Geometria Analítica e Vetores - Fascículo Educacional para UAB

FASCÍCULO GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES PROFESSOR ISMAEL DOURADO DE ASSIS Ministério da Educação MEC Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Capes Diretoria de Educação a Distância DED Sistema Universidade Aberta do Brasil UAB Universidade Federal do Acre Ufac Núcleo de Interiorização e Educação a Distância Niead Reitora Profa Dra Margarida de Aquino Cunha PróReitora de Graduação Profa Dra Ednaceli Abreu Damasceno Coordenador do Núcleo de Interiorização e Educação a Distância Prof Dr Sandro Ricardo Pinto da Silva Diretor do Centro de Ciências Biológicas e da Natureza Prof Dr Marco Antonio Amaro Diretor do Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas Prof Dr Macilon Araújo Costa Neto Coordenação Pedagógica do Núcleo de Interiorização e Educação a Distância Profa Ms Rogeria Gadelha dos Santos da Silva Coordenação do Curso de Licenciatura em Física Profa Dra Esperanza Lucila Hernández Angulo Coordenação do Curso de Licenciatura em Matemática a Distância Prof Ms José Roberto Guimarães de Souza Diagramação Esp Daniela Barivieri Pacheco Fotografia capa Gustavo Ribeiro SUMÁRIO 1 Introdução aos Vetores 4 2 Vetores Um Tratamento Algébrico 12 3 Produtos de Vetores 23 4 Retas no Plano e no Espaço 35 5 Planos 52 7 Cônicas 71 8 Superfícies Quádricas 105 SALGADO Silvio Antonio Bueno SANTOS Jander Pereira dos Geometria Analítica São João delRei UABUFSJ 2011 4 7 11 Conceitos Básicos Quando nós falamos em vetores geralmente o que nos vem em mente é uma seta Mas não podemos ter isso como definição Tal seta nos transmite uma ideia de deslocamento ou de translação Basicamente podemos imaginar um ponto se deslocando de A para B Essa é a idéia mais simples que um vetor nos transmite Assim o deslocamento é retilíneo nos dando ideia de direção associada a uma reta A extremidade da seta nos dá ideia de sentido e o comprimento da seta nos mostra segundo uma unidade a distância entre os pontos A e B Note que tal seta que estamos imaginando não é um vetor mas representa a idéia que um vetor ou uma grandeza vetorial encerra Vamos iniciar nossa conversa para atingirmos a definição precisa de vetor Segundo WINTERLE 2006 uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso considerado positivo e indicado por uma seta como mostra a figura abaixo O sentido oposto é negativo Uma reta orientada é denominada eixo Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos o primeiro chamado origem do segmento o segundo chamado extremidade O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado por AB e geo metricamente indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem 11 1 Introdução aos Vetores 5 8 Se AB é um segmento orientado o segmento orientado BA é oposto de AB Fixada uma unidade de comprimento a cada segmento orientado podese associar um número real não negativo que é a medida do segmento em relação àquela unidade A medida do segmento orientado é o seu comprimento ou seu módulo O comprimento do segmento AB é indicado por AB Assim o comprimento do segmento AB representado na figura anterior é de 5 unidades de comprimento AB 5 uc Agora observe que Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero AB BA Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelas ou coincidentes Então podemos enfatizar que Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles têm mesma direção Dois segmentos orientados opostos têm sentidos contrários 12 6 9 Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando têm a mesma direção o mesmo sentido e o mesmo comprimento Dois segmentos nulos são sempre equipolentes A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB CD Propriedades da Equipolência 1 AB AB reflexiva 2 Se AB CD CD AB simétrica 3 Se AB CD CD EF AB EF transitiva 4 Dado um segmento orientado AB e um ponto C existe um único ponto D tal que AB CD 12 O Conceito de Vetor Definição 121 Vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB 13 7 10 Se indicarmos com v este conjunto simbolicamente poderemos escrever v XYXY AB em que XY é um segmento qualquer do conjunto O vetor determinado por AB é indicado por AB ou B A ou v Um mesmo vetor AB é determinado por uma infinidade de segmentos orientados chamados representantes desse vetor e todos equipolentes entre si Assim um segmento determina um conjunto que é o vetor e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor Portanto com origem em cada ponto do espaço podemos visualizar um representante de um vetor Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum estaremos caracterizando através de representantes a totalidade dos vetores do espaço Ora cada um destes segmentos é um representante de um só vetor Consequentemente todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos As características de um vetor v são as mesmas de qualquer um de seus representantes isto é o módulo a direção e o sentido do vetor são o módulo a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes O módulo de v é denotado por v Dois vetores AB e CD são iguais se e somente se AB CD Os segmentos nulos por serem equipolentes entre si determinam um único vetor chamado vetor nulo ou vetor zero e que é denotado por O Dado um vetor v AB o vetor BA é o oposto de AB e se indica por AB ou por v Um vetor v é unitário se v 1 Definição 122 Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v Os vetores u1 e u2 da figura são vetores unitários pois ambos têm módulo 1 No 14 8 11 entanto apenas u1 tem a mesma direção e o mesmo sentido de v Portanto este é o versor de v Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção Em outras palavras u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas Se os vetores não nulos u v e w o número de vetores não importa possuem representantes AB CD e EF pertencentes a um mesmo plano π dizse que eles são coplanares Guardemos bem o seguinte dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e com origem nele imaginar os dois re 15 9 12 presentantes de u e v pertencendo a um plano π que passa por este pontoWINTERLE 2006 13 Operações com Vetores 131 Adição de vetores Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC Os pontos A e C determinam um vetor s que é por definição a soma dos vetores u e v isto é s u v Propriedades da adição 1 Comutativa u v v u 2 Associativa u v w u v w 3 Existe um só vetor nulo O tal que para todo o vetor v se tem v O O v v 16 10 13 4 Qualquer que seja o vetor v existe um só vetor v vetor oposto de v tal que v v v v O 132 Diferença de Vetores Chamase diferença de dois vetores u e v e se representa por d u v ao vetor u v Dados dois vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e AC res pectivamente e construído o paralelogramo ABCD verificase que a soma s u v é representada pelo segmento orientado AD e que a diferença d u v é representada pelo segmento orientado CB Exemplo 131 Dados dois vetores u e v não paralelos construa no mesmo gráfico os vetores u v u v v u e u v todos com origem em um mesmo ponto 17 14 133 Multiplicação por Escalar Dados um vetor v 0 e um número real ou escalar k 0 chamase produto do número real k pelo vetor v o vetor p kv tal que a módulo p kv kv b direção a mesma de v c sentido o mesmo de v se k 0 e contrário ao de v se k 0 Se k 0 ou v 0 o produto é o vetor O Se k é um escalar não nulo a notação v k significa 1kv Se v é um vetor não nulo o vetor v v é o versor de v Propriedades da Multiplicação por Escalar Se u e v são vetores quaisquer e a e b números reais temos 18 11 14 133 Multiplicação por Escalar Dados um vetor v 0 e um número real ou escalar k 0 chamase produto do número real k pelo vetor v o vetor p kv tal que a módulo p kv kv b direção a mesma de v c sentido o mesmo de v se k 0 e contrário ao de v se k 0 Se k 0 ou v 0 o produto é o vetor O Se k é um escalar não nulo a notação v k significa 1kv Se v é um vetor não nulo o vetor v v é o versor de v Propriedades da Multiplicação por Escalar Se u e v são vetores quaisquer e a e b números reais temos 18 15 1 Associativa abv abv 2 Distributiva em relação à adição de escalares a bv av bv 3 Distributiva em relação à adição de vetores au v au av 4 Identidade 1v v Dois vetores não nulos u e v são paralelos se e somente se existe um escalar k tal que u kv e consequentemente k 0 e v u k Atividade 1 Dados dois vetores u e v não paralelos construa em uma mesma figura os vetores 2u 3v 3u 2v v u e todos com origem em um mesmo ponto 19 12 17 21 Vetores no Plano Segundo WINTERLE 2006 dados dois vetores v1 e v2 não colineares qualquer vetor v coplanar com v1 e v2 pode ser decomposto segundo as direções de v1 e v2 e cuja soma seja v Em outras palavras iremos determinar dois números reais a1 e a2 tais que v a1 v1 a2 v2 21 Quando o vetor v estiver representado por 21 dizemos que v é combinação linear de v1 e v2 O par de vetores v1 e v2 não colineares é chamado base do plano Aliás qualquer conjunto v1 v2 de vetores não colineares constitui uma base no plano Os números a1 e a2 da representação 21 são chamados componentes ou coordenadas de v em relação à base v1 v2 O vetor a1 v1 é chamado projeção de v sobre v1 segundo a direção de v2 Do mesmo modo a2 v2 é a projeção de v sobre v2 segundo a direção de v1 Na prática as bases mais utilizadas são as bases ortonormais Uma base e1 e2 é dita ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários isto é e1 e2 e e1 e2 1 Dentre as infinitas bases ortonormais no plano uma delas é particularmente impor tante Tratase da base que determina o conhecido sistema cartesiano ortogonal xOy Os 23 2 Vetores Um Tratamento Algébrico 13 18 vetores ortogonais e unitários neste caso são simbolizados por i e j ambos com ori gem em O e extremidades em 1 0 e 0 1 respectivamente sendo a base C i j chamada canônica Portanto i 1 0 e j 0 1 Daqui por diante trataremos somente da base canônica Dado um vetor v qualquer do plano existe uma só dupla de números x e y tal que v xi yj 22 Os números x e y são as componentes de v na base canônica A primeira componente é chamada abscissa de v e a segunda componente y é a ordenada de v O vetor v será também representado por v x y 23 dispensandose a referência à base canônica C 24 14 19 A igualdade anterior é chamado expressão analítica de v Para exemplificar veja alguns vetores e suas correspondentes expressões analíticas 3i 5j 3 5 3j 0 3 4i 4 0 Parece óbvio o que se segue mas a definição de igualdade de vetores é fundamental para continuarmos o estudo de Geometria AnalíticaWINTERLE2006 Dois vetores u x1 y1 e v x2 y2 são iguais se e somente se x1 x2 e y1 y2 escrevendose u v Exemplo 211 O vetor u x 1 4 é igual ao vetor v 5 2y 6 se x 1 5 e 2y 6 4 Assim se u v então x 4 y 5 e u v 5 4 Atividade Considere os vetores u m 2n n 7 e v 4 m n m 9 Existem valores de m e n de modo que u v 22 Operações com Vetores Você deve ter notado que já estudamos operações entre vetores Por que então tudo isso novamente A questão é que estudamos operações entre vetores do ponto de vista geométrico Agora daremos um enfoque algébrico para o que fizemos anteriormente Sejam os vetores u x1 y1 e v x2 y2 e α ℜ Definese 25 15 20 1 u v x1 x2 y1 y2 2 αu αx1 αx2 Portanto para somar dois vetores somamse as correspondentes coordenadas e para multiplicar um número real por um vetor multiplicase cada componente do vetor por este número Exemplo 221 Determinar o vetor w na igualdade 3 w 2u 1 2 v w sendo dados u 3 1 e v 2 4 A equação pode ser resolvida como uma equação numérica 6 w 4u v 2 w 6 w 2 w v 4u 4 w v 4u w 1 4 v u Substituindo u e v na equação acima vem w 1 42 4 3 1 w 1 4 1 3 1 w 1 2 3 1 1 w 7 2 2 Vamos considerar agora o vetor AB de origem no ponto Ax1 y1 e extremidade em Bx2 y2 26 16 21 Os vetores OA e OB têm expressões analíticas OA x1 y1 e OB x2 y2 Por outro lado do triângulo OAB da figura vem OA AB OB em que AB OB OA ou AB x2 y2 x1 y1 e AB x2 x1 y2 y1 isto é as componentes de AB são obtidas subtraindose das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem A razão pela qual também se escreve AB B A É importante lembrar que um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesmo comprimento mesma direção e mesmo sentido E dentre os infinitos representantes do vetor AB o que melhor o caracteriza é aquele que tem origem em O0 0 e extremidade em P x2 x1 y2 y1 O vetor v AB é também chamado vetor posição ou representante natural de AB Por outro lado sempre que tivermos