 e G1 veja Figura 274 A B C D E F G H B 1 C 1 G 1 F 1 Figura 274 Transformacao para um paralelepıpedo de base retangular O quadrilatero obtido EF1G1H e um retˆangulo lembre que EH e pa ralelo a FG Pelos pontos F1 e G1 trace retas paralelas a AE e sejam B1 e C1 os pontos em que essas retas intersectam o plano que contem ABCD Figura 274 O paralelepıpedo AB1C1DEF1G1H e um paralelepıpedo de bases retangulares e sua altura e a mesma do paralelepıpedo original ABCDEFGH Alem disso as bases desses paralelepıpedos tˆem a mesma area por quˆe Observe que podemos sobrepor o solido DC1CHG1G sobre o solido AB1BEF1F atraves de uma translacao ao longo da reta AD Se gue que esses dois solidos sao congruentes e portanto tˆem o mesmo volume Concluımos que os paralelepıpedos ABCDEFGH e AB1C1DEF1G1H tˆem o mesmo volume Tudo o que fizemos foi partir de um paralelepıpedo qualquer e obter um paralelepıpedo de bases retangulares com mesmo volume mesma area da base e mesma altura Agora vamos transformar o paralelepıpedo AB1C1DEF1G1H em um paralelepıpedo retangular de mesma altura mesma area da base e mesmo volume Como ja sabemos calcular o volume de um paralelepıpedo retangu lar determinaremos o volume de AB1C1DEF1G1H e portanto do para lelepıpedo original ABCDEFGH No plano que contem a face DC1G1H trace pelos pontos H e G1 segmentos perpendiculares a reta DC1 obtendo pontos D1 e C2 Faca o mesmo no plano da face AB1F1E e obtenha pontos A1 e B2 veja Figura 275 161 CEDERJ Cálculo do volume do paralelepípedo usando o princípio de Cavalieri 100 Introducao ao conceito de volume A B C D E F G H B 1 C 1 G 1 A 2 C 2 3 A 1 1 2 D1 2 D B 3 Figura 275 Transformacao para um paralelepıpedo de base retangular Podemos provar veja o primeiro exercıcio desta aula que A1B2C2D1 EF1G1H e um paralelepıpedo com o mesmo volume que AB1C1DEF1G1H Evidentemente AB1C1DEF1G1H e A1B2C2D1EF1G1H tˆem a mesma altura e as areas de suas bases sao iguais Finalmente no plano da face A1D1HE trace pelos pontos E e H seg mentos perpendiculares a reta A1D1 obtendo pontos A2 e D2 Faca o mesmo no plano da face B2C2G1F1 e obtenha os pontos B3 e C3 Podemos provar veja os exercıcios desta aula que A2B3C3D2EF1G1H e um paralelepıpedo retangular que tem o mesmo volume que A1B2C2D1EF1G1H Evidente mente esses dois paralelepıpedos tˆem a mesma altura e as areas de suas bases sao iguais Nosso paralelepıpedo original ABCDEFGH foi transformado no para lelepıpedo retangular A2B3C3D2EF1G1H atraves das seguintes transformacoes ABCDEFGH AB1C1DEF1G1H A1B2C2D1EF1G1H A2B3C3D2EF1G1H Em cada uma dessas transformacoes foram preservados o volume a altura e as areas das bases Logo VolABCDEFGH VolA2B3C3D2EF1G1H AreaEF1G1HmA2E AreaEFGHmA2E Como mA2E e exatamente a altura do paralelepıpedo ABCDEFGH em relacao a base EFGH provamos o seguinte resultado O volume de um paralelepıpedo e o produto da area da base pela altura relativa a base CEDERJ 162 101 Introducao ao conceito de volume M ODULO 2 AULA 27 Resumo Nesta aula vocˆe aprendeu O conceito de volume de um solido Que o volume de um paralelepıpedo e o produto da area da base pela altura relativa a base Exercıcios 1 O objetivo deste exercıcio e mostrar que o solido A1B1C2D1EF1G1H da Figura 275 do texto e um paralelepıpedo que tem o mesmo vo lume que o paralelepıpedo AB1C1DEF1G1H Isso deve ser feito da seguinte forma faremos uma serie de afirmacoes e a vocˆe cabera justi ficar cada uma delas Seja α o plano que contem os pontos D1 H e E e β o plano que contem os pontos A1 E e H Justifique as afirmacoes a seguir i A reta HG1 e perpendicular ao plano α ii EF1 e perpendicular ao plano α iii EF1 e perpendicular ao plano β iv α β e portanto as retas EA1 e HD1 sao coplanares v Os planos das faces DC1G1H e AB1F1E sao paralelos vi EA1 e HD1 sao paralelas vii A1B2C2D1EF1G1H e um paralelepıpedo viii Os solidos EA1ADD1H e F1B2B1C1C2G1 sao congruentes ix A1B2C2D1EF1G1H e AB1C1DEF1G1H tˆem o mesmo volume 2 Tomando como base o exercıcio 1 prove que o solido A2B3C3D2EF1G1H da Figura 275 e um paralelepıpedo retangular que tem o mesmo vo lume que o paralelepıpedo A1B2C2D1EF1G1H 3 Determine o volume de um cubo sabendo que ele foi confeccionado a partir de uma folha de zinco de 600 cm2 4 Um deposito em forma de um cubo com capacidade para 8000 litros esta completamente cheio de agua Desejase transferir toda a agua para um outro reservatorio na forma de um paralelepıpedo retangular cujas dimensoes sao 3 0 m de comprimento 2 5 m de largura e 4 0 m de altura Que altura alcancara a agua 163 CEDERJ 102 Introducao ao conceito de volume 5 Um paralelepıpedo retangular tem base quadrada e sua diagonal forma um ˆangulo de 60o com o plano da base Se o volume do paralelepıpedo e de 36000 cm3 determine a area total do paralelepıpedo 6 Oito cubos iguais sao dispostos de modo a formar um paralelepıpedo retangular Determine a forma do paralelepıpedo para que a superfıcie tenha area mınima 7 Entre todos os paralelepıpedos retangulares de mesmo volume qual o de menor area total 8 Se dois paralelepıpedos tˆem a mesma base e suas alturas sao iguais podese dizer que suas areas laterais sao iguais Justifique a sua resposta 9 A base de um paralelepıpedo oblıquo e um quadrado de lado a e suas arestas laterais medem 2a Se uma das arestas laterais forma um ˆangulo de 60o com os lados adjacentes da base e o volume do paralelepıpedo e 8 2 cm3 determine a 10 FCM SANTA CASA 1982 Dispondose de uma folha de cartolina medindo 50 cm de comprimento por 30 cm de largura podese construir uma caixa aberta cortandose um quadrado de 8 cm de lado em cada canto da folha O volume dessa caixa em cm3 sera a 1244 b 1828 c 2324 d 3808 e 12000 11 UFGO 1983 A aresta a diagonal e o volume de um cubo estao nessa ordem em progressao geometrica A area total desse cubo e a 6 3 b 62 3 1 c 3 d 12 e 18 12 CESGRANRIO 1988 Um tanque cubico com face inferior horizontal tem 1 m3 de volume e contem agua ate sua metade Apos mergulhar uma pedra de granito o nıvel da agua subiu 8 cm O volume dessa pedra e a 80 cm3 b 800 cm3 c 8000 cm3 d 80000 cm3 e 800000 cm3 13 UFC 1992 As dimensoes da base de um paralelepıpedo retangular P sao 3 m e 5 m e seu volume e 60 m3 O comprimento em metros do maior segmento de reta que une dois pontos de P e igual a a 2 5 b 3 5 c 4 5 d 5 2 e 6 2 CEDERJ 164 103 Volume de prismas e cilindros M ODULO 2 AULA 28 Aula 28 Volume de prismas e cilindros Objetivos Apresentar o Princıpio de Cavalieri Determinar o volume de um paralelepıpedo usando o Princıpio de Ca valieri Calcular o volume de um prisma Calcular o volume de um cilindro Introducao A determinacao do volume de um paralelepıpedo qualquer mostra que a tarefa de determinar o volume dos solidos mesmo dos mais simples nao e uma tarefa facil Essa tarefa pode ser grandemente facilitada se utilizarmos o Princıpio de Cavalieri Princıpio de Cavalieri Considere dois solidos S1 e S2 e um plano α Suponha que para todo plano β paralelo a α as secoes planas β S1 e β S2 tˆem a mesma area Entao V olS1 V olS2 Figura 281 Figura 281 Princıpio de Cavalieri Cavalieri 1598 1647 Bonaventura Francesco Ca valieri se agregou a ordem dos Jesuıtas em Milao em 1615 enquanto ainda era um ga roto Seu interesse