v AB ou v B A podemos também concluir que B A v ou B A AB isto é o vetor v transporta o ponto inicial A para o ponto extremo B Exemplo 222 Dados os pontos A1 2 B3 1 e C2 4 determinar o ponto D de modo que CD 1 2 AB Seja Dx y Então CD D C x y2 4 x2 y 4 e AB B A 27 17 22 3 1 1 2 4 3 Logo x 2 y 4 1 24 3 x 2 y 4 2 3 2 Da igualdade anterior concluimos que x 2 2 y 4 3 2 Portanto D0 5 2 Para você Refletir Pense outra forma de resolver este exercício Vimos anteriormente como determinar o vetor definido por dois pontos Considere agora o segmento de extremos Ax1 y1 e Bx2 y2 Sendo Mx y o ponto médio de AB podemos expressar de forma vetorial como AM MB ou x x1 y y1 x2 x y2 y e daí x x1 x2 x e y y1 y2 y Com isso temos Mx1 x2 2 y1 y2 2 28 18 23 Exemplo 223 Observe que o ponto médio do segmento de extremos A2 3 e B6 2 é M2 6 2 3 2 2 ou M2 5 2 Você se lembra da definição de vetores paralelos Pois bem vamos voltar nesse assunto mas agora com a abordagem algébrica Dois vetores são paralelos se existe um número real α tal que u αv ou seja x1 y1 αx2 y2 que pela condição de igualdade resulta em x1 αx2 e y1 αy2 donde x1 x2 y1 y2 α Esta é a condição de paralelismo de dois vetores isto é dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais Exemplo 224 Os vetores u 2 3 e v 4 6 são paralelos pois 2 4 3 6 Atividades 1 Dados os vetores u 3 1 e v 1 2 obtenha o vetor w tal que 3 w 2v u 24 w 3u 2 Dados os pontos A1 3 B1 0 e C2 1 determine o ponto D de modo que DC BA 29 19 24 23 Vetores no Espaço Vamos refletir um pouco sobre o que vimos até agora Iniciamos nossa disciplina dando aos vetores um tratamento geométrico Em seguida vimos que todo vetor de um plano possui uma representação em termos da chamada base canônina Ou seja passamos a manipular os vetores do ponto de vista algébrico Uma questão fundamental é que tudo o que fizemos para vetores em um plano se estende de maneira natural para vetores do espaço bastanto para isso fazer algumas adptações No espaço de forma análoga consideraremos a base canônica i j k onde estes três vetores unitários e dois a dois ortogonais estão representados com origem no ponto O Este ponto e a direção de cada um dos vetores da base determinam os três eixos cartesianos o eixo Ox ou eixo dos x das abscissas corresponde ao vetor i o eixo Oy ou eixo dos y das ordenadas corresponde ao vetor j e o eixo Oz ou eixo dos z das cotas corresponde ao vetor k As setas nessa figura indicam o sentido positivo de cada eixo chamado também de eixo coordenado Cada dupla de vetores de base e consequentemente cada dupla de eixos determina um plano coordenado Portanto temos três planos coordenados o plano xOy ou xy o plano xOz ou xz e o plano yOz ou yz As figuras a seguir dão uma idéia dos planos xy e 30 20 25 xz respectivamente Assim como no plano a cada ponto Px y z do espaço irá corresponder o vetor OP xi yj zk isto é as próprias coordenadas x y e z do ponto P são as componentes do vetor OP na base canônica As coordenadas x y e z são denominadas abscissa ordenada e cota respectivamente O vetor OP v xi yj zk também será expresso por OP v x y z Tomemos o paralelepípedo da figura Com base nesta figura temos a A2 0 0 um ponto Px y z está no eixo dos x quando y 0 e z 0 b C0 4 0 um ponto está no eixo dos y quando x 0 e z 0 31 21 26 c E0 0 3 um ponto está no eixo dos z quando x 0 e y 0 d B2 4 0 um ponto está no eixo dos xy quando z 0 e F2 0 3 um ponto está no eixo dos xz quando y 0 f D0 4 3 um ponto está no eixo dos yz quando x 0 O ponto B é a projeção de P no plano xy assim D e F são as projeções de P nos planos yz e xz respectivamente O ponto A2 0 0 é a projeção de P2 4 3 no eixo dos x assim como C0 4 0 e E0 0 3 são as projeções de P nos eixos dos y e dos z respectivamente Como todos os pontos da face a PDEF distam 3 unidades do plano xy e estão acima dele são pontos de cota z 3 isto é são pontos do tipo x y 3 b PBCD distam 4 unidades do plano xz e estão à direita dele são pontos de ordenada y 4 isto é são pontos do tipo x 4 z c PFAB distam 2 unidades do plano yz e estão à frente dele são pontos de abscissa x 2 isto é são pontos do tipo 2 y z Ao desejarmos marcar um ponto no espaço digamos A3 2 4 procedemos assim 1o Marcase o ponto A 3 2 no plano xy 2o Deslocase A paralelamente ao eixo dos z 4 unidades para cima se fosse 4 seriam 4 unidades para baixo para obter o ponto A 32 22 27 Atividades 1 Considere os seguintes pontos A4 0 1 B5 1 3 C3 2 5 e D2 1 3 Repre sente cada um desses pontos no sistema cartesiano Utilize o que aprendermos an teriormente para demonstrar que esses pontos são vértices de um paralelogramo Lembre da definição de paralelogramo 2 Obtenha os valores de a e b de modo que os vetores u 4 1 3 e v 6 a b sejam paralelos 33 23 29 31 Produto Escalar Definição 311 Chamase produto escalar ou produto interno de dois vetores u x1 i y1 j z1 k e v x2 i y2 j z2 k e se representa por u v ao número real u v x1x2 y1y2 z1z2 O produto escalar de u por v também é denotado por u v e se lê u escalar v Exemplo 311 Dados os vetores u 3i 5j 8k e v 4i 2j k temse u v 34 52 81 12 10 8 14 Definição 312 Módulo ou norma de um vetor v denotado por v é o número real não negativo v v v Caso v x y teremos v x yx y ou ainda v x2 y2 Apartir de cada vetor v não nulo é possível obter um vetor unitário u fazendo 37 3 Produtos de Vetores 24 30 u v v Vamos agora explorarmos algumas propriedades básicas do produto escalar Para quaisquer vetores u v e w e o número real α é fácil verificar que 1 u v v u 2 u v w u v u w e u v w u w v w 3 αu v αu v u αv 4 u u 0 se u 0 e u u 0 se u 0 0 0 0 5 u u u 2 32 Ângulo entre Vetores Definição 321 O ângulo de dois vetores não nulos u e v é o ângulo θ formado pelas semiretas OA e OB e tal que 0 θ π A ideia agora é estabelecermos uma maneira de calcular o ângulo formado entre dois vetores a partir de suas componentes Aplicando a lei dos cossenos ao triângulo ABC da 38 25 31 figura abaixo temos u v 2 u 2 v 2 2u v cos θ 31 Por outro lado temse u v 2 u 2 v 2 2u v 32 Comparando as igualdades 31 e 32 resulta em u 2 v 2 2u v u 2 v 2 2u v cosθ e daí u v u v cos θ 33 para 0o θ 180o Conclusão O produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado Exemplo 321 Calcule o ângulo entre os vetores u 1 1 4 e v 1 2 2 cos θ u v u v 1 1 4 1 2 2 1 1 161 4 4 1 2 8 18 9 9 3 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 Como cos θ 2 2 concluimos que θ π 4 radianos Agora vamos questionar o seguinte fato O que ocorre com a relação 33 caso u v 0 Podemos verificar que neste caso cos θ deve ser igual a zero isto é cos θ 0 o que implica θ 90o ou seja θ é ângulo reto 39 26 32 Assim podemos afirmar que dois vetores são ortogonais se e somente se o produto escalar deles é nulo isto é se u v 0 e esses vetores serão denotados por u v lêse vetor u ortogonal ao vetor v Exemplo 322 Verifique que u 2 3 2 é ortogonal a v 1 2 4 u v 21 32 24 2 6 8 0 Portanto u v Vamos discutir agora a questão da projeção vetorial Mas o que vem a ser isso Considere os vetores u e v não nulos e θ o ângulo entre eles Pretendemos decompor um dos vetores digamos v tal que v v 1 v 2 sendo v 1u e v 2 u A figura a seguir ilustra as duas situações possíveis podendo ser θ um ângulo agudo ou obtuso O vetor v 1 é chamado projeção ortogonal de v sobre u e denotado por v 1 proj u v 34 40 27 33 Ora sendo v 1u temos v 1 αu e como v 2 v v1 v αu é ortogonal a u vem v αu u 0 ou v u αu u 0 e α v u u u Portanto sendo v 1 αu por 34 concluise que proj u v v u u u u 35 Exemplo 323 Determine o vetor projeção de u 2 3 4 sobre v 1 1 0 proj v u u v v v v 2 3 4 1 1 0 1 1 0 1 1 01 1 0 2 3 0 1 1 01 1 0 1 21 1 0 Atividades 1 Mostre que u u u 2 2u v u 2 2 Determine o valor de n para que o vetor u n 2 5 4 5 seja unitário 3 Calcule o perímetro do triângulo de vértices A0 1 2 B1 0 1 e C2 1 0 4 Determine os ângulos do triângulo de vértices A2 1 3 B1 0 1 e C1 2 1 5 Determine o vetor projeção do vetor u 1 2 3 na direção de v 2 1 2 41 28 34 33 Produto Vetorial Faremos algumas considerações importantes antes de definirmos produto vetorial O produto vetorial é um vetor ao contrário do produto escalar u v que é um escalar número real Para simplicidade do cálculo do produto vetorial faremos uso de determinantes Algumas propriedades dos determinantes serão utilizadas nesta seção a a permutação de duas linhas de uma matriz inverte o sinal do determinante associado a essa matriz b se duas linhas de uma matriz forem constituídas de elementos proporcionais seu determinante é igual a zeroduas linhas iguais é um caso particular c se uma das linhas de uma matriz for constituída de zeros o determinante é igual a zero O determinante associado a uma matriz de ordem 3 pode ser dado por det a b c x1 y1 z1 x2 y2 z2 det y1 z1 y2 z2 a det x1 z1 x2 z2 b det x1 y1 x2 y2 c A expressão da direita é conhecida como desenvolvimento do determinante pelo Teo rema de Laplace aplicado à primeira linha 42 29 35 Definição 331 Chamase produto vetorial de dois vetores u x1 i y1 j z1 k e v x2 i y2 j z2 k tomados nesta ordem e se representa por u v ao vetor u v det y1 z1 y2 z2 i det x1 z1 x2 z2 j det x1 y1 x2 y2 k 36 O produto vetorial de u por v também é denotado por u v e lêse u vetorial v Observemos que a definição de u v dada em 36 pode ser obtida do desenvolvimento segundo o Teorema de Laplace item d acima substituindose a b e c pelo vetores unitários i j e k fato que sugere a notação u v det i j k x1 y1 z1 x2 y2 z2 37 Atenção O símbolo à direita de 37 não é um determinante pois a primeira linha contém vetores em vez de escalares No entanto usaremos esta notação pela facilidade de memorização que ela propicia no cálculo do produto vetorial Exemplo 331 Calcular u v para u 5i 4j 3k e v i k det i j k 5 4 3 1 0 1 det 4 3 0 1 i det 5 3 1 1 j det 5 4 1 0 k 4 0i 5 3j 0 4k 4i 2j 4k Agora conforme fizemos com o produto escalar vamos discutir algumas propriedades do produto vetorial 43 30 36 Levandose em conta as considerações feitas sobre as propriedades dos determinantes concluímos de imediato que 1 v u u v isto é os vetores v u e u v são opostos pois a troca de ordem dos vetores no produto vetorial u v implica troca de sinal de todos os determinantes de ordem 2 ou seja troca de sinal de todas as suas componentes 2 u v 0 se e somente se u v pois neste caso todos os determinantes de ordem 2 têm suas linhas constituídas por elementos proporcionais Estão aí também incluídos os casos particulares I u u 0 determinantes de ordem 2 com linhas iguais II u 0 0 determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros Características do vetor u v Consideremos os vetores u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 a Direção de u v O vetor u v é simultaneamente ortogonal a u e v b Sentido de u v O sentido de u v poderá ser determinado utilizandose a regra da mão direita Sendo θ o ângulo entre u e v suponhamos que u 1o vetor sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com v Se os dedos da mão direita forem dobrados na mesma direção da rotação então o polegar estendido indicará o sentido de u v A figura acima b mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos vetores é invertida Observemos que só será possível dobrar os dedos na direção de v para u se invertermos a posição da mão quando então o dedo polegar estará apontando para baixo 44 31 37 c Comprimento de u v Se θ é o ângulo entre os vetores u e v nãonulos então u v u v sen θ Proposição 331 O módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede a área do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores u AB e v AC Demonstração De fato a área ABCD u h u v sin θ u v sin θ Usando o fato que u v u v sin θ segue o resultado Atividades 1 Considere os vetores u 2 1 1 v 1 1 0 e w 1 2 2 Calcule v w v u w 2 Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u 3 1 2 e v 4 1 0 45 32 38 34 Produto Misto Definição 341 Chamase produto misto dos vetores u x1 i y1 j z1 k v x2 i y2 j z2 k e w x3 i y3 j z3 k tomados nesta ordem ao número real u v w O produto misto de u v e w também pode ser denotado por u v w Tendo em vista que v w det i j k x2 y2 z2 x3 y3 z3 det y2 z2 y3 z3 i det x2 z2 x3 z3 j det x2 y2 x3 y3 k vem u v w x1det y1 z1 y2 z2 y1det x1 z1 x2 z2 z1det x1 y1 x2 y2 e portanto u v w det x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 38 Exemplo 341 Calcular o produto misto dos vetores u 2i 3j 5k v i 3j 3k e w 4i 3j 2k u v w det 2 3 5 1 3 3 4 3 2 27 46 33 39 Vejamos agora algumas propriedades do produto misto 1 O produto misto u v w muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores Então se em relação ao produto misto u v w ocorrer a uma permutação haverá troca de sinal b duas permutações não altera o valor Resulta desta propriedade que os sinais e podem ser permutados isto é u v w u v w 2 u x v w u v w x v w u v x w u v w u x w u v w x u v w u v x 3 αu v w u αv w u v α w αu v w 4 u v w 0 se e somente se os três vetores forem coplanares Exemplo 342 Verificar se são coplanares os vetores u 2 1 1 v 1 0 1 e w 2 1 4 u v w det 2 1 1 1 0 1 2 1 4 3 0 Portanto os vetores não são coplanares 47 34 40 Exemplo 343 Qual deve ser o valor de m para que os vetores u 2 m 0 v 1 1 2 e w 1 3 1 sejam coplanares Devemos ter u v w 0 isto é det 2 m 0 1 1 2 1 3 1 0 ou 22m12m 0 e portanto m 10 Exemplo 344 Verifique se os pontos A1 2 4 B1 0 2 C0 2 2 e D2 1 3 estão no mesmo plano Os quatro pontos dados são coplanares se forem coplanares os vetores AB AC e AD e para tanto devese ter AB AC AD 0 Como AB AC AD 2 2 6 1 0 2 3 1 7 0 Portanto os pontos A B C e D são coplanares Atividades 1 Verifique se os vetores u 3 1 2 v 1 2 1 e w 2 3 4 são coplanares 2 Para que valores de a os pontos Aa 1 2 B2 2 3 C5 1 1 e D3 2 2 são coplanares 48 35 42 41 Algumas Formas de Escrever a Equação de uma Reta Consideremos um ponto Ax1 y1 z1 e um vetor não nulo v a b c Só existe uma reta r que passa por A e tem a direção de v Um ponto Px y z pertence a r se e somente se o vetor AP é paralelo a v isto é AP tv 41 para algum real t De 41 vem P A tv ou P A tv 42 ou em coordenadas x y z x1 y1 z1 ta b c 43 Qualquer uma das equações 41 42 ou 43 é denominada equação vetorial de r O vetor v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado parâmetro 51 4 Retas no Plano e no Espaço 36 43 Exemplo 411 Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A3 0 5 e tem a direção do vetor v 2i 2j k Seja Px y z um ponto genérico dessa reta temse P A tv isto é x y z 3 0 5 t2 2 1 Quando t varia de a P descreve a reta r Assim se t 2 por exemplo x y z 3 0 5t2 2 1 x y z 3 0 54 4 2 x y z 7 4 7 O ponto P7 4 7 é um ponto da reta r Reciprocamente a cada ponto P r corresponde um número real t Por exemplo sabese que o ponto P7 4 7 pertence à reta r x y z 3 0 5 t2 2 1 logo é verdadeira a afirmação 7 4 7 3 0 5 t2 2 1 para algum número real t Dessa igualdade vem t2 2 1 7 4 7 3 0 5 t2 2 1 4 4 2 2t 2t 1t 4 4 2 Da definição de igualdade de vetores vem t 2 Vamos agora apresentar uma outra maneira de escrever as equações de uma reta Da equação vetorial da reta x y z x1 y1 z1 ta b c ou ainda x y z x1 at y1 bt z1 ct pela condição de igualdade obtémse x x1 at y y1 bt z z1 ct 44 As equações 412 são chamadas equações paramétricas da reta 52 37 43 Exemplo 411 Determine a equação vetorial da reta r que passa pelo ponto A3 0 5 e tem a direção do vetor v 2i 2j k Seja Px y z um ponto genérico dessa reta temse P A tv isto é x y z 3 0 5 t2 2 1 Quando t varia de a P descreve a reta r Assim se t 2 por exemplo x y z 3 0 5t2 2 1 x y z 3 0 54 4 2 x y z 7 4 7 O ponto P7 4 7 é um ponto da reta r Reciprocamente a cada ponto P r corresponde um número real t Por exemplo sabese que o ponto P7 4 7 pertence à reta r x y z 3 0 5 t2 2 1 logo é verdadeira a afirmação 7 4 7 3 0 5 t2 2 1 para algum número real t Dessa igualdade vem t2 2 1 7 4 7 3 0 5 t2 2 1 4 4 2 2t 2t 1t 4 4 2 Da definição de igualdade de vetores vem t 2 Vamos agora apresentar uma outra maneira de escrever as equações de uma reta Da equação vetorial da reta x y z x1 y1 z1 ta b c ou ainda x y z x1 at y1 bt z1 ct pela condição de igualdade obtémse x x1 at y y1 bt z z1 ct 44 As equações 412 são chamadas equações paramétricas da reta 52 44 Exemplo 412 Dados o ponto A2 3 4 e o vetor v 1 2 3 pedese a Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção de v b Encontrar o ponto B de r de parâmetro t 1 c Determinar o ponto de r cuja abscissa é 4 d Verificar se os pontos D4 1 2 e E5 4 3 pertencem a r a De acordo com a forma paramétrica da reta temos imediatamente r x 2 t y 3 2t z 4 3t b Das equações acima temse para t 1 x 2 1 3 y 3 21 1 z 4 31 1 Portanto B3 1 1 r c Como o ponto tem abscissa 4 x 4 temos 4 2 t 1o equação de r e portantot 2 Como t 2 y 3 22 1 z 4 32 2 O ponto procurado é 4 1 2 d Um ponto pertence à reta r se existe um real t que satisfaz as equações de r 53 38 45 Para D4 1 2 as equações 4 2 t 1 3 2t 2 4 3t se verificam para t 2 e portanto D r Vamos pensar o seguinte fato Dados dois pontos por exemplo no espaço como determinar as equações paramétricas da reta que passa por esses pontos Observe que a reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A ou B e tem direção do vetor v AB Vejamos um exemplo 03cm Exemplo 413 Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A3 1 2 e B1 2 4 Escolhendo o ponto A e o vetor v AB BA 2 3 6 temse r x 3 2t y 1 3t z 2 6t Das equações paramétricas x x1 at y y1 bt z z1 ct supondo abc 0 vem t x x1 a t y y1 b t z z1 c Como para cada ponto da reta corresponde um só valor para t obtemos as igualdades x x1 a y y1 b z z1 c 45 54 39 46 As equações 45 são denominadas equações simétricas da reta que passa pelo ponto Ax1 y1 z1 e tem a direção do vetor v a b c Exemplo 414 A reta que passa pelo ponto A3 0 5 e tem a direção do vetor v 2 2 1 tem equações simétricas x 3 2 y 2 z 5 1 Se desejarmos obter outros pontos da reta basta atribuir um valor qualquer a uma das variáveis Por exemplo para x 5 temse 5 3 2 1 y 2 z 5 1 onde y 2 e z 6 e portanto o ponto 5 2 6 pertence à reta Consideremos agora a seguinte situação Seja a reta r definida pelo ponto A2 4 3 e pelo vetor diretor v 1 2 3 e expressa pelas equações simétricas r x 2 1 y 4 2 z 3 3 46 A partir destas equações podese expressar duas variáveis em função da terceira Iso lando primeiramente as variáveis y e z e expressandoas em função de x obtémse x 2 1 y 4 2 x 2 1 z 3 3 1y 4 2x 2 1z 3 3x 2 y 4 2x 4 z 3 3x 6 y 2x 8 z 3x 3 47 Estas duas últimas equações são equações reduzidas da reta r na variável x Observações a É fácil verificar que todo ponto P r é do tipo Px 2x 8 3x 3 onde x pode assumir um valor qualquer Por exemplo para x 3 temse o ponto P13 2 6 r 55 40 47 b Equações reduzidas na variável x serão sempre da forma y mx n z px q c A partir das equações 46 podese obter as equações x 1 2y 4 z 3 2y 9 equações reduzidas na variável y ou x 1 3z 1 y 2 3z 6 equações reduzidas na variável z d A reta r das equações 46 pode ser representada pelas equações paramétricas x 2 t y 4 2t z 3 3t Da primeira equação obtémse t x 2 que substituindo nas outras duas as trans forma em y 4 2x 2 2x 8 z 3 3x 2 3x 3 que são as equações reduzidas de 47 e Para encontrar um vetor diretor da reta r y 2x 8 z 3x 3 uma das formas é determinar dois pontos A e B de r e posteriormente encontrar o vetor AB B A Por exemplo para x 0 obtémse o ponto A0 8 3 e para x 1 obtémse o ponto B1 6 0 Logo AB 1 2 3 é um vetor diretor de r Atividades 1 Verifique se os pontos P15 5 6 e P24 1 12 pertencem à reta r x 3 1 y 1 2 z 2 2 56 41 48 2 O ponto P2 y z pertence à reta determinada por A3 1 4 e B4 3 1 Cal cule P 3 Determine as equações reduzidas com variável independente x da reta que passa pelo ponto A4 0 3 e tem a direção do vetor v 2i 4j 5k 4 Cite um ponto e um vetor diretor da reta r x 2t y 1 z 2 t 5 Determine a equação da reta que passa por A1 2 4 e é paralela ao eixo dos x 42 Posições Relativas de Retas Duas retas r1 e r2 no espaço podem ser a concorrentes isto é situadas no mesmo plano Nesse caso as retas poderão ser a concorrentes r1 r2 P P é o ponto de intersecção das retas r1 e r2 b paralelas r1 r2 é o conjunto vazio 57 42 49 A condição de paralelismo das retas r1 e r2 é a mesma dos vetores v1 a1 b1 c1 e v a2 b2 c2 que definem as direções dessas retas isto é v1 m v2 ou a1 a2 b1 b2 c1 c2 O caso de serem r1 e r2 coincidentes pode ser considerado como um caso particular de paralelismo b reversas isto é não situadas no mesmo plano Nesse caso r1 r2 Observações A igualdade v1 v2 A1A2 0 é a condição de coplanaridade de duas retas r1 e r2 que passam respectivamente pelos pontos A1 e A2 e tem por vetores diretores os vetores v1 e v2 a se r1 e r2 forem paralelas serão coplanares isto é v1 v2 A1A2 0 pois duas linhas do determinante utilizado para calcular v1 v2 A1A2 apresentam elementos proporcionais v1 k v2 b se r1 e r2 não forem paralelas a igualdade v1 v2 A1A2 0 exprime a condição de concorrência dessas retas c se o determinante utilizado para calcular v1 v2 A1A2 for diferente de zero as retas r1 e r2 são reversas 58 43 50 Exemplo 421 Estude a posição relativa das retas r1 y 2x 3 z x e r2 x 1 3t y 4 6t z 3t São vetores diretores de r1 e r2 v1 1 2 1 e v2 3 6 3 Como v2 3 v1 as retas r1 e r2 são paralelas e não coincidentes basta ver que o ponto A10 3 0 r1 e A10 3 0 r2 Exemplo 422 Estude a posição relativa das retas r1 x 2 2 y 3 z 5 4 e r2 x 5 t y 2 t z 7 2t As retas não são paralelas pois 2 1 3 1 4 2 Calculemos o produto misto v1 v2 A1A2 para A12 0 5 e A25 2 7 v1 v2 A1A2 2 3 4 1 1 2 3 2 2 0 o que significa que as retas r1 e r2 são concorrentes se o determinante fosse diferente de zero as retas seriam reversas Conhecidas as equações de duas retas podemos determinar o seu ponto de intersecção Duas retas r1 e r2 coplanares e não paralelas são concorrentes Consideremos as retas r1 y 3x 2 z 3x 1 e r2 x t y 1 2t z 2t 59 44 51 e determinemos o seu ponto de intersecção Se Ix y z é este ponto suas coorde nadas satisfazem o sistema formado pelas equações de r1 e r2 isto é Ix y z é a solução do sistema y 3x 2 z 3x 1 x t y 1 2t z 2t Eliminando t nas três últimas equações temos o sistema equivalente y 3x 2 z 3x 1 y 1 2x z 2x Resolvendo o sistema encontramos x 1 y 1 z 2 Logo o ponto de intersecção das retas r1 e r2 é I1 1 2 43 Ângulos entre Retas Sejam as retas r1 que passa pelo ponto A1x1 y1 z1 e tem direção de um vetor v1 a1 b1 c1 e r2 que passa pelo ponto A2x2 y2 z2 e tem direção de um vetor v2 a2 b2 c2 60 45 52 Definição 431 Chamase ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um vetor diretor de r2 Logo sendo θ este ângulo temse cos θ v1 v2 v1 v2 com 0 θ π 2 48 ou em coordenadas cos θ a1a2 b1b2 c1c2 a2 1 b2 1 c2 1 a2 2 b2 2 c2 2 Observação Na figura o ângulo α é suplementar de θ e portanto cos α cos θ O ângulo α é o ângulo formado por v1 e v2 ou v1 e v2 Exemplo 431 Calcular o ângulo entre as retas r1 x 3 t y t z 1 2t e r2 x 2 2 y 3 1 z 1 Os vetores que definem as direções das retas r1 e r2 são respectivamente v1 1 1 2 e v2 2 1 1 Logo temos cos θ v1 v2 v1 v2 1 1 2 2 1 1 12 12 22 22 12 12 61 46 53 cos θ 2 1 2 1 1 4 4 1 1 3 6 6 3 6 1 2 Observemos que duas retas r1 e r2 com as direções de v1 e v2 respectivamente são ortogonais se r1 r2 v1 v2 0 Duas retas ortogonais podem ser concorrentes ou não Na figura anterior as retas r1 e r2 são ortogonais a r porém r2 e r são concorrentes Nesse caso dizse que são perpendiculares Exemplo 432 Verifique se as retas r1 y 2x 1 z 4x e r2 x 3 2t y 4 t z t são ortogonais Sendo v1 1 2 4 e v2 2 1 1 vetores diretores de r1 e r2 temse v1 v2 12 21 41 0 portanto as retas r1 e r2 são ortogonais 62 47 54 Agora sejam as retas r1 e r2 não paralelas com as direções de v1 e v2 respectiva mente Toda reta r ao mesmo tempo ortogonal a r1 e r2 terá a direção de um vetor v tal que v v1 0 v v2 0 49 Em vez de tomarmos um vetor v 0 como uma solução particular do sistema 49 poderíamos utilizar o produto vetorial isto é v v1 v2 Definido um vetor diretor a reta r estará determinada quando for conhecido um de seus pontos Exemplo 433 Determine equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A3 4 1 e é ortogonal às retas r1 x y z 0 0 1 t2 3 4 e r2 x 5 y t z 1 t As direções de r1 e r2 são definidas pelos vetores v1 2 3 4 e v2 0 1 1 Então a reta r tem a direção do vetor v1 v2 i j k 2 3 4 0 1 1 1 2 2 Logo temse r x 3 t y 4 2t z 1 2t 63 48 55 Atividades 1 Determine o ângulo entre as retas r x 2 2t y 2t z 3 4t e s x 4 y 6 2 z 1 2 2 A reta r y mx 3 z x 1 é ortogonal à reta determinada pelos pontos A1 0 m e B2 2m 2m Calcule o valor de m 44 Distância de Ponto a Reta Dado um ponto P do espaço e uma reta r querse calcular a distância dP r de P a r Consideremos na reta r um ponto a e um vetor diretor v Os vetores v e AP determinam um paralelogramo cuja altura corresponde à distância dP r A área A do paralelogramo é dada por a A base altura v d ou b A v AP 64 49 56 Comparando a e b vem d dr1 r2 v AP v 410 Exemplo 441 Calcule a distância do