em Ma tematica foi estimulado pelos trabalhos de Euclides e de pois por Galileu A teoria de indivisıveis apresentada por ele em 1635 permitiu encon trar facilmente e rapidamente areas e volumes de varias fi guras geometricas Cavalieri tambem escreveu sobre secoes cˆonicas trigono metria otica astronomia e astrologia Consulte httpwwwgroupsdcs standacukhistory MathematiciansCavalieri html 165 CEDERJ 105 Volume de prismas e cilindros M ODULO 2 AULA 28 Logo Areaγ S1 AreaEFGH AreaEF GH Areaγ S2 para todo plano γ paralelo a β Pelo Princıpio de Cavalieri temse V olS1 V olS2 Usaremos a notacao V olS para designar o volume do solido S Como ja sabemos que o volume de um paralelepıpedo retangular e o produto da area da base pela altura temos V olS1 V olS2 AreaEF GHmAE AreaEFGHalturaS1 O Princıpio de Cavalieri e na verdade um teorema isto e ele pode ser provado Sua prova porem envolve conceitos avancados da Matematica que ainda nao temos condicoes de abordar Embora possamos obter o volume dos principais solidos cilindros prismas cones pirˆamides esferas etc sem utilizar o princıpio de Cavalieri a utilizacao desse princıpio simplifica bas tante a determinacao de alguns desses volumes Em vista disso neste curso esse princıpio sera aceito como verdadeiro sem prova Calculo do volume do prisma Um procedimento analogo ao utilizado na determinacao do volume de um paralelepıpedo pode ser utilizado na determinacao do volume de um prisma qualquer Seja S um prisma cuja base e um polıgono P qualquer No plano da base considere um retˆangulo ABCD de area igual a area de P Sobre esse retˆangulo construa um paralelepıpedo retangular S de altura igual a altura de S Seja γ um plano paralelo a base de S e que e secante a S veja na Figura 284 um caso particular onde a base de S e um hexagono 167 CEDERJ 106 Volume de prismas e cilindros Figura 284 Calculo do volume do prisma Sabemos que γS e congruente a P e que γS e congruente a ABCD Logo Areaγ S AreaP AreaABCD Areaγ S para todo plano γ paralelo a base de S Pelo Princıpio de Cavalieri temse V olS V olS AreaABCDmAE Provamos entao que O volume de um prisma e o produto da area da base pela altura Calculo do volume do cilindro Para determinar o volume de um cilindro procedemos de maneira analoga a do calculo do volume de um prisma Dado um cilindro C reto ou oblıquo de altura h e cuja base e um cırculo Γ contido em um plano α considere um paralelepıpedo retangular R de altura h e cuja base e um retˆangulo contido em α e de mesma area que Γ veja Figura 285 CEDERJ 168 107 Volume de prismas e cilindros M ODULO 2 AULA 28 Figura 285 Calculo do volume do cilindro Para todo plano γ paralelo a α e secante a C temse AreaC γ AreaΓ AreaABCD AreaR γ Pelo Princıpio de Cavalieri concluise que V olC V olR AreaABCDmAE AreaΓalturaC Provamos entao que O volume de um cilindro e o produto da area de sua base pela altura Resumo Nessa aula vocˆe aprendeu O Princıpio de Cavalieri A calcular o volume de um prisma A calcular o volume de um cilindro Exercıcios 1 Calcule o volume de um prisma reto de 3 m de altura cuja base e um hexagono regular sabendo que se a altura fosse de 5 m o volume aumentaria em 6 m3 169 CEDERJ 108 Volume de prismas e cilindros 2 Um prisma reto tem 12 cm de altura e sua base e um triˆangulo cu jos lados medem 2 cm 4 cm e 20 8 3 cm Determine o volume do prisma 3 Calcule o volume de um prisma reto de altura a e cuja base e um pentagono dodecagono regular de lado a 4 Em um prisma oblıquo a aresta lateral mede 6 cm e sua secao reta perpendicular as arestas laterais e um hexagono regular de 6 3 cm2 Determine a area lateral e o volume desse prisma 5 Um cilindro de raio da base igual a 4 cm e geratriz medindo 6 cm tem seu eixo formando um ˆangulo de 45o com o plano da base Determine o volume desse cilindro 6 Desejase construir um reservatorio na forma de um cilindro equilatero e que tenha volume igual a um reservatorio na forma de um para lelepıpedo retangular de dimensoes 2 m 2 m 1 5 m Qual o raio do cilindro 7 Quantos litros de agua deve conter aproximadamente um reservatorio cilındrico de 3 m de raio e 8 m de altura Lembrese que 1ℓ 1 dm3 8 Em um reservatorio cilındrico de raio igual a 50 cm colocouse uma pedra o que elevou em 35 cm o nıvel da agua Determine o volume da pedra 9 Com uma folha de zinco de 5 m de comprimento e 4 m de largura podemos construir dois cilindros um segundo o comprimento e outro segundo a largura Em qual dos casos o volume sera maior 10 Um cilindro reto de raio r e altura h e cortado por um plano paralelo ao seu eixo Se a distˆancia entre o eixo e o plano e r 2 determine os volumes dos solidos obtidos 11 Um solido S esta localizado entre dois planos horizontais α e β cuja distˆancia e de 1 m Cortando o solido por qualquer plano horizon tal compreendido entre α e β obtemse como secao um disco de raio igual a 1 m a Podese garantir que o solido S e um cilindro Justifique b Calcule o volume de S CEDERJ 170 Volume de prismas e cilindros 2 Um prisma reto tem 12cm de altura e sua base e um triˆangulo cu jos lados medem 2cm 4cm e 20 8 3cm Determine o volume do prisma 3 Calcule o volume de um prisma reto de altura a e cuja base e um pentagono dodecagono regular de lado a 4 Em um prisma oblıquo a aresta lateral mede 6cm e sua secao reta perpendicular as arestas laterais e um hexagono regular de 6 3cm2 Determine a area lateral e o volume desse prisma 5 Um cilindro de raio da base igual a 4cm e geratriz medindo 6cm tem seu eixo formando um ˆangulo de 45o com o plano da base Determine o volume desse cilindro 6 Desejase construir um reservatorio na forma de um cilindro equilatero e que tenha volume igual a um reservatorio na forma de um para lelepıpedo retangular de dimensoes 2m 2m 15m Qual o raio do cilindro 7 Quantos litros de agua deve conter aproximadamente um reservatorio cilındrico de 3m de raio e 8m de altura Lembrese que 1ℓ 1dm3 8 Em um reservatorio cilındrico de raio igual a 50cm colocouse uma pedra o que elevou em 35cm o nıvel da agua Determine o volume da pedra 9 Com uma folha de zinco de 5m de comprimento e 4m de largura podemos construir dois cilindros um segundo o comprimento e outro segundo a largura Em qual dos casos o volume sera maior 10 Um cilindro reto de raio r e altura h e cortado por um plano paralelo ao seu eixo Se a distˆancia entre o eixo e o plano e r 2 determine os volumes dos solidos obtidos 11 Um solido S esta localizado entre dois planos horizontais α e β cuja distˆancia e de 1m Cortando o solido por qualquer plano horizon tal compreendido entre α e β obtemse como secao um disco de raio igual a 1m a Podese garantir que o solido S e um cilindro Justifique b Calcule o volume de S CEDERJ 170 109 Volume de prismas e cilindros M ODULO 2 AULA 28 12 PUCSP 1985 Se a area da base de um prisma diminui 10 e a altura aumenta 20 o seu volume a aumenta 8 b aumenta 15 c aumenta 108 d diminui 8 e nao se altera 13 VUNESP1988 Considere um galpao como o da Figura 286 12 3 8 5 Figura 286 Exercıcio 13 O volume de ar contido no galpao e igual a a 288 b 384 c 480 d 360 e 768 14 CRESCEM 1977 O lıquido contido em uma lata cilındrica deve ser distribuıdo em potes tambem cilındricos cuja altura e 1 4 da altura da lata e cujo diˆametro da base e 1 3 do diˆametro da base da lata O numero de potes necessarios e a 6 b 12 c 18 d 24 e 36 15 CESGRANRIO 1983 Um tonel cilındrico sem tampa e cheio dagua tem 10 dm de altura e 5 dm de raio da base Inclinandose o tonel de 45o o volume de agua derramada e aproximadamente a 145 dm3 b 155 dm3 c 263 dm3 d 353 dm3 e 392 dm3 171 CEDERJ 110 Volume de prismas e cilindros 16 UFGO 1984 Um pedaco de cano de 30 cm de comprimento e 10 cm de diˆametro interno encontrase na posicao vertical e possui a parte inferior vedada Colocandose dois litros de agua em seu interior a agua a ira ultrapassar o meio do cano b transbordara c nao chegara ao meio do cano d enchera o cano ate a borda e atingira exatamente o meio do cano CEDERJ 172 111 Volume de pirˆamides cones e esferas M ODULO 2 AULA 29 Aula 29 Volume de pirˆamides cones e esferas Objetivos Calcular o volume de uma pirˆamide Calcular o volume de um cone Calcular o volume de uma esfera Introducao Sabemos que se cortarmos um prisma ou um cilindro por um plano pa ralelo a base a secao plana obtida e congruente a base Essa propriedade nos permitiu aplicar o Princıpio de Cavalieri na determinacao do volume de pris mas e cilindros Com o intuito de utilizar esse princıpio na determinacao do volume de pirˆamides e cones precisaremos determinar secoes planas quando cortamos esses solidos por planos paralelos as suas bases Secoes planas de pirˆamides e cones A seguinte proposicao sera de grande utilidade na determinacao das secoes planas paralelas as bases de pirˆamides e cones Proposicao 1 Sejam α e α planos paralelos e P um ponto nao situado entre α e α Sejam d e d as distˆancias de P a α e α respectivamente Para todo ponto A α seja A PA α Figura 291 Entao mPA mPA d d para todo A α Prova Seja r a reta passando por P e perpendicular aos planos α e α Sejam B r α e B r α Figura 291 Por definicao de distˆancia de ponto a plano temos d mPB e d mPB Trace os segmentos BA e BA 173 CEDERJ Como overlineAB e overlineAB estão em um mesmo plano o plano determinado por overlinePA e overlinePB e alpha e alpha são paralelos temos overlineABoverlineAB Os triângulos PBA e PBA são semelhantes e consequentemente fracmPAmPA fracmPBmPB fracdd QED Pelo segundo caso de semelhança estudado na Aula 10 temos que ABC sim ABC ACD sim ACD e ABD sim ABD com razão de semelhança frachh Logo fracmBCmBC fracmCDmCD fracmBDmBD frachh Concluíse que fracÁreaBCDÁreaBCD left frachh right2 Como consequência fracÁreaGammaÁreaGamma left frachh right2 A prova desta proposição será deixada como exercício veja exercício 27 desta aula Cálculo do volume de uma pirâmide Como consequência da proposição 2 provaremos a seguinte proposição Proposição 4 Se dois tetraedros pirâmides triangulares têm a mesma altura e mesma área da base então eles têm o mesmo volume Prova Sejam ABCD e EFGH dois tetraedros tais que ÁreaBCD ÁreaFGH e tais que as alturas em relação às bases BCD e FGH são iguais a h Consider que as duas pirâmides estão situadas sobre um plano alpha Seja alpha um plano paralelo a alpha e que secciona as pirâmides segundo os triângulos BCD e FGH veja a Figura 294 115 Volume de pirˆamides cones e esferas M ODULO 2 AULA 29 Como AreaBCD AreaFGH segue que AreaBCD AreaFGH para todo plano α paralelo a α e secante aos dois tetraedros Pelo Princıpio de Cavalieri concluise que ABCD e EFGH tˆem o mesmo volume QED Determinaremos agora a formula para o calculo do volume de uma pirˆamide triangular Considere um prisma triangular reto ABCDEF Lembrese que ja sa bemos calcular o seu volume A ideia sera dividir o prisma em trˆes tetraedros de mesmo volume Acompanhe as divisoes pela Figura 295 A B D C E F A C D E F T1 B E A C C D E F A C D E T2 T3 Figura 295 Divisao do prisma em trˆes tetraedros Primeiramente divida o prisma no tetraedro EABC e na pirˆamide EDACF atraves do plano contendo os pontos E A e C Em seguida di vida a pirˆamide EDACF nos tetraedros EDFC e EDAC atraves do plano contendo os pontos D E e C O nosso prisma ficou assim dividido nos te traedros T1 EABC T2 EDFC e T3 EDAC Mostraremos agora que T1 T2 e T3 tˆem o mesmo volume Em primeiro lugar considere T2 e T3 com bases DFC e DAC Como DACF e um retˆangulo a diagonal DC divide DACF em dois triˆangulos congruentes que sao DAC e DFC Logo T2 e T3 tˆem bases de mesma area Alem disso como as bases DFC e DAC estao em um mesmo plano o plano do retˆangulo DACF temse que as alturas de E em relacao as bases DFC e DAC sao iguais Assim T2 e T3 tˆem tambem a mesma altura Usando a proposicao 4 concluise que V olT2 V olT3 177 CEDERJ 116 Volume de pirˆamides cones e esferas Considere agora T1 e T2 com bases ABC e DEF respectivamente Como ABC e DEF sao congruentes pois sao bases do prisma ABCDEF temse que AreaABCArea DEF Alem disso como mEB e a altura de T1 relativa a base ABC mFC e a altura de T2 relativa a base DEF e EB FC segue que T1 e T2 tˆem tambem a mesma altura Usando a proposicao 4 desta aula concluise que V olT1 V olT2 Portanto o nosso prisma ABCDEF foi dividido em trˆes tetraedros de mesmo volume T1 T2 e T3 Logo V olT1 V olT2 V olT3 1 3V olABCDEF 1 3 AreaABCmBE Provamos entao o seguinte resultado O volume de uma pirˆamide triangular e um terco do produto da area da base pela altura A partir da formula para o calculo do volume de uma pirˆamide trian gular podemos achar facilmente a formula para o volume de uma pirˆamide qualquer Seja S uma pirˆamide de altura h com vertice em A e cuja base e um polıgono P A1A2 An Essa pirˆamide pode ser dividida nos n 2 tetraedros AA1A2A3 AA1A3A4 AA1An1An veja na Figura 296 um caso particular em que P e um pentagono A A A A A A 1 2 3 4 5 Figura 296 Divisao de uma pirˆamide pentagonal nos tetraedros AA1A2A3 AA1A3A4 e AA1A4A5 Observe que a altura de cada tetraedro e igual a altura de S Logo V olS V olAA1A2A3 V olAA1A3A4 V olAA1An1An 1 3 AreaA1A2A3h 1 3 AreaA1A3A4h 1 3 AreaA1An1Anh 1 3hAreaA1A2A3 AreaA1A3A4 AreaA1An1An 1 3hAreaP CEDERJ 178 Assim vale também Cálculo do volume de um cone 119 Volume de pirˆamides cones e esferas M ODULO 2 AULA 29 Provamos entao que O volume de uma esfera de raio r e V 4 3πr3 Resumo Nesta aula vocˆe aprendeu A calcular o volume de pirˆamides cones e esferas Exercıcios 1 Determine o volume e a area total de um tetraedro regular cuja aresta mede a 2 Um recipiente em forma de um tetraedro regular invertido de aresta medindo 1 m esta com agua ate a metade de sua altura como mostra a Figura 299 Figura 299 Exercıcio 2 Invertendo o recipiente como na Figura 2910 qual devera ser a altura do nıvel da agua 3 Uma pirˆamide regular de base hexagonal tem altura 6 cm e apotema igual a 9 cm Determine o volume e a area lateral dessa pirˆamide 4 Uma pirˆamide regular de base pentagonal tem volume de 500 cm3 e o cırculo inscrito na base tem raio igual a 3 cm Determine a medida da aresta lateral dessa pirˆamide 181 CEDERJ 120 Volume de pirˆamides cones e esferas Figura 2910 Exercıcio 2 5 Duas pirˆamides regulares uma de base hexagonal e outra de base de cagonal tˆem a mesma altura e as arestas das bases sao congruentes Determine a razao entre os volumes dessas pirˆamides 6 Calcule o volume e a area total de um octaedro regular de