ponto P2 1 4 à reta r x 1 2t y 2 t z 3 2t A reta r passa pelo ponto A1 2 3 e tem a direção do vetor v 2 1 2 Seja ainda o vetor AP P A 3 1 1 Calculemos v AP i j j 2 1 2 3 1 1 3 8 1 Logo temos dP r 3 8 1 2 1 2 32 82 12 22 12 22 74 3 uc Podemos utilizar do fato de que sabemos calcular a distância de um ponto a uma reta para calcularmos a distância entre duas retas paralelasDadas as retas r1 e r2 querse calcular a distância dr1 r2 Podemos ter os seguintes casos a r1 e r2 são concorrentes Neste caso dr1 r2 0 b r1 e r2 são paralelas dr1 r2 dP r2 com P r1 ou dr1 r2 dP r1 com P r2 A figura a seguir ilustra esta situação que se reduz ao cálculo da distância de ponto à reta 65 50 57 c r1 e r2 são reversas Seja r1 a reta definida pelo ponto A1 e pelo vetor diretor v1 e a reta r2 pelo ponto A2 e pelo vetor diretor v2 Os vetores v1 v2 e A1A2 por serem não coplanares determinam um paralelepí pedo figura cuja altura é a distância dr1 r2 que se quer calcular a reta r2 é paralela ao plano da base do paralelepípedo definida por v1 e v2 Exemplo 442 Calcule a distância entre as retas r1 x 1 t y 3 2t z 1 t e r2 y x 3 z x 1 A reta r1 passa pelo ponto A11 3 1 e tem a direção de v1 1 2 1 e a reta r2 pelo ponto A20 3 1 e tem a direção de v2 1 1 1 66 58 Então A1A2 A2 A1 1 6 0 e v1 v2 A1A2 1 2 1 1 1 1 1 6 0 3 v1 v2 i j j 1 2 1 1 1 1 3 0 3 Então temos dr1 r2 3 3 0 3 3 32 32 3 18 32 6 18 18 6 6 Atividades 1 Calcule a distância do ponto P1 2 3 à reta s x 1 2t y 2t z 2 t 2 Calcule a distância entre as retas r x 0 y z e s y 3 z 2x 67 51 58 Então A1A2 A2 A1 1 6 0 e v1 v2 A1A2 1 2 1 1 1 1 1 6 0 3 v1 v2 i j j 1 2 1 1 1 1 3 0 3 Então temos dr1 r2 3 3 0 3 3 32 32 3 18 32 6 18 18 6 6 Atividades 1 Calcule a distância do ponto P1 2 3 à reta s x 1 2t y 2t z 2 t 2 Calcule a distância entre as retas r x 0 y z e s y 3 z 2x 67 52 60 51 Equação de um Plano Seja Ax1 y1 z1 um ponto pertencente a um plano π e n a b c n 0 um vetor normal ortogonal ao plano Como n π n é ortogonal a todo vetor representado em π então um ponto Px y z pertence a π se e somente se o vetor AP é ortogonal a n isto é n P A 0 ou a b c x x1 y y1 z z1 0 ou ax x1 by y1 cz z1 0 ou ainda ax by cz ax1 by1 cz1 0 Fazendo ax1 by1 cz1 d obtemos ax by cz d 0 51 Esta é a equação geral do plano π Observações 71 5 Planos 53 61 a Assim como n a b c é um vetor normal a π qualquer vetor kn k 0 é também vetor normal ao plano b É importante notar que os três coeficientes a b e c da equação 51 representam as componentes de um vetor normal ao plano Por exemplo se um plano π é dado por π 3x 2y z 1 0 um de seus vetores normais é n 3 2 1 c Para obter pontos de um plano dado por uma equação geral basta atribuir valores arbitrários a duas das variáveis e calcular o valor da outra na equação dada Assim por exemplo se na equação anterior fizermos x 4 e y 2 teremos 34 22 z 1 0 12 4 z 1 0 z 9 e portanto o ponto A4 2 9 pertence a este plano Exemplo 511 Obtenha uma equação geral do plano π que passa pelo ponto A2 1 3 e tem n 3 2 4 como um vetor normal Como n é normal a π sua equação é do tipo 3x 2y 4z d 0 e sendo A um ponto do plano suas coordenadas devem verificar a equação isto é 32 21 43 d 0 6 2 12 d 0 d 8 Logo uma equação geral do plano π é 3x 2y 4z 8 0 Observação Se um plano π intercepta os eixos coordenados nos pontos p 0 0 0 q 0 e 0 0 r 72 54 62 com p q r 0 então π admite a equação x p y q z r 1 denominada equação segmentária do plano π Vamos considerar agora um ponto Ax0 y0 z0 um ponto pertencente a um plano π e u a1 b1 c1 e v a2 b2 c2 dois vetores paralelos a π figura 52 porém u e v nãoparalelos Para todo ponto P do plano os vetores AP u e v são coplanares Um ponto Px y z pertence a π se e somente se existem números reais h e t tais que P A hu tv ou P A hu tv ou em coordenadas x y z x0 y0 z0 ha1 b1 c1 ta2 b2 c2 h t ℜ 52 Esta equação é denominada equação vetorial do plano π Os vetores u e v são vetores diretores de π Da equação 52 obtémse x y z x0 a1h a2t y0 b1h b2t z0 c1h c2t que pela condição de igualdade vem x x0 a1h a2t y y0 b1h b2t z z0 c1h c2t h t ℜ 73 55 63 Estas equações são chamadas equações paramétricas de π e h e t são variáveis auxiliares denominadas parâmetros Exemplo 512 Seja o plano π que passa pelo ponto A2 2 1 e é paralelo aos vetores u 2 3 1 e v 1 5 3 Obtenha uma equação vetorial um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π Equação vetorial x y z 2 2 1 h2 3 1 t1 5 3 Equações paramétricas x 2 2h t y 2 3h 5t z 1 h 3t Observação Se quisermos algum ponto deste plano basta atribuir valores reais para h e t Por exemplo para h 0 e t 1 vem x 1 y 7 e z 4 E portanto B1 7 4 é um ponto do plano π Equação geral Como o vetor u v i j k 2 3 1 1 5 3 4 5 7 é simultaneamente ortogonal a u e v ele é um vetor n normal ao plano π Então uma equação geral de π é da forma 4x 5y 7z d 0 e como A π temse 425271d 0 d 11 Portanto uma equação geral do plano π é dada por 4x 5y 7z 11 0 Exemplo 513 Dado o plano π determinado pelos pontos A1 1 2 B2 1 3 e C1 2 6 obtenha um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π 74 56 64 Equações paramétricas Sabese que existe apenas um plano que contém três pontos não em linha reta Os vetores nãoparalelos u AB 1 2 5 e v AC 2 1 4 são vetores diretores de api e portanto as equações utilizando o ponto A x 1 h 2t y 1 2h t z 2 5h 4t são equações paramétricas do plano Equação geral Sendo u e v vetores diretores de π o vetor u v i j k 1 2 5 2 1 4 3 6 3 é um vetor normal a π Então uma equação geral é da forma 3x6y3zd 0 Como A π poderíamos tomar B ou C 31 61 32 d 0 d 3 Portanto uma equação geral de π é 3x 6y 3z 3 0 ou multiplicando ambos os membros da equação por 13 x 2y z 1 0 Observações a Como é possível encontrar infinitos ternos A B e C de pontos não alinhados em π existem infinitos sistemas de equações paramétricas que representam o mesmo plano b É importante observar que os vetores diretores sejam nãoparalelos Se ocorrer AB AC basta trocar um dos pontos de modo a garantir que AB e AC sejam nãoparalelos 75 57 65 c Uma outra maneira de obter equações paramétricas a partir da equação geral é substituindo duas das variáveis pelos parâmetros h e t e posteriormente isolar a terceira variável em função destes Por exemplo se na equação geral 2x y z 4 0 fizermos y h e z t teremos 2x h t 4 0 Isolando x resulta x 2 1 2h 1 2t Então x 2 1 2h 1 2t y h z t são equações paramétricas do plano Atividade 1 Dado o plano π determinado pelos pontos A2 1 3 B1 1 1 e C3 2 2 obtenha um sistema de equações paramétricas e uma equação geral de π 52 Posições relativas de reta e plano Sejam v um vetor diretor da reta r n um vetor normal ao plano π e P um ponto As posições de uma reta r com o plano π são i r paralela a π rπ v n 0 e P π ii r contida em π r π v n 0 e P π 76 58 66 iii r e π concorrentes ou transversais r π P v n 0 Exemplo 521 Determine a intersecção da reta r com o plano π nos seguin tes casos a r x y z 1 6 2 t1 1 1 t ℜ π x z 3 0 b r x 1 y 2 2z 1 π x y z h6 2 1 t1 2 1 t h ℜ 77 59 67 c r x t y 3 3t z t t ℜ π x y 2z 1 0 a v n 1 1 1 1 0 1 0 Logo r π r ou r π Como P1 6 2 é um ponto de r verificamos que P π Portanto r π e concluise que r e π são paralelos b Sendo v 1 1 1 2 e n 6 2 1 1 2 1 0 5 10 temos que v n 0 Logo r π r ou r π Como P1 2 1 é um ponto de r verificamos que P π Portanto r π r e concluise que r está contida em π c De v n 1 3 11 1 2 2 0 concluímos que r π são concorrentes Seja r π P a b c Temos então 1 a b 2c 1 0 e 2 a t b 3 3t c t para algum escalar t De 1 e 2 obtemos t 2 e P2 3 2 Atividade 1 Determine o ponto de interseção da reta r x t y 1 2t z t com o plano π 2x y z 4 0 78 60 68 53 Posições Relativas de Planos Sejam π1 a1x b1y c1z d1 0 e π2 a2x b2y c2z d2 0 dois planos quaisquer a π1 e π2 são paralelos se e somente se a1 b1 c1 e a2 b2 c2 são proporcionais b Nas condições do item a se d1 d2 estão na mesma proporção isto é se a1 b1 c1 d1 e a2 b2 c2 d2 são proporcionais então π1 π2 se d1 d2 não seguem a proporcionalidade de a1 b1 c1 d1 e a2 b2 c2 d2 então π1 e π2 são paralelos distintos c π1 e π2 são concorrentes ou transversais se e somente se a1 b1 c1 d1 e a2 b2 c2 d2 não são proporcionais Exemplo 531 Estude a posição relativa dos planos 79 61 69 a π1 2x y z 1 0 e π2 4x 2y 2z 2 0 b π1 x y z 1 0 1h0 0 1t2 1 3 t h ℜ e π2 2xyz1 0 c π1 x y z 1 0 1h0 0 1t2 1 3 t h ℜ e π2 x 4t y 1 2t z 2 h 5t t a Observemos que n π1 2n π2 assim os planos π1 e π2 são paralelos Além disso temos d1 2d2 Portanto podemos concluir que π1 e π2 são coincidentes b Consideremos os vetores n π1 2 1 3 0 0 1 1 2 0 e n π2 2 1 1 Como estes vetores não são paralelos temos que os planos π1 e π2 são con correntes c Consideremos os vetores n π1 1 2 0 e n π1 2 4 0 Observemos que n π1 2n π2 daí os planos π1 e π2 são paralelos No entanto P1 0 1 pertence ao plano π1 e não pertence ao plano π2 Consequentemente π1 e π2 são estritamente paralelos Podemos determinar o ponto de intersecção de uma reta com um plano Ob serve o exemplo a seguir Exemplo 532 Determine o ponto de intersecção da reta r com o plano π 80 62 70 em que r x 1 2t y 5 3t z 4 2t e π 2x y 3z 4 0 Qualquer ponto de r é da forma x y z 1 2t 5 3t 3 t Se um deles é comum ao plano π suas coordenadas verificam a equação de π 21 2t 5 3t 33 t 4 0 e daí resulta t 1 Substituindo este valor nas equações de r obtémse x 1 21 3 y 5 31 2 z 3 1 4 Logo a intersecção de r e π é o ponto 3 2 4 Observe agora um exemplo em que estamos interessados em determinar a in tersecção de dois planos Exemplo 533 Sejam os planos nãoparalelos π1 5x y z 5 0 e π2 x y 2z 7 0 A intersecção de dois planos não paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar Para tanto dentre os vários procedimentos apresentaremos dois A Como r está contida nos dois planos as coordenadas de qualquer ponto x y z r devem satisfazer simultaneamente as equações dos dois planos Logo os pontos de r constituem a solução do sistema r 5x y z 5 0 x y 2z 7 0 53 81 63 71 O sistema tem infinitas soluções são os infinitos pontos de r e em termos de x sua solução é r y 3x 1 z 2x 4 que são equações reduzidas de r B Outra maneira de obter equações de r é determinar um de seus pontos e um vetor diretor Seja determinar o ponto A r que tem abscissa zero Então fazendo x 0 nas equações do sistema 53 resulta o sistema y z 5 0 y 2z 7 0 cuja solução é y 1 e z 4 Logo A0 1 4 Como um vetor diretor v de r é simultaneamente ortogonal a n1 5 1 1 e n2 1 1 2 normais aos planos π1 e π2 respectivamente figura o vetor v pode ser dado por v n1 n2 i j k 5 1 1 1 1 2 3 9 6 ou também 1 33 9 6 1 3 2 Escrevendo equações paramétricas de r temos r x t y 1 3t z 4 2t 82 64 72 Atividade 1 Determine as equações paramétricas da reta interseção dos planos π1 2x y 3z 5 0 e π2 x y z 3 0 2 Determine a e b de modo que os planos π1 ax by 4z 1 0 e π2 3x 5y 2z 5 0 sejam paralelos 54 Ângulo entre Reta e Plano Seja uma reta r com a direção do vetor v e um plano π sendo n um vetor normal a π O ângulo ϕ da reta r com o plano π é o complemento do ângulo θ que a reta r forma com uma reta normal no plano 83 65 73 Tendo em vista que θ ϕ π 2 e portanto cos θ sen ϕ e com isso temos sen ϕ v n v n 0 ϕ π 2 Exemplo 541 Determinar o ângulo que a reta r x 1 2t y t z 3 t forma com o plano π x y 5 0 A reta r tem a direção do vetor v 2 1 1 e n 1 1 0 é um vetor normal ao plano π Assim temse sen ϕ v n v n 2 1 1 1 1 0 22 12 12 12 12 02 2 1 0 6 2 3 2 3 3 2 55 Ângulo entre Dois Planos Sejam os planos π1 a1x b1y c1z d1 0 e π2 a2x b2y c2z d2 0 Então n1 a1 b1 c1 e n2 a2 b2 c2 são vetores normais a π1 e π2 respectivamente Chamase ângulo de dois planos π1 e π2 o menor ângulo que um vetor normal de π1 forma com um vetor normal de π2 Sendo θ este ângulo temse cos θ n1 n2 n1 n2 com 0 θ π 2 54 84 66 74 ou em coordenadas cos θ a1a2 b1b2 c1c2 a2 1 b2 1 c2 1 a2 2 b2 2 c2 2 Como cos θ 0 quando 0 θ π 2 o numerador de 54 deve ser positivo razão pela qual tomouse o produto escalar em módulo pois que este poderá ser negativo quando o ângulo entre os vetores for o suplementar de θ Exemplo 551 Determine o ângulo entre os planos π1 2x y z 3 0 e π2 x y 4 0 Sendo n1 2 1 1 e n2 1 1 0 vetores normais a π1 e π2 de acordo com 54 temse cos θ 2 1 1 1 1 0 22 12 12 12 12 2 1 0 6 2 3 12 3 2 3 3 2 Logo θ arc cos 3 2 π 6 Como verificar a partir de suas equações se dois planos são perpendiculares Consideremos os planos π1 e π2 e sejam n1 e n2 vetores normais a π1 e π2 respectivamente Logo π1 π2 n1 n2 n1 n2 0 Exemplo 552 Verificar se π1 3x y 4z 2 0 e π2 2x 6y 