aresta igual a 10 cm 7 Na Figura 2911 ABCD e um tetraedro regular de volume V A B C D E F Figura 2911 Exercıcio 7 Se mBF 1 4mBC e mBE 1 3mBD determine o volume da pirˆamide ABFE 8 Prove que os segmentos que unem os vertices de uma pirˆamide trian gular aos baricentros das faces opostas se intersectam em um ponto e se dividem por esse ponto na razao 1 3 9 A que altura da base devemos cortar uma pirˆamide por um plano pa ralelo a base para obtermos dois solidos de mesmo volume CEDERJ 182 121 Volume de pirˆamides cones e esferas M ODULO 2 AULA 29 10 Determine o volume do maior tetraedro que pode ser guardado dentro de um cubo de aresta a 11 Prove que a soma das distˆancias de um ponto interior de um tetraedro regular as suas faces e constante 12 Um tetraedro regular esta inscrito em um cone Determine a razao entre o volume do tetraedro e o volume do cone 13 Um copo cˆonico de papel foi feito a partir de um setor circular de 10 cm de raio e ˆangulo central de 108o Calcule o volume do copo 14 Um recipiente com a forma de um cone invertido tem 12 m de altura Esse recipiente esta completamente cheio com 27000 litros de agua e 37000 litros de oleo Determine a altura da camada de agua 15 Na Figura 2912 ABCDEFGH e um cubo de aresta a e M e o ponto medio de AB A B C D E F G H M Figura 2912 Exercıcio 15 Determine a distˆancia de F ao plano que contem M H e G 16 Um recipiente cilındrico de raio da base igual a 5 m e altura igual a 15 m esta completamente cheio de agua Despejase toda a agua em um sistema de dois cones invertidos interligados por um duto de volume desprezıvel como mostra a Figura 2913 183 CEDERJ 122 Volume de pirˆamides cones e esferas Figura 2913 Exercıcio 16 Sabendo que as alturas dos cones sao iguais a 15 m e que os raios de suas bases valem 5 m e 10 m respectivamente determine a altura do nıvel da agua 17 Determine o volume de uma esfera sabendo que a area da secao deter minada por um plano que dista 4 cm do centro da esfera e de 9π cm2 18 O raio de uma esfera mede 16 cm De um ponto P situado a 34 cm do centro da esfera tracamse retas tangentes a esfera como na Figura 2914 P Figura 2914 Exercıcio 18 Prove que a uniao dos segmentos com extremidades em P e nos pontos de tangˆencia com a esfera e um cone reto e determine o volume desse cone 19 Considere uma esfera de centro O e raio r e um ponto P situado a uma distˆancia r 2 do centro da esfera Determine a area da secao plana determinada por um plano que passa por P e forma um ˆangulo θ com a reta OP 20 Duas esferas tangentes exteriormente entre si tangenciam internamente uma esfera de raio R Determine os raios das esferas tangentes inter namente para que a soma de seus volumes seja o menor possıvel CEDERJ 184 Cálculo do volume de uma esfera 124 Volume de pirˆamides cones e esferas altura da areia na parte de cima reduziuse a metade como mostra a Figura 2916 Figura 2916 Exercıcio 24 Supondo que em cada minuto a quantidade de areia que passa do cone de cima para o cone de baixo e constante em quanto tempo mais toda a areia tera passado para a parte de baixo a 5 minutos b 10 minutos c 15 minutos d 20 minutos e 30 minutos 25 UFMG 1992 Um plano intersecta uma esfera segundo um cırculo de diˆametro AB como mostra a Figura 2917 A O B Figura 2917 Exercıcio 25 CEDERJ 186 125 Volume de pirˆamides cones e esferas M ODULO 2 AULA 29 O ˆangulo A ˆOB mede 90o e o raio da esfera 12 cm O volume do cone de vertice O e base de diˆametro AB e a 9π b 36 2π c 48 2π d 144 2π e 1304π 26 Duas esferas de metal de raios 2r e 3r se fundem para formar uma unica esfera Determine o raio dessa nova esfera 27 Prove a proposicao 3 187 CEDERJ 126 Area de superfıcies parte I M ODULO 2 AULA 30 Aula 30 Area de superfıcies parte I Objetivo Determinar areas de algumas superfıcies curvas Introducao Suponha que um pintor utilize x litros de tinta para pintar uma parede quadrada de 1 m de lado e y litros de tinta para pintar a parte externa de uma torre de uma igreja Figura 301 Figura 301 Area de superfıcies curvas Se a camada de tinta da parede e da torre tiverem a mesma espessura podemos dizer que a area da parte externa da torre e y x vezes maior que a area da parede Se adotarmos um quadrado de lado 1 m como unidade de area entao a area da parte externa da torre e y x m2 Assim para medir a area de qualquer superfıcie basta pintala e verificar a quantidade de tinta utilizada Entretanto pelas razoes ja descritas quando introduzimos o conceito de area de figuras planas devemos ser capazes de calcular a area de superfıcies sem apelar para nenhum metodo empırico Se uma superfıcie for formada por pedacos de planos cujas areas sabemos calcular entao saberemos dizer qual a area da superfıcie Por exemplo e facil calcular a area da superfıcie lateral de um prisma a area de uma pirˆamide a area de um octaedro a area de um poliedro etc veja a Figura 302 189 CEDERJ 127 Area de superfıcies parte I Figura 302 Exemplos de superfıcies cujas areas sabemos calcular Mas e se a superfıcie for curva como por exemplo a superfıcie lateral de um cone a superfıcie lateral de um cilindro ou uma esfera Antes de falarmos mais formalmente sobre esse assunto exploremos um pouco a nossa intuicao Vamos chamar de e a espessura da camada de tinta utilizada na pintura de uma chapa retangular de area A Para facilitar o raciocınio suponhamos que a chapa nao tem espessura Apos a pintura a chapa toma a forma de um paralelepıpedo retangular de altura e e base retangular de area A veja a Figura 303 e a b Figura 303 a Chapa nao pintada b chapa pintada O volume V de tinta utilizada e exatamente o volume do paralelepıpedo retangular ou seja V A e Daı obtemse que I A V e Vamos considerar agora a pintura da superfıcie lateral de uma lata na forma de um cilindro circular reto Chamemos de R o raio do cilindro de h a sua altura e de e a espessura da camada de tinta Apos a pintura a superfıcie lateral transformase no solido limitado pelos cilindros com mesmo eixo de altura h e raios R e R e veja Figura 304 CEDERJ 190 128 Area de superfıcies parte I M ODULO 2 AULA 30 R h h R e a R b Figura 304 a Lata nao pintada b lata pintada O volume de tinta utlizado e exatamente a diferenca entre os volumes dos dois cilindros ou seja II V πR e2h πR2h πeh2R e No exemplo da chapa retangular as bases inferior e superior do parale lepıpedo tˆem area igual a A e I vale para qualquer valor de e No exemplo da lata as areas laterais dos dois cilindros sao diferentes e a area lateral da lata nao pode ser dada por I Contudo se o valor de e for bastante pe queno as areas laterais dos dois cilindros sao praticamente iguais e podemos aproximar o valor A da area lateral da lata por III A V e πeh2R e e πh2R e Essa aproximacao sera tanto melhor quanto menor for o valor de e Isso nos faz conjecturar que III nos da o valor exato se fizermos e 0 Assim e de se esperar que a area lateral de um cilindro reto de raio R e altura h seja dada por A 2πRh Veremos adiante que de fato esse e o valor da area lateral de um cilindro Usando as mesmas ideias acima podemos descobrir qual deve ser a formula que determina a area da esfera Para isso considere duas esferas concˆentricas de raios R e R e veja Figura 305 O volume do solido limitado pelas duas esferas e dado por V 4 3πR e3 4 3πR3 4 3πR3 3R2e 3Re2 e3 R3 4 3πe3R2 3Re e2 191 CEDERJ 129 Area de superfıcies parte I R R e Figura 305 Esferas concˆentricas Um valor aproximado para a area A da esfera e IV A V e 4 3π3R2 3Re e2 e essa aproximacao sera tanto melhor quanto menor for o valor de e e IV devera dar o valor exato se e 0 Assim e de se esperar que a area de uma esfera de raio R seja A 4πR2 Veremos adiante que esse e realmente o valor da area da esfera Area de superfıcies Em aulas anteriores aprendemos a calcular a area de algumas figuras planas como o paralelogramo o triˆangulo o trapezio o cırculo etc Isso foi feito a partir de algumas propriedades propriedades analogas permitem determinar o volume dos principais solidos Essas propriedades referemse a superfıcies planas e portanto nao podem ser utilizadas para determinar a area de superfıcies como a esfera a superfıcie lateral do cilindro ou a superfıcie lateral do cone Para resolver satisfatoriamente esse problema e necessario dar uma definicao precisa do conceito de superfıcie que inclui as superfıcies planas e as superfıcies curvas citadas acima bem como o de sua area Para isso e necessario utilizar ferramentas que estao fora do conteudo desta disciplina Tais ferramentas serao estudadas nos cursos de Calculo e com elas po demos determinar areas e volumes de objetos que de outra forma nao conseguirıamos ou terıamos grandes dificuldades de fazˆelo Por isso a de terminacao da area das principais superfıcies curvas sera feita de maneira elementar e intuitiva CEDERJ 192 Área do cilindro e do cone A superfície de um cilindro é composta de suas bases e de uma superfície lateral Como já sabemos calcular a área de um círculo nos concentraremos agora na tarefa de determinar a área lateral de um cilindro área da superfície lateral Dado um cilindro reto de raio R e altura h podemos cortar sua superfície lateral ao longo de uma geratriz e desenrolálo até obtermos um retângulo de lados medindo 2πR e h veja Figura 306 Esse procedimento chamado planificação não altera a área lateral do cilindro e como sabemos calcular a área de um retângulo podemos determinar facilmente o seu valor Área lateral do cilindro Área do retângulo 2πRh Portanto A área lateral do cilindro é dada pelo produto da altura pelo comprimento do círculo da base A superfície de um cone é composta de sua base e de sua superfície lateral Considere um cone reto com raio da base medindo R Lembramos que em um cone reto todas as geratrizes têm o mesmo comprimento Chamemos de g a medida de suas geratrizes Para determinar sua área lateral área da superfície lateral fazemos como no caso do cilindro uma planificação cortamos o cone ao longo de uma geratriz e o desenrolamos até transformálo em um setor de um círculo de raio g que subtende um arco de comprimento igual a 2πR veja Figura 307 131 Area de superfıcies parte I Figura 307 Planificacao de um cone A area lateral do cone e igual a area do setor circular obtido que por sua vez e proporcional ao comprimento do arco subentendido Areasetor πg2 2πR 2πg Logo Arealateral do cone Areasetor πRg 1 2g2πR Portanto A area lateral do cone e a metade do produto da geratriz pelo com primento do cırculo da base Lembramos que a altura a geratriz e o raio da base de um cone reto estao relacionados pela formula veja Figura 308 g h2 R2 CEDERJ 194 132 Area de superfıcies parte I M ODULO 2 AULA 30 Figura 308 Altura h geratriz g e raio da base R de um cone Resumo Nesta aula vocˆe aprendeu A calcular a area de cilindros cones e esferas Exercıcios 1 Um cilindro reto e um prisma reto cuja base e um triˆangulo equilatero tˆem a mesma altura e a mesma area lateral Determine a razao entre o volume do cilindro e o volume do prisma 2 A planificacao da superfıcie lateral de um cone reto e um setor circular de 90o Se o raio da base do cone e 5 cm determine a altura do cone 3 Um cilindro e um cone ambos retos possuem o mesmo raio da base e suas geratrizes tˆem a mesma medida Determine a razao entre a area lateral do cone e a area lateral do cilindro 4 Em um cone reto o ˆangulo entre uma geratriz e o eixo e α Determine o ˆangulo do setor circular obtido pela planificacao do cone 5 Prove que de todos os cilindros de mesmo volume o cilindro equilatero e o que possui a menor area total 195 CEDERJ 6 UFPA 1985 A área lateral de um cilindro reto é metade da área da base Se o perímetro de sua seção meridiana é 18 m o volume vale a 8π m³ b 10π m³ c 12π m³ d 16π m³ e 20π m³ 7 ITA 1977 Se S é a área total de um cilindro reto de altura h e se m é a razão direta entre a área lateral e a soma das áreas da base então o valor de h é dado por a h m S2πm 2 b h m 54πm 2 c h m 52πm 2 d h m 54πm 1 e NRA 8 UMACK 1975 A altura de um cilindro é 20 cm Aumentandose o raio desse cilindro de 5 cm a área lateral do novo cilindro fica igual à área total do primeiro O raio do primeiro cilindro em cm é a 10 b 8 c 12 d 5 e 6 9 ITA 1988 A geratriz de um cone circular reto forma com o eixo do cone um ângulo de 45 Sabendose que o perímetro de sua seção meridiana vale 2 cm podemos afirmar que a área total desse cone vale a π322 2 cm² b π2 1 cm² c π3 1 cm² d π22 1 cm² e π5 1 cm² Aula 31 Área de superfícies parte II Objetivos Definir sólidos de revolução Determinar áreas de algumas superfícies de revolução Introdução Considere um plano e uma linha simples L contida nesse plano Essa linha simples poderia ser um segmento de reta uma poligonal simples um pedaço de círculo ou qualquer conjunto que intuitivamente pudéssemos esticálo e transformálo em um segmento de reta Considere ainda uma reta r contida nesse plano e que não corte L Dado P L sabemos que existe um único plano α passando por P e perpendicular a r Seja O r α e chame de C o círculo contido em α centrado em O e de raio OP veja Figura 311 A superfície S obtida pela união de todos os círculos C é chamada de superfície de revolução Dizemos que S foi obtida pela rotação de L em torno de r A reta r é chamada de eixo e L de geratriz da superfície de revolução veja Figura 312 135 Area de superfıcies parte II Se a linha L for fechada ou se seus dois extremos pertencerem ao eixo a superfıcie de revolucao delimita um solido chamado de solido de revolucao O cilindro o cone e a esfera sao exemplos de superfıcie de revolucao O cilindro pode ser obtido pela rotacao de um retˆangulo em torno de uma reta que contem um de seus lados o cone pode ser obtido pela rotacao de um triˆangulo retˆangulo em torno de uma reta que contem um dos catetos e a esfera pode ser obtida pela rotacao de um semicırculo em torno de uma reta que contem o diˆametro veja Figura 313 Figura 313 Cilindro cone e esfera como superfıcies de revolucao Considere agora a rotacao de um segmento de reta AB em torno de uma reta r Chame de R e R as distˆancias de respectivamente A e B a reta r A superfıcie de revolucao obtida e um cone R 0 ou R 0 um cilindro R R ou um tronco de cone R R veja Figura 314 Figura 314 Rotacao de um segmento CEDERJ 198 136 Area de superfıcies parte II M ODULO 2 AULA 31 Se a superfıcie for um cone ou um cilindro ja sabemos calcular sua area Calcularemos agora a area no caso