3z 0 são planos perpendiculares Sendo n1 3 1 4 e n2 2 6 3 vetores normais a π1 e π2 respectiva mente e como n1 n2 32 16 43 0 85 67 75 concluise que π1 e π2 são perpendiculares Atividades 1 Determine o ângulo entre os planos π1 x 2y z 10 0 e π2 2x y z 1 0 2 Determine o valor de m de modo que os planos π1 2mx 2y z 0 e π2 3x my 2z 1 0 sejam perpendiculares 56 Distância de Ponto a Plano Sejam um ponto P0x0 y0 z0 e um plano π ax by cz d 0 Sejam A o pé da perpendicular conduzida por P0 sobre o plano π e Px y z um ponto qualquer desse plano O vetor n a b c é normal ao plano π e por conseguinte o vetor AP0 tem a mesma direção de n A distância d do ponto P0 ao plano π é dP0 π AP0 86 FIGURA 512 Distância de um ponto a um plano Observando que o vetor overrightarrowAP0 é a projeção do vetor overrightarrowPP0 na direção de overrightarrown de acordo com o dispositivo em 35 vem dP0 pi overrightarrowAP0 overrightarrowPP0 cdot fracoverrightarrownoverrightarrown mas overrightarrowPP0x0x y0y z0z e fracoverrightarrownoverrightarrown fracabca2 b2 c2 logo dP0 pi x0x y0y z0z cdot fracabcsqrta2 b2 c2 dP0 pi fracax0xby0ycz0zsqrta2 b2 c2 dP0 pi fracax0 by0 cz0 ax by czsqrta2 b2 c2 Em virtude de P pertencer ao plano pi ax by cz d e portanto dP0 pi fracax0 by0 cz0 dsqrta2 b2 c2 55 69 77 Examinando esta fórmula vêse que o numerador é o módulo do número que se obtém substituindo x y e z no primeiro membro da equação geral do plano pela coordenadas do ponto P0 e o denominador é o módulo do vetor normal ao plano Observação Se o ponto considerado for a origem O0 0 0 do sistema temse dO π d a2 b2 c2 Exemplo 561 Calcule a distância do ponto P04 2 5 ao plano π 2x y 2z 8 0 No caso presente temse I coordenadas do ponto P0 x0 4 y0 2 e z0 5 II componentes do vetor normal n a 2 b 1 e c 2 Substituindo esse valores em 55 vem dP0 π 24 12 25 8 22 12 22 8 2 10 8 4 1 4 12 3 4 uc Como caso particular da distância entre ponto e plano podemos calcular a distância entre dois planosEssa distância só estará definida quando os planos forem paralelos Dados dois planos π1 e π2 paralelos a distância d entre eles é a distância de um ponto qualquer de um dos planos ao outro dπ1 π2 dP0 π2 com P0 π1 ou dπ1 π2 dP0 π1 com P0 π2 88 70 78 Como se vê a distância entre dois planos paralelos se reduz ao cálculo da distância de um ponto a um plano Exemplo 562 Calcule a distância entre os planos π1 2x 2y z 5 0 e π2 4x 4y 2z 14 0 Um ponto de π1 é P00 0 5 e um vetor normal a π2 é n 4 4 2 Portanto de acordo com 55 vem dπ1 π2 dP0 π2 40 40 25 14 42 42 22 10 14 36 24 6 uc Atividades 1 Calcule a distância do ponto P2 3 5 ao plano π 3x 2y 6z 2 0 2 Calcule a distância entre os planos paralelos π1 x 2z 1 0 e π2 3x 6z 8 0 3 Determine a distância da reta r x 3 y 4 ao plano π x y 12 0 4 Dado o tetraedro de vértices A1 2 1 B2 1 1 C0 1 1 e D3 1 0 calcule a medida da altura baixada do vértice D ao plano da face ABC 89 71 96 71 Introdução Você já ouviu falar de certas curvas chamadas elipse parábola e hipérbole O objetivo deste capítulo é buscarmos uma compreensão dessas curvas do ponto de vista da geometria analítica Imagine duas retas que não são perpendiculares e que se interceptam no ponto V Se fixarmos uma das retas como eixo e fizermos uma rotação com a outra ao redor desse eixo obtemos um sólido denominado cone circular reto com vértice V como ilustrado abaixo Note que o ponto V divide o cone em duas partes chamadas folhas Mas você deve estar se perguntando qual é a relação que existe entre esse tal cone circular reto e as curvas citadas O fato é que a elipse a hipérbole e a parábola são originadas a partir desse tal cone Com isso podemos definir uma secção cônica ou simplesmente cônica sendo a intersecção de um plano com um cone circular reto As três secções cônicas básicas são a parábola a elipse e a hipérbole 111 7 Cônicas 72 97 Percebeu o aspecto geométrico dessas curvas Pois bem Vamos conhecer um breve histórico das cônicas Historicamente o matemático grego Pappus de Alexandria 290 350 atribuiu ao geômetra grego Aristeu o Ancião 370 300 aC o crédito de ter publicado o primeiro tratado sobre as seções cônicas referindose aos Cinco livros sobre seções cônicas de Aristeu nos quais foi apresentado um estudo cuidadoso das curvas cônicas e as suas propriedades Segundo Pappus o matemático grego Euclides de Alexandria 325265 aC contemporâneo de Aristeu conhecia muito bem os cinco livros sobre as curvas cônicas e evitou aprofundarse sobre esse assunto na sua obra Os elementos de modo a obrigar os leitores interessados a consultar a obra original de Aristeu Duzentos anos mais tarde o astrônomo e matemático grego Apolônio de Perga 262190aC recompilou e aprimorou os resultados de Aristeu e de Euclides nos oito livros da sua obra Seções Cônicas No entanto a História indica que as cônicas foram descobertas pelo matemático grego Menaecmus 380 320 aC aproximadamente quando estudava como resolver os três problemas famosos da Geometria grega a trisseção do ângulo a duplicação do cubo e a quadratura do círculo Segundo o historiador Proclus Menaecmus nasceu em Alopeconnesus na Ásia Menor o que hoje é a Turquia foi aluno de Eudóxio na academia de 112 73 98 Platão Menaecmus foi o primeiro em mostrar que as elipses parábolas e hipérrboles são obtidas cortando um cone com um plano não paralelo a sua base Mesmo assim pensavase que os nomes dessas curvas foram inventados por Apolônio porém traduções de antigos escritos árabes indicam a existência desses nomes em épocas anteriores a Apolônio Gostou da história Vamos então inicar nossa tarefa de compreendermos as cônicas do ponto de vista da geometria analítica 72 Elipse O jardineiro senhor Antônio cuidava do jardim da praça com muito carinho Certo dia quando fazia a manutenção semanal do jardim resolveu fazer uma curva no gramado de modo a plantar rosas na região delimitada por essa curva O senhor Antônio construiu a curva da seguinte forma Fincou duas estacas no terreno e amarrou nelas as extremidades de uma corda maior do que a distância entre as estacas Assim desenhou a curva no solo com o auxílio de um graveto apoiado na corda mantendoa o mais esticada possível 113 74 99 Essa curva que o senhor Antônio construiu com tanto carinho é denominada elípse Apresentaremos agora a definição precisa e formal da elipse Definição 721 Uma elipse E de focos F1 e F2 é o conjunto de pontos P de um plano cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual a uma constante que será denotada por 2a 0 maior do que a distância entre os focos 2c ou seja E P distP F1 distP F2 2a distF1 F2 2c Você deve ter notado que a definição anterior representa a elaboração mate mática da curva que o senhor Antônio construiu em seu jardim Observe que comparando a definição dada com a curva que o senhor Antônio construiu as estacas representam os focos da elipse Isso sugere descrevermos os elementos notáveis de uma elipse Terminologia Como dissemos na definição os pontos F1 e F2 são os focos da elipse A reta que contém os focos é a reta focal que será denotada por l A intersecção da elipse com a reta focal l consiste de exatamente dois pontos 114 75 100 A1 e A2 chamados vértices da elipse sobre a reta focal O segmento A1A2 é denominado eixo focal da elipse O seu comprimento é 2a O ponto médio C do eixo focal A1A2 é o centro da elipse Esse ponto é também o ponto médio do segmento F1F2 delimitado pelos focos A reta l que passa pelo centro C e é perpendicular a reta focal é a reta não focal A elipse intercepta a reta não focal l em exatamente dois pontos B1 e B2 denominados vértices da elipse sobre a reta não focal O segmento B1B2 é denominado eixo não focal da elipse e seu comprimento é 2b em que b2 a2 c2 O número a é a distância do centro aos vértices sobre a reta focal b é a distância do centro aos vértices sobre a reta não focal e c é distância do centro aos focos O número e c a é chamado excentricidade da elipse Note que 0 e 1 Antes de prosseguirmos o que significa de fato a excentricidade de uma elipse Você tem alguma ideia A excentricidade é uma medida que mostra o quanto os pontos da elipse estão próximos de uma circunferência ou de um segmento de reta Fixada a medida 2a do eixo focal temse que quanto mais próximos estiverem os focos mais próximos de uma circunferência estarão os pontos da elipse e quanto mais distintas estiverem os focos mais próximos de um segmento de reta estarão os pontos da elipse 115 76 101 Assim quanto mais próximo de zero estiver o número e c a mais próximos de uma circunferência estarão os pontos da elipse e quanto mais próximo de 1 estiver o número e mais próximos de um segmento de reta estarão os pontos da elipse Caso c 0 a elipse se reduz a uma circunferência de centro em C e raio a pois nesse caso F1 F2 C e portanto E P distP C a Em particular e 0 se e somente se a elipse é uma circunferência 721 Equação da Elipse com Centro na Origem do Sis tema Quando você se depara com a expressão equação da elipse o que lhe vem à mente Pense no significado dessa expressão Com isso vamos considerar xOy um sistema de eixos ortogonais no plano Nosso objetivo é obter a equa ção da elipse em relação a esse sistema de eixos para alguns casos especiais Proposição 721 A elipse de focos nos pontos F1 c 0 e F2 c 0 e vértices em A1 a 0 A2 a 0 B1 0 b e B2 0 b tem por equação x2 a2 y2 b2 1 Demonstração Seja E a elipse mencionada e P um ponto de E Então usando 116 77 102 a definição de elipse temos P E distP F1 distP F2 2a e agora utilizando a distância entre dois pontos segue que x c2 y2 x c2 y2 2a o que equivale escrever que x c2 y2 4a2 4a x c2 y2 x c2 y2 e após simplificar 4xc 4a2 4a x c2 y2 logo temos que a2 cx2 a2x c2 y2 de onde concluimos que b2x2 a2y2 a2b2 x2 a2 y2 b2 1 117 78 103 E então você já tem em mente o significado da equação de uma elipse Essa reflexão é de fundamental importância antes de prosseguir Proposição 722 A elipse de focos nos pontos F1 0 c e F2 0 c e vértices em A1 0 a A2 0 a B1 b 0 e B2 b 0 tem por equação x2 b2 y2 a2 1 Demonstração Análoga à anterior Exemplo 721 Os focos de uma elipse são os pontos 2 0 e 2 0 e sua excentricidade é igual a 2 3 Determinar a equação da elipse Temos que a reta focal é o eixo das abscissas o centro da elipse é a origem C0 0 c 2 e e 2 3 c a a 3 118 79 104 Logo b2 a2 c2 9 4 5 Portanto a equação da elipse é x2 9 y2 5 1 Exemplo 722 Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus vértices sobre a reta focal é 0 7 Se a elipse passa pelo ponto 5 14 3 determinar sua equação A reta focal que contém o centro e o vértice dados é o eixo das ordenadas A distância do centro C0 0 ao vértice A2 0 7 é a 7 e o outro vértice na reta focal é A10 7 Logo a equação da elipse é da forma x2 b2 y2 72 1 Como 5 14 3 E temos que 5 b2 14 3 49 1 5 b2 1 4 9 b2 9 Assim a equação da elipse é x2 9 y2 49 1 Antes de prosseguirmos vamos questionar o seguinte Como obter as equações descritas anteriormente caso as elipses não possuíssem centro na origem do sistema Poderíamos proceder da mesma forma porém teríamos muito mais trabalho para alcançarmos as equações desejadas Você se lembra da translação de eixos 119 80 105 que estudamos anteriormente Pois bem faremos uso da translação de eixos para obtermos as equações de uma elipse com centro em um ponto qualquer 722 Equação da Elipse com Centro no Ponto O x0 y0 Usando a translação de eixos vamos estudar agora as equações de uma elipse com centro fora da origem Proposição 723 A equação da elipse com centro no ponto O x0 y0 e eixo focal paralelo ao eixo ox é x x02 a2 y y02 b2 1 Demonstração Como o centro O x0 y0 pertence à reta focal temos que y y0 é a equação cartesiana da reta focal Além disso como distF1 O distF2 O c em que F1 e F2 são os focos da elipse temos que F1 x0 c y0 e F2 x0 c y0 Seja um ponto Px x0 y y0 pertencente à elipse em que x e y são suas coordenadas no sistema xoy e x e y são suas coordenadas no sistema x O y obtido transladando o sistema xOy para a origem x0 y0 Então P E distP F1 distP F2 2a 120 81 106 ou seja distx x0 y y0 x0 c y0 distx x0 y y0 x0 c y0 2a o que equivale escrever que distx y c 0 distx y c 0 2a portanto x 2 a2 y 2 b2 1 x x02 a2 y y02 b2 1 Proposição 724 A equação da elipse com centro no ponto O x0 y0 e eixo focal paralelo ao eixo oy é x x02 b2 y y02 a2 1 121 82 107 Demonstração Análoga ao caso anterior Exemplo 723 Determine o centro os vértices os focos e a excentricidade da elipse de equação 4x2 9y2 8x 36y 4 0 