em que a superfıcie e um tronco de cone Para isso seja C r AB e sejam l mAB e c mBC Denote por O e O os pes das perpendiculares a reta r baixadas de A e B respectivamente veja Figura 315 A B C O O r R R c l Figura 315 COB COA Observe que a area A do tronco de cone e a diferenca entre as areas laterais de dois cones um de raio R e geratriz l c e outro de raio R e geratriz c Logo A πRl c πRc Da semelhanca dos triˆangulos COB e COA obtemos R c R l c Substituindo na equacao anterior temse A πRl πRl c πRc πRl πRl 2πR R 2 l Note que R R 2 e exatamente a distˆancia do ponto medio de AB a reta r ou o que e a mesma coisa o raio do cırculo obtido pela rotacao do ponto medio AB em torno de r Chamaremos esse cırculo de cırculo medio do tronco de cone Entao a equacao anterior nos diz que a area lateral de um tronco de cone e o produto do comprimento do cırculo medio pela geratriz 199 CEDERJ 137 Area de superfıcies parte II Para os nossos propositos sera mais conveniente encontrar uma outra expressao para a area lateral A de um tronco de cone Para isso sejam M o ponto medio de AB e s a reta perpendicular a AB em M Sejam D r s a mMD e h a altura do tronco de cone Facamos m R R 2 veja Figura 316 m a R h D s O M R A B r F Figura 316 Determinacao da area lateral de um tronco de cone Como os triˆangulos MED e AFB sao semelhantes por quˆe temse m h a l o que implica I A 2πml 2πah No caso em que R R nesse caso temos um cilindro e claro que D E a m R e h e a medida da geratriz do cilindro Logo nesse caso I tambem fornece a area lateral de um cilindro No caso em que R 0 nesse caso temos um cone temse m R 2 e I tambem fornece a area lateral de um cone Conforme veremos a expressao I sera de grande utilidade na deter minacao da area de uma esfera O numero a da formula I que e o com primento do segmento da mediatriz de AB localizado entre r e AB sera tambem chamado de apotema a razao para esse nome se tornara clara na proxima secao CEDERJ 200 138 Area de superfıcies parte II M ODULO 2 AULA 31 Area da esfera Considere um polıgono regular de 2 n lados e seja r uma reta que passa por dois vertices opostos A superfıcie de revolucao obtida pela rotacao do polıgono em torno de r e formada por 2 cones e por n 2 troncos de cone Veja na Figura 317 dois casos particulares em que n 4 e n 5 A1 A2 A 3 A A A A A 4 5 6 7 8 r r A A A A A A A A A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a b Figura 317 Rotacao de um polıgono de 2 n lados em torno de uma reta que contem vertices opostos a n 4 b n 5 No caso em que n e ımpar como na Figura 317b um dos n 2 troncos de cone e na verdade um cilindro Observe que a soma das alturas dos 2 cones e dos n2 troncos de cone e igual a distˆancia entre dois vertices opostos como A1 e A5 na Figura 317a e A1 e A6 na Figura 317b Chamaremos essa distˆancia de diˆametro do polıgono Alem disso tanto os apotemas dos cones quanto os apotemas dos troncos de cone coincidem com o apotema do polıgono regular O seguinte resultado e consequˆencia imediata de I Proposicao 1 Seja S a superfıcie de revolucao obtida pela rotacao de um polıgono regular de 2 n lados em torno de uma reta que contem dois vertices opostos Sejam a o apotema e d o diˆametro do polıgono regular Entao a area de S e igual a 2πad Nosso objetivo agora e determinar a area de uma esfera O caminho que seguiremos foi inspirado nas ideias originais de Arquimedes Seja S uma esfera de raio R a qual pode ser vista como a superfıcie de revolucao obtida pela rotacao de um semicırculo C de raio R em torno do diˆametro 201 CEDERJ Inscrevemos em C a metade de um polígono regular A1A2 A2n de 2 n lados e circunscrevemos em C a metade de um polígono regular B1B2 B2n de 2 n lados veja na Figura 318 um caso particular em que n 4 As desigualdades III e IV implicam ÁreaS 4πR2 4πR2 1 cos1802n cos1802n para todo inteiro positivo n Como o lado direito da desigualdade acima é tão pequeno quanto desejarmos para n suficientemente grande concluímos que ÁreaS 4πR2 0 Portanto A proposição a seguir dá as fórmulas para o cálculo da área de uma calota esférica e do volume de um segmento esférico 142 Area de superfıcies parte II M ODULO 2 AULA 31 5 Um cilindro equilatero e uma esfera tˆem o mesmo volume Determine a razao entre suas areas 6 Uma esfera de 6 cm de raio e seccionada por um plano que dista 2 cm do seu centro Determine as areas das calotas obtidas 7 Uma esfera de raio 8 cm e seccionada por dois planos paralelos α e β distantes respectivamente 3 cm e 5 cm do seu centro Se o centro da esfera esta entre α e β determine o volume do solido compreendido entre α e β 8 CESGRANRIO 1977 Uma laranja pode ser considerada uma esfera de raio R composta por 12 gomos exatamente iguais A superfıcie total de cada gomo tem area igual a a 2πR2 b 4πR2 c 3π 4 R2 d 3πR2 e 4 3πR2 9 PUCSP 1971 A medida dos lados de um triˆangulo equilatero ABC e a O triˆangulo ABC gira em torno de uma reta r do plano do triˆangulo paralela ao lado BC e passando por A O volume do solido de revolucao obtido e a πa3 3 b πa3 2 c πa3 d 3πa3 2 e πa3 5 10 A Figura 3110 mostra uma esfera de raio R e um cone reto de altura 2R cuja base e um cırculo de raio R tangente a esfera A B D V Figura 3110 Exercıcio 10 Sabendo que o segmento V D que liga o vertice do cone ao centro da base do cone e um diˆametro da esfera determine o volume do solido limitado pela esfera e pelo cone 205 CEDERJ 143 Area de superfıcies parte II 11 ITA 1975 As medidas dos catetos de um triˆangulo retˆangulo sao sen x cm e cos x cm Um estudante calculou o volume do solido gerado pela rotacao desse triˆangulo em torno da hipotenusa e obteve como resultado π cm3 Considerando esse resultado como certo pode mos afirmar que x e em rad igual a a π 6 b π 3 c π 4 d π 5 e NRA 12 VUNIF RS 1980 O volume do solido gerado pela rotacao de um triˆangulo equilatero de lado a em torno de um de seus lados e a πa3 4 b πa3 3 c πa3 2 d 3πa3 4 e 4πa3 3 13 U MACK 1981 Na Figura 3111 o retˆangulo ABCD faz uma rotacao completa em torno de AB A B D C Figura 3111 Exercıcio 13 A razao entre os volumes gerados pelos triˆangulos ABD e BCD e a 1 b 1 2 c 3 d 1 3 e 1 4 14 UFMG 1982 Consideremse um retˆangulo ABCD e dois cilindros um obtido girandose ABCD em torno de AB e o outro girandose o retˆangulo em torno de BC A razao entre a soma dos volumes dos dois cilindros e a area do retˆangulo nessa ordem e 10π O perımetro do retˆangulo e a 10 b 20 c 30 d 40 e 50 15 A Figura 3112 mostra um setor circular de raio 1 e ˆangulo igual a 30o A B 1 30 o O Figura 3112 Exercıcio 15 Determine a area total do solido obtido pela rotacao do setor em torno de OB CEDERJ 206 144 Area de superfıcies parte II M ODULO 2 AULA 31 16 A Figura 3113 mostra duas linhas L1 e L2 e trˆes retas r s e t contidas em um plano com rs e rt L L 1 2 s u t r Figura 3113 Exercıcio 16 Suponha que cada reta u perpendicular a r e entre s e t corte L1 e L2 em um unico ponto e que a distˆancia de L1 u a r seja menor que a distˆancia de L2 u a r Podemos afirmar que a area da superfıcie de revolucao obtida pela rotacao de L1 em torno de r e menor que a area da superfıcie de revolucao obtida pela rotacao de L2 em torno de r Justifique sua resposta 17 UFF1999 