Para que a equação possa ser analisada devemos colocála na forma x x02 a2 y y02 b2 1 Primeiramente vamos agrupar os termos de mesma variável 4x2 8x 9y2 36y 4 ou 4x2 2x 9y2 4y 4 onde colocamos em evidência os números 4 e 9 para facilitar a construção de trinômios quadrados nestes dois parênteses 4x2 2x 1 9y2 4y 4 4 41 94 122 108 ou 4x 12 9y 22 36 Dividindo ambos os membros da equação anterior por 36 obtemos x 12 9 y 22 4 1 Agora comparando esta última equação com a equação padrão temos que O centro da elípse é o ponto C1 2 mas a2 9 a 3 b2 4 b 2 Logo os vértices são dados por A12 2 A24 2 B11 0 B21 4 Para determinarmos os focos precisamos do valor de c 123 83 108 ou 4x 12 9y 22 36 Dividindo ambos os membros da equação anterior por 36 obtemos x 12 9 y 22 4 1 Agora comparando esta última equação com a equação padrão temos que O centro da elípse é o ponto C1 2 mas a2 9 a 3 b2 4 b 2 Logo os vértices são dados por A12 2 A24 2 B11 0 B21 4 Para determinarmos os focos precisamos do valor de c 123 84 109 9 4 c2 c 5 Portanto os focos são F11 5 2 F21 5 2 e a excentricidade é dada por e c a 5 3 Atividades 1 Determine os vértices A1 e A2 os focos e a excentricidade das elipses dadas a x2 144 y2 81 1 b x2 25 y2 100 1 c x2 25y2 25 d 9x2 5y2 45 0 e 4x2 y2 1 2 Apresente a equação da elipse que satisfaz as condições dadas a Centro C0 0 um foco F 3 4 0 e um vértice A1 0 124 85 110 b vértices A0 6 e passando por P3 2 c vértices A11 4 e A21 8 e excentricidade e 2 3 d centro C2 1 tangente aos eixos coordenados e eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados e centro C2 4 um foco F5 4 e excentricidade e 3 4 3 Determine o centro os focos e a excentricidade de cada elipse a seguir a x 22 16 y 32 9 1 b 25x2 16y2 50x 64y 311 0 c 4x2 9y2 24x 18y 9 0 d 4x2 9y2 8x 36y 4 0 e 16x2 9y2 96x 72y 144 0 125 111 73 Hipérbole Definição 731 Uma hipérbole Hde focos F1 e F2 é o conjunto de pontos P de um plano tais que o módulo da diferença das distâncias a F1 e a F2 é igual a uma constante 2a 0 menor do que a distância entre os focos H P distP F1 distP F2 2a distF1 F2 Terminologia Os pontos F1 e F2 são os focos da hipérbole A reta l que contém os focos é a reta focal A intersecção da hipérbole com a reta focal l consiste de exatamente dois pontos A1 e A2 chamados de vértices da hipérbole O segmento A1A2 é denominado eixo focal da hipérbole e seu comprimento é distA1A2 2a O ponto médio C do eixo focal A1A2 é o centro da hipérbole Esse ponto é também o ponto médio do segmento F1F2 delimitado pelos focos A reta l que passa pelo centro C e é perpendicular a reta focal é a reta não 126 86 111 73 Hipérbole Definição 731 Uma hipérbole Hde focos F1 e F2 é o conjunto de pontos P de um plano tais que o módulo da diferença das distâncias a F1 e a F2 é igual a uma constante 2a 0 menor do que a distância entre os focos H P distP F1 distP F2 2a distF1 F2 Terminologia Os pontos F1 e F2 são os focos da hipérbole A reta l que contém os focos é a reta focal A intersecção da hipérbole com a reta focal l consiste de exatamente dois pontos A1 e A2 chamados de vértices da hipérbole O segmento A1A2 é denominado eixo focal da hipérbole e seu comprimento é distA1A2 2a O ponto médio C do eixo focal A1A2 é o centro da hipérbole Esse ponto é também o ponto médio do segmento F1F2 delimitado pelos focos A reta l que passa pelo centro C e é perpendicular a reta focal é a reta não 126 112 focal da hipérbole Como l é a mediatriz do segmento F1F2 a hipérbole não interce a reta não focal l pois se P l temos distP F1 distP F2 0 2a O segmento B1B2 perpendicular ao eixo focal que tem C como ponto médio e comprimento 2b em que b2 c2 a2 é denominado eixo não focal da hipérbole e B1 e B2 são os vértices imaginários da hipérbole O número e c a é denominado a excentricidade da hipérbole Note que e 1 pois c a A excentricidade é uma medida que mostra o quanto os pontos da hipérbole se aproximam de duas retas que passam pelos seus vértices paralelamente ao eixo não focal ou o quanto esses pontos se aproximam da reta que contém o eixo focal Quanto maior o número e c a mais próximos de duas retas paralelas estarão os pontos da hipérbole quanto menor o número e c a mais próximos da reta que contém o eixo focal estarão os pontos da hipérbole O retângulo de base da hipérbole H é o retângulo que tem os pontos A1 A2 B1 e B2 como pontos médios de seus lados e as retas que contém as diagonais de retângulo de base da hipérbole H são as assíntotas de H Portanto as assíntotas da hipérbole H são as retas que passam pelo centro da hípérbole e tem coeficinte angular b a em relação a reta focal 127 87 112 focal da hipérbole Como l é a mediatriz do segmento F1F2 a hipérbole não interce a reta não focal l pois se P l temos distP F1 distP F2 0 2a O segmento B1B2 perpendicular ao eixo focal que tem C como ponto médio e comprimento 2b em que b2 c2 a2 é denominado eixo não focal da hipérbole e B1 e B2 são os vértices imaginários da hipérbole O número e c a é denominado a excentricidade da hipérbole Note que e 1 pois c a A excentricidade é uma medida que mostra o quanto os pontos da hipérbole se aproximam de duas retas que passam pelos seus vértices paralelamente ao eixo não focal ou o quanto esses pontos se aproximam da reta que contém o eixo focal Quanto maior o número e c a mais próximos de duas retas paralelas estarão os pontos da hipérbole quanto menor o número e c a mais próximos da reta que contém o eixo focal estarão os pontos da hipérbole O retângulo de base da hipérbole H é o retângulo que tem os pontos A1 A2 B1 e B2 como pontos médios de seus lados e as retas que contém as diagonais de retângulo de base da hipérbole H são as assíntotas de H Portanto as assíntotas da hipérbole H são as retas que passam pelo centro da hípérbole e tem coeficinte angular b a em relação a reta focal 127 113 Pelo teorema de Pitágoras as diagonais do retângulo de base de H tem com primento 2c e a distância do centro de H a qualquer vértice do retângulo de base é igual a c Uma hipérbole é denominada equilátera se o comprimento do eixo focal é igual ao comprimento do eixo não focal isto é a b Duas hipérboles tais que o eixo focal de cada uma é igual ao eixo não focal da outra são denominadas hipérboles conjugadas Como os retângulos de base de duas hipérboles conjugadas são iguais elas tem o mesmo centro mesmas assíntotas e os focos de uma mesma distância do centro 731 Equação da Hipérbole com Centro na Origem Proposição 731 A equação da hipérbole com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo das abscissas é dada por x2 a2 y2 b2 1 Demonstração Neste caso temos F1c 0 F2c 0 A1a 0 A2a 0 B10 b B20 b e C0 0 Logo Px y H distP F1 distP F2 2a mas distP F1 distP F2 x c2 y2 x c2 y2 2a 128 88 113 Pelo teorema de Pitágoras as diagonais do retângulo de base de H tem com primento 2c e a distância do centro de H a qualquer vértice do retângulo de base é igual a c Uma hipérbole é denominada equilátera se o comprimento do eixo focal é igual ao comprimento do eixo não focal isto é a b Duas hipérboles tais que o eixo focal de cada uma é igual ao eixo não focal da outra são denominadas hipérboles conjugadas Como os retângulos de base de duas hipérboles conjugadas são iguais elas tem o mesmo centro mesmas assíntotas e os focos de uma mesma distância do centro 731 Equação da Hipérbole com Centro na Origem Proposição 731 A equação da hipérbole com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo das abscissas é dada por x2 a2 y2 b2 1 Demonstração Neste caso temos F1c 0 F2c 0 A1a 0 A2a 0 B10 b B20 b e C0 0 Logo Px y H distP F1 distP F2 2a mas distP F1 distP F2 x c2 y2 x c2 y2 2a 128 113 Pelo teorema de Pitágoras as diagonais do retângulo de base de H tem com primento 2c e a distância do centro de H a qualquer vértice do retângulo de base é igual a c Uma hipérbole é denominada equilátera se o comprimento do eixo focal é igual ao comprimento do eixo não focal isto é a b Duas hipérboles tais que o eixo focal de cada uma é igual ao eixo não focal da outra são denominadas hipérboles conjugadas Como os retângulos de base de duas hipérboles conjugadas são iguais elas tem o mesmo centro mesmas assíntotas e os focos de uma mesma distância do centro 731 Equação da Hipérbole com Centro na Origem Proposição 731 A equação da hipérbole com centro na origem e reta focal coincidente com o eixo das abscissas é dada por x2 a2 y2 b2 1 Demonstração Neste caso temos F1c 0 F2c 0 A1a 0 A2a 0 B10 b B20 b e C0 0 Logo Px y H distP F1 distP F2 2a mas distP F1 distP F2 x c2 y2 x c2 y2 2a 128 114 Continuando o desenvolvimento de maneira análoga ao caso da elípse e lem brando que b2 c2 a2 chegamos a Px y H c2 a2x2 a2y2 a2c2 a2 b2x2 a2y2 a2b2 Dividindo ambos os membros da última igualdade por a2b2 temos que x2 a2 y2 b2 1 Proposição 732 A equação da hipérbole de centro na origem e reta focal coincidente com o eixo das ordenadas é dada por y2 a2 x2 b2 1 Demonstração Neste caso temos F10 c F20 c A10 a A20 a B1b 0 e B2b 0 Procendendo como no caso anterior obtemos a equação da hipérbole Exemplo 731 Considere a hipérbole 9x2 7y2 63 0 Determinar as coordenadas de seus focos e sua excentricidade Observe que a equação dada pode ser escrita da seguinte forma 129 114 Continuando o desenvolvimento de maneira análoga ao caso da elípse e lem brando que b2 c2 a2 chegamos a Px y H c2 a2x2 a2y2 a2c2 a2 b2x2 a2y2 a2b2 Dividindo ambos os membros da última igualdade por a2b2 temos que x2 a2 y2 b2 1 Proposição 732 A equação da hipérbole de centro na origem e reta focal coincidente com o eixo das ordenadas é dada por y2 a2 x2 b2 1 Demonstração Neste caso temos F10 c F20 c A10 a A20 a B1b 0 e B2b 0 Procendendo como no caso anterior obtemos a equação da hipérbole Exemplo 731 Considere a hipérbole 9x2 7y2 63 0 Determinar as coordenadas de seus focos e sua excentricidade Observe que a equação dada pode ser escrita da seguinte forma 129 89 114 Continuando o desenvolvimento de maneira análoga ao caso da elípse e lem brando que b2 c2 a2 chegamos a Px y H c2 a2x2 a2y2 a2c2 a2 b2x2 a2y2 a2b2 Dividindo ambos os membros da última igualdade por a2b2 temos que x2 a2 y2 b2 1 Proposição 732 A equação da hipérbole de centro na origem e reta focal coincidente com o eixo das ordenadas é dada por y2 a2 x2 b2 1 Demonstração Neste caso temos F10 c F20 c A10 a A20 a B1b 0 e B2b 0 Procendendo como no caso anterior obtemos a equação da hipérbole Exemplo 731 Considere a hipérbole 9x2 7y2 63 0 Determinar as coordenadas de seus focos e sua excentricidade Observe que a equação dada pode ser escrita da seguinte forma 129 115 x2 7 y2 9 1 Agora a2 7 a 7 b2 9 b 3 e para determinarmos os focos precisamos do valor de c c2 7 9 c 4 Logo os focos são F14 0 e F24 0 A excentricidade da hipérbole é dada por e c a 4 7 130 90 116 Exemplo 732 Determine a equação da hipérbole equilátera com focos nos pontos 8 0 e 8 0 Como F1 8 0 e F2 8 0 temos que o centro da hipérbole é C F1 F2 2 0 0 e a reta focal é o eixo das abscissas Sendo a hipérbole equilátera temos que a b Como c 8 e c2 a2 b2 obtemos 8 a2 a2 2a2 isto é a2 4 Logo a b 2 e H x2 4 y2 4 1 é a equação da hipérbole Exemplo 733 Mostre que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é 2 Como a b e c2 a2 b2 temos que c2 2a2 ou seja c 2a Logo e c a 2a a 2 Exemplo 734 Os vértices de uma hipérbole são os pontos 0 3 e 0 3e um de seus focos é o ponto 0 5 Determine a equação da hipérbole o com primento do seu eixo focal e suas assíntotas A hipérbole tem centro C0 0 reta focal dada por x 0 c 5 a 3 e o ponto 0 5 representa as coordenadas do outro foco Com isso temos que b2 c2 a2 16 Então H y2 9 x2 16 1 é a equação da hipérbole y 4y 3 são suas assíntotas e 2a 6 é o comprimento do seu eixo focal 131 91 117 732 Equação da Hipérbole com Centro no Ponto O x0 y0 Proposição 733 A equação da hipérbole com centro no ponto x0 y0 e reta focal paralela ao eixo das abscissas é dada por x x02 a2 y y02 b2 1 Demonstração Como o centro O x0 y0 pertence a reta focal temos que l y y0 é a equação cartesiana da reta focal Além disso como distF1 O distF2 O c onde F1 e F2 são os focos da elípse temos que F1x0 c y0 e F2x0 c y0 Seja Px x0 y y0 um ponto pertencente a hipérbole onde x x x0 y y y0 são suas coordenadas no sistema xOy e x e y são suas coordenadas no sistema x O y obtido transladando o sistema xOy para a origem O x0 y0 Então P H distP F1 distP F2 2a 132 92 118 ou seja distx x0 y y0 x0 c y0 distx x0 y y0 x0 c y0 2a que é equivalente a distx y c 0 distx y c 0 2a Logo temos x 2 a2 y 2 b2 1 x x02 a2 y y02 b2 1 Proposição 734 A equação da hipérbole com centro no ponto x0 y0 e reta focal paralela ao eixo das ordenadas é dada por 133 93 119 y y02 a2 x x02 b2 1 Demonstração Análoga ao caso anterior Exemplo 735 A equação x22y26x4y9 0 representa uma hipérbole Apresentar seus elementos principais Separando os termos de mesma variável e completando os quadrados obtemos y 12 x 32 2 1 Logo a equação representa uma hipérbole com a 1 b 2 e c a2 b2 1 2 3 centro C3 1 reta focal l x 3 paralela ao eixo das ordenadas reta não focal l y 1 paralela ao eixo das abscissas vértices A13 0 e A23 2 vétices imaginários na reta não focal B13 2 1 e B23 2 1 focos F13 1 3 e F23 1 3 assíntotas x 3 2y 1 ou seja x 2y 3 2 e x 2y 3 2 134 94 120 Exemplo 736 Mostre que as assíntotas de uma hipérbole não se intersectam Podemos supor sem perda de generalidade escolhendo o sistema de coorde nadas de maneira adequada que a hipérbole é dada pela equação H x2 a2 y2 b2 1 ou seja H b2x2 a2y2 a2b2 Como r bx ay 0 e r bx ay 0 são as assíntotas da hipérbole e H bx aybx ay a2b2 temos que r H e r H pois bx aybx ay 0 a2b2 se x y r r Atividades 1 As equações a seguir representam hipérboles Para cada uma delas deter mine os vértices os focos e a excentricidade a x2 100 y2 64 1 b y2 100 x2 64 1 c 9x2 16y2 144 d x2 2y2 8 0 135 95 121 e x2 4y2 18x 16y 43 0 2 Determinar a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas a focos F5 0 vértices A3 0 b vértices em 5 2 e 3 2 um foco em 7 2 c focos em 3 4 e 3 2 excentricidade e 2 d centro C2 1 eixo focal paralelo ao eixo das abscissas passando por 0 2 e 5 6 e vértices A3 0 equações das assíntotas y 2x 136 122 74 Parábola Com uma mangueira de água dirija o jato obliquamente para cima e observe a trajetória percorrida pela água Essa trajetória é parte de uma curva denomi nada parábola Pense outras situações reais que você acredita ser uma parábola e depois compare suas situações com a definição formal dessa curva que é dada se seguir Definição 741 Seja L uma reta no plano e F um ponto no plano não per tencente a L A parábola P de diretriz L e foco F é o conjunto que consiste de todos os pontos P do plano que são equidistantes do ponto F e da reta L ou seja P P distP F distP L Terminologia Como apresentamos na definição o ponto F é o foco e a reta L é chamada diretriz da parábola A reta l que contém o foco e é perpendicular à diretriz L é chamada reta focal da parábola O vértice da parábola é o ponto V da reta focal que equidista de F e de L Se A é o ponto em que L intersecta l então V é o ponto médio do segmento AF ou seja V A F 2 137 122 74 Parábola Com uma mangueira de água dirija o jato obliquamente para cima e observe a trajetória percorrida pela água Essa trajetória é parte de uma curva denomi nada parábola Pense outras situações reais que você acredita ser uma parábola e depois compare suas situações com a definição formal dessa curva que é dada se seguir Definição 741 Seja L uma reta no plano e F um ponto no plano não per tencente a L A parábola P de diretriz L e foco F é o conjunto que consiste de todos os pontos P do plano que são equidistantes do ponto F e da reta L ou seja P P distP F distP L Terminologia Como apresentamos na definição o ponto F é o foco e a reta L é chamada diretriz da parábola A reta l que contém o foco e é perpendicular à diretriz L é chamada reta focal da parábola O vértice da parábola é o ponto V da reta focal que equidista de F e de L Se A é o ponto em que L intersecta l então V é o ponto médio do segmento AF ou seja V A F 2 137 96 122 74 Parábola Com uma mangueira de água dirija o jato obliquamente para cima e observe a trajetória percorrida pela água Essa trajetória é parte de uma curva denomi nada parábola Pense outras situações reais que você acredita ser uma parábola e depois compare suas situações com a definição formal dessa curva que é dada se seguir Definição 741 Seja L uma reta no plano e F um ponto no plano não per tencente a L A parábola P de diretriz L e foco F é o conjunto que consiste de todos os pontos P do plano que são equidistantes do ponto F e da reta L ou seja P P distP F distP L Terminologia Como apresentamos na definição o ponto F é o foco e a reta L é chamada diretriz da parábola A reta l que contém o foco e é perpendicular à diretriz L é chamada reta focal da parábola O vértice da parábola é o ponto V da reta focal que equidista de F e de L Se A é o ponto em que L intersecta l então V é o ponto médio do segmento AF ou seja V A F 2 137 123 O número distP L 2p é o parâmetro da parábola Note que distV F distV L p 741 Equação da Parábola com Vértice na Origem Vamos estabelecer as equações da parábola em relação a um sistema de coor denadas xOy no plano Consideremos primeiro os casos em que o vértice da parábola é a origem e a reta focal é um dos eixos coordenados e depois os casos em que o vértice é um ponto qualquer e a reta focal é paralela a um dos eixos coordenados Proposição 741 A equação da parábola com vértice na origem reta focal coincidente com o eixo das abscissas e foco à direita da diretriz é dada por y2 4px Demonstração Como o vértice da parábola P é V 0 0 temos que o foco é Fp 0 e a diretriz é L x p onde 2p distF L Logo 138 97 123 O número distP L 2p é o parâmetro da parábola Note que distV F distV L p 741 Equação da Parábola com Vértice na Origem Vamos estabelecer as equações da parábola em relação a um sistema de coor denadas xOy no plano Consideremos primeiro os casos em que o vértice da parábola é a origem e a reta focal é um dos eixos coordenados e depois os casos em que o vértice é um ponto qualquer e a reta focal é paralela a um dos eixos coordenados Proposição 741 A equação da parábola com vértice na origem reta focal coincidente com o eixo das abscissas e foco à direita da diretriz é dada por y2 4px Demonstração Como o vértice da parábola P é V 0 0 temos que o foco é Fp 0 e a diretriz é L x p onde 2p distF L Logo 138 124 Px y P distP F distP L Da última igualdade segue que x p2 y2 x p que é o mesmo que escrever x p2 y2 x p2 e com isso temos y2 4px Proposição 742 A equação da parábola com vértice na origem reta focal coincidente com o eixo das abscissas e foco à esquerda da diretriz é dada por y2 4px Demonstração Neste caso temos Fp 0 e L x p em que 2p distF L Então Px y P distP F distP L Da última igualdade segue que 139 124 Px y P distP F distP L Da última igualdade segue que x p2 y2 x p que é o mesmo que escrever x p2 y2 x p2 e com isso temos y2 4px Proposição 742 A equação da parábola com vértice na origem reta focal coincidente com o eixo das abscissas e foco à esquerda da diretriz é dada por y2 4px Demonstração Neste caso temos Fp 0 e L x p em que 2p distF L Então Px y P distP F distP L Da última igualdade segue que 139 98 125 x p2 y2 x p que é o mesmo que escrever x p2 y2 x p2 e com isso temos y2 4px Proposição 743 A equação da parábola com vértice na origem reta focal coincidente com o eixo das ordenadas e foco acima da reta diretriz é dada por x2 4py Demonstração Neste caso F0 p e L y p onde distF L 2p Logo 140 99 126 Px y P distP F distP L x2 y p2 x2 4py Proposição 744 A equação da parábola com vértice na origem reta focal coincidente com o eixo das ordenadas e foco abaixo da diretriz é dada por x2 4py Demonstração Neste caso F0 p e L y p onde distF L 2p Logo Px y P distP F distP L x2 y p2 x2 4py Exemplo 741 Determinar os elementos principais da parábola x2 8y 0 Como x2 8y a equação representa uma parábola com vértice V 0 0 reta focal eixo Oy x 0 parâmetro p 2 foco F0 2 acima da diretriz diretriz y 2 141 100 127 Exemplo 742 Considere uma parábola P com vértice na origem cuja reta focal é o eixo Oy e que passa pelo ponto 4 2 Determine sua equação o foco F e a equação de sua diretriz L A parábola tem equação x2 4py com p distV P 0 Como 4 2 P temos que P x2 4py e 16 8p Logo p 2 F0 2 L y 2 e a equação da parábola é P x2 8y 742 Parábola com Vértice no Ponto V x0 y0 Proposição 745 A equação da parábola com vértice no ponto V x0 y0 reta focal paralela ao eixo das abscissas e foco a direita da diretriz é dada por y y02 4px x0 Demonstração Sabemos que a equação da parábola no sistema de coordena das x O y é dada por y 2 4px Além disso nesse sistema de coordenadas o foco é Fp 0 o vértice V 0 0 a diretriz é L x p e a reta focal é l y 0 Como x x x0 e y y y0 temos que a equação da parábola no sistema xOy é y y02 4px x0 Proposição 746 A equação da parábola com vértice na origem reta focal paralela ao eixo das abscissas e foco a esquerda da diretriz é dada por 142 101 129 y y02 4px x0 Demonstração Análoga ao caso anterior Como nos casos anteriores considerando um sistema de eixos ortogonais x O y com origem O V x0 y0 e eixos O x e O y paralelos e de igual sentido aos eixos Ox e Oy respectivamente obtemos as equações e os elemntos das parábolas com vértice V x0 y0 e reta focal paralela ao eixo das ordenadas Proposição 747 A equação da parábola com vértice V x0 y0 reta focal paralela ao eixo das ordenadas e foco acima da diretriz é dada por x x02 4py y0 Demonstração Basta considerar Fx0 y0 p diretriz L y y0 p e usar a definição de parábola 143 102 130 Proposição 748 A equação da parábola com vértice no ponto V x0 y0 reta focal paralela ao eixo das ordenadas e foco abaixo da diretriz é dada por x x02 4py y0 Demonstração Basta considerar Fx0 y0 p diretriz L y y0 p e usar a definição de parábola Exemplo 743 Considere a parábola 2y2 5x 8y 7 0 Determine seus elementos principais A equação dada pode ser escrita da seguinte forma 2y2 4y 5x 7 Após completar o quadrado obtemos 2y 22 5x 15 logo y 22 5 2 x 3 representa uma parábola com vértice V 3 2 reta focal l y 2 parâmetro 2p 10 8 então p 5 8 144 103 131 foco 3 5 8 2 19 8 2 à esquerda da diretriz diretriz L x 3 5 8 29 8 Exemplo 744 Determine a equação da parábola P de vértice V 3 4 e foco F3 2 Determine também a equação de sua diretriz Como V 3 4 e F3 2 a reta focal é l x 3 e nessa reta F está abaixo de V e portanto abaixo da diretriz L Logo a equação da parábola é da forma P x 32 4py 4 Temos que p distV F dist3 4 3 2 2 Logo a diretriz é L y 6 e P x 32 8y 4 é a equação da parábola Atividades 1 Determine os elementos principais de cada parábola a seguir a x2 12y b y2 100x c x2 4x 8y 12 0 d y2 4y 16x 44 0 e y2 2y 16x 31 0 145 104 132 2 Estabeleça a equação de cada uma das parábolas sabendo que a vértice V 0 0 e diretriz y 2 b foco F2 0 e diretriz x 2 0 c vértice V 4 3 e foco F4 1 d foco F6 4 e diretriz y 2 e foco F3 1 e diretriz x 1 2 146 134 81 Introdução Pelo nome genérico de quádrica vamos designar algumas superfícies do espaço que podem ser consideradas por assim dizer a versão tridimensional das cô nicas Veremos no decorrer de nossa conversa que tais superfícies podem ser encontradas no mundo a nossa volta Definição 811 Uma quádrica é uma superfície cuja equação cartesiana é uma equação de segundo grau nas variáveis x y e z isto é uma equação da forma ax2 by2 cz2 2dxy 2exz 2fyz mx ny pz q 0 em que pelo menos um dos coeficientes a b c d e ou f é diferente de zero Observemos que se a superfície quádrica dada na definição anterior for cor tada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles a curva de in tersecção será uma cônica A intersecção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano Por exemplo o traço da superfície da definição no plano z 0 é a cônica ax2 by2 2dxy mx ny q 0 contida no plano z 0 isto é no plano xOy Estaremos interessados em estudar alguns casos particulares que a equação dada na definição acima assume por meio de translação e rotação 149 105 134 81 Introdução Pelo nome genérico de quádrica vamos designar algumas superfícies do espaço que podem ser consideradas por assim dizer a versão tridimensional das cô nicas Veremos no decorrer de nossa conversa que tais superfícies podem ser encontradas no mundo a nossa volta Definição 811 Uma quádrica é uma superfície cuja equação cartesiana é uma equação de segundo grau nas variáveis x y e z isto é uma equação da forma ax2 by2 cz2 2dxy 2exz 2fyz mx ny pz q 0 em que pelo menos um dos coeficientes a b c d e ou f é diferente de zero Observemos que se a superfície quádrica dada na definição anterior for cor tada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles a curva de in tersecção será uma cônica A intersecção de uma superfície com um plano é chamada traço da superfície no plano Por exemplo