A Figura 315 representa um paralelogramo MNPQ M N P Q h l Figura 3114 Exercıcio 17 O volume do solido obtido pela rotacao do paralelogramo em torno da reta suporte do lado MQ e igual a a π 2 h2ℓ h b π 2 h2ℓ cπh2ℓ h d πhℓ h2 e πh2ℓ 207 CEDERJ 145 Inscricao e circunscricao de solidos M ODULO 2 AULA 32 Aula 32 Inscricao e circunscricao de solidos Objetivos Identificar se determinados solidos sao ou nao inscritıveis Identificar se determinados solidos sao ou nao circunscritıveis Introducao Quando estudamos Geometria Plana definimos polıgonos inscritıveis e polıgonos circunscritıveis Analogamente podemos considerar a inscricao e a circunscricao de alguns solidos Definicao 1 Um poliedro esta inscrito em uma esfera se todos os seus vertices pertencem a esfera Nesse caso dizse que o poliedro e inscritıvel Um poliedro esta circunscrito a uma esfera se todas as faces do poliedro sao tangentes a esfera Nesse caso dizse que o poliedro e circunscritıvel Quando um poliedro esta inscrito em uma esfera dizse tambem que a esfera esta circunscrita ao poliedro Quando um poliedro esta circunscrito a uma esfera dizse tambem que a esfera esta inscrita no poliedro Como exemplo de poliedro inscritıvel podemos citar os paralelepıpedos retangulares Para ver que todo paralelepıpedo retangular e inscritıvel lem bre que as diagonais de um paralelepıpedo qualquer sao concorrentes em um ponto e que esse ponto as divide ao meio Alem disso as diagonais de um paralelepıpedo retangular tˆem o mesmo comprimento Logo o ponto de en contro entre elas e equidistante dos vertices e a distˆancia entre esse ponto e cada um dos vertices e a metade da medida de suas diagonais Como a2 b2 c2 e a medida das diagonais de um paralelepıpedo retangular de medidas a b e c provamos que Proposicao 1 Todo paralelepıpedo retangular e inscritıvel Se o paralelpıpedo retangular tem medidas a b e c entao o raio da esfera circunscrita e a2 b2 c2 2 Segue da proposicao 8 que o raio da esfera circunscrita a um cubo de aresta a e a 3 2 209 CEDERJ 146 Inscricao e circunscricao de solidos Uma pergunta natural que surge e todo paralelepıpedo e inscritıvel A proposicao a seguir diz que nao Proposicao 2 Todo paralelepıpedo inscritıvel e retangular Prova Seja ABCDEFGH um paralelepıpedo inscrito em uma esfera S Se jam α o plano da face ABCD e C o cırculo obtido pela intersecao entre α e S Como A B C e D pertencem a C α S o paralelogramo ABCD esta inscrito em C Mas podese provar facilmente veja exercıcio 1 desta aula que todo paralelogramo inscritıvel e um retˆangulo Logo a face ABCD e um retˆangulo Um raciocınio analogo prova que as outras faces sao tambem retˆangulos Assim todas as faces de ABCDEFGH sao retˆangulos e por tanto ABCDEFGH e um paralelepıpedo retangular QED Consideraremos agora a circunscricao de paralelepıpedos E um fato verdadeiro e muito facil de provar veja exercıcio 2 desta aula que todo paralelogramo circunscritıvel e um losango E de se esperar que valha um resultado analogo para paralelepıpedos ou seja que todo paralelepıpedo cir cunscritıvel seja um romboedro paralelepıpedo que possui todas as arestas congruentes Mas isso nao e verdade O paralelepıpedo da Figura 321 e circunscritıvel e nao e um romboedro 45o 2 2 1 Figura 321 Paralelepıpedo circunscritıvel que nao e um romboedro Deixaremos como exercıcio veja exercıcio 3 desta aula a prova de que o paralelepıpedo da Figura 321 e circunscritıvel Para paralelepıpedos circunscritıveis vale o seguinte resultado CEDERJ 210 147 Inscricao e circunscricao de solidos M ODULO 2 AULA 32 Proposicao 3 As faces de um paralelepıpedo circunscritıvel tˆem a mesma area A prova desta proposicao sera deixada como exercıcio veja exercıcio 4 desta aula Segue da proposicao anterior que um paralelepıpedo retangular circuns critıvel e um cubo Provaremos agora que todo cubo e inscritıvel Considere um cubo ABCDFGHI de aresta a Ja sabemos que ele e circunscritıvel e que o raio da esfera circunscrita e a 3 2 Seja O o centro dessa esfera e trace os segmentos OA OB OC OD AC e BD Seja E o ponto de encontro entre os segmentos AC e BD e trace o segmento OE veja a Figura 322 B A D C E F G H O I Figura 322 E e o ponto de encontro das diagonais da face Como OA OC e E e o ponto medio de AC segue que OE e perpendi cular a AC Da mesma forma como OB OD e E e o ponto medio de BD temse que OE tambem e perpendicular a BD Assim OE e perpendicular a duas retas concorrentes do plano que contem ABCD e portanto OE e perpendicular a face ABCD Como OBE e retˆangulo em E mOB a 3 2 e mBE a 22 segue do Teorema de Pitagoras que mOE a2 Esta provado que a distˆancia de O ao plano da face ABCD e a2 Da mesma forma provase que a distˆancia de O aos planos das outras faces e tambem a2 Logo a esfera de centro O e raio a2 e tangente a todas as faces do cubo Esta entao provado que 211 CEDERJ Proposição 4 Todo cubo é circunscritível Se a aresta do cubo é a o raio da esfera inscrita é a2 Além disso a esfera inscrita tangencia o cubo no centro de cada face Corolário Todo tetraedro é inscrítvel Provaremos agora que todo tetraedro regular é circunscritível Seja ABCD um tetraedro regular e seja O o centro da esfera circunscrita Sejam M o ponto médio de BC E o circuncentro de BCD e trace AM MD e AE 150 Inscricao e circunscricao de solidos A B C D E M Figura 325 Prova de que todo tetraedro regular e circunscritıvel Note que E MD pois o triˆangulo BCD e equilatero Como ABC e DBC sao equilateros e M e o ponto medio de BC temos AMBC e DMBC Logo BC e perpendicular ao plano que contem os pontos A M e D Segue que BC e perpendicular a AE Da mesma forma provase que AE e DC sao perpendiculares Logo AE e perpendicular a duas retas concorrentes BC e CD do plano que contem B C e D Segue que AE e perpendicular ao plano da face BCD Consequentemente o centro O da esfera circunscrita pertence a reta AE De fato O AE prove isso Da mesma forma provase que as retas que ligam O ao circuncentro nesse caso coincide com o baricentro das outras faces de ABCD sao perpendicular as respectivas faces Seja F o circuncentro de ABC e trace OF e OM veja Figura 326 CEDERJ 214 Nota que os triângulos OEM e OFM são retângulos em E e F respectivamente Além disso mFM frac13 mAM frac13 mDM mEM 152 Inscricao e circunscricao de solidos Assim mAE a 6 3 Como os triˆangulos AFO e AEM sao semelhantes temse mOF mEM mAO mAM mAF mAE Substituindo os valores de mEM mAM mAF e mAE obte mos que mOF a 6 12 e mAO a 6 4 Sintetizando o que fizemos anteriormente temos o seguinte resultado Proposicao 6 Todo tetraedro regular e inscritıvel e circunscritıvel e as esferas inscrita e circunscrita tˆem o mesmo centro Se a aresta do tetraedro vale a entao os raios r e R das esferas respectivamente inscrita e circunscrita valem r a 6 12 e R a 6 4 Alem disso a esfera inscrita tantencia as faces em seus baricentros Sabemos que todo tetraedro e inscritıvel Se o tetraedro for regular sabemos que ele tambem e circunscritıvel e que os centros das esferas ins crita e circunscrita coincidem Resta a seguinte pergunta todo tetraedro e circunscritıvel A resposta e sim e a prova desse fato sera deixada como exercıcio desta aula veja o exercıcio 20 desta aula Inscricao e circunscricao