o traço da superfície da definição no plano z 0 é a cônica ax2 by2 2dxy mx ny q 0 contida no plano z 0 isto é no plano xOy Estaremos interessados em estudar alguns casos particulares que a equação dada na definição acima assume por meio de translação e rotação 149 8 Superfícies Quádricas 106 135 82 Elipsoide Definição 821 O elipsoide é a superfície representada pela equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que todos os coeficientes dos termos do primeiro membro dessa equação são positivos sendo que a b e c representam as medidas dos semieixos do elipsoide Embora a terra seja usualmente modelada por uma esfera um modelo mais preciso é o elipsoide pois a rotação da terra causa um achatamento nos polos O traço no plano xOy é a elipse x2 a2 y2 b2 1 e os traços nos planos xOz e yOz são as elípses x2 a2 z2 c2 1 e y2 b2 z2 c2 1 150 136 respectivamente Se pelo menos dois dos valores a b e c são iguais o elipsoide é de revolução Por exemplo se a c o elipsoide é obtido girando a elipse y2 b2 z2 c2 1 do plano yOz em torno do eixo das ordenadas O traço no plano xOz é a circunferência x2 4 z2 4 1 No caso de a b c a equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 toma a forma x2 y2 z2 a2 e representa uma superfície esférica de centro C0 0 0 e raio a Se o centro do elipsoide é o ponto Cx0 y0 z0 e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados sua equação assumirá a forma x x02 a2 y y02 b2 z z02 c2 1 obtida através de uma translação de eixos De maneira análoga a superfície esférica de centro Cx0 y0 z0 e raio a tem equação 151 107 135 82 Elipsoide Definição 821 O elipsoide é a superfície representada pela equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 em que todos os coeficientes dos termos do primeiro membro dessa equação são positivos sendo que a b e c representam as medidas dos semieixos do elipsoide Embora a terra seja usualmente modelada por uma esfera um modelo mais preciso é o elipsoide pois a rotação da terra causa um achatamento nos polos O traço no plano xOy é a elipse x2 a2 y2 b2 1 e os traços nos planos xOz e yOz são as elípses x2 a2 z2 c2 1 e y2 b2 z2 c2 1 150 136 respectivamente Se pelo menos dois dos valores a b e c são iguais o elipsoide é de revolução Por exemplo se a c o elipsoide é obtido girando a elipse y2 b2 z2 c2 1 do plano yOz em torno do eixo das ordenadas O traço no plano xOz é a circunferência x2 4 z2 4 1 No caso de a b c a equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 toma a forma x2 y2 z2 a2 e representa uma superfície esférica de centro C0 0 0 e raio a Se o centro do elipsoide é o ponto Cx0 y0 z0 e seus eixos forem paralelos aos eixos coordenados sua equação assumirá a forma x x02 a2 y y02 b2 z z02 c2 1 obtida através de uma translação de eixos De maneira análoga a superfície esférica de centro Cx0 y0 z0 e raio a tem equação 151 108 137 x x02 y y02 z z02 a2 83 Hiperboloide de uma Folha Definição 831 A equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 representa um hiperboloide de uma folha ao longo do eixo z As outras formas x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 e x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 representam hiperbolóides de uma folha ao longo dos eixos das ordenadas e das abscissas respectivamente Você sabia que torres de resfriamento para reatores nucleares são usualmente projetadas na forma de hiperboloides de uma folha por razões de estabilidade estrutural 152 109 138 O traço no plano xOy da equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 é a elípse x2 a2 y2 b2 1 e os traços nos planos xOz e yOz são as hipérboles x2 a2 z2 c2 1 e y2 b2 z2 c2 1 respectivamente Um traço no plano z k é uma elípse que aumenta de tamanho a medida que o plano se afasta do plano xOy Os traços nos planos x k e y k são hipérboles Se na equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 tivermos a b o hiperboloide é de revolução gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de seu eixo não focal no caso o eixo z 153 110 139 84 Hiperboloide de Duas Folhas Definição 841 A equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 representa um hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo das ordenadas As equações x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 e x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 representam hiperboloides de duas folhas ao longo do eixo das abscissas e do eixo Oz respectivamente Os traços da superfície x a2 y2 b2 z2 c2 1 nos planos xOy e yOz são respectivamente as hipérboles 154 140 y2 b2 x2 a2 1 y2 b2 z2 c2 1 O plano xOy não intercepta a superfície nem qualquer plano y k onde k b Se x b o traço no plano y k é a elípse x2 a2 z2 c2 k2 b2 1 Os traços nos planos x k e z k são hipérboles Se na equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 tivermos a c o hiperboloide é denominado de revolução gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de seu eixo focal O traço no plano y k x b é a circunferência x2 a2 k2 b2 z2 a2 1 ou x2 a2 z2 a2 k2 b2 1 155 111 139 84 Hiperboloide de Duas Folhas Definição 841 A equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 representa um hiperboloide de duas folhas ao longo do eixo das ordenadas As equações x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 e x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 representam hiperboloides de duas folhas ao longo do eixo das abscissas e do eixo Oz respectivamente Os traços da superfície x a2 y2 b2 z2 c2 1 nos planos xOy e yOz são respectivamente as hipérboles 154 140 y2 b2 x2 a2 1 y2 b2 z2 c2 1 O plano xOy não intercepta a superfície nem qualquer plano y k onde k b Se x b o traço no plano y k é a elípse x2 a2 z2 c2 k2 b2 1 Os traços nos planos x k e z k são hipérboles Se na equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 tivermos a c o hiperboloide é denominado de revolução gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de seu eixo focal O traço no plano y k x b é a circunferência x2 a2 k2 b2 z2 a2 1 ou x2 a2 z2 a2 k2 b2 1 155 112 141 85 Paraboloide Elíptico Definição 851 A equação x2 a2 y2 b2 cz representa um paraboloide elíptico ao longo do eixo z As equações x2 a2 z2 c2 bz e y2 b2 z2 c2 az representam paraboloides elípticos ao longo dos eixos das ordenadas e abscissas respectivamente Os chamados paraboloides circulares que são obtidos pela rotação de uma pa rábola em torno de seu eixo são usados para coletar e refletir luz som e sinais de rádio e televisão Em um radiotelescópio por exemplo sinais das estrelas distantes que atingem a bacia são refletidos para o receptor no foco e assim amplificados O mesmo princípio se aplica a microfones e antenas de satélite na forma de paraboloides 156 142 Agora se tomarmos a superfície de equação x2 a2 y2 b2 cz seu traço no plano xOy é a origem 0 0 0 e os traços nos planos xOz e yOz são as parábolas x2 a2 cz y2 b2 cz respectivamente Caso c 0 a superfície situase inteiramente acima do plano xOy e para c 0 a superfície situase inteiramente abaixo desse plano Assim o sinal de c coincide com o de z pois caso contrário não haveria tal superfície Um traço no plano z k k 0 é uma elipse que aumenta de tamanho à medida que o plano se afasta do plano xOy Os traços nos planos x k e y k são parábolas Se na equação x2 a2 y2 b2 cz tivermos a b o paraboloide é dito de revolução e pode ser gerado pela rotação da parábola y2 b2 cz em torno do eixo z Nesse caso o traço no plano z k é uma circunferência 157 113 142 Agora se tomarmos a superfície de equação x2 a2 y2 b2 cz seu traço no plano xOy é a origem 0 0 0 e os traços nos planos xOz e yOz são as parábolas x2 a2 cz y2 b2 cz respectivamente Caso c 0 a superfície situase inteiramente acima do plano xOy e para c 0 a superfície situase inteiramente abaixo desse plano Assim o sinal de c coincide com o de z pois caso contrário não haveria tal superfície Um traço no plano z k k 0 é uma elipse que aumenta de tamanho à medida que o plano se afasta do plano xOy Os traços nos planos x k e y k são parábolas Se na equação x2 a2 y2 b2 cz tivermos a b o paraboloide é dito de revolução e pode ser gerado pela rotação da parábola y2 b2 cz em torno do eixo z Nesse caso o traço no plano z k é uma circunferência 157 114 143 86 Paraboloide Hiperbólico Definição 861 A equação y2 b2 x2 a2 cz representa um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z e as equações z2 c2 x2 a2 by z2 c2 y2 b2 ax representam paraboloides hiperbólicos situados ao longo dos eixos Oy e Ox respectivamente O traço da superfície y2 b2 x2 a2 cz no plano xOy é o par de retas y2 b2 x2 a2 0 e os traços nos planos xOz e yOz são as parábolas 158 115 143 86 Paraboloide Hiperbólico Definição 861 A equação y2 b2 x2 a2 cz representa um paraboloide hiperbólico ao longo do eixo z e as equações z2 c2 x2 a2 by z2 c2 y2 b2 ax representam paraboloides hiperbólicos situados ao longo dos eixos Oy e Ox respectivamente O traço da superfície y2 b2 x2 a2 cz no plano xOy é o par de retas y2 b2 x2 a2 0 e os traços nos planos xOz e yOz são as parábolas 158 144 x2 a2 cz y2 b2 cz que têm o eixo z como eixo de simetria e concavidade para baixo e para cima respectivamente O traço no plano z k é uma hipérbole cujo eixo focal é paralelo ao eixo das ordenadas caso k seja positivo e paralelo ao eixo das abscissas caso k seja negativo Os traços nos planos x k e y k são parábolas 87 Superfície Cônica A expressão superfície cônica nos lembra algo familiar A ideia de superfície cônica é uma superfície gerada por uma reta que se move apoiada numa curva plana qualquer e passando sempre por um ponto dado não situado no plano desta curva Vamos traduzir isso para uma linguagem mais adequada Definição 871 Seja γ uma curva contida num plano π do espaço e V um ponto não pertencente a π A superfície cônica S de diretriz γ e vértice V é a superfície gerada por todas as retas que passam por V e por algum ponto de γ ou seja S V t V P P γ t R As retas S V t V P t R com P γ são as geratrizes da superfície cônica Geometricamente a definição anterior pode ser ilustrada da forma a seguir Consideremos o caso particular da superfície cônica cuja diretriz é uma elipse 159 116 145 ou circunferência com o vértice na origem do sistema e com seu eixo sendo um dos eixos coordenados Nestas condições a superfície cônica cujo eixo é o eixo z tem equação x2 a2 y2 b2 z2 c2 0 O traço no plano xOy é o ponto 0 0 0 O traço no plano yOz tem equações y2 b2 z2 c2 0 de onde obtemos duas retas que passam pela origem y b az e y b az O traço no plano xOz de forma análoga é constituido por duas retas que passam pela origem Os traços nos planos z k são elipses e se a b são circunfrências Nesse caso temos a superfície cônica circular reta Os traços nos planos x k e y k são hipérboles As superfícies cônicas cujos eixos são os eixos das abscissas e das ordenadas tem equações 160 117 146 x2 a2 y2 b2 z2 c2 0 e x2 a2 y2 b2 z2 c2 0 respectivamente 88 Superfície Cilíndrica Informalmente uma superfície cilíndrica é uma superfície gerada por uma reta que se move paralelamente a uma outra reta fixa em contato permanente com uma curva plana De uma forma mais precisa temos Definição 881 Seja γ uma curva contida num plano π do espaço e v um vetor não nulo e não paralelo ao plano π A superfície cilíndrica S de diretriz γ e geratrizes paralelas ao vetor v é o conjunto S P tv P γ t R Iremos considerar apenas superfícies cilíndricas cuja diretriz é uma curva que se encontra em um dos planos coordenados e a geratriz é uma reta paralela ao eixo coordenado não contido no plano Neste caso a equação da superfície cilíndrica é a mesma de sua diretriz Exemplo 881 Se a equação da diretriz for x2 2y a equação da superfície cilíndrica também será x2 2y Conforme a diretriz seja uma circunferência elipse hipérbole ou parábola a superfície cilíndrica é chamada de circular elíptica hiperbólica ou parabólica 161 118 147 Agora note que em geral o gráfico de uma equação que não contém uma determinada variável corresponde a uma superfície cilíndrica cujas geratrizes são paralelas ao eixo ausente e cuja diretriz é o gráfico da equação dada no plano correspondente Exemplo 882 A equação x2 4 z2 9 1 representa uma superfície cilíndrica com geratrizes paralelas ao eixo das orde nadas sendo a diretriz uma elipse no plano xoz Atividades 1 Identifique as quádricas representadas pelas equações a x2 y2 z2 25 b 2x2 4y2 z2 16 0 c x2 4y2 2z2 8 d z2 x2 y2 e x2 y2 9 162