de um octaedro regular Encerraremos esta aula com o estudo da inscricao e da circunscricao de um octaedro regular Seja ABCDEF um octaedro regular de aresta medindo a e seja O o ponto de encontro das diagonais BD e CE Trace AO veja Figura 327 A B C D E o F Figura 327 Octaedro regular CEDERJ 216 153 Inscricao e circunscricao de solidos M ODULO 2 AULA 32 Como AB AD AC AE pois todas as arestas tˆem o mesmo comprimento e O e o ponto medio de BD e de CE temse que AOBD e AOCE Segue que AO e perpendicular ao plano de BCDE Alem disso os triˆangulos AOD AOE AOB e AOC retˆangulos em O sao congruentes por quˆe Em particular OE OB OC OD Seja M o ponto medio de BC e trace AM e OM Seja OG a altura do triˆangulo AOM relativa ao lado AM veja Figura 328 A B C D E o F M G Figura 328 BC e perpendicular ao plano que contem AMO Como AB AC e OB OC temse que AMBC e OMBC de onde se conclui que BC e perpendicular ao plano que contem AMO Segue que OG e perpendicular a BC Como OGAM concluise que OG e perpendicular a face ABC Determinemos agora mAO e mOG Como mAD a mOD 1 2mBD 1 2a 2 e AOD e retˆangulo em O segue do teorema de Pitagoras que mAO2 mAD2 mOD2 a2 a2 2 a2 2 ou seja mAO a 2 2 Da mesma forma provase que mFO a 2 2 Como a distˆancia de O a cada um dos pontos B C D e E e tambem a 2 2 segue que a esfera de centro O e raio a 2 2 passa por todos os vertices do octaedro Para determinar mOG usaremos a semelhanca entre os triˆangulos AOM e AGO 217 CEDERJ 154 Inscricao e circunscricao de solidos Dessa semelhanca temos mOM mOG mAM mAO mAO mAG Como mOM a 2 mAM a 3 2 e mAO a 2 2 obtemos que mOG a 6 6 e que mAG a 3 3 2 3mAM Como OG e perpendicular a face ABC segue que a distˆancia de O a face ABC e a 6 6 Alem disso como mAG 2 3mAM temse que G e o baricentro do triˆangulo ABC Da mesma forma provase que a distˆancia de O as demais faces e a 6 6 Assim a esfera de centro O e raio a 6 6 e tangente a todas as faces do octaedro e os pontos de tangˆencia sao precisamente os baricentros das faces Esta provado entao que Proposicao 7 Um octaedro regular e inscritıvel e circunscritıvel e os centros das esferas inscrita e circunscrita coincidem Se a aresta do octaedro mede a entao os raios das esferas inscrita e circunscrita medem respectivamente r a 6 6 e R a 2 2 Alem disso a esfera inscrita tangencia o octaedro nos baricentros das faces Resumo Nesta aula vocˆe aprendeu Que todo paralelepıpedo retangular e inscritıvel Que todo paralelepıpedo inscritıvel e retangular Que as faces de um paralelepıpedo circunscritıvel tˆem a mesma area Que por quatro pontos nao coplanares passa uma unica esfera Que todo tetraedro e inscritıvel e circunscritıvel Que todo octaedro regular e inscritıvel e circunscritıvel CEDERJ 218 155 Inscricao e circunscricao de solidos M ODULO 2 AULA 32 Exercıcios 1 Prove que todo paralelogramo inscritıvel e retˆangulo 2 Prove que todo paralelogramo circunscritıvel e losango 3 Prove que o paralelepıpedo da Figura 321 do texto e circunscritıvel 4 Prove que as faces de um paralelepıpedo circunscritıvel tˆem a mesma area Sugestao Prove que a altura do paralelepıpedo em relacao a qualquer face e a mesma e use a formula para o volume de um paralelepıpedo 5 Sejam AB um segmento e β o plano perpendicular a AB e passando pelo ponto medio de AB Prove que para todo P β temse mP A mP B 6 Prove que a esfera que passa por quatro pontos nao coplanares e unica 7 Seja ABCD um tetraedro regular de aresta a Prove que o octaedro determinado pelos pontos medios das arestas do tetraedro e regular e determine a medida de suas arestas veja Figura 329 A C D E F G H B I J Figura 329 Exercıcio 7 8 Seja ABCDEFGH um cubo de aresta medindo a Prove que e regular o tetraedro determinado pelos centros das faces do cubo e calcule a medida de suas arestas veja Figura 3210 A B C E F D G H Figura 3210 Exercıcio 8 219 CEDERJ 156 Inscricao e circunscricao de solidos 9 Seja ABCDEF um octaedro regular de aresta medindo a Prove que o poliedro determinado pelos centros das faces do octaedro e um cubo e calcule a medida de suas arestas veja Figura 323 A C E B F D Figura 3211 Exercıcio 9 10 Dizemos que um cilindro esta inscrito em uma esfera se os cırculos das bases estao contidos na esfera veja Figura 324 Figura 3212 Exercıcio 10 Prove que se um cilindro esta inscrito em uma esfera entao ele e reto 11 Determine o raio de um cilindro equilatero inscrito em uma esfera de raio R 12 Dizemos que um cilindro esta circunscrito a uma esfera se os planos das suas bases sao tangentes a esfera e suas geratrizes intersectam a esfera em apenas um ponto veja a Figura 3213 Figura 3213 Exercıcio 12 Se um cilindro esta circunscrito a uma esfera podemos afirmar que ele e reto Justifique sua resposta CEDERJ 220 157 Inscricao e circunscricao de solidos M ODULO 2 AULA 32 13 Um cilindro reto esta circunscrito a uma esfera de raio R Prove que esse cilindro e equilatero e determine seu raio 14 Dizemos que um cone esta inscrito em uma esfera se o seu vertice pertence a esfera e o cırculo da base esta contido na esfera veja Fi gura 3214 Figura 3214 Exercıcio 14 Determine a altura de um cone reto de raio da base r inscrito em uma esfera de raio R 15 Dizemos que um cone esta circunscrito a uma esfera se sua base e tangente a esfera e suas geratrizes intersectam a esfera em apenas um ponto veja Figura 3215 Figura 3215 Exercıcio 15 Se um cone esta circunscrito a uma esfera podemos afirmar que ele e reto Justifique sua resposta 16 Um cone reto de altura h e raio r esta circunscrito a uma esfera De termine o raio dessa esfera 221 CEDERJ 158 Inscricao e circunscricao de solidos 17 Determine o volume do cone equilatero circunscrito a uma esfera de raio R 18 Um cilindro e um cone reto estao inscritos em uma esfera de raio 5 cm de modo que a base do cone coincide com a base inferior do cilindro Se o cone e o cilindro tˆem o mesmo volume determine a area lateral do cone Figura 3216 Exercıcio 18 19 Considere dois planos α e β que se intersectam segundo uma reta r e seja γ um plano perpendicular a r em um ponto A Sejam s α γ e t β γ Sejam u1 e u2 as retas que contˆem as bissetrizes dos ˆangulos determinados por s e t veja a Figura 3217 Figura 3217 Exercıcio 19 Sejam π1 o plano determinado por r e u1 e π2 o plano determinado por r e u2 Prove que π1 π2 e o conjunto dos pontos que equidistam de α e β Chamaremos π1 e π2 de planos bissectores de α e β CEDERJ 222 159 Inscricao e circunscricao de solidos M ODULO 2 AULA 32 20 Prove que todo tetraedro e circunscritıvel Sugestao Seja ABCD um tetraedro e considere o plano bissector dos planos das faces ABC e ABD que contem pontos da face BCD Esse plano intersecta CD em um ponto E veja Figura 3218 A C B D E Figura 3218 Exercıcio 20 Considere agora o plano bissector dos planos das faces ABC e ADC que contem pontos de BCD Esse plano intersecta BE em um ponto F veja Figura 3219 A C B D E F Figura 3219 Exercıcio 20 Finalmente considere o plano bissector dos planos das faces ADC e BDC que contem pontos de ABD Esse plano intersecta AF em um ponto G veja Figura 3220 A C B D E F G Figura 3220 Exercıcio 20 Use o exercıcio 19 para provar que G equidista das quatro faces do tetraedro 223 CEDERJ 160 